2024-2025高二上學期期末考試解答題壓軸題50題專練

【人教A版(2019)]

1.(2023上?山東濰坊?高二統(tǒng)考期末)已知向量d=(%,1,2),3=(1,乃一2),8=(3,l,z),且五〃九blc..

(1)求向量落b,而勺坐標；

(2)求d+c^b+-所成角的余弦值.

2.(2023下?江蘇宿遷?高二統(tǒng)考期末)在四棱柱ZBCD—Z/iCiA中，印=k型,D^F=kD^B,D^G=

kDrCfDrH=kD1D.

(2,、*、、.,------>------>-------->?__*----->

(1)當rk時，試用4B,AD,力為表示4F；

⑵證明:E,F,G,H四點共面;

(3)判斷直線AG能否是平面和平面的交線，并說明理由.

3.(2023下?浙江舟山?高二統(tǒng)考期末)如圖，在三棱柱ABC-A/iG中，底面是邊長為2的正三角形，乙4遇8=

乙414c=45°,平行于A4i和BQ的平面分別與月伉4&&6,4/1交于D,E,F,G四點.

⑴試判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由；

（2）若A41=3,。是4B的中點，求直線DF與平面4BC所成角的正弦值.

4.（2023下?浙江臺州?高一溫嶺中學校考期末）如圖，已知四棱臺4BCD-的底面是菱形，且乙4BC=

60°,側(cè)面是等腰梯形，4B=34/1=6,BBi=2VXCG=4,E為棱上一點，且。出二工。力.

4

D------------------c

⑴求證：平面2幽a1平面ABCD；

⑵若過點C,E的平面a與BD平行，且交直線441于點尸，求二面角F-CB-D的余弦值.

5.（2023下?重慶沙坪壩?高一重慶一中校考期末）如圖，P為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，2C為底面

直徑，AABD為底面圓。的內(nèi)接正三角形，且△4BD的邊長為遮，點E在母線PC上，且力E=B,CE=1.

p

(1)求證：直線PO〃平面BDE,并求三棱錐P-BDE的體積：

(2)若點M為線段P。上的動點，當直線DM與平面力BE所成角的正弦值最大時，求此時點M到平面ABE的距離.

6.(2023下?重慶沙坪壩?高一校考期末)我們把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公

垂線.如圖，在菱形4BCD中，/.BAD=60°,將AABD沿BD翻折，使點A到點尸處.E,F,G分別為BD,PD,

BC的中點，且FG是PD與BC的公垂線.

(1)證明：三棱錐P—BCD為正四面體；

(2)若點M,N分別在PE,BC上，且MN為PE與BC的公垂線.

①求黑的值；

ME

②記四面體BEMN的內(nèi)切球半徑為r,證明：

2rEMBN

7.(2023下?湖北武漢?高一校考期末)如圖，四棱臺4BCD-中，上、下底面均是正方形，且側(cè)

面是全等的等腰梯形，AB=2&Bi=4,E、F分別為DC、BC的中點，上下底面中心的連線?！俊４怪庇谏舷?/p>

底面，且01。與側(cè)棱所在直線所成的角為45。.

(1)求證：平面GEF；

(2)線段BF上是否存在點M,使得直線4M與平面QEF所成的角的正弦值為等，若存在，求出線段BM的長;

若不存在，請說明理由.

8.(2023上?上海徐匯?高二南洋中學校考期末)如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜

邊的等腰直角三角形，側(cè)面ACC14為菱形，點4在平面ABC上的投影為AC的中點。，且4B=2.

⑴求點C到側(cè)面48位久的距離；

(2)在線段久/上是否存在點￡,使得直線與側(cè)面ABB41所成角的正弦值為彳？若存在，請求出&E的

長；若不存在，請說明理由.

