中考專題訓(xùn)練——二次函數(shù)與特殊的四邊形

3?口

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)，=亍/+彳工-3交x軸于點(diǎn)A,點(diǎn)8(點(diǎn)A在

點(diǎn)8的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C,連接AC,BC.尸是第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過尸作

PE〃y軸交4c于點(diǎn)E,過E作E尸〃BC交x軸于點(diǎn)尸.

(1)求A4BC的面積；

(2)求PE+叵EF+FO的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

10

312

(3)將拋物線平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)為(2)中求得的點(diǎn)P,點(diǎn)Q

為x軸下方的新拋物線上一點(diǎn)，R為工軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)A,C,Q,R

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)R的坐標(biāo).

2.如圖，拋物線y=o?+法+6經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

設(shè)點(diǎn)O的橫坐標(biāo)為加(l</n<4).連接AC、BC、DB、DC.

(2)當(dāng)ABC。的面積等于^AOC的面積時(shí)，求小的值；

(3)當(dāng)機(jī)=3時(shí)，若點(diǎn)M是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷

是否存在這樣的點(diǎn)使得以點(diǎn)8、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在,

請直接寫出點(diǎn)”的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2i+6與x軸交于點(diǎn)A,與)，軸交點(diǎn)C,拋物線

y=-過A,C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)8,

備用圖

(1)求拋物線的解析式

(2)在直線AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)E,連接BE,與直線AC相交于點(diǎn)凡當(dāng)EF=g

3/時(shí)，求sinN理M的值.

(3)點(diǎn)N是直線4c上一點(diǎn)，在(2)的條件下，若點(diǎn)E位于對稱軸左側(cè)，在拋物線上是

否存在一點(diǎn)M,使以M,N,E，8為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出

點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.如圖，拋物線y=or'+64+c交x軸于4,8兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C直線了=>-5經(jīng)過

點(diǎn)、B,C.

(1)求拋物線的解析式；

⑵直線)交拋物線于點(diǎn)P、Q,拋物線的頂點(diǎn)為。，四邊形QPE。為菱形.

①當(dāng)，=3時(shí)，求菱形。尸EQ的面積；

②當(dāng)點(diǎn)上落在AABC內(nèi)部(不含邊上)時(shí)，直接寫出，的取值范圍.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)，=加+加-4與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),8(4,

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P是第四象限內(nèi)該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求仆3QP面積的最大值；

(3)M是拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)A,D,M,

N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)N的坐標(biāo).

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=f+公+。經(jīng)過點(diǎn)4(-1,0),86,0),直線

y=與拋物線交于仁。兩點(diǎn)，與坐標(biāo)軸交于從尸兩點(diǎn).點(diǎn)尸是拋物線在第四象

限內(nèi)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作PG_LC￡>,垂足為G,PQ〃y軸，交x軸于點(diǎn)Q.

⑴求拋物線的解析式；

⑵當(dāng)42PG+PQ取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和&PG+PQ的最大值；

13

(3)將拋物線向右平移二個(gè)單位得到新拋物線，M為新拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是

平面內(nèi)一點(diǎn).當(dāng)(2)中&PG+P。最大時(shí)，宜接寫出所有使得以點(diǎn)A,P,M,N為頂

點(diǎn)的四邊形是菱形的點(diǎn)N的坐標(biāo).

7.已知拋物線產(chǎn)加-2or+c3<0)與x軸交于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交

于點(diǎn)C(0,4),拋物線的頂點(diǎn)為P,對稱軸交8C于點(diǎn)M,連接PC、P8,APCM與XPBM

的面積比為1:2；

(1)①拋物線的對稱軸是_；

②求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若點(diǎn)。為拋物線第一象限圖像上的一點(diǎn)，作QN_Lx軸交5C于點(diǎn)N,當(dāng)QN+NB取得

最大值時(shí)，求以。、N、B、G為頂點(diǎn)的平行四邊形頂點(diǎn)G的坐標(biāo).

J4

-----------------------------?

Ox

8.綜合與探究：

如圖，拋物線y=-V+"+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于

(2)如圖1,點(diǎn)。關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是點(diǎn)E,連接FE,以石尸為邊作等腰直角三角形EFG,

使E尸二尸G,ZEFG=90°,點(diǎn)G恰好落在該拋物線上，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)H在拋物線上運(yùn)動(dòng)，請借助圖2探究以點(diǎn)O,B,F,”為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形，請直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo).

