第三節(jié)一、三重積分的概念

二、三重積分的計算機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三重積分第九章2/2/2025重積分一、三重積分的概念

類似二重積分解決問題的思想,采用

引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì):例如下列“乘中值定理.在有界閉域

上連續(xù),則存在使得V為的體積,

積和式”極限記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分方法1.投影法(“先一后二”)該物體的質(zhì)量為細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為微元線密度≈記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度≈記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分投影法方法3.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號時,因為均為非負(fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計算.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分小結(jié):三重積分的計算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次積分”具體計算時應(yīng)根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分其中

為三個坐標(biāo)例1.

計算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分例2.

計算三重積分解:

用“先二后一”機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分2.利用柱坐標(biāo)計算三重積分

就稱為點M的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分其中

為由例3.計算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分例4.

計算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中

由拋物面原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分3.利用球坐標(biāo)計算三重積分

就稱為點M的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相分離.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分例5.計算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中

與球面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分例6.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yoz面對稱,并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于xoz

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分1.

將用三次積分表示,其中

由所提示:思考與練習(xí)六個平面圍成,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分2.設(shè)計算提示:利用對稱性原式=奇函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分3.

設(shè)由錐面和球面所圍成,計算提示:利用對稱性用球坐標(biāo)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分作業(yè)P1061(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);10(2);11(1),(4)第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分備用題

1.

計算所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,則有計算較繁!采用“三次積分”較好.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/2/2025重積分所圍,故可思考: