2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)】十大題型歸納(拔尖篇)(含答案)【人

教A版(2019)]

由函數(shù)的定義域或值域求參數(shù)。|

1.(2023上?陜西西安?高一統(tǒng)考期中)中知函數(shù)/(數(shù)=+(一一3)x+1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)小的取

值范圍是()

A.[1,9]B.(1,9)

C.(-co,1]u[9,+oo)D.{3}

2.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知集合4={1,2,3,k},B={4,7,ata2+3a},其中aeN+，函數(shù)/1(%)=3%+1的

定義域?yàn)锳,值域?yàn)?,則a,左的值分別為()

A.2,3B.3,4C.3,5D.2,5

3.(2023上?天津河西?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(%)=J(1—a?)3+3(1—a)x+6.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求/(%)的值域;

(2)若f(x)的定義域?yàn)閇-2,1],求實(shí)數(shù)a的值；

(3)若/O)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.(2022上.浙江嘉興.高一?？茧A段練習(xí))已知/(x)=吟篝

(1)若a=4時(shí)，求/(久)的值域；

⑵函數(shù)g(x)=(/+l)/'(x)+|,若函數(shù)①的值域?yàn)閇。,+8),求。的取值范圍.

題型2求函數(shù)值或由函數(shù)值求參

1.(2023上?浙江?高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(X)=翳?，財(cái)⑴嗚嗚…嗚)=()

AA.—11D.—

3B-Tc?詈90

2.(2023上?江蘇徐州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x,y,都f(x+y)=

+成立，/(I)=2.若/(n)=/S+1)，nG.Z,則n=()

A.-3B.-2C.2D.3

3.(2023上?廣東深圳?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)=詈.

(1)當(dāng)％=2時(shí),求f(x)的值；

(2)若f(a)=2a,求實(shí)數(shù)a的值.

4.(2023上?云南曲靖?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知數(shù)/(X)=鼻+V7+3.

(1)求函數(shù)/(x)的定義域

⑵求/(-2),“6)；

(3)已知/(2a+1)=[+3,求a的值.

利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小。|

1.(2023上?河北邢臺(tái)?高一邢臺(tái)一中?？茧A段練習(xí))已知人2-久)=f(x+2),且門久)在(0,2)上單調(diào)遞減,

則“1)，/(1)./?的大小順序是()

A./(|)</(1)</?B,/(I)</g)</(|)

C/?</(!)</?D.嗚</(|)<八1)

2.(2023下?江蘇徐州?高二?？计谀?已知函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱，當(dāng)％1豐%2且%，%2e(1,+8)

時(shí)，[/(%2)-,(%2-％I)〈。恒成立，設(shè)。=/(一3，b=/(2)，c=7(e),則〃，Z?,C的大小關(guān)系為

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

3.(2023上?北京順義?高一?？计谥?己知函數(shù)f(x)=x+：

(1)利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)/(乃在(2,+8)上單調(diào)遞增；

(2)比較/(a+￡),f(4a+0(a>1)的大小.

4.(2023上?江蘇常州?高一?？计谥?定義在(0,+8)上的函數(shù)f(x)滿足/(671)=/(m)+/(n)(m,n>0),

且當(dāng)％>1時(shí)，/(%)>0.

(1)求證：/(%)在(0,+8)上是增函數(shù)；

⑵若f(2)=1,解不等式/(%+2)-((2%)>2；

(3)比較/(等)與“砌了⑺的大小.

題型4利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)是定義在區(qū)間［0,+8)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則

滿足“2久一1)<f@的尤的取值范圍是()

2.(2022上.廣東.高二校聯(lián)考期末)定義在(0,+8)的函數(shù)y=/(切滿足：對(duì)Vxi，%2￡(0,+8),且打力如

犯"七)一%"亞)〉0成立，且"3)=9,則不等式/(%)>3%的解集為()

%1一%2

A.(9,+8)B.(0,9)C.(0,3)D.(3,+oo)

3.(2023上?云南保山?高一統(tǒng)考期末)己知定義在(0,+8)上的函數(shù)/O),滿足/Q=/(m)—/(元),且當(dāng)%>1

時(shí),/(%)>0.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并說明理由；

(2)若f(2)=1,解不等式f(%+3)-((3久)>3.

4.(2023上?云南楚雄?高一?？计谀?已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x、y都有f(孫)=

/(x)+f(y),且當(dāng)x>1時(shí)，/(x)>0,/(4)=1.

(1)求證：/(I)=0；

(2)求f島);

(3)解不等式f(%)+/(%-3)<1.

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用。|

1.(2023上?湖北黃岡?高一統(tǒng)考期末)己知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，/(3)=3,對(duì)\/叼,尤2e［0,+8),

且%豐犯有->5犯)>0,則關(guān)于X的不等式(久+2)/(%+2)<9的解集為()

A.(—8,1)B.(—5,1)C.(—8,—5)U(1,+oo)D.(—8,—1)U(1,+8)

2.(2023下?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末)/(X)是定義在［-8,8］上的偶函數(shù)，且/(4)>/(2),則下列各式一定

成立的是()

A./(0)</(8)B./(4)>/(3)

C./(-2)</(4)D./(3)>/(1)

3.(2023上?重慶沙坪壩?高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(久)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)xN0時(shí)，f(%)=2x2+x.

(1)當(dāng)久<0時(shí)，求/(%)解析式;

(2)若f(1-a)+/(2a+1)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.(2022上?江蘇南京?高一南京師大附中?？计谀?已知定義在R上的函數(shù)/(X)=x+限.

(1)求證：/(久)是奇函數(shù)；

(2)求證：/(X)在R上單調(diào)遞增；

(3)求不等式f(2-%2)+f(3x-4)<0的解集.

函數(shù)性質(zhì)的船唬。|

1.(2023上?山東淄博?高三統(tǒng)考期中)己知函數(shù)y=x/O)是R上的偶函數(shù)，/(%—1)+/(%+3)=0,當(dāng)

%e[-2,0]時(shí)，/(x)=2X-2T+X,貝|J()

A./(久)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱B.4是/(久)的一個(gè)周期

C.〃2023)=|D./(|)>/(0,5°2)

2.(2023上?河北石家莊?高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇a-1,2a],且丫=/(刀-1)的圖象關(guān)

于汽=1對(duì)稱，當(dāng)％C[0,2a]時(shí)，/(%)單調(diào)遞減，則關(guān)于久的不等式/(久一1)>/(2%-3a)的解集是()

3.(2022上.江蘇南通?高一?？计谥?函數(shù)y=/(%)的定義域?yàn)椤?{%|%。0},且滿足以下4個(gè)條件:

①對(duì)任意1，都存在相，nED,使得％=zn—71且/(?n)W/(n)；

②若利，71€。且“小)7鄉(xiāng)(冗)，都有f(m-n)=芍半臀；

JW-T\VT-)

③當(dāng)a>0且。為常數(shù)時(shí)，/(a)=1；

④當(dāng)0<x<2a時(shí)，/(x)>0.

(1)證明：函數(shù)y=/0)是奇函數(shù)；

(2)證明：函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，并求出周期；

⑶判斷函數(shù)y=/0)在區(qū)間(0,4a)上的單調(diào)性，并說明理由.

4.(2023上?北京?高一?？计谥?“函數(shù)s(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(犯九)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)以久)定義域

內(nèi)的任意》,都有0(x)+(p(2m-x)=2n,若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，且當(dāng)xG[0,1]時(shí)，/(x)=

x2—ax+a+1

⑴求f(0)+/(2)的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=蕓

①證明函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,-4)稱；

②若對(duì)任意6[0,2],總存在%2G[-|,1],使得/'(X。=g(%2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

由嘉函數(shù)的圖象與性質(zhì)求參數(shù)。I

1.(2023上?江蘇常州?高一?？计谀?若函數(shù)八%)=(血2一根一5)工"-4m+i為塞函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上

單調(diào)遞減，則TH=()

A.-2B.3C.-2或3D.2或一3

2.(2023上廣西貴港?高一統(tǒng)考期末)若事函數(shù)/(%)=2+2皿+器的圖象關(guān)于》軸對(duì)稱，/(%)解析式的幕

的指數(shù)為整數(shù)，/(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減，則血=()

3.(2023上?云南楚雄?高一統(tǒng)考期中)已知塞函數(shù)/(%)=(--2zn-2)”，且/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(1)求m的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(%)=f(x)+2%-3,求g(%)在上的值域.

4.(2023上?青海西寧?高一?？计谥?已知事函數(shù)/(久)=廠/一加+2(meZ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在

(0,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù).

(1)求m的值及/(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(久)一x+a,若g(x)>1對(duì)任意xeR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

比較幕值的大小

1_11

1.(2022上.重慶九龍坡.高一統(tǒng)考期末)已知a=(|)Lb=(|p,c=(|F，則a”,c的大小關(guān)系為(

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

2.(2023上?安徽?高一校聯(lián)考期中)嘉函數(shù)/(x)=(M—1)尤/+2*5在區(qū)間(o,+8)上單調(diào)遞增，且

a+b>0,則f(a)+f(b)的值()

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.無法判斷

3.(2023?全國(guó)?高一課堂例題)比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小:

(DIS*,1.61-4；

(2)1.5。，4,1.60-4；

(3)1.5-"，1.6-1-5.

4.(2023上?河北滄州?高一校聯(lián)考期中)已知塞函數(shù)/(切=(3加2—爪+1)*加-2的圖象不經(jīng)過原點(diǎn).