9.(2023上?福建福州?高二?？计谀?如圖，在三棱錐P-ABC中，P4=PC=<3,AC=BC=242,AC1BC,

。為棱AB上一點，BD=3AD,PD=五,

(1)證明：平面P4C1平面4BC；

(2)線段上是否存在點使直線AP與平面所成角的正弦值為號?若存在，求出黑的值；若不存

3I產(chǎn)〃I

在，請說明理由.

10.(2023上?北京西城?高二統(tǒng)考期末)如圖，在四棱柱4BCD-4/1C1D1中，，平面4BCD,AB||

CD,AD=CD=1,AAi=AB=2,E為線段力力1的中點，再從下列兩個條件中選擇一個作為已知.

條件①：AD1BE；條件②：BC=V2.

(1)求直線CE與&A所成角的余弦值;

⑵求點的到平面BCE的距離；

(3)已知點M在線段CG上，直線EM與平面BCG2所成角的正弦值為管，求線段CM的長.

11.(2023上?四川巴中?高二?？茧A段練習)已知坐標平面內(nèi)三點4(—1,1),C(2,V3+1).

(1)求直線AC的傾斜角；

(2)若。為△力BC的邊上一動點，求直線。的傾斜角的取值范圍.

12.(2023上?廣東廣州?高二校聯(lián)考期末)已知圓M：(x-2)2+y2=4,點P(-Lt)(t€R).

(1)若t=0,求以P為圓心且與圓M相切的圓的方程；

(2)若過點P的兩條直線被圓M截得的弦長均為2百，且與y軸分別交于點S、T,|ST|=京求t的值.

36

13.(2023上?湖北孝感?高二統(tǒng)考期末)已知圓心在x軸上的圓C與直線l:4x+3y-6=

,5,5.

(1)求圓C的標準方程；

(2)已知N(2,l),經(jīng)過原點且斜率為正數(shù)的直線人與圓C交于PQi，%),<2(%2，%).求1PN|2+|QN『的最大值.

14.(2023上?四川廣元?高二統(tǒng)考期末)已知圓0:/+V=8,直線1：萬一丫一8=0.

⑴若圓O的弦A3恰好被點P(2,l)平分，求弦AB所在直線的方程；

(2)點。是直線/上的動點，過。作圓O的兩條切線，切點分別為CQ,求直線CD經(jīng)過的定點；

⑶過點M(2,2)作兩條相異的直線，分別與圓。相交于&F兩點,當直線ME與直線板的斜率互為倒數(shù)時，求線

段跖的中點G的軌跡方程.

15.(2023上?四川南充?高二統(tǒng)考期末)某市的兩條直線公路OM,ON所圍成的角形區(qū)域內(nèi)有一村莊P,該

市為響應黨中央的鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，擬過村莊P修建一條公路，使之圍成一個等腰三角形區(qū)域08c.在區(qū)域。BC

內(nèi)建設高效生態(tài)農(nóng)業(yè)示范帶，促進本地農(nóng)村經(jīng)濟發(fā)展.現(xiàn)利用無人機在空中測得P到公路OM,ON的距離

均為10千米，乙MON=a,且tana=-*設計人員方便規(guī)劃計算，在圖紙上以。為坐標原點，以直線0M為

久軸建立如圖所示平面直角坐標系xOy.

(1)求點P的坐標；

(2)求出公路BC的長度及該示范帶的總面積.

16.(2022上?遼寧?高三本溪高中校聯(lián)考階段練習)已知在平面直角坐標系xOy中，4(0,1),B(0,4),平面內(nèi)動

點尸滿足21P川=\PB\.

(1)求點尸的軌跡方程；

(2)點尸軌跡記為曲線T,若C,。是曲線T與x軸的交點，E為直線=4上的動點，直線CE,與曲線T的

另一個交點分別為M,N,直線與x軸交點為Q,求向+總的最小值.

17.(2022下?黑龍江雞西?高一?？计谀?設直線2的方程為(a+l)x+y-5-2a=0(aGR).

