22立體幾何求角度、距離類型

目錄

一、熱點題型歸納............................................................................?

【題型一】求異面直線所成的角...........................................................1

【題型二】求直線和平面所成角..........................................................5

【題型三】求二面角的平面角............................................................9

【題型四】翻折中的角度................................................................13

【理型五】三種角度之間的相互關系......................................................18

【題型六】三種角度比大小.............................................................22

［題型八］壓軸小題中的角度題型........................................................31

【典型九】距離........................................................................39

二、最新?？碱}組練.........................................................................43

【題型一】求異面直線所成的角

【典例分析】

如圖，已知九。分別是正四面體ABC力的Ml面ABC與側面上動點（不包含側面邊界），則異面直線CP,

8Q所成角不可能的是

A.45°B.65°C.75°D.90°

【答案】A

【分析】我3。的中點N,根據(jù)線面垂直判定定理可爆謝&麗4的；進?步可得CM1.平面業(yè)然后讓

算直線CD與平面9所成角,最后進行判斷即可.

【詳解】另設正四面體的邊長為2,取8。的中點N.連接AMCN,并作CMJ.AN.連接DW

如圖BD在該正四面體中，^AB=AD.BC=CD

所以BD_CN,BDLAN.CNcAN=N.CN,AA，u平面八CN

所以NO一平面ACN,乂CMu平面ACN

所以8QJ.GM.由8Oc/W=N,BIX/Wu平面AW）

所以CMJL平面ABA則CDij平面XBD所成的角為，CDM

又CN=AN=2xsin60=yfi.'，JcosZ.ACN="+一°--_且

2CNAC3

所以sinZ4GV=冬則:ANCM=；CN?ACsinZACN=>GW=半

所以sinNCDW=空=在〉也，所以NCOM>45所以若點尸為點。.CP，平面八H）所成的用孌大丁45

CD32

則當。在平面48內運動時，CP■8。所成角要大J-45

所以尸.。在側面他C與側面ASD運動,CP與伙2所成用要，門：45故送：\

【提分秘籍】

基本規(guī)律

異面直線求解：

<1）平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角：

（2）證明作出的角就是所求異面直線所成的角（小即可踢越這一步）；

<3）求該角的值,常利用正余弦定理解三角形求得：

<4）取含：由異面直線所成的角的取值范鬧是?費,當所作的角為鈍角時,應取它的補角作為兩條異面

直線所成的角.

<5）也可以建系求：異面直線夾角（平移角，也是銳角和直角9w（0.、］）

co*H85的|=7lxN+一>廣三I_r

、Jxj+yj+zjJxJ+yJ+zJ

【變式演練】

1.從正方體八個頂點的兩兩連線中任取兩條直線。，b,且“，〃是異面直線，則4,〃所成角的余弦值的所

有可能取值構成的集合是（）

A.和冬與卜口.格受H}

。卜黑書，“恰冬外

【答案】D

【分析】

利用異面直線的定義，從正方體的八個頂點兩兩連線中任取兩條異面直線,可以分類討論其夾角可能取值，

進而得解

【詳解】

利用片面直線的夾角范圍為（0,藍，故其余弦值范國為［0.1），可以分為以卜兒類：

兩條梭所在11或兄面時，所成角的度數(shù)嗚，其余弦值為0；

面對角線3樓所在直線異血時，所成角的度數(shù)是工或g.1!余弦值為五或0：

422

兩條面對角線異面時，所成角的度數(shù)是?或］，其氽弦值為g或0：

體對角紋與梭所在直線異而時,所成角的余弦值為,：

體對角線與面對角線異面時，所成角的度數(shù)是:，其余弦值為0；

所以從正方體八個頂點的兩兩連線中任取兩條直線a,b,且小力是異面直線，則&，，所成憑的余弦值的

所有可能取值構成的集合是°；卓畀故選：D

2.如圖，已知正三校錐人-8。＞,BC=CD=BD=^3,AR=AC=AD=s/2,點〃，。分別校8C,CD±

（不包含端點），則直線，鏟，。。所成的角的取值范圍是.