(1)求7?1的值;

(2)若aK0,試比較/(a)與/'(a?+1)的大小.

幕函數(shù)的性質(zhì)解不等式OI

1.(2023上?甘肅慶陽?高一統(tǒng)考期末)已知幕函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(2,32),若/(a+1)+f(-1)>0,貝b的

取值范圍為()

A.(2,+8)B.(1,+oo)C.(0,+oo)D.(―1,+oo)

2.(2022?高一單元測(cè)試)已知塞函數(shù)丫=%--2帆-3sleN*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0,+8)上單調(diào)遞

mm

減，則滿足(a+1)-<(3-2a)二的a的取值范圍為()

A.(0,+oo)B.

c.(o,j)D.(-00,-1)U(|,j)

3.(2023上?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末)己知基函數(shù)f(x)=(m2-3m+3)婷止癥是偶函數(shù).

(1)求函數(shù)/O)的解析式；

⑵若f(2x—l)</(2-乃，求尤的取值范圍.

4.(2023上?河北石家莊?高一石家莊二中校考期中)已知幕函數(shù)y=(/^+左―1)―/vm-3的

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0,+8)上是減函數(shù).

⑴求m和k的值；

(2)求滿足(a+l)-m<(3-2a)-m的a的取值范圍.

題型10函數(shù)模型的綜合應(yīng)用

1.（2023上?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末）某單位準(zhǔn)備印制一批證書，現(xiàn)有兩個(gè)印刷廠可供選擇，甲廠費(fèi)用分

為制版費(fèi)和印刷費(fèi)兩部分，先收取固定的制版費(fèi)，再按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi)；乙廠直接按印刷數(shù)量收取印

刷費(fèi)，甲、乙兩廠的總費(fèi)用y（千元）與印制證書數(shù)量x（千個(gè)）的函數(shù)圖像分別如圖中甲、乙所示，則下

B.選擇乙廠比較劃算

C.若該單位需印制證書數(shù)量為8千個(gè)，則選擇乙廠比較劃算

D.當(dāng)該單位需印制證書數(shù)量小于2千個(gè)時(shí)，不管選擇哪個(gè)廠，總費(fèi)用都一樣

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果患者每次按規(guī)定的劑量注

射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.

據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

B.注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為6小時(shí)

C.注射該藥物;小時(shí)后每毫升血液中的含藥量為0.5微克

D.注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為5￡小時(shí)

3.（2023上?山東濱州?高一統(tǒng)考期末）近期受新冠疫情的影響，某地區(qū)遭受了奧密克戎病毒的襲擊，為了

控制疫情，某單位購(gòu)入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消

毒劑，空氣中釋放的消毒劑濃度做單位:毫克/立方米)隨著時(shí)間x(單位：小時(shí))變化的關(guān)系如下：當(dāng)0W久W4

時(shí)，y=3—1；當(dāng)4<xW10時(shí)，y=5—；北若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的

6—%2

消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí)，它才

能起到殺滅空氣中病毒的作用.

(1)若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間最長(zhǎng)可達(dá)幾小時(shí)？

(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑?(l<a<4)個(gè)單位的消毒劑，要使接下來的4小

時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求。的最小值.

4.(2022上.重慶?高一校聯(lián)考期中)2020年初，新型冠狀病毒(2019-nCOV)肆虐，全民開啟防疫防制.新

型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進(jìn)行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是40歲以上人群，該病毒進(jìn)入人體后

有潛伏期，潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時(shí)間.潛伏期越長(zhǎng)，感染到他人的可能

性越高.預(yù)防性消毒是有效阻斷新冠病毒的方法之一，針對(duì)目前嚴(yán)峻復(fù)雜的疫情，某小區(qū)每天都會(huì)對(duì)小區(qū)

的公共區(qū)域進(jìn)行預(yù)防性消毒作業(yè).據(jù)測(cè)算，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度y(單位：毫克/

1

立方米)隨著時(shí)間X單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式，近似為y=*71,04"44,若多次噴灑，則某一

(5--x,4<x<10

時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑

的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí)，它才能起到消毒作用.

(1)若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則消毒時(shí)間可達(dá)幾天？

(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6天后再噴灑a(l<a<4)個(gè)單位的消毒劑，要使接下來的4天中能夠

持續(xù)有效消毒，試求。的最小值.

高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第三章十大題型歸納(拔尖篇)

【人教A版(2019)]

由函數(shù)的定義域或值域求參數(shù)

1.(2023上?陜西西安?高一統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(久)=陋好+(二一3)x+1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)m的取

值范圍是()

A.[1,9]B.(1,9)

C.(-00,1]U[9,+oo)D.{3}

【解題思路】利用題給條件列出關(guān)于小的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【解答過程】由題意得+(m-3)x+1>0對(duì)任意xGR恒成立，

當(dāng)爪=0時(shí)，不等式可化為-3刀+120,其解集不是R,不符合題意；

當(dāng)m70時(shí)，由該不等式恒成立可得

{(吁311%口，解之得1^49，

綜上，實(shí)數(shù)小的取值范圍是1WmW9

故選：A.