(1)求證：不論a為何值，直線2必過一定點P；

(2)若直線，分別與久軸正半軸，y軸正半軸交于點4(孫,0),B(0,yg),當△力。B面積最小時，求AdOB的周

長及此時的直線方程；

(3)當直線/在兩坐標軸上的截距均為正整數(shù)且a也為正整數(shù)時，求直線［的方程.

18.(2023下?重慶九龍坡?高一校考期末)圓0:/+y2=i,做0,1),p(—2,1),過P直線I交圓。于B,C兩點,

且B在尸,C之間.

⑴記三角形43尸與三角形ABC的面積分別為Si與S2,求+言的取值范圍；

(2)若直線4B,AC分別交x軸于M,N兩點，|MN|=4,求直線/的方程.

19.(2022上?湖北武漢?高二校聯(lián)考期中)如圖，已知圓0:/+『=1,點p為直線％+2y-3四=0上一

動點，過點P作圓。的切線，切點分別為M、N,且兩條切線PM、PN與x軸分別交于4、B兩點.

⑴當P在直線丫=無上時,求|P川-|PB|的值；

(2)當P運動時，直線MN是否過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由.

20.(2022上?四川內(nèi)江.高二?？计谥?在平面直角坐標系尤Oy中，已知圓心在x軸上的圓C經(jīng)過點4(3,0),

且被y軸截得的弦長為2b.經(jīng)過坐標原點。的直線/與圓C交于N兩點.

⑴求圓C的方程；

(2)求當滿足旃+20N=6時對應的直線/的方程；

(3)若點P(-5,0),直線PM與圓C的另一個交點為R,直線尸N與圓C的另一個交點為S,分別記直線/、直

線RS的斜率為七，k2,求證：卷為定值.

21.(2023上.廣西貴港.高二統(tǒng)考期末)已知橢圓W:真+真=l(a>b>0)的離心率為右左、右焦點分別

為后,&,過尸2且垂直于X軸的直線被橢圓卬所截得的線段長為3.

(1)求橢圓W的方程；

(2)直線丫=5丘0)與橢圓卬交于48兩點，射線叫交橢圓加于點C,若SA4BC=||，求直線AC的方程.

22.(2023上?四川成都?高二校聯(lián)考期末)己知橢圓「的方程為馬+'=l(a>6>0),稱圓心在坐標原點0,

a2b2

半徑為“2+爐的圓為橢圓「的“蒙日圓”,橢圓「的焦距為2,離心率為

⑴求橢圓r的方程；

(2)若直線E與橢圓「交于4、B兩點，與其“蒙日圓”交于C、D兩點，當|CD|=4時，求A/lOB面積的最大值.

23.(2023上?遼寧朝陽?高二?？计谀?已知動點M(x,y)到定點N(W,0)的距離與M到定直線：久=手的距

離之比為苧，記點M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)已知曲線C與y軸的正半軸交于點4,不與x軸垂直的直線I交曲線C于E,F兩點(E,F異于點4),直線

分別與x軸交于P,Q兩點，若P,Q的橫坐標的乘積為京則直線1是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不

是，請說明理由.

24.(2023下?貴州黔南?高二統(tǒng)考期末)已知直線2x—y—1=0與拋物線C:/=2py(p>0)交于4B兩點,

且|4B|=4V15.

(1)求P的值；

(2)設F為拋物線C的焦點，M,N為拋物線C上兩點，兩,同=0,求△MFN面積的最小值.

*2-,24

25.(2023下?北京海淀?高二清華附中?？计谀?已知橢圓E：31V+3=l(a>b>0),離心率e=；,點4為

E的左頂點，點尸為E的右焦點，\AF\=3.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)過點尸的直線1(不與久軸重合)與橢圓E交于M、N兩點,直線AM、AN分別交直線x=4于P,Q兩點，線

段PQ中點為R，△MPR,NRQ的面積分別為Si，S2,S3,求牛的值.