化簡得』+("1尸=4.即點M的軌跡是以(0,-1,0)為圓心，以2為半徑的網(wǎng)在正方形48Q中的部分:

過M作MN±AB垂足為N,連接PM,PN,MNHAD

MN

則直線PM與4D所成角的平面角為NPMN,則cos/PMN=j)

根據(jù)點M的軌跡是以(6-1,0)為圓心，以2為半徑的圓，在正方舊ABC/)中的部分，

則點M軌跡與正方形A8CQ的A。邊交J??點(010),記為M

與正方形A8CD的八8邊交J一點(6。，0),記為-W,

當點M從運動到位置時.，WV逐漸減小，P/逐漸增大.購cos/PMN=^?的取位逐漸減小.

計算cosZPM、N=''A'=—^==.cos乙PM[N=:=0

,PMVioioPM：

則白線PM與AD所成角的余弦位的取心iiilM，工k雪,故選：。

【題型二】求直線和平面所成角

【典例分析】

如國，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AB/>,CD,AD=CD=,AB=VlO,PA=76,DA±AB,

點Q在PB上，且滿足PQ：QB=1：3,求直線CQ與平面PAC所成角的正弦值.

【答案】?

26

【分析】根據(jù)線段比例關系及勾股定理.可分別求出CM、CQ的長度，再由等體積法求得點Q到平面PAC

的距離，進而求得直線CQ與平面PAC夾角的正弦板.

【詳解】作CNJ_AB交AB于N.QMLAB交AB于M,連接CM：QGJ_平面PAC于G,連接GC

因為PQ：QB=1：3,Z\D^CD=—.AB—而.PA=",所以AM=MN=L\B=?，QM=-PA=—

24444

所以CM=JcM+A4V=J（萼）+（乎）=￥所以CQ=JCW2+MQ2=

設Q到平面PAC的距面為h.CQ與平面PAC的夾笛為a則由%㈤c=%.“v可得

-xSPACxh=-xStwxCN,g|jlxlxV5x>/6xft=-x-!-x>/6x^!5^W/<=^

333?^7?7

所以CQ1j平面PAC的夾角的正弦值為sina

【提分秘籍】

基本規(guī)律

求宜錢與平面所成的角的一般步驟：

（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可

確定線面角：

（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度力，從而不必作出線面角，則線面

.?h

cSin〃=一

角〃滿足/（/為斜線段長），進而可求得線面角：

（3）通過建系，利用坐標系向量求解?直線與平面所成的角（射影角，也是夾角，,I。言）,nwr是平面法向量

sin^cosG機了區(qū)X"嚀+QI

、/Jx「+y：+zjJ<+），J+zJ

【變式演練】

1.如圖，已知A/?,C7）分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且A5_LCD,若該圓柱的側面積是其上底面面積的

26倍，則A"與平面8。所成的角為（）

【答案】C

【分析】設E產(chǎn)為圓柱J底面內與CD垂直的直徑，由對稱性和線面角的定義可確定NA8”為比求角?由例

面積和底向面積可得到BF=&HF.由此可求得結梁.

【詳解】

如圖，設阱為圓柱下底而內垂直的直徑，記EFcCO=〃.連接AH.BH.

由時稱性可知：AHLCD.BH1CLXAHcBH=H.\CD^'FffilABH.

設人”1.郎九垂足為用.則。。，4卜，。。門"〃=",二八,"_1平面88,

???直線AB在平面8C。內的射影為8H..-.ZABH,AAB3平面8c0所成的角.

\-2^HFHF=2A/IF2.:.BF=y/3HF,：.Z.ARH=ZBHF=^.

，A8與平血BCD所成的角為?.故選：C.

2.設正方體八BCD-A4G。梭長為1,平面a經(jīng)過頂點A,且與梭A艮AD/IA所在直線所成的角都相等,

則滿足條件的平面a共有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

由正方體的性極.分A?氏。在同側、不同側兩種情況畫出滿足題設的平面.即可知平面a的個數(shù).