2.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知集合4={l,2,3,k},B={4,7,a4,a2+30,其中aeN+，函數(shù)/(%)=3%+1的

定義域?yàn)锳,值域?yàn)锽,則0,左的值分別為()

A.2,3B.3,4C.3,5D.2,5

【解題思路】由函數(shù)的定義域求出值域，然后由集合中元素的互異性與集合相等分類討論求解即可.

【解答過程】函數(shù)/(乃=3x+1的定義域?yàn)锳,值域?yàn)锽,

所以當(dāng)x=1時(shí)，/(I)=3+1=4；當(dāng)％=2時(shí)，/(2)=6+1=7；

當(dāng)x=3時(shí)，/(3)=9+1=10；當(dāng)?shù)?k時(shí)，f(k)=3k+l；

所以B={4,7,10,3k+1},又B={4,7,a4,a2+3a},

所以若a?+3a=10,解得a=2或a=—5,因?yàn)閍GN+,所以a=2.

此時(shí)B={4,7,16,10},所以3/c+l=16,則k=5；

若a4=10,又aCN+，所以不成立.

綜上a=2,k=5.

故選：D.

3.(2023上?天津河西?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)f(x)=7(l-a2)x2+3(l-a)%+6.

(1)當(dāng)a=0時(shí),求/(%)的值域;

(2)若f(x)的定義域?yàn)椋?2,1］,求實(shí)數(shù)a的值；

(3)若f(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)配方求解值域；

(2)得到-2和1是方程(1-a2)%2+3(1-a)x+6=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理求解；

(3)考慮a=La=-1和1一。2力0時(shí)，結(jié)合開口方向和根的判別式得到不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答過程】(1)當(dāng)a=0時(shí)，=7x2+3尤+6=+1)

所以f(x)的值域?yàn)椋凼?+8).

(2)因?yàn)?(x)的定義域?yàn)椋邸?,1］,

所以-2和1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的兩個(gè)根，

故—2+1=迎W1—2X1=解得a=2,檢驗(yàn)符合，故a=2,.

1—az1—az

(3)當(dāng)a=l時(shí)，fM=V6,定義域?yàn)镽,符合題意；

當(dāng)a=-l時(shí)，f(x)=V6x+6,定義域不為R,不符合題意；

當(dāng)l-a?彳0時(shí)，由題意，(1—a?)/+3(1—a)x+620在R上恒成立，

令｛△=9(1-a)2-24(1-a2)<0'解得一五<a<1.

4.(2022上?浙江嘉興?高一校考階段練習(xí))已知/(%)=吟黑出.

⑴若a=4時(shí)，求/(x)的值域；

⑵函數(shù)g(K)=(x2+l)/(x)+|,若函數(shù)h(x)=而甫的值域?yàn)椋?,+8),求a的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)函數(shù)解析式，采用分離常數(shù)項(xiàng)的方法，結(jié)合不等式性質(zhì)，可得答案;

(2)根據(jù)二次根式的定義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【解答過程】(1)由a=4,則/(尤)=言=當(dāng)含=4-盤，

由不等式性質(zhì)，則/NO,1+%2>1,0<y^<l,0>-^>-6,4>4-備2-2,

故f(x)e［-2,4),即/(%)的值域?yàn)椋?2,4).

(2)由題意，5(x)=(%2+1)~A+(?-4)x+1>

由函數(shù)的值域?yàn)閇0,+8),則g(%)WO有解且g(%)無最大值，

當(dāng)a=0時(shí)，符合題意；

當(dāng)。力0時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得。(汽°

其中(a-4)2-2aN0,a*2-38a+16-2a>0,a2-10a+16>0,(a-2)(a-8)>0,解得小2或心8,

綜上，故1[0,2]U[8,+8).

求函數(shù)值或由函數(shù)值求參

1.(2023上?浙江?高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù)f(x)=32，則f(l)fQ)…/信)=()

【解題思路】計(jì)算得出/(；)=*葛，進(jìn)而可求得所求代數(shù)式的值.

(%1)=5+1)2

【解答過程】/@)=

-4-1—九(71+2)'

10X12

(2X3X4X---X11)222X11211

1X2X(3X4X-X1O)2X11X1222X12

故選：B.

2.(2023上?江蘇徐州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)滿足：對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)心》者獷(％+y)=

G+；)/(%)/(V)成立，/(I)=2.若/(ri)=/(九+1)，neZ,則九=()

A.-3B.-2

【解題思路】由題意可得，—X2=l,進(jìn)行求解即可.

n

【解答過程】由題意可得，/(I+n)=(1+i)/(l)/(n)=X2/(n),

又/(九)=/(n+1)，

所以上x2=1,而幾EZ,可得幾=一2.

n

故選：B.