9.綜合與探究

如圖，拋物線yn-gr+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交

于點(diǎn)C，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為(-2,0),(0,4),連接AC,6C.點(diǎn)尸是y軸右側(cè)的拋物線

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)連接24,交直線BC于點(diǎn)。，當(dāng)線段AO的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為

矩形，若存在，請邕毯寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L:丁=加+6+3(〃工0)與x軸交于點(diǎn)

⑵已知笫一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)P,其縱坐標(biāo)為3,連接4C.將原物物線L沿射線8C

方向平移3&個(gè)單位，得到新的拋物線，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)E為的對稱軸上任意

一點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)C,D,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出所

有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo).

11.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線曠=〃2+加+4（々工0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A

在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.其中點(diǎn)A（-4G,0）,點(diǎn)8（26,0）,連接AC、BC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,過原點(diǎn)O的直線交拋物線于點(diǎn)M和M且MN〃4C,在直線AC上方拋物線

上有一點(diǎn)P,P”_Lx軸于點(diǎn)”，PQLAC,垂足為。，延長P。交x軸于點(diǎn)K,求

名巨P/7+’OK的最大值以及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

32

（3）將拋物線向射線AC方向平移4個(gè)單位長度后得到的新拋物線M,新拋物線與原拋

物線），相交于點(diǎn)D,在新拋物線y的對稱軸上有一點(diǎn)E,點(diǎn)尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)B、

。、E、尸四點(diǎn)為頂點(diǎn)且以8。為邊的四邊形為菱形，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并寫出求解

其中一個(gè)尸點(diǎn)的過程.

12.綜合與實(shí)踐

如圖，二次函數(shù)丫=^/+云+。的圖象與x軸交于點(diǎn)A和8,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4,0）,與y

（1）求拋物線的表達(dá)式；

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在第四象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接80,CD,BC,當(dāng)△8C。的

面積最大時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)及△88的最大面積；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，借助圖1探究以點(diǎn)8,C,。，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形，并直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

13.如圖，拋物線y=o?+灰_4與4軸交于點(diǎn)4(-2,0),5(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,

(1)求拋物線y=av2+bx-4的表達(dá)式；

(2)如圖2,點(diǎn)E(x,0)是線段OB上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作與x軸垂直的直線與直線交

于點(diǎn)凡與拋物線交于點(diǎn)G.

①線段尸G的長是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值：若不存在，說明理由：

②連接CG,當(dāng)NQCG=N4C。時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)尸是直線下方的拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)。在y軸上，點(diǎn)”在線段BC上，當(dāng)以

C,尸，。，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出菱形的邊長.

14.如圖，拋物線y=加+加+3過點(diǎn)4。,0),8(3,0),與〉，軸相交于點(diǎn)C.

⑵若點(diǎn)石為拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，請?zhí)剿鲯佄锞€上是否存在點(diǎn)R使以48,E,尸

為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo);若不存在，

請說明理由；

⑶若點(diǎn)P為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，連接8P,過點(diǎn)。作CN垂直于直線8P,垂足為N,當(dāng)

點(diǎn)P從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，求點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)路徑的長.

15.拋物線)，=紈2+區(qū)+。(。，0)與x軸交于點(diǎn)A(-3,0),B(1,0)兩點(diǎn)，與丁軸

交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵如圖1,點(diǎn)P在線段AC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)(不與A,C重合)，過點(diǎn)尸作P￡>_LAa

垂足為。，PO交4c于點(diǎn)E.作PF_LAC,垂足為E求△PEP的面積的最大值；

(3)如圖2,點(diǎn)。是拋物線的對稱軸/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上，是否存在點(diǎn)P,使得

以點(diǎn)4,P,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸

的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=加+法?5(用0)交x軸于4,。兩點(diǎn)，交y

軸于點(diǎn)B,K5OA=OB=OC.

(I)求此拋物線的表達(dá)式；

⑵已知拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)M,使得AABM的周長最小，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

⑶連接8C,點(diǎn)尸是線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作,，軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q,求當(dāng)四

邊形OBQP為平行四邊形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)是(-2,-5),且過A(-3,-

4),直線AB與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)B在y軸上.

(I)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接附,PB,求△周8面積的最大值；

(3)將該拋物線向右平移2個(gè)單位長度得到拋物線yj/f+b/x+c(〃#0),平移后的拋物

線與原拋物線相交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否

存在點(diǎn)E,使以點(diǎn)B,C,D,E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

18.拋物線y=-V+2x+3與x軸交于另一點(diǎn)A,8兩點(diǎn).與曠軸交于C,。為拋物線

的頂點(diǎn).

(1)求A,B,C,。的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸為拋物線上的點(diǎn)，且△HC是直角三角形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

⑶點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)以A,D,M,。為頂點(diǎn)的四邊

形是矩形，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

19.如圖，拋物線)，=-/-2彳+3與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與)，軸交于C點(diǎn).

(1)求點(diǎn)8,。的坐標(biāo)；

(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P,使四邊形P8。。的面積最大,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，x軸上是否存在一點(diǎn)。，使以8、C、M、。為頂點(diǎn)的四邊

形是平行四邊形，若存在，請直接寫出。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

20.綜合與探究

如圖，拋物線丁=加+法+3(?！?)與k軸交于點(diǎn)A(—1,0),點(diǎn)、B(3,0),與y軸交

于點(diǎn)C,對稱軸與x軸交于點(diǎn)△點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線3。上方的拋物線上找一點(diǎn)P,作PG_LBC,當(dāng)PG為最大值時(shí)，求線段戶。

的長；

(3)連接C。、CB,當(dāng)NPCB=/OCB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(4)若點(diǎn)M為直線8c上一點(diǎn)，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N使得以C、

。、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

參考答案：

1.(1)9

(渭，(-y,-y)

⑶(”,0),(辛⑼,(一空⑼，(宇0)

【分析】(1)令尸0,可求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：4-5,0)、5(1,0),令尸0,可求出

拋物線與〉軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：C(0,-3),再求出AB、OC的長度，△ABC的面積即可得解即可；

3

(2)根據(jù)4(-5,0)、陽,0),。(0,-3)求出直線46\8。的解析式,分別為：y=--x-3,y=3x-3,

利用勾股定理求出AC=后，BC=?,再直接設(shè)尸的坐標(biāo)為：(%,|4+弓/-3),且

(-5Vx0V0),以此求出E點(diǎn)坐標(biāo)表，進(jìn)而利用含w的代數(shù)式表示出PE；EF//BC,根據(jù)E、

C、B三點(diǎn)坐標(biāo)求出尸點(diǎn)坐標(biāo)，則。尸二2/+1(尸點(diǎn)可能在y軸左側(cè)也可能在右側(cè))，并根

據(jù)防“BC得出蕓=坐，繼而得到用含歷的代數(shù)式表示出里￡=半=!(/+5)；最

BCAC10V345

后可以得到一個(gè)用含初的代數(shù)式表示出++/O,再根據(jù)用的取值范圍來求出

10

PE+嚕E尸+尸0的最大值，并最終確定p點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)過C點(diǎn)作直線/〃x軸，與交新拋物線交于。/、。2兩點(diǎn)(。八在。2左邊)；新拋物線

以P點(diǎn)為頂點(diǎn)，則可求出新拋物線的解析式為：y=(x+y)2-y,根據(jù)點(diǎn)R在X軸上，Q

點(diǎn)為X軸下方的新拋物線上一點(diǎn)，可知Q、。均在X軸(AR)下方，即：QC不可能是新構(gòu)

造的平行四邊形的對角線，則有4R一定是以點(diǎn)A,C,Q,R為頂點(diǎn)構(gòu)成的平行四邊形的一

條邊，而非對角線，因此一定存在4R〃QC,則在新構(gòu)造的平行四邊形中一定有：AR=QC,

故將產(chǎn)-3代入新拋物線可求出Q、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),則可知Q點(diǎn)只能存在于。(竺尸,-3)、

。2(-2當(dāng)-叱_3)兩點(diǎn),繼而得到。。的長度，繼而得到4R的長度，再根據(jù)4點(diǎn)坐標(biāo)求出

R點(diǎn)坐標(biāo)，問題得解.

(1)

Q19

根據(jù)拋物線解析式y(tǒng)=^x2+-x-3,

令尸0,可求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：4-5,0)、5(1,0),

答案第11頁，共55頁

令x=0,可求出拋物線與)，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：C(0,-3),

???AG5,0)、8(1,0)、C(0,-3),

：.AO=5,0c=3,08=1,則48=6,

,**S博8c=耳"A'*OC=9；

(2)

???A(?5,0)、8(1,0),C(0,-3),

3

，直線AC的解析式為：y=-|x-3,直線8C的解析式為：y=3x-3,

又???4O=5,OG3,08=1,AB=6,

，利用勾股定理易得：AC二后，BC=M,

VP是第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

?,?設(shè)P的坐標(biāo)為：卜o，1*+/"°一3)，且(一5V/〈0),

3

?"C與PE的交點(diǎn)E點(diǎn)坐標(biāo)為：(^,--^-3),

22x5

???尸￡=一,片一3%，AE=^(-1^-3)+(X0+5)=-Y~(o+)?

?：EF/IBC,

，設(shè)所的解析式為：y=3x+t,

1Q

代入七點(diǎn)坐標(biāo)有t=-yX0-3,

:.F點(diǎn)的坐標(biāo)為專方+1,0),

OF=gX。+1

又根據(jù)￡F#8C,

加

EFAEnEFAE,EFAE1zQ

得:~BC~~AC即TiT用‘通F?5+5)’

??「￡+-^七產(chǎn)+"°=/=一1,一3犬0+!(*0+5)+("o+l

45

++46-

--6-

315

則有/=<2035

+10-+<-

3-56

當(dāng)一g5v/VO時(shí)，/=一一5時(shí)，/的值最大且為35

oo12

答案第12頁，共55頁

當(dāng)—5V/V—。時(shí)，/=一學(xué)時(shí)，/的值最大且為人二目；

633

綜上兩種情況可知：當(dāng)/=-與時(shí)，/的值最大且為/四=當(dāng)，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-5,-9；

⑶

如圖：

過C點(diǎn)作直線/〃X軸，與交新拋物線交于Q/、。2兩點(diǎn)（。八在。2左邊），

在⑵中求得P點(diǎn)坐標(biāo)為:（-,-y）,

已知平移后的拋物線以P點(diǎn)為頂點(diǎn)，則新拋物線的方程為），=*+學(xué)2-與，

???點(diǎn)R在K軸上，。點(diǎn)為X軸下方的新拋物線上一點(diǎn)，

???。、C均在入?軸（AR）下方，即：QC不可能是新構(gòu)造的平行四邊形的對角線，

，AR一定是以點(diǎn)A,C,Q,R為頂點(diǎn)構(gòu)成的平行四邊形的一條邊，而非對角線,

.?.一定存在AR〃QC,

???在新構(gòu)造的平行四邊形中一定存在：AR=QC,

???將產(chǎn)-3代入新拋物線可求出。八Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，

m月nr2x/3-IO2、n-2^-10小

即為：Q/（——-——,一3）、。2（-------------，-3）,

即有：。點(diǎn)只能存在于。（名年也3）、Q（-2￡T°,_3）兩點(diǎn),

又???（:點(diǎn)坐標(biāo)為（0,?3）,

則此時(shí)分情況討論：

答案第13頁，共55頁

當(dāng)。點(diǎn)在Q(純一2，-3)時(shí)，

3

即有亞=3等，

???AR//QC,

工以點(diǎn)4C,Q,R為頂點(diǎn)構(gòu)成的平行四邊形中，存在AR=QC,

且此時(shí)R點(diǎn)既可在A點(diǎn)右側(cè)也可在4點(diǎn)左側(cè)，A點(diǎn)坐標(biāo)為G5,0),

，則此時(shí)R點(diǎn)的坐標(biāo)為：(2*25,0)、(-2,J。)；

當(dāng)。點(diǎn)在。2(一2,-1°,_3)時(shí),

即有呢=誓以

VAR//QC,

???以點(diǎn)A,C,。，R為頂點(diǎn)構(gòu)成的平行四邊形中，存在AR二。。，

且此時(shí)R點(diǎn)既可在4點(diǎn)右側(cè)也可在A點(diǎn)左側(cè)，4點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,0),

???則此時(shí)R點(diǎn)的坐標(biāo)為：(—2*25,0)、(40,。)；

綜上所述：R點(diǎn)的坐標(biāo)為：(2025,0)、(-24-5,0)、(—吟且。)、(冬年0,0).

33

2.(l)y=——x2+—x+6

42

(2)/n的值為2

(3)存在，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,0)或(而,0)或(_m,0)

【分析】(1)把點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)代入拋物線的解析式y(tǒng)=姑2十加十6,利用待定系

數(shù)法解題即可；

(2)過點(diǎn)。作OE_LA8,交BC于E點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線8C解析式，用含〃?的

代數(shù)式表示出。點(diǎn)、E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求出OE長，利用△BCQ的面積等于△A。。的面積列

等式，即可得到關(guān)于用的一元二次方程，解方程即可得到〃?的值；

(3)由平行四邊形的性質(zhì)可得|%|=%=?,再分兩種情況討論，當(dāng)為=?時(shí)，或當(dāng)

力=-與時(shí)，解得對應(yīng)的x的值，再結(jié)合三角形全等的性質(zhì)可得點(diǎn)M的坐標(biāo).