【詳解】

1當平面a〃面4雙）且過八點時，滿足的設；2、由正方體的性質,面同陰、面ABQ,、面都滿足

題設：，共有4個平面..故選：D

3.如圖，在四面體必4AC中，己知E4J■平面W?C,與平面AAC所成的角為45。，。是。C上一動點,

設直線VD與平面八8c所成的角為0,則（）

A.B.@300C.如45。D.片5°

【答案】C

【分析】作\W_L底面48C于點N.⑺_L8C??分析得夕=NWW,結合三角函數(shù)分析。N變化對。影

響即可求解.

【詳解】如圖，作V5VJ■底面A6CF點N,加_LBC于ZX,由幾句關系可得,

t<V

0=ZVDN,sin0=^,w固定時，VW也固定，ZDM小時應為⑺_LBC時，此時。2〃乂因為

%_1_平面丫8（7,所以%_LBC.所以3C_L平面必R,易知AM。三點共線,因為不與平面ABC所成的

角為45°,故ZV<W=45。.儂_1_平面VBC,所以依，9,所以8=90°-45°=45°,此時sin。最大，9最L，

故0W45。.故選：C

【題型三】求二面角的平面角

【典例分析】

已知四面體43C。的每個頂點都在球（X。為球心）的球面上，一A8C為等邊三角形，八8=切）=2,其。=應，

且AC_LBO,則二面角A-CD-O的正切值為（）

A.AB.誣C.更D.叵

3636

【答案】A

【分析】

E為AC中點,BEDE,利用/面垂直的判定、々及面面垂直判定可鈾打ADCL"次」

會已知條件有△ADC為等腰直角三角形，進而可確定四面體外接球球心的位置，若F為DC中也,連接

EF.OF.易知NEFO即為二面角人-CQ-0的平面角,即可求其正切在

【詳解】

若E為AC中點，連接8￡?！?由..A8c為等邊三角形.BELAC，又AC1和,[1BE^BD=B.

B

：.AC±III）BDE.又DEu面BDE，即

由牌設，BE=BAE=DE=CE=1.而8Q=2.

???DE2+?E:=RD21即?乂ACcBE=E，ACBEu面ABC，

，DE1IlliABC,ifljO￡u而ADC.則面40cl面ABC.

由上可得DC=上，則/JC?+A/）?=AC?,故△ADC為等腰直角三角形，

綜匕四面體ABCD的球心。為△ABC的中心,即BE靠近E的：等分點,

若F為OC中點，連接EE。尸.易知：NEFO即為二面角人-C/）-0的平面角，

由1：8￡_LAC'、DELBE\\.AC\DE=E,40。人匚面人/）。，可用麻_1面4乂，

又打、u血A。。則3EJ.EF,即O￡_L￡F.

tanZEFO—,而0E=^^~=^~、EF=4~，；?tan*F0=^■.故選:A.

tr3323

【提分秘籍】

基本規(guī)律

求二面角所成的角的方法：

1.直接法（幾何法）：作出二面角的平面角

<1）定義法：直接選棱上一點，在倆半平面內做棱的垂線.

<2）垂面法：尋找一個半平面的垂面，然后與另一半平面有交線，在交線上選擇合適的點，在垂面內做垂

線，再永定依法，如果垂面和棱垂直，那么就直接出平面角。

<3）2.向量法：二面角（法向量的方向角，，9引0與）〃是平面法向量

Icos0曰cos（m.?）|=叫…產(chǎn),_r。

、/Jxj+y「+z；J/+），J+zj

其中銳鈍判斷法。：

<1.）觀察法：

<2）同進同出互補，一進一出相等；

【變式演練】

1.設是平面a內所成角為?的兩條宜錢，過6，4分別作平面夕，7,且銳二面角〃-///，的大小為

64

銳二面角a-〃-y的大小為：，則平面〃，7所成的銳二面角的平面角的余弦值可能是（）

11

、Gn&rn

A.l>.—L.-I）.—

6843

【答案】B

【分析】

出出題意作出圖形，由題過點P向平面。作垂線,找到銳:面角aT-慮D，設8=1,利用邊角

關系計算各個邊長，計算點c到M的距離以及點C到平面/的電離，從而可得到所求的二面角.

【詳解】

如圖,平面a為平面ABC直線4為直線AB,直線4為直線AC.由題意得NAMC=J.

過4作平面用為平面ABP,過4作平面y為平面ACP過點P向平面a作垂線,垂足為O.