S2

26.(2023下?廣東廣州?高二統(tǒng)考期末)已知拋物線C:*=2px(p>0)的焦點為尸，點力(2,爪)在拋物線上,

且滿足黑=*其中。為坐標原點.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)直線I與拋物線C相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓過點P(l,2),作PD1MN,D為垂足.是否存在定

點Q，使得IDQI為定值？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

27.(2023下?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末)已知雙曲線C，—春=l(a>0,6>0)的離心率為店且C的一個

焦點到其一條漸近線的距離為1.

⑴求C的方程；

(2)設點4為C的左頂點，若過點(3,0)的直線1與C的右支交于P,Q兩點，且直線4P,2Q與圓0:/+/=分

別交于M,N兩點，記四邊形PQNM的面積為ATIMN的面積為52，求詈的取值范圍.

28.(2023下?重慶渝中?高二校考期末)已知雙曲線C1(。/>0)的漸近線方程為'=±),

其左右焦點為Fi，尸2，點。為雙曲線上一點，且ADaFz的重心G點坐標為G，乎).

(1)求該雙曲線的標準方程；

⑵過無軸上一動點P(t,0)作直線/交雙曲線的左支于A,B兩點,A點關于x軸的對稱點為4(4與8不重合),

連接BA并延長交x軸于點。問|OQ|?|OP|是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.

29.(2023下?四川成都?高二校聯(lián)考期末)已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:《+，=l(a>b>0)的

右頂點為A，上頂點為2,AAOB的面積為近，離心率e=/.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若斜率為左的直線1與圓/+y2=1相切，且/與橢圓C相交于M,N兩點，若弦長|MN|的取值范圍為

[|,2V2],求麗?加的取值范圍.

30.(2023下?上海青浦?高二統(tǒng)考期末)已知拋物線「:必=4x的焦點為F,準線為1.

(1)若F為雙曲線。:a一2y2=l(a>0)的一個焦點，求雙曲線C的方程；

(2)設/與％軸的交點為E,點P在第一象限，且在「上，若黑=乎，求直線EP的方程；

(3)經(jīng)過點尸且斜率為k(k芋0)的直線Y與r相交于4、B兩點，。為坐標原點，直線。4、0B分別與相交于點”、

N.試探究：以線段MN為直徑的圓C是否過定點，若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由.

31.(2023下?北京密云?高二統(tǒng)考期末)己知數(shù)列A：a1，a2,■■；an,■■■,滿足的=0,|ai+il=\at+1|

(i=1,2,-??,n,--?),數(shù)列A的前n項和記為Sn.

(1)寫出S3的值；

(2)若as=-2,求S5的值；

(3)是否存在數(shù)列A,使得S2022=1011?如果存在，寫出此時。2023的值；如果不存在，說明理由.

l

32.（2023下?江西吉安?高二統(tǒng)考期末）已知正項數(shù)列｛%J滿足（冊+1）九=（%1y+2（廝。1）,%=4.

（1）求數(shù)列｛廝｝的通項公式;

n2n

（2）證明：a<2+1-2

nn

（附：￡之>n-…%九，xi>0，當且僅當?shù)?=%2=%3=…=或九=1時取等號）

33.（2023下?遼寧?高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列｛即｝是正項等比數(shù)列，且的=2,"二生=1,若數(shù)列｛b｝滿

a2a3

足力2-:，匕九+1=5+%?

sun

（1）求數(shù)列｛%J和｛奶｝的通項公式；

（2）已知c九=--1----，記S九=q++…+4.若S九>也，恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

bnbn+1-a-n+ln2

/-I\H—1

34.（2023上?上海浦東新?高二?？计谀┮阎獢?shù)列｛即｝滿足的=ltan=t-an_1+（或（neN*,n>2）,tG

R.

