小題分類練(二)推理論證類1．若sinθtanθ＜0，且sinθ＋cosθ∈(0，1)，那么角θ的終邊落在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選B.∵sinθtanθ＜0，∴角θ的終邊落在第二或第三象限，又sinθ＋cosθ∈(0，1)，因而角θ的終邊落在第二象限，故選B.2．已知在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，則四邊形ABCD是()A．矩形 B．正方形C．菱形 D．梯形解析：選C.因為eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以四邊形ABCD是平行四邊形．又(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以四邊形的對角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形．3．若0＜b＜a＜1，則下列結(jié)論不成立的是()A.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B.eq\r(a)＞eq\r(b)C．a(chǎn)b＞ba D．logba＞logab解析：選D.對于A，函數(shù)y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當0＜b＜a＜1時，eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)恒成立；對于B，函數(shù)y＝eq\r(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當0＜b＜a＜1時，eq\r(a)＞eq\r(b)恒成立；對于C，函數(shù)y＝ax(0＜a＜1)單調(diào)遞減，函數(shù)y＝xa(0＜a＜1)單調(diào)遞增，所以當0＜b＜a＜1時，ab＞aa＞ba恒成立；當a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)時，logab＝2，logba＝eq\f(1,2)，logab＞logba，D選項不成立，所以選D.4．若m，n是正整數(shù)，則m＋n＞mn成立的充要條件是()A．m，n都等于1B．m，n都不等于2C．m，n都大于1D．m，n至少有一個等于1解析：選D.因為m＋n＞mn，所以(m－1)(n－1)＜1.又m，n∈N*，所以(m－1)(n－1)∈N，所以(m－1)(n－1)＝0，所以m＝1或n＝1；反之，由m＝1或n＝1，易知m＋n＞mn.故選D.5．設m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥β解析：選C.只有選項C正確．∵m∥n，∴m，n確定一個平面γ，交平面α于直線l.∵m∥α，∴m∥l，∴l(xiāng)∥n.∵n⊥β，∴l(xiāng)⊥β.∵l?α，∴α⊥β.故C正確．故選C.6．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當x∈[3，4]時，f(x)＝lnx，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(1,2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(1,2)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)))C．f(sin1)＜f(cos1)D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3,2)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3,2)))解析：選C.由題意得f(x)是定義在R上周期為2的偶函數(shù)，∵f(x)在[3，4]上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在[－1，0]上是增函數(shù)，在[0，1]上是減函數(shù)，∵0＜cos1＜sin1＜1，∴選C.7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，且A，B，C成等差數(shù)列，則△ABC的形狀為()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形解析：選D.由a，b，c成等差數(shù)列得到2b＝a＋c，得4b2＝a2＋2ac＋c2.由A，B，C成等差數(shù)列得到B＝eq\f(π,3)，所以b2＝a2＋c2－ac.則4a2＋4c2－4ac＝a2＋2ac＋c2，得3(a－c)2＝0，所以a＝c，A＝C，又A＋C＝eq\f(2π,3)，所以A＝C＝B＝eq\f(π,3)，所以△ABC是等邊三角形．選D.8．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＞0且eq\f(a6,a5)＝eq\f(9,11)，則當Sn取最大值時，n的值為()A．9 B．10C．11 D．12解析：選B.由題意，不妨設a6＝9t，a5＝11t，則公差d＝－2t，其中t＞0，因此a10＝t，a11＝－t，即當n＝10時，Sn取得最大值，故選B.9．已知函數(shù)f(x)＝－2|x|＋1，定義函數(shù)F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x＞0，,－f（x），x＜0，))則F(x)是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析：選A.f(x)＝－2|x|＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋1，x≥0，,－2－x＋1，x＜0，))所以F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x＞0，,－f（x），x＜0))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋1，x＞0，,2－x－1，x＜0，))所以當x＜0時，－x＞0，F(xiàn)(－x)＝－2－x＋1＝－(2－x－1)＝－F(x)，當x＞0時，－x＜0，F(xiàn)(－x)＝2x－1＝－(－2x＋1)＝－F(x)，所以函數(shù)F(x)是奇函數(shù)，故選A.10．設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝eq\r(2)，右焦點F(c，0)．方程ax2－bx－c＝0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，則點P(x1，x2)與圓x2＋y2＝8的位置關(guān)系為()A．點P在圓外B．點P在圓上C．點P在圓內(nèi)D．不確定解析：選C.∵e2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)＝2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)＝1，∴eq\f(b,a)＝1，∴a＝b，c＝eq\r(2)a，∴方程ax2－bx－c＝0可化為x2－x－eq\r(2)＝0，∴x1＋x2＝1，x1·x2＝－eq\r(2).∴xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋2eq\r(2)＜8，∴點P在圓內(nèi)，故選C.11．