3.(2023上?廣東深圳?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)=頭.

(1)當(dāng)久=2時(shí)，求f(x)的值;

(2)若/(a)=2a,求實(shí)數(shù)a的值.

【解題思路】(1)將乂=2代入/(?=/求解；

(2)根據(jù)f⑷=詈=2a,求解即得.

【解答過程】⑴:?函數(shù)f(x)=善，

...當(dāng)久=2時(shí)，/(2)=笠=4；

(2)函數(shù)f(%)=詈的定義域?yàn)椋?|%豐1),

因?yàn)?(a)=2a,所以/(a)==2a,

即a+2=2a(a—1),解得a=—[或a=2；

所以。=—2或a=2.

4.(2023上?云南曲靖?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知數(shù)/(%)=占+GT3.

⑴求函數(shù)/(%)的定義域

(2)求/(一2),/(6)；

(3)已知/(2a+1)=[+3,求a的值.

【解題思路】(1)根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.

(2)根據(jù)函數(shù)的解析式求得正確答案.

(3)根據(jù)已知條件解方程來求得a.

【解答過程】(1)由解析式知：I"；]]]，可得X2-3且XK1,

故定義域?yàn)椋?[%>一3或％H1｝,

(2)/(-2)=—+V-2+3---+1=

八'-2-133

/(6)=-^-+V6+3=1+3=y.

(3)由/(2a+l)=-~~~+72a+1+3=—\~72a+4=—F3,+4=3,

所以2a+4=9今a=|,顯然2a+1=6在/(%)定義域內(nèi)，

所以a=|.

利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

1.(2023上?河北邢臺(tái)?高一邢臺(tái)一中?？茧A段練習(xí))已知f(2-久)=f(x+2),且/(久)在(0,2)上單調(diào)遞減,

則/(I)，/(I)./Q的大小順序是()

A./?</(D</?B./(D</?</?

C./?</(1)</?D.

【解題思路】根據(jù)/(2—%)=/(%+2)得到/(|)=f(|),/g)=f(I),然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.

【解答過程】因?yàn)榘?-%)=〃％+2),所以噌=/(1)，嗚=嗚,

因?yàn)閒(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，所以fg)=/g)</(I)</-(|)=/g).

故選：A.

2.(2023下?江蘇徐州?高二?？计谀?已知函數(shù)/⑺的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱，當(dāng)州豐泡且%，上e(1,+oo)

時(shí),[/(%2)—/(乂1)],。2—X1)<0恒成立，設(shè)&=/(一3，b=/(2),c=/(e),則a,b,c的大小關(guān)系為

()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

【解題思路】根據(jù)已知條件得到函數(shù)/(x)在(1,+8)上是減函數(shù)，再由函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱和

函數(shù)的單調(diào)性比較可得答案.

【解答過程】當(dāng)豐%2且久1，X2e(L+8)時(shí),[/(%2)-f(%[)]?(%2-xl)<0恒成立，

可得/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞減，且/(X)關(guān)于X=1對(duì)稱，

所以在(—8,1)上單調(diào)遞增，a=仁)=嗚，

即b>a>c.

故選：D.

3.(2023上?北京順義?高一校考期中)已知函數(shù)人久)=久+3

(1)利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增；

(2)比較/'(a+、)，f(4a+0(a>1)的大小.

【解題思路】(1)由定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；

(2)通過單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.

【解答過程】(1)函數(shù)/a)=無+：,任取2<的<尤2,

X

/G1)-/(x2)=X1+；［2+￡)=(X1-%2)+(；￡)=(X1-2)(^7)-

由2V%1<%2，%1%2>4,Xr—X2<0,/(%1)—/(%2)<°，即/(久1)</(%2)，

所以函數(shù)/(%)在(2,+8)上單調(diào)遞增.

(2)a>1,則a+±>21a.±=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=±,即a=2時(shí)等號(hào)成立，

a\aa

由a>1,有a?—1>o,貝ij4a+工一(a+3)>0,4a+->a+->4,

a\aJaa

函數(shù)/(>)在(2,+8)上單調(diào)遞增，所以f(a+￡)<fGa+3.

4.(2023上?江蘇常州?高一?？计谥?定義在(0,+8)上的函數(shù)“X)滿足f(nm)=/(m)+/(n)(m,n>0),

且當(dāng)％>1時(shí)，/(%)>0.

(1)求證：/(%)在(0,+8)上是增函數(shù)；

(2)若/(2)=1,解不等式/(%+2)-f(2x)>2；

(3)比較/(等)與空皿的大小.

【解題思路】(1)抽象函數(shù)單調(diào)性證明，第一步定義域下取值，第二步作差，第三步比大小，第四步結(jié)論.