再由點0作031AB.OC_LAC,連接PB.PC.銳二血前aT-〃的大小為；.

即NP80=：,同理可知N?C0=q,設CO=I,則P0=B0=Jj，PC=2,。8=石，在加形△/）川■'中，

ZBDO=j.D/?=l,00=2,所以AC=36，AZ）=6，AB=5PA=而,過點C作CM_LAP,所以高線

CA1/—，

回

AB1OB.AB1PO.可得AB1面P08ABu面/M8.面PA8_L面尸O/L面尸八8面POB=/W.過點O作

O，lP/3MOH_LjEiPA5.

可得。到面由B的距離0，=4=當,故可知C到面碗的距底為4=,4=乎，記平面夕.7所成的

2.過正方形人水7)的頂點A作線段PA_L平面A8C。，若AB=Q4,則平面八切與平面所成的銳二面角

的余弦值為()

A1R應(、也\、0

A?15?V?iJ?

3223

【答案】B

【分析】

以A為原點，A8為工軸，AD為y軸，的為z軸，建立空間直角坐轅系,利用向量法熊求出平面4m與平

面CDP吁成的銳.面角的余弦值.

【詳解】

解：設AP=AB=|.

以A為原點，A8為X軸，八。為)'軸，八"為工釉，建立空間直角坐標系，

P(0.0.1),W),1.0),C(1,1.0),

PC-(1.1,-1),PD=(0.I.-1).

設平面PCD的法向=z).

則1然"卜丁).取尸L得”』。一，.),

[mPD=y-z=0

平面4?2的法向吊"=(0,I,0),

,「面/WPLj：面CDP所成的稅二面介.〃

則2案卜晟與

3.如圖，在長方體A4G生G4中，A4=244=24G,A,R,C分別是A4,B、B,,GG的中

點，記直線4c與八。所成的角為a,平面48C"與平面A8C。所成二面角為0,則()

B.sina=sin"

C?cosa>cc?sr/7D.sina<sin/?

【答案】B

【分析】

根據(jù)奸成角定義可知4世即為明由正三角形如Q=&%可證他,8。分別為平口"/。2和

TliiASCQ的融戈.視作平面法向此利用其夾角可得二面角凡即可求解.

【詳解】

連接A8,再A，如圖,荏長方體內知他〃馬C,

所以N8J0為異ifii直線acIjA"所成的角為a,易知-AM。為等邊?.角形，所以a=60',

因為A,D:1平面ABB2A2,AB,u平面ABB2A,,所以A2D2±AB:

又人與J.4/./tD,I&8=所以八再±平面&8C4，同理可得8c，平面A8C'a,

則A2,烏上可分別視為平面A/C&,平面A8CQ的一個法向此

又因為在長。體內易知A。//即工而/QA&=6（尸故疝,與質的夾角為60,

所以夕=60或夕=120",[l|Jsin?=sin/?,故選：B

【題型囚】翻折中的角度

【典例分析】

如圖，矩形AHCD中，八8=6BC，瑛=當=：,"cBQ=O.將梯形4DE/沿著E/翻折成密形A'IyEF,

DEnr2

則A'C與平面3ax所成角可以是()

【答案】B

【分析】

由T面幾何知識證得bJ■皿.。是它們的中點,從而可證明平面E7WOJ.丫?面050'.過4作A7_L0D

iI.過d稚CCOB于G,可證得ac交/G于JBP為Arc與平面owr的交點,并得出〃即為直線A'C

與平面08。所成的用，然后“算求得此角正切的范圍，從而可得正確選項.

【詳解】

設》C=1,HP/1D=I.AF=-AH=—,RF=^-.

333

。尸=JA》+AP、=手=8F.

由BF=DE.BF"DE可得！DOE旦BOF,所以HO=DO,FO=EO.

所以產(chǎn)0_W).即￡F_L8D，

折疊后，EFLtiO.EFl.iyO,又B()CUO=O、平面08。'.

所以"■一平面08。'.￡Fu平面砧47。所以平面K/WO1乎面08〃.