4

(1)

解：把點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)代入拋物線的解析式y(tǒng)=ad+bx+6,得

答案第14頁，共55頁

j4a-2b+6=0

(164+46+6=0'

3

a=——

4

解得：J，

b=-

2

?a

???拋物線的解析式為y=亨+會(huì)+6；

(2)

aa

解：???拋物線的解析式為丁=-產(chǎn)+聶+6,與)，軸交于點(diǎn)C,

???點(diǎn)C(0,6),

，設(shè)直線8c解析式為：y=H+6>

;直線8C過點(diǎn)B(4,0),

???0=4人6,

：,k=--

2f

3

工直線解析式為：y=-1x+6,

過點(diǎn)。作OEJLA8,交8C于E點(diǎn)，

33

設(shè)點(diǎn)￡＞坐標(biāo)為(，〃,一［+6),

則點(diǎn)E坐標(biāo)為(加,-g機(jī)+6),

3333

DE=——m2+-m+6-(—m+6)=--/n2+3/n,

4224

???ABCD的面積等于△AOC的面枳，

:.-DEOB=-OAOC

22f

?3i

x(—m2+3"?)x4=—x2x6=6,

242

化簡得一+4=0,

解得叫=叱=2,

答案第15頁，共55頁

的值為2；

（3）

解：存在，陷（8,0）,%（0,0），%（后，0）加4（-^，0）?

理由如下：

「=3,

/.y=--x32+-x3+6=—,

D424

???以點(diǎn)8、。、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

=±—,

士15.323a15

當(dāng)外=7時(shí)，--x+-x+6=—,

44Z4

化簡得:X2-2X-3=0,

=3,x2=-1,

4

.-.D/V=3-<-l)=4,

?.?以點(diǎn)8、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

.?.|喇=4,

*/B(4,0),M是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，

M點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,0)；

W15.323415

當(dāng))％=-二時(shí)，--x-+-x+6=-—,

4424

化簡得：d-2x73=0,

解得％=1+\/14,%2=1-V14,

如圖，過點(diǎn)0、N分別作0F_Lx軸于點(diǎn)尸，NE_Lx軸于點(diǎn)E,

-BD//MN,

:.NDBF=NEMN,

?/NDFB=MEN=90°,BD=MN,

:ZDF三斜fNE(AAS),

:.\BF\=\ME]=\,

xw=1±V14—1=±\/14,

???M點(diǎn)的坐標(biāo)為(E,0)或(-Ji4o)；

答案第16頁，共55頁

綜上所述，符合條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（80）或（JiZ,o）或（_JiW,o）.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合題，涉及一次函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)、解一元

二次方程等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，第3問中掌握分類討論思想是解題關(guān)鍵.

3.（l）y=-2x2-4x+6

（2）sin?EBA拽或者sin?EBA

517

⑶乂（2^,-3+后），N式-9.嚴(yán)廣3.屈）,M（匕興,7+而）

【分析】（1）、由一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)特征，求出A、C,再用待定系數(shù)法求解即可；、

（2）、作琦/人48,尸分別交A8于G、H,結(jié)合平行線截得線段成比例以及函數(shù)圖

像上點(diǎn)的特征，列方程求解，再在直角三角形中，用三角函數(shù)定義求解即可；

（3）、分情況討論，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用平行四邊形對角線互相立分得兩條對角線中點(diǎn)

坐標(biāo)相同列出方程組求解即可.

（1）

解：..,直線y=2x+6與x軸交于點(diǎn)4,與y軸交點(diǎn)C,

，令x=0,則產(chǎn)6,

答案第17頁，共55頁

令y=0,則x=-3,

\A(-3,0),C(0,6),

將A、C代入拋物線解析式，得：

j-18-3Z?+c=O

[c=6'

b=Y

c=6

\y=-2x2-4x+6

拋物線解析式為：J=-2X2-4A+6

(2)

由拋物線解析式可知：令尸0

K=-3,X2=-1,

A(-3,0),8(1,0),

作七口八AB、FG八AB分別交AB于”、G,

設(shè)卬,-2/2_々+6)

\OB=\、OA=3,OH=-t、BH=\-t,EH=-2t2-4r+6,

:EF=-BF,FG//EH,

2

BFBGFG2

922

\BG=-(1-0,FG=-FH=-(-2z2-4r+6),

333

12

二.尸橫坐標(biāo)為3+5，，

???尸在直線AC上，

?*204

??FG-1—t

33t

2042,今2，

\x—4—t=—(-2/-4,+6),

333

t2+3r+2=0，

\4=-2月=-1,

A=-2,-2t2-4r+6=6>

q=T，-2t2-47+6=8?