(2)抽象函數(shù)解不等式，利用定義的運(yùn)算及函數(shù)的性質(zhì)列式求解即可.

(3)利用函數(shù)性質(zhì)及基本不等式列式求解即可.

【解答過程】(1)證明：設(shè)0</<犯，則①>1，則f(=)>0，

X1X1

/(X2)-f(X1)=/管-%!)-/(%1)=電〉0,即f3)>

則f(x)在(0,+8)為增函數(shù).

(2)若/'(2)=1,貝如(2)+/(2)=f(4)=2,

則不等式/。+2)—/(2x)>2等價(jià)為/(x+2)—/(2x)>/(4)；

即f(x+2)>f(2x)+f(4)=/(8x)；

x+2>0x>-2

則滿足｛2尤>0，即｛%>?,解得久6(0$.

x+2>8x

(3)因?yàn)閒Sm)=f(7n)+f5),所以〃等)+/(等)=/((等產(chǎn)),

2/■(掾)=f((掾)2)>/((Vrnn)2)=f(mn)=/(m)+/(n),

./｝十九)>fO)+/S)

題型4人利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)是定義在區(qū)間［0,+8)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則

滿足“2久一1)0的龍的取值范圍是()

A-&|)B-［|>|)&I)口.E，|)

【解題思路】由已知有0W2x—1<彳即可求取值范圍.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)“X)是定義在區(qū)間［0,+8)上的增函數(shù)，滿足/(2x—

所以0<2%-1<|,解得(<%<|.

故選：D.

2.(2022上?廣東?高二校聯(lián)考期末)定義在(0,+8)的函數(shù)y=f(x)滿足：對(duì)V/,g6(0,+8),且打大如

X"(X1)-X"(X2)>0成立，且“3)=9,則不等式/O)>3X的解集為()

A.(9,+8)B.(0,9)C.(0,3)D.(3,+oo)

【解題思路】構(gòu)造函數(shù)g(x)=￡詈，討論單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.

【解答過程】由的八小)-"(如)>0且冷€(0,+8),

%1—％2

f(Xl)/(比)2

則兩邊同時(shí)除以打不可得q~2>0,

%1—％2

令=竽，則或嗎=?在(o,+8)單調(diào)遞增，

由/(%)>3x得號(hào)>3且g(3)=等=3,

即g(%)>g(3)解得久>3,

故選：D.

3.(2023上?云南保山?高一統(tǒng)考期末)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(以滿足/管)=/51)一/(元)，且當(dāng)%>1

時(shí)/0)>0.

(1)討論函數(shù)/(久)的單調(diào)性,并說明理由；

(2)若f⑵=1,解不等式/(*+3)-((3%)>3.

【解題思路】(1)取巾=x2,n=Xi，利用單調(diào)性的定義，進(jìn)行取值，作差，變形，定號(hào)，結(jié)論即可得出結(jié)果；

(2)先根據(jù)f(2)=1,求得/(8)=3,再利用抽象函數(shù)的式子化為/(姜)>“8),根據(jù)(1)中的單調(diào)性結(jié)論,列出不

等式，解出即可.

【解答過程】(1)解:f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，理由如下：

因?yàn)?(%)定義域?yàn)?0,+8),

不妨取任意%1，%2E(。,+8),且％1<冷，則①>1，

X1

由題意fgj)=/(x2)-/■(%!)>0,即f(%2)>/(X。

所以八X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)因?yàn)?0,令m=詈，由/'(；)=/(巾)一/(九)可得：

f(m)=f(詈)=f(jnn)-f(n),

BPf(mn)=f(m)+f(n),

由/(2)=1,可得f(4)=/⑵+f⑵=2,

令m=4,n=2,

則/(8)=/(4)+f(2)=3,

所以不等式/(x+3)-/(3x)>3,

即f(x+3)-/(3x)>"8),即f(妥)>/(8),

由(1)可知/(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

f3%>0

所以只需X[3>0，解得0<X<白

—>8

V3x

所以不等式/(X+3)-f(3x)>3的解集為(0,助.

4.(2023上?云南楚雄?高一?？计谀?已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x、y都有f(xy)=

/(%)+/(y),且當(dāng)％>1時(shí)，/(x)>0,/(4)=1.

(1)求證：/(I)=0；

(2)求/日

(3)解不等式/(%)+/(%-3)<1.

【解題思路】(1)令％=4,y=L由此可求出答案；

(2)令x=y=4,可求得/(16),再令x=16,y=。可求得/位)；

(3)先求出函數(shù)/(x)在(0,+8)上的單調(diào)性，根據(jù)條件將原不等式化為3)]3/(4),結(jié)合單調(diào)性即

可求出答案.