過A'作A7_Larb/,過C作CGJLOB于G,原平面圖形中^^所〃8,折疊后仍然保持平行,所以

A7.CG片面.八7_L平面08。'.

設A'C交/G于J,

4'C與平面0E。'的交點即為J,ZAJ1即為與線A'C與平面OWX所成的角,

由A7，平面。8。'.〃<=平面。以九得A7_L〃.

旦

在原平面圖形中易得4/=正，＜?7=1A'l

所以laii乙=

22O/sinZ/OJsin￡!OJ

-sinZ/OJ

2

超然sinN7Q/e(0.l),所以tanNA〃6(石.內),即60°<ZA'.〃<90°.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

.翻折題型要尋找“變化”中的“不變”

【變式演練】

1.如圖，矩形48c。中，已知人8=2,BC=4,￡為人。的中點.將沿著8E向上翻折至...A8E，

記銳二面角A'-3E-C的平面角為LN8與平面BC0E所成的角為6,則下列結論不可能成立的是（）

【答案】D

【分析】

先取8cg點為F,判斷四邊形越正定正方形，再作F于”，證明a=NA'OF,0=MBH、分

別再“角二角杉山計算sina和6in齊，比校即判斷A正確；將選項A的結論平方，結合一?信角公式和余法

函數(shù)的單調性，即判斷C正確:計算cosacos/j即判斷B可能成立:判斷#＜二,結合a＜2被，即褥a-〃＜工

44

判斷D錯誤.

【詳解】

記8C中點為產(chǎn)，連接段■連接AFJBE交于點。，依題愚如四邊形ABFE是正方出.

4?！繠E.OF±BE,故銳二面角A-3E-C的平面角為a=ZA'OF.

3E1平面AOF,過H作A'〃_LO尸于〃，則BEJ.A0,

IfuHE.OF用交1平面BCDE內.

故A'HiTlfilBCDE,故連接BF.則A'B1勺平面BCDE所成的角為夕=^A'BH

記A'H=w,因為由“TO"中，sina=g^=與，

CJAV2

Rf.A'"11尸=專，=2所以sina=sin，①.選?1貞A成立;

將①平方得：sin:a=2sin'Z7.所以I-cos'a=20-cos/).cos:a=2cos2/7-l=cos2/7.

易見a.0都是銳角，Wlcos2a<cosa-Acos2^<cosa,而Ov24a〈尸，

根據(jù)余弦函數(shù)的單調性可知,a<2/?.選項C成立;

OH

因為cosa=cosp-,若使&cosa=cos,則謫20H=BH.

即當/（?〃〃==,可以成立,即B可能成立：

6

另外，由a,4都是銳角，目.&sin#=sina〈l知，sin/?<—.知

24

由選項C知a<2夕..?.a-/?<26-^=6<：,選項D錯誤.

故選：D.

2.已知，4fC,Zfi=ZC=3（r,。是BC的中點，將△45。沿八/）翻折，得到V人身力，設*人與平面ADC

所成的角為4，8'C與平面A0C所成的角為8。與平面ADC所成的角為則（）

A.B.qs2qc.0x<.20iD.國之

【答案】C

【分析】

依題意畫出草圖.■亂作收，6交CD的方長線于點E,連接4E,可證BEJJSXDC,即可得到

O,=NB，AE.〃？=N8'CQ,O—BDE,由VO=DC.得到4=2%,再利用銳用三角函數(shù)得到4<%,

即可得解；

【詳解】

解：（￡t.AHC,Zfi=ZC=30°,。是BC的中點，M以AD_LDC,ADLBI^乂獷。nDC=。，/〃）,〃（＜=

面8DC.所以面B'QC

過用作8￡_LC￡）交CD的延長線于點E，連接AE.因為AOL向BDC，面方DC，所以八DJ./J7T.