\E,(-2,6),E2(-1,8)

當(dāng)&(一2,6)時(shí)

答案第18頁，共55頁

EH=6,BH=3,

EBNEH'BH?=3百，

EH62石

sin?￡54II=--------------=II

EB3石5

當(dāng)馬(T，8)時(shí)，

同理可得：BE=2后,

EH8_4A/17

sin?EB4

~EB~24n--FT

\sin?E8A還或者sin?EBA.

由題意得拋物線的對稱軸為x=-l,所以E點(diǎn)坐標(biāo)只能是風(fēng)-2,6),

由于N在直線AC上，M在拋物線上，

設(shè)N(n,2〃+6),M(m,-2m2-4〃!+6)

???3(0,1)

當(dāng)M,N,E,8為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，有以下情況:

當(dāng)BE為邊時(shí)，由圖像可得：只能8V是對角線，

由平行四邊形對角線互相平分得兩條對角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同，則有:

n+\_m-2

~T~2

2〃+6+0-2m2-4/w+6+6

.2=2

解律節(jié)更

\N（9+霆「3+呵,"9-普,3屈）

當(dāng)BE為對角線時(shí)，同理可得：

答案第19頁，共55頁

1-2m+n

,2

6i02m24mI6I2?I6*

.-=2

解得：一膽一且,

22

\乂（噌,7+舊）以（產(chǎn),7.折），

綜上所述：N坐標(biāo)為乂（-9+后「3+月）,'（-9-底、-3-J藥），

22

N*善,7+拒）出小平小歷）.

【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)，相似三角形，銳角三角函數(shù)的綜合題，綜合性比

較強(qiáng)，熟練掌握各項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)，并且能夠靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

4.（l）y=-x2+6x-5

⑵①2；②1</<2

【分析】（1）由直線解析式求得瓦。的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式即

可；

（1）

解：???直線y=x-5經(jīng)過點(diǎn)用C

令x=0,則令>=。，貝ijx=5,

???8（0,-5）<（5,0）,

代入y=a?+6x+c,得1j

[25a+30+c=0

解得。=-1,

二拋物線的解析式為了=-丁+6%-5.

（2）

y=-x2+6x-5=-（x-3）'+4,

..。（3,4）,

①當(dāng)f=3時(shí)，一丁+6%一5=3,

解得N=，2々=4,

二.尸。=4一2=2,

???四邊形。尸EQ是菱形，

.1.。,我關(guān)于尸。對稱，

答案第20頁，共55頁

???0(3,4),

/.￡(3,2).

「DE=2,

菱形OPEQ的面積為:OExPQ=gx2x2=2,

②???四邊形DPEQ是菱形,

「?。/關(guān)于也對稱，

???0(3,4),

設(shè)E(O,e),

4+0

當(dāng)E在x軸上時(shí),e=0,t=——-2,

當(dāng)在上時(shí)，4+2

Ey=x-56=3-5=-2,/=(-)=|

2

???當(dāng)點(diǎn)E落在AABC內(nèi)部(不含邊上)時(shí)，f的取值范圍為

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，一次函數(shù)

與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.(l)y=lx2-x-4

(2)2

(3W)或卜二號(hào)或闖

【分析】⑴將4-2,0),仇4,0)代入尸0?+*4,用待定系數(shù)法可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

I2,

y=-Jr-x-4；

)2

(2)在y=一彳一4中，可得qo,-4),由待定系數(shù)法可得直線8C為產(chǎn)尸4,而。是BC中

點(diǎn)，有。(2,-2),過點(diǎn)尸作PQ_Lx軸交8c于點(diǎn)Q,設(shè)一一4|(0＜區(qū)4),貝ij。(1一4),

即得也=/_4_修27—4力，2由二次函

:r+SAW?/?=lp0|xB-.rei=-l(r-2)+2,

ZLA

數(shù)性質(zhì)可得△BZ)P面積的最大值是2；

⑶由y=gX2-x-4得拋物線對稱軸是直線X=L設(shè)N(〃，-+而4(-2,0),

。(2廠2),分三種情況：①當(dāng)MN、A。為對角線時(shí)，MN的中點(diǎn)即是4。中點(diǎn)，有

答案第21頁，共55頁

1+〃=-2+2(、

'12cAC，解得②當(dāng)MA、NO為對角線時(shí)，M4的中點(diǎn)即是NO中

m——n~+2n=0-2I2J

2

1-2=〃+2

點(diǎn)，有〈n12cr，得N一3,彳，③當(dāng)MO、AN為對角線時(shí)，例。的中點(diǎn)即是

m+0=——n~+2n-2\2)