【解答過程】解：(1)令x=4,y=l,則f(4)=f(4x1)=/(4)+f(l),

???/⑴=0；

⑵,.7(16)=f(4x4)=/(4)+/(4)=2,/(I)=/(^x16)=/+/(16)=0,

???O=-2;

(3)10i>>0，

設(shè)第、x2>且％不，于是/?)

丁?/01)=/(?。?)=/倍)+/(%2)>/(、2),

???/(%)在(0,+8)上為增函數(shù)，

又??,/(%)+/(%-3)=/[%(%-3)]<1=/(4),

%>0

x-3>0,解得3<%工4,

x(x-3)<4

，原不等式的解集為｛%|3<%<4].

函數(shù)奇偶性回應(yīng)用。1

1.(2023上?湖北黃岡?高一統(tǒng)考期末)己知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，/(3)=3,對(duì)>。+8),

且Xi豐叼有四"翳2>0,則關(guān)于x的不等式(久+2)/(%+2)<9的解集為()

A.(—00,1)B.(—5,1)C.(―8,-5)U(1,+8)D.(-oo,-1)u(1,+oo)

【解題思路】設(shè)出函數(shù)F(x)=xf(x),根據(jù)題意得出函數(shù)尸(x)的性質(zhì)，從而解決問題.

【解答過程】解:因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以產(chǎn)(—％)——xf(—x)—xf(x)—F(x)

所以函數(shù)F(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

因?yàn)閷?duì)WX1，%26[o,+8),且豐%2有>0,

%]一%2

所以八%)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

所以八%)2/(0)=0,

當(dāng)時(shí)，則有o</(xj<y&：2)，

所以<X2f(X2),即尸01)<F(X2),

所以F(X)在［0,4-00)上單調(diào)遞增，

因?yàn)槭?x)=是定義在R上的偶函數(shù)，

所以F(x)在(一8,0］上單調(diào)遞減，

因?yàn)槭?3)=3/(3)=9,

所以(久+2)/(%+2)<9即為F(x+2)<F(3),

所以|久+2|<3,解得一5<x<1.

故選：B.

2.(2023下?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末)〃久)是定義在［-8,8］上的偶函數(shù)，且f(4)>f(2),則下列各式一定

成立的是()

A./(0)</(8)B./⑷>〃3)

C./(-2)</(4)D.f⑶>f(l)

【解題思路】利用偶函數(shù)的性質(zhì)和/(4)>/(2)對(duì)各選項(xiàng)中的不等式逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

【解答過程】由于函數(shù)y=/0)是定義在［-8,8］上的偶函數(shù)，且/(4)>/(2).

對(duì)于A選項(xiàng)，f(0)與f(8)的大小無法判斷；

對(duì)于B選項(xiàng)，/(4)與外3)的大小無法判斷；

對(duì)于C選項(xiàng)，/(4)>/(2)=/(-2),該不等式成立；

對(duì)于D選項(xiàng)，八3)與/(I)的大小無法判斷.

故選：C.

3.(2023上?重慶沙坪壩?高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃久)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，/(%)=2%2+%.

(1)當(dāng)x<0時(shí)，求/(%)解析式;

⑵若f(l-a)+/(2a+1)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)/(%)=-/(-為求解即可；

(2)先判斷函數(shù)/(%)在R上的增減性，再由奇函數(shù)性質(zhì)得到/'(I一a)</(-2a-1),

根據(jù)單調(diào)性解抽象不等式即可.

【解答過程】(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，f(x)=2x2+x,

所以當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,所以/'(-x)=2(-x)2+(―x)=2/-x,

因?yàn)?'(%)=-/(-%),所以/'(X)=-2久2+X,

故當(dāng)x<0時(shí)，/(%)=-2x2+x.

⑵由⑴知，4m:器?),

當(dāng)x20時(shí)，/■(%)=2x2+x,易知此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由奇函數(shù)性質(zhì)得，

當(dāng)x<0時(shí)，/(%)也單調(diào)遞增，所以函數(shù)/O)是R上的增函數(shù)，

因?yàn)?1(1—a)+f(2a+1)<0,所以f(1—a)<-f(2a+1)=f(—2a—1),

即/(I-a)<f1—2a-1),又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的增函數(shù)，

所以1—a<—2a—1,解得a<—2.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：(-8,-2).

4.(2022上?江蘇南京?高一南京師大附中?？计谀?已知定義在R上的函數(shù)/(x)=久+展.

(1)求證：/(久)是奇函數(shù)；

(2)求證：/(%)在R上單調(diào)遞增；

(3)求不等式f(2-x2)+f(3x-4)<0的解集.

【解題思路】(1)判斷/(—￡),/(%)的關(guān)系即可.

(2)任取修,％2eR,xx<x2,判斷/?(&)一/a2)的正負(fù)即可;

(3)將原不等式移項(xiàng)得f(2-x2)<-/(3x-4)=f(4-3x),脫了"可解得原不等式的解集.