ADnCE=D.AD.CEu面ADC,所以g￡_L面ADC,[A|為RA'；Tn'：lADC所成的角為四,所以4=^B'AE,

&C與平面4DC所成的角為也，所以%=N8'C。，與平面AOC所成的角為伉，所以4=N8'OE

因為B7)=DC,所以N8OE=2N?C￡),即g=2%：

A'K*R'F

又sinq=sinN8'A￡=^,sin。,=sinN8'O￡=牛，因為*八>*。，所以sin4<sin"「即q<〃尸所

"ADIJ

q<6j=孫,即4<2%，當4="=氏=0時，442/

故選：C

3.如圖，矩形A3CQ中，已知相=2.8C=4.￡為，C的中點.將八4%沿著人￡向上翻折至二血4￡得到四棱

^M-AECD.平面八KW與平面AECD所成銳二面角為a,直線.ME與平面AECO所成角為￡,則下列說

法錯誤的是（）

A.若r為A。中點，則△ABE無論翻折到哪個位置都有平面心平面W8”

B.若Q為MD中點,則“3?無論翻折到哪個位置都有C?！ㄆ矫鍭BW

C.應sira=sin"

D.存在某一翻折位置，使、/5cosa=cos。

【答案】C

【分析】

對于A：根據(jù)線面垂直的判定和面面垂直的判定可判斷；

時JB：.僅4W中點P.根據(jù).角形的中位線的性質可證得四邊形『ECQ是平行四邊形,再由戰(zhàn)面平行的

判定可判斷：

對iC：過Af作MO?L平面AECD，則。/「B尸上，所以平面ABW叮平面AECD所成銳.面角為/必/8（或

其補角，根據(jù)面面角和線面角的定義可判斷：

對于D：根據(jù)面面角和線面角的定義可判斷.

【詳解】

若F為AD中點,連接8F交AE「點H,則AEL面W8/，乂A￡u面M4E.所以平面AEMJ/平面，

故A正破：

取AW中點P，則PQ〃：八0.PQ=^AD.XCEh^AD.CE=^AD./.PQHCE.PQHCE.

所以四邊形PECQM平行四邊形，，CQ//EP,乂CQ<Z平面人EM,/*u平面八EW,所以C?！ㄆ矫姘?/,

故B正確；

過,W作做）_L平面AR7）.則。在8F上，所以平ifllAEW9平面八成?。所成銳.面角為NMHB或其補角）.

■,?sma=—.sin/?=—=丁“J.sina=-J2sinfl,故C錯誤；

OHOEOF

若0cos“=cos廣，又8?。=不，以>84=赤=-^7，則OE=2QH,故D正確.

ivinM匕->J2Mn

故選：c.

【題型五】三種角度之間的相互關系

【曲例分析】

過正方體A3CD-A4GD棱力"的中點與直線3R所成角為40。，且與平面ACGA所成角為$0。的直線條

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.無數(shù)

【答案】B

【分析】

取DD,的中點匕AG的中點為。1.AC的中點為O2.002的中點為。.連結”和PO?.則OP_L平面AC。A,.

72

鶴"BP，在平ISACGA內，以點。為圓心,丫價為二~畫圓.進一步得出結論.

tan50

【詳解】

設正方體邊長為I,取叫的中點P，AG的中點為G、AC的中點為的中點為。.連結QP和尸火則

。戶_1_平面ACGA,PO.//RD,.

&

在平?面八CGA內，以點。為閥心，半徑為工畫圓,

（an50

則點"與比圓上的點的連線滿足：過DD,的中點pI平面ACC6所成的角為50。

上點為。。2與圓。的交點,

ZOPE=50°.ZO.PF.=/O.PO^ZOPE>500

所以滿足與PQ所成用為40。的H線PQ仃11只/2先

故選:B.

【變式演練】

1.如圖，二面角-6的大小是60。，線段/Wua.Bal,人8與/所成的角為乂尸.交戰(zhàn)人？與平面6所

成的角的正弦值是（）

A.&B.且C.立D.它

4322

【答案】A

t分析】

過點A作平面少的垂線，垂足為C,在夕內過C作/的垂線.垂足為。連接AD,由三垂線定珅“J為AO_L/,

故NADC為二面角。一/一尸的平面角為60°,在-4Q即可得到答案:

【詳解】

解：過點A作平面/的垂線.垂足為C.在。內過C作/的垂線.垂足為。連接AO.

由口垂線定理可知ADJJ,故NADC為；面角a-一夕的平面角為60°

又由已知，NA8Q=300

連接CB.MIJN48O為AB與平面〃所成的角?