2

產(chǎn)”

AN中點(diǎn)，有012,…解得N5；.

m-2=一一〃z+2〃+0V2)

2

(1)

將4(—2,0),5(4,0)代入y=o?+法一4得：

j4?-2/>-4=0

2,

[16fl+4Z?-4=0*

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為丁=：--“一4；

(2)

解：在丁=3/一工一4中，當(dāng)下0時(shí)，尸4

?.C(0T),

設(shè)直線8C為尸丘4將4(4,0)代入得：

0=4A-4,解得上1,

??.直線BC為y=x~4,

vB(4,0),C(0,-4),。是5C中點(diǎn),

.?。(2,-2),

過點(diǎn)P作PQLt軸交BC于點(diǎn)Q,如圖：

答案第22頁，共55頁

...PQ=.4-(；產(chǎn)一/-4)=一;J+2f,

S?DP=gPQ,I*8_XQ1=3x(-g-+2/)X(4-2)=-+2/=_ga-2)2+2,

??,一!<0,0</<4,

2

??.Z=2時(shí)，有最大值為2；

答：△8DP面積的最大值是2；

(3)

解：由y=；/一］一4得拋物線對稱軸是直線ml,

2

設(shè)/VL,-1W+2J,市A(-2,0),D(2,-2),

①當(dāng)MN、A。為對角線時(shí)，MN的中點(diǎn)即是中點(diǎn),

1+〃=-2+2

解得n=-\,

m——/J+2〃=0—2

2

②當(dāng)MA、NO為對角線時(shí)，M4的中點(diǎn)即是NO中點(diǎn),

1-2=w+2

1,解得〃=-3,

〃7+0=——n~+2n-2

2

③當(dāng)MQ、4V為對角線時(shí)，MO的中點(diǎn)即是AN中點(diǎn),

l+2=w-2

解得〃=5,

m-2=--n2+2n+0

2

綜上所述，N的坐標(biāo)為或（-3；）或（5；1.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積、平行四邊形性質(zhì)等,

解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐的標(biāo)及相關(guān)線段的長度.

答案第23頁，共55頁

(2)最大值為孩，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為。，-3)

(3)(-4,—或(2,2)或(2,-2)

【分析】(1)代入點(diǎn)坐標(biāo)求得6和c的值即可得到答案.

(2)延長P。直線CD于點(diǎn)從數(shù)形結(jié)合找到等腰直角三角形，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而找到

及PG+PQ的最大值.

(3)求得平移后拋物線的解析式，設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，進(jìn)而通過菱形的性質(zhì)分類討論即可得到

答案.

(1)

解：：拋物線y=V+法+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,O)和點(diǎn)嗚,0)

3

\-b+c=Ob=

2

255,八解得，

一+—b+c=O5

42c=

2

???拋物線的解析式為y=x2-1x-|

⑵

解：如圖，延長PQ直線CZ)于點(diǎn)”

??,直線y=x+g坐標(biāo)軸交于E、F兩點(diǎn)

.”卜別,尸㈣)

???△E0/是等腰直角三角形

?：PG±CD,PQ//y^

???△PG”是等腰直角三角形

答案第24頁，共55頁

:.PH=&PG

設(shè)P(w,w2——in——'),則—)

222

22

42PG+PQ=PH+PQ=-2m+ziw+y=-2(w-l)+y

???當(dāng)加=1時(shí)，及PG+尸。有最大值，最大值為此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為。，-3)

(3)

)49

解：平移后拋物線的解析式為：y=(^-4)-77

1O

設(shè)M(4,w),4(-1,0),P(l,-3)

222

AM4=n+25,A/P2=(H+3)2+9,AP=\3

當(dāng)M4?=M產(chǎn)時(shí)，解得〃=[,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得乂14,一葡

當(dāng)M42=A尸時(shí)，無解

當(dāng)叱=4尸時(shí)，解得〃=-1或一5,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M(2,2)或％3(2,-2)

綜上所述滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-4,一卷)或(2,2)或(2,-2).

【點(diǎn)評】本題為函數(shù)與幾何圖形的綜合，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形與菱形,

懂得數(shù)形結(jié)合地依題意分析是解題的關(guān)鍵.