（1）若t=1,求數(shù)列｛。九｝的通項公式；

（2）若t=￡求證:數(shù)列｛9%｝為等差數(shù)列，并求｛an｝的通項公式；

（3）對于（2）中的數(shù)列｛a",設b“=8n-即，則數(shù)列｛加｝是否有最大項，如有，請求出是第幾項，若沒有,

請說明理由.

35.（2023上?北京通州?高三統(tǒng)考期末）約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)?。ǜ?）除得

的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱Q為m的倍數(shù)，稱血為Q的約數(shù).設正整數(shù)Q共有k個正約數(shù)，即為的,。2,

CLk_ltak(的<a2<>,<以).

⑴當k=4時，若正整數(shù)a的/c個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請寫出一個Q的值；

(2)當kN4時，若@2-。1，。3-。2,…,以一以-1構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)G；

2

(3)記A=ara2+a2a3(--\-ak-rak,求證：A<a.

36.(2023上?江蘇南通?高二統(tǒng)考期末)在①“2-2Sn+1+Sn=4；②鷲-^=2；③卷±1=8這三個

條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.

問題：已知等差數(shù)列｛即｝的前w項和為立,滿足aio=S4,且________，

(1)求｛5｝的通項公式；

⑵設數(shù)列圉的前n項和為加求滿足7；<手的最大整數(shù)n的值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

37.(2023上?天津?qū)幒?高三校考期末)已知數(shù)列｛廝｝是公差為1的等差數(shù)列，且的+a2=。3,數(shù)列｛%｝是

等比數(shù)列，且瓦?b2=b3,a4=4瓦-等

(1)求｛廝｝和｛%｝的通項公式；

⑵令①=:屋，求證：d1+d2+d3+-+dn<2；

1_2”[

in

(3)記％=a2n.ia2n+3~—其中keN*,求數(shù)列｛cn｝的前271項和S2n.

(2a九—1)'bn,n=2k

38.(2023下?天津?高二校聯(lián)考期末)已知數(shù)列｛即｝的前n項和為%=1且=3Sn+l(neN*)；等差

數(shù)列｛/｝前幾項和為%滿足乃=49,既=9.

(1)求數(shù)列｛an｝,也｝的通項公式；

(2)設％=bn-鬻，求數(shù)列｛“｝的前幾項和；

(3)設匕=ban+1+ban+2+…+ban+n,若V4>0,對任意的正整數(shù)n都有萬-fcA+；>壬恒成立，求k的

717171

3Pn-Tl

最大值.

39.(2023下?上海寶山?高二統(tǒng)考期末)在數(shù)列｛即｝中，a=在等差數(shù)列也｝中，前幾項

n(乙Q九—1ID,fl4

和為Sn,瓦=2,2b3+S5=28.

(1)求數(shù)列｛%J和｛5｝的通項公式;

⑵設數(shù)列｛%｝滿足％=(即+3力九)3而，數(shù)列｛c九｝的前幾項和記為加,試判斷是否存在正整數(shù)m,使得7=

2023?若存在，求出租的值；若不存在，說明理由.

40.(2023下?上海?高二期末)對于任意的nEN*,若數(shù)列也九｝同時滿足下列兩個條件，則稱數(shù)列｛冊｝具有“性

質(zhì)m”：

①咄產(chǎn)〈即+1；②存在實數(shù)使得%1MM成立.

(1)數(shù)列｛%J、也｝中，。九=九/九=2sin等(九=1,234,5),判斷｛%J、｛b九｝是否具有“性質(zhì)加'；

(2)設各項為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前"項和為%,且C3=],S3=：,數(shù)列｛S“｝是否具有“性質(zhì)機”，若具有，

請證明你的猜想，并指出〃的范圍；若不具有，理由？

(3)若數(shù)列｛4J的通項公式%=t(32：7+i5eN*).對于任意的n>3(n6N*),數(shù)列｛%｝具有“性質(zhì)ni',

且對滿足條件的M的最小值Mo=9,求證：t=3.