-An

i殳八。=2，則AC=G，CD=\,.4fi=--=4

sin300

.?■直線八8與平面。所成的角的正弦值sinZABC=9=立.

AB4

故選：A.

2.已知正方體和空間任意直線/,若宜線/與直線4月所成的角為，，與直線a；所成的角為

心,與平面A3C。所成的角為4,與平面ACCA所成的角為自，則（）

A.a,+C2=yB.+

C.Be4吟D.4+代吟

【答案】B

【分析】

若〃/平ffiiABO可得可排除CD；當直線〃/BC時，可得3%=不，排除A

【詳解】

齊〃/平面A5CD，則用=0,此時網(wǎng)“J以是的任意值，此時自+AM,故CD錯誤：

當直線〃/8c時，?.8CJ.八及/?C_LCC，此時區(qū)+6="，故A錯誤.

故選：B.

3.已知平面a內的/APA=60,射線PC與PAPB所成的角均為135%則PC與平面a所成的角。的余弦值

是（）

A.-四B.啦C.且D.-亙

3333

【答案】B

【分析】

作出圖形，如圖，通過分析,可得NCPD為PC與平面々所成的角的補角.利用公弦定理可以計算.

【詳解】

作出如下圖形，令PA=/有=/>C=2,則？CM?CPU135.:.AC=BC.

c

取AB中點D.連接PD.則ZCPD即為PC與平面a所成的角的補角,在AAPC中,

AC'=PA2+PC2-2PA^Ccos135=8+4近，??在dCD中,CD'=AC2-AD'=7+4>/2.

?.PD=&\cos?CPDPO-m=.旦...PC與平面〃所成的角。的余弦值是直.

2POPD33

故選：B.

【題型六】三種角度比大小

【典例分析】

如圖，在三極錐A-8C。中，AB1HC,HC1CD,E,F分別為8C,AO的中點，記平面八HC與平面

所成的角為4,直線AC,E/與平面BCD所成的角分別為/，若AB>BC>CD,則()

A.a>a,，<24B.。、>國,4>物c.4<&,&<2〃D.a〈a,?>24

【答案】A

【分析】將三棱錐4一及D置于“三極柱AW-GCO中，不妨設NAJSM為銳角，P,Q分別為AG,DM

的中點，k為線段8W卜.?點,11AHJ."〃.連接PE.EQ,PQ,CH,然后可得乙IB""-ZACH=0」

/F￡0=&,利用sinq=空，sin",=槳可比較出％冬的大小，由&也=S-四可得

ABAC

sin，PEF<sinZ.QEF,然元可得用V2a.

【詳解】

如圖所示，將三棱饞A-8c。設于百三楨FlA8W-GC。中，

不妨設48M為銳角,P，。分別為AG.CW的口點,，為線段BW上一點,且

連接PE.EQ.PQ.CH,由直三棱柱的幾何性質易知，產(chǎn)為。。的中點，

乙ABH=9rNAC，=4,NFEQ=4,則sin?=必，如［4=組

ABAC

5CAB<AC,故$inO,>sin&,0,>O2Z

易知名M7=S“的,則"EsinNPEF=QEsin4QEF,又〃E=A8>8=QE.所以sinNPEF<sin乙QEF,

故ZPEFv￡QEF=>2*>NPEQ=4BH=0{.

【變式演練】

1.如圖，在等邊三角形骨次?中，分別是線段MAC上異于端點的動點，且BD=CE,現(xiàn)將三角形ADE

沿直線OF折起，使平面平面BCE。，當。從8滑動到A的過程中，則下列選項中錯誤的是（）

A.4娘》的大小不會發(fā)生變化B.二面角月-8。-（？的平面角的大小不會發(fā)生變化

C.8。與平面A8C所成的角變大D.A8與DE所成的角光變小后變大

【答案】C

【分析】

過直A作4G_LBC,交￡陀于點H,交BC丁點G，連接切九可證明在三角形ADE沿直線?！暾燮鸬倪^程

中.AHL平面8CED,然后用*的值分別將各個選項中的角的相應?.角函數(shù)表示出來，然后判」折可得答案.