7.⑴①x=l；②拋物線的表達(dá)式為尸-尸2+"+4；

(2)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G(-|，金、黑)、，墨)

【分析】(1)①根據(jù)對稱軸公式求解即可得出答案，②設(shè)8(機(jī)0),由^f"=沿=2，

__4

求得8(3,0),由拋物線產(chǎn)蘇-24工+。3<0)過C(0,4),B(3,0),解得"3,從而求得拋

c=4

物線的表達(dá)式；

4R

(2)設(shè)N(x',y')直線)言=丘+力，由拋物線的表達(dá)式為丁=-§/+§彳+4,設(shè)。(%，

一鼻/2+工不+4),由=履+b過C(0,4),B(3,0)得丁依=一11+4，由QV+N8取得

?3o<5

785717

最大值，求得Q((，個(gè))，N((,；),進(jìn)而分三種情況討論求解G的坐標(biāo).

o16oO

答案第25頁，共55頁

(1)

解：①,拋物線產(chǎn)a?-2at+c*(a<0),

二對稱軸為4=-卓=1,

2a

故答案為x=l；

圖1

..S-VCM_1-°_2.

S&PBMm一12'

?*-w=3,

-B(3,0),

,/拋物線產(chǎn)加-2"+。(〃<0)過C(0,4),B(3,0),

?IL」

\9a-6a+c=0

4

解得…3，

c=4

/IQ

???拋物線的表達(dá)式為y=亨+*

(2)

解：如圖2,

答案第26頁，共55頁

4?

由拋物線的表達(dá)式為y=-§f+]x+4,設(shè)。（兒,

428)、

+g'°+4)'

??c=H+b過C(0,4),B(3,0),

b=43L

弘+…解得3,BC->/32+4"=5f

b=4

4彳

加=_可1+4，

*5

),

2

+f—^4x0+^x0+4_g'°+4)+(3-Xo)x|5

H3

47丫289

題一百十而'

3

w7248,854,17

當(dāng)天=不時(shí)'一§"。2+g/+4=五'-3^+4=7

G（

,*?rfi），N《，7），

①以Q、N、B、G為頂點(diǎn)的平行四邊形以QN為對角線時(shí),

43二+工，.0=*

88?166

解得T，t

5391

Gj5'三

答案第27頁，共55頁

②以。、N、B、G為頂點(diǎn)的平行四邊形以N8為對角線時(shí),

X，+2=3+Ly遭T+。

88166

1IQ

解得n3,/=--

G.由,,筆,

③以。、N、B、G為頂點(diǎn)的平行四邊形以。8為對角線時(shí),

x，+4+3,"幺%+。

88,616

解得，=3,y-,

??《唱

綜上所述點(diǎn)G的坐標(biāo)為@宿，翳）、&（3,-黑｝G3（3,*）.

【點(diǎn)評】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及平行四邊形

與二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用是本題的解題關(guān)鍵.

8.（\）y=-x2+2x+3,。的坐標(biāo)是（1,4）；

⑵點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（L2）或（1,5）；

⑶點(diǎn)”的坐標(biāo)是（4,-5）,（-2,-5）或（2,3）

【分析】（1）將4（TQ）和C（0,3）代入丁=-/+加+c,即可求出b和。的值，即得出拋物

線解析式，再改為頂點(diǎn)式即可知頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)題意可知點(diǎn)E的坐標(biāo)是（-1,4）.設(shè)點(diǎn)廠的坐標(biāo)是（1,m）,過點(diǎn)尸作直線/_L.v軸.

過點(diǎn)石作KW_L直線/于點(diǎn)M,過點(diǎn)G作GN1直線/于點(diǎn)M即易證AEEMg&FGN（AAS）,

得出NG=MF=2,NF=EM=m-4,從而可得點(diǎn)G的坐標(biāo)是（〃?-3，〃-2）.將點(diǎn)G坐標(biāo)

代入），=-/+2%+3,解出機(jī)即可得出點(diǎn)尸坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意可求出8（3,0）.設(shè)尸（1,8分類討論①當(dāng)OB與O尸為鄰邊時(shí)，②當(dāng)08與

?！睘猷忂厱r(shí)和③當(dāng)。8為對角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可用i表示出”點(diǎn)的坐標(biāo)，

代入），=_/+2/+3,求出，即得出答案.

（D

/\\■>f0=-1—b+c

將A（-L0）和C（0,3）代入丁=--+歷;+c,得｛,

3=c

答案第28頁，共55頁

，拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4.

，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)是。，4)；

(2)

?.?點(diǎn)0(1,4)關(guān)于)，軸的對稱點(diǎn)是點(diǎn)E,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)是(-1,4).

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(1，加)，

如圖，過點(diǎn)產(chǎn)作