41.(2023上?江蘇常州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/'(尤)=e*-a久一cosx(aeR),且曲線y=/(x)在原點處

的切線方程為久+y=0.

(1)求實數(shù)a的值；

(2)討論/(久)在R上的零點個數(shù)，并證明/(久)>-V2.

42.(2023下?北京海淀?高二清華附中?？计谀?已知函數(shù)f(x)=ln(ax+b)-/在點。/口))處的切線方

程為y=—x.

(1)求a、6的值：

(2)求函數(shù)/(久)的單調(diào)區(qū)間；

(3)令g(x)=/'(久)+1/-mx,若函數(shù)g(x)的極小值小于0,求小的取值范圍.

43.(2023下?黑龍江雙鴨山?高二?？计谀?已知函數(shù)/(久)=卷。

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)存在％1，久2e(1,+8)且XIX2,使|/(X1)-2k|ln%i-ln%2l成立，求k的取值范圍.

44.(2023上?上海松江?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)y=/(x),記/(久)=x+sinx,x&D.

(1)若D=[0,2TT],判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若D=(。,手，不等式/(x)>kx對任意久G。恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

(3)若。=R,則曲線y=/(x)上是否存在三個不同的點使得曲線y=/(*)在4B,C三點處的切線互相

重合？若存在，求出所有符合要求的切線的方程；若不存在，請說明理由.

45.(2023下?重慶江津?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(x)=xlnx—37n/—居7neR.

(1)若g(x)=尸0)(/Q)為/(x)的導函數(shù))，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求函數(shù)g(x)在區(qū)間[l,e]上的最大值；

(3)若函數(shù)/(x)有兩個極值點大右)，求證：『一+9->2.

46.(2023下?山東威海?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/。)=急.

(1)若/Q)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若f(x)存在兩個極值點與，%2.

(i)求實數(shù)a的取值范圍；

(ii)證明:xr+x2>2a.

47.(2023下?吉林長春?高二長春十一高?？计谀?已知函數(shù)/(久)=aln,—久，g(x)=ax-aex.(e=

2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)當a=1時，求函數(shù)y=/(久)的極大值；

Xz

(2)已知久1，x2G(0,+oo),且滿足/(石)>］(亞)，求證：+ae>2a.

48.(2023下?遼寧?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(X)滿足/=elnx,且f(e)=1,函數(shù)由比)=

—X2+2ax+4.

(1)求f(x)的圖象在久=e處的切線方程；

(2)若對任意X】G(l,e］,存在久2e［1,2］,使得/(久1)>。(久2)，求a的取值范圍.

49.(2023下?內(nèi)蒙古赤峰?高二校聯(lián)考期末)己知函數(shù)f(x)=x(alnx—x—1).

⑴當a=1時，討論;'(%)的單調(diào)性;

(2)令g(x)=-x,若/(X)=g(x)有兩個不相等的實數(shù)根的,刀2.

(i)求a的取值范圍；

2

(ii)求證：xr-x2>e.

50.(2023上?上海浦東新?高三統(tǒng)考期末)設y=f(久)是定義在R上的函數(shù)，若存在區(qū)間［a,切和殉e(a,6),

使得y=f(x)在［a,久。］上嚴格減，在［%。,加上嚴格增，則稱y=/(%)為“含谷函數(shù)”，龍。為“谷點”，［。，句稱為y=

f(x)的一個“含谷區(qū)間

(1)判斷下列函數(shù)中，哪些是含谷函數(shù)？若是，請指出谷點；若不是，請說明理由：

(i)y=2|x|,(ii)y—x+cosx；

(2)已知實數(shù)7n>0,y=——2%—mln(%—1)是含谷函數(shù)，且［2,4］是它的一個含谷區(qū)間，求m的取值范圍;

(3)設p,q6R,/i(x)=—x4+px3+qx2+(4—3p-2q)x,設函數(shù)y=h(%)是含谷函數(shù)，［a,5］是它的一個

含谷區(qū)間，并記b—a的最大值為L(p,q).若以1)4版2),且h(l)<0,求L(p,q)的最小值.