【詳解】

段等邊.角形A8c的邊長為I./ID=X（O<A<1）.K>J?D=l-A

d中，由BD=CE.Ill]DEUBC

過點A作AGJ.8C.交DE于點〃，交8C于點G,連接3〃.K'JAH1DE

86=*,/4?！?/八86=60。,所以八〃=*8，〃G=^-§x=W(l-x)

企.用舊人QE汨“線OE折起的過程中，AH1DE-M7_L5C始終滿足.

由平面4AEJ.平面BCEO.平面人m？r\^\BCED=DE.所以4〃J.'I'而8(?￡。

山6〃u平面HCEDMAH1BH

在.qBHG"】,UH=J-+-(l-x)2.

v44

所以A8=〃山+麗=/-^:+-!■+-(1-X)2=J-A---A+1

V444Y22

所以cosNA。".八萬T-AB，

2xADxBD2x(l-.v)4

所以4ZM?太小不變，故選項A正確.

過，作交8。f。點，由。，=],則0〃

由A"_1_平面8。￡。.乂B￡)u平面8c￡。,則A//J.BD

11\AHry0H=H，所以BD1F面AOH,

所以NAM為:面角A-BD-C的平面角

在直角△AOH中,lan乙40"=器=J=6

A

所以5c一,「面AG”,乂AGuT面AG〃,所以5CJ.AG\\\AH1.TifiiBCED.由"Gu下面6CED,則

AH1HG,所以AG=jA/〃+G〃2=，日./+3(|?1?SBCxAG設點。到平面人BC的距離為d.

Y442

由等體枳法可得匕一E=%一由■.即gxSBExA，=；xS*「xd

所以在這一過程中，sin。變小，則角0變小，故選項C不正確.

IIIDE/i質',則ZABC(或其補用)為AB勺DE所成的角.

由上可知：BC1AG,則tanNABC=空=2AG=、/「+(1-2x+1

BG

函數(shù).丫=獷-法+1(0<工<1)的對稱軸為*=；

當0<K<；時,函數(shù)y=2x2-2v+l(0<x<l)單調遞減.

當;<XVI時，函數(shù))，=Zr2-2.r+1(0<x<1)單調遞增.

所以%X從1變到y(tǒng)的過程中，tanNA3C變小，當x從g變到0的過程中，lan乙餡C空大，

所以選項D正確.故選：C

2.如圖，在三棱錐「一八8C中，AB1AC,AB=/V>,。是棱8c上一點（不含端點）且記N/M8

為a,直級A8與平面PAC所成角為A，直線總與平面ABC所成角為了,則（）

A.yS6，ySaB.p^a,p<.YC.D.ot<,0,y<,p

【答案】A

【分析】

\\\AB^AP.PD=HD.可得△A8Q名△APO，從而得N￡）AB=NDAP=a,而直線R4與平|iiA8C所成

角為九書坡小角定理可得7Sa,再由匕S詠.4S"”,進而可比較鳳7的大小

解：因為A8=/t〃，PD=BD，所以AABD絲AAPD,所以/DA8=NDAP=a，因為有線總t。I；面A3C

所成角為尸.

所以由另小角定理可得y?a，因為A314C,所以S,,*=gA8AC,

因為SPAC=^ACAPsinZPAC,AB=AP?所以4sAlt，

令點P到平面ABC的距離為4，點8到平面E4C的距離為4,因為匕1一樹=匕田°,

V…=殳皿所以44出，

因為直線與平面PAC所成角為￡,I工我始與平面A5C所成角為，,所以sinQ=N.siny=L

ABPA

因為AB=AP，所以sin6Nsiny因為Aye（0.gj所以故選：A

3.已知三極維D-ABC.記二面角C-AB-D的平面角是。，直線DA與平面ABC所成的角是&，直線ZM與

3c所成的角是4,則（）

A.0之。、B.o<.o,c.ote,I）.o<.o,

【答案】A

【分析】

設三梭錐D-ABC是桂長為2的正四面體，取AB中點E,DC中點M,AC中點M,連結DE、CE、MN、EN,

過。作七OJ.CE.交CE干6連結AO則NDEC=6.^DAO=0t.NMN￡=/.排除從C