若數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“等方差數(shù)列”，給出以下結(jié)論：①常數(shù)列是等方差數(shù)列；②若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列；③若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是等方差數(shù)列；④若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{a2n}也是等方差數(shù)列．其中正確結(jié)論的序號為()A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④解析：選B.常數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，故①正確．因為數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，故aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p為常數(shù))，得到數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是首項為aeq\o\al(2,1)，公差為p的等差數(shù)列，故數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列，故②正確，③錯誤．因為數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p為常數(shù))，aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝…＝aeq\o\al(2,2n)－aeq\o\al(2,2n－1)＝p，又數(shù)列{an}中的項列舉出來是a1，a2，…，ak，…，a2k，…，數(shù)列{a2n}中的項列舉出來是a2，a4，…，a2k，…，所以aeq\o\al(2,2n)－aeq\o\al(2,2（n－1）)＝(aeq\o\al(2,2n)－aeq\o\al(2,2n－1))＋(aeq\o\al(2,2n－1)－aeq\o\al(2,2n－2))＝2p(n≥2，n∈N*)，所以{a2n}也是等方差數(shù)列，故④正確．故選B.12．已知⊙O′過定點A(0，p)(p＞0)，圓心O′在拋物線x2＝2py上運動，M，N為圓O′與x軸的交點，O為坐標原點，當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，拋物線的準線與圓O′的位置關(guān)系為()A．相切B．相離C．相交D．以上都有可能解析：選C.設O′(x0，y0)，則xeq\o\al(2,0)＝2py0(y0≥0)，則⊙O′的半徑r＝|O′A|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋（y0－p）2)，⊙O′的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－p)2，令y＝0，并把xeq\o\al(2,0)＝2py0代入得x2－2x0x＋xeq\o\al(2,0)－p2＝0，解得x1＝x0－p，x2＝x0＋p，所以可取M(x0－p，0)，N(x0＋p，0)．由題意知，2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x0－p|＋|x0＋p|，所以－p≤x0≤p.O′到拋物線準線y＝－eq\f(p,2)的距離d＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)＝eq\f(xeq\o\al(2,0)＋p2,2p)，⊙O′的半徑r＝|O′A|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋（y0－p）2)＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋（\f(xeq\o\al(2,0),2p)－p）2)＝eq\f(1,2p)eq\r(xeq\o\al(4,0)＋4p4).因為r＞d?xeq\o\al(4,0)＋4p4＞(xeq\o\al(2,0)＋p2)2?xeq\o\al(2,0)＜eq\f(3,2)p2，又xeq\o\al(2,0)≤p2＜eq\f(3,2)p2(p＞0)，所以r＞d，即⊙O′與拋物線的準線相交．13．甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市．由此可判斷乙去過的城市為________．解析：選A.由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”；說明乙去過A城市，由此可知，乙去過的城市為A.14．已知角φ的終邊經(jīng)過點P(1，－1)，點A(x1，y1)、B(x2，y2)是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)圖象上的任意兩點．若|f(x1)－f(x2)|＝2時，|x1－x2|的最小值為eq\f(π,3)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝________．解析：結(jié)合三角函數(shù)圖象，可知函數(shù)的最小正周期為eq\f(2π,3)，則ω＝3，因為角φ的終邊經(jīng)過點P(1，－1)，所以不妨取φ＝－eq\f(π,4)，則f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2).答案：－eq\f(\r(2),2)15．記Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，當k＝1，2，3，…時，觀察下列等式：S1＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，S2＝eq\f(1,3)n3＋eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,6)n，S3＝eq\f(1,4)n4＋eq\f(1,2)n3＋eq\f(1,4)n2，S4＝eq\f(1,5)n5＋eq\f(1,2)n4＋eq\f(1,3)n3－eq\f(1,30)n，S5＝An6＋eq\f(1,2)n5＋eq\f(5,12)n4＋Bn2，…可以推測A－B＝________．解析：根據(jù)所給的已知等式得，各等式右邊各項的系數(shù)和為1；最高次項的系數(shù)為該項次數(shù)的倒數(shù)，所以A＝eq\f(1,6)，A＋eq\f(1,2)＋eq\f(5,12)＋B＝1，解得B＝－eq\f(1,12)，所以A－B＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)16．點P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線BC1上運動，則下列四個命題：①三棱錐A－D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確命題的序號是________．解析：由題意可得，直線BC1∥直線AD1，并且直線AD1?平面AD1C，直線BC1?平面AD1C，所