高二上學期期末考試解答題壓軸題50題專練

【人教A版(2019)]

1.(2023上?山東濰坊?高二統(tǒng)考期末)已知向量2=(居1,2),b=(l,y,-2),c=(3,1,z),且力/B,b1c..

(1)求向量出b,5的坐標；

(2)求a+己與3+1所成角的余弦值.

【解題思路】(1)由空間向量平行與垂直坐標公式列出方程組，即可求解；

(2)利用空間向量的夾角坐標公式，即可得解.

【解答過程】(1)?.,向量a=0,1,2),b=(l,y,-2),c=(3,l,z),且刃萬，b1c,

易知y豐0,否則江〃另不成立，

X_1_2

1'-2,解得%=—1,y=-1,Z=1.

3+y—2z=0

**?向量五=(—1,1,2),b=(1,—1,-2),c=(3,1,1).

(2)???/+3=(2,2,3),b+c=(10,-1),

?,*(d++?)=2x4+2x0+3x(-1)=5,

\a+c\=V22+22+32=VT7，|b+c|=J42+()2+(—1)2=y/yj

向量B+1與石+/所成角的余弦值為(=?%+?=后%=也

\a+c\\b+c\V17XV1717

2.(2023下?江蘇宿遷?高二統(tǒng)考期末)在四棱柱48CD—4B1GD1中，D^E=kD^A,D^F=kD^B,*=

kDrC,D1H=k^D.

(1)當k=三時，試用彳瓦而，麗表示屈；

(2)證明：E,F,G,H四點共面；

(3)判斷直線AQ能否是平面4AB和平面ADC的交線，并說明理由.

【解題思路】(1)直接利用空間向量線性運算可得衣=荏+而，再根據(jù)已知關系標=*而，豌=*-

D^=^AB,進行化簡可得出結(jié)果.

4

（2）可設尼=XAB+〃礪（4,〃不為0）,由題意可化簡得到的=kAC,將前=XAB+〃前代入并結(jié)合題

意可化簡得出說=4而+〃麗，即可證明出E,F,G,H四點共面.

（3）先假設面D14BC面根據(jù)棱柱的性質(zhì)，可得出DC〃平面進而得出DC〃AB,反之

當DC7/4B,可判斷出AGu平面AGu平面DC5,得出平面AB%C平面。。。廣久心，得出當

DC〃/1B時，直線AG是面和面D/C的交線，反之不行，從而得出結(jié)果.

【解答過程】（1）通=族+麗=（麗+五F—庠=3麗+|審—|取

J麗+三荏上河+^AD+三荏；

4144144

（2）設方=4屈+〃而（九〃不為0）,

EG=1\G-D^E=ki\C-kD^A=kAC

=k（入AB+fiAD）=kXAB+kfiAD=kX（DrB—DxX）+/j.k（D1D—DM）

=4（印-屁）+n（D^H-O）=AEF+面

則前，EG,南共面且有公共點E,則E,F,G,H四點共面；

（3）假設面必48C面。iDC=。停1，在四棱柱ABC。-4/1的。1中，

DC//DrCr,DQu面48%DC^ABD1,則DC〃平面

又DCu面4BCD,面ABD】C面力BCD=AB,貝UDC//AB；

反過來，當DC//4B時,因為OC〃Z\Ci，則4B〃/Ci，

則AB,AG確定平面4BD1Q

則￡>iCu平面ABDi，

又因為AGu平面。CD],

所以平面ABAC平面DCDi=ACi，

所以。C〃AB是直線4的是面和面D/C的交線的充要條件；

所以，當。。/4B時，直線AG是面。MB和面4DC的交線；

當DC,AB不平行時，直線AG,不是面/AB和面ADC的交線

3.(2023下?浙江舟山?高二統(tǒng)考期末)如圖,在三棱柱4BC-4/1Q中，底面是邊長為2的正三角形,=

乙414C=45°,平行于441和BC]的平面分別與4伉4&&。1，2/1交于。E,F,G四點.