【解答過程】(1)由已知函數(shù)定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，

X

4-^-11-4,、

■,-/(-X)=-x+2-x=~x+2*=

所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)；

X

(2)任取X],x2￡R,Xi<x2>/(x)=x+2

1/1\2的-2"2

/(/)-/(%2)=^+2^-~~卜2+2*--J=(%1-%2)+(2如-2如)+232

因?yàn)?lt;x2,

X1

所以-x2<0,2-2切<o,/0)-f(x2)<o

所以f(x)在R上單調(diào)遞增；

(3)不等式可化為f(2-x2)<-f(3x-4)=/(4-3x)

因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增

所以不等式可化為2-<4一3x

解得xe(-00,1)U(2,+00),

題型6卜函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用。

1.(2023上?山東淄博?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)y=xf(久)是R上的偶函數(shù)，/(%-1)+/(%+3)=0,當(dāng)

xG［一2,0］時(shí)，/(x)=2X-2T+x,則()

A./O)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱B.4是/(x)的一個(gè)周期

C./(2023)=|D.嗚>/(0,5。2)

【解題思路】易得y=/(x)為奇函數(shù)，利用函數(shù)的周期性與奇偶性結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.

【解答過程】??,函數(shù)y=(%)是R上的偶函數(shù)，，一%/(-%)=%/(%),

當(dāng)久W0時(shí)，有一/(一%)=/(%),當(dāng)％=0時(shí)，/(0)=2°-2°+0=0,

故y=/(%)為奇函數(shù)，

對(duì)于A：vf(x—1)+f(x+3)=0,?,?/(%)+f(x+4)=0,

從而/(一%)+f(-x+4)=0,

???—/(x)+f(—%+4)=0=>/(—%+4)=/(x),

即/(%)的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)稱，A正確；

對(duì)于B：??,/(一汽+4)=/(%),-f(x-4)=/(%),

BP/(%—4)+f(x)=0,f(x-8)+f(x-4)=0,

??./(%)=f(x-8),???/(%)是以8為周期的函數(shù)，

若f(%)周期為4,貝！J/(%-4)+/(%)=2/(%)=0,但/(一1)=1-2-1=一|W0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：/(2023)=/(253X8-1)=/(-I)=1-2-1=-|,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：當(dāng)無€［—2,0］時(shí)，y=2%,y=—2-%,丫=%均為單調(diào)遞增函數(shù)，??./(%)=2%—2-％+%在［―2,0］上單

調(diào)遞增，

又y=/(%)為奇函數(shù)，，y=/(%)在［0,2］上單調(diào)遞增，

又0<工=0,51<O.502<2,

2

.??/Q)</(0.5°-2),D錯(cuò)誤.

故選：A.

2.(2023上?河北石家莊?高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/。)定義域?yàn)椋踑—1,2a］,且y=/(久—1)的圖象關(guān)

于I=1對(duì)稱，當(dāng)％E［0,2a］時(shí)，/(%)單調(diào)遞減，則關(guān)于％的不等式/(%-1)>/(2%-3a)的解集是()

【解題思路】分析可知函數(shù)Ax)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可求出實(shí)數(shù)a的值，根據(jù)函數(shù)

/(0的單調(diào)性、偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合/(X-1)〉/(2x-3a)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式組，由此可解得x的

取值范圍.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x-1)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，

令g(x)=-1),則g(2-％)=g(x),BP/(2-x-1)-f［x-1),

即f(l-x)=f(久—1),所以,f(-x)=/(x)>

故函數(shù)/'(>)是定義在［a-1,2a］上的偶函數(shù)，則a—1+2a=0,解得&=:,

所以，函數(shù)是定義在卜|,|］上的偶函數(shù),

由題意可知，函數(shù)八%)在［。,|］上單調(diào)遞減，

由/(x-1)>f(2x-1)可得/(|x-1|)>f(.\2x-1|),

r\x-1|<\2x—1|

所以，1,

解得I<x<1.

(--<2x-1<-

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因此，不等式/(x-1)>f(2x-3a)的解集為G，|］

故選：A.

3.(2022上.江蘇南通?高一?？计谥?函數(shù)y=/(%)的定義域?yàn)椤?{%|］±0},且滿足以下4個(gè)條件:

①對(duì)任意冗6。，都存在相，nED,使得％=m—九且/(zn)H/(荏)；

②若根，九€。且“小)71(元)，都有f(6-已=累;7n器);

③當(dāng)a>0且。為常數(shù)時(shí)，f(a)=1；

④當(dāng)0<x<2a時(shí)，/(x)>0.

(1)證明：函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)；

(2)證明：函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，并求出周期；

⑶判斷函數(shù)y=/O)在區(qū)間(0,4a)上的單調(diào)性，并說明理由.

【解題思路】(1)根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合奇偶性