(1)試判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由；

(2)若44]=3,。是4B的中點，求直線DF與平面ABC所成角的正弦值.

【解題思路】(1)首先根據(jù)面面平行的判定以及面面平行的性質(zhì)證明線線平行，然后證明四邊形DEFG是

矩形；

(2)首先求出F到平面4BC的距離，然后求解直線DF與平面ABC所成角的正弦值；

【解答過程】(1)四邊形。EFG是矩形，下面給出證明：

因為IICG，由題意"i〃平面。EFG,8Ci〃平面DEFG,

CCt0SQ=Ct,CC],BC】u面BCQB1，

所以平面BCG%//平面DEFG,又平面4幽41n平面。EFG=DG,平面4咽力1CI平面BCC/】=BBr,

所以DGIIBB1,同理EF||CClt又CC、IIBB「

所以DG||EF,同理DE||BC||||GF,

所以四邊形DEFG是平行四邊形.

取BC中點P,連接4P、ArP,貝lapIBC.

又因為△4B&ACAi，所以4B=&C,故有&P1BC.

AP.AjP交于P且都在面AAjP內(nèi)，所以BC1平面44iP,又

所以BC_L44i，

綜上知：DE1DG,即四邊形DEFG是矩形.

(2)設F到平面4BC的距離為八,即為&到平面2BC的距離.

作Ai"14P交2P于點”，由(1)及BC在面ABC內(nèi)知：平面441P1平面2BC,

而A尸為兩垂直平面的交線，48在面AVP內(nèi)，所以1平面=&H.

設直線。尸與平面ABC所成角為巴貝ljsin6=2.

DF

設A4i=3,在44B&中余弦定理知：A1B=,9+4-6/=J13-6/=ArC,

在小&BC中，ArP=J&B2_1=712-6V2,

AA1+APA1P

在AaiAP中，AP—V3,coszX1y4P—~.—所以sinZTliAP=包,

2AA^'AP33

h=ArH=AAt-sinZ.ArAP=V3.

DF=y/FG2+DG2=VT+9=V10,

所以sE"JI=*

所以直線。尸與平面ABC所成角的正弦值為當；

10

解法二：設DF與面4BC所成角為aF到面4BC距離為％,設BC中點P,

因為面241Pl面4BC,所以COSN&4P=鬻黑=專=爭

~2~

所以h=dAi.ABC=AAr-sinZi4ti4P=3?曰=V3,

又在矩形DEFG中，DF=V9TT=V10,所以sinJ=2=?

DF10

解法三：向量法

作C。垂直4公交241于。，連接B。，易知Aac。三AAB。，則B01A公

所以NCOB即為二面角C-441一B的平面角，CB=2（0=BO=V2,

fffl^CO2+BO2=BC2,所以ZCOB=90。，即。C10B,

如圖以。為坐標原點，。&、OB,0c分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，

則4（-短,0,0）,B（0,V2,0）,C（0,0,V2）,D（-y,y,0）,F（3-y,0,,

所以荏=（V2,V2,O）,ZC=（V2,0,V2）,

設面4BC的法向量為元=（x,y,z）貝J',空一YI"+YE'—°,令x=L得y=-l,z=-l,則元=

kn-AC=V2x+V2z=0

而二（3,欄聾,

設DF與面ABC所成角為仇

sin"\cos（DF,n）\=繇=益=*

4.（2023下?浙江臺州?高一溫嶺中學校考期末）如圖，已知四棱臺ABC?！猘/iGA的底面是菱形，且N48C=

60°,側(cè)面ABB14是等腰梯形，AB=32/1=6,84=2VXCG=4,E為棱。4上一點，且。遂二^^江

4

⑴求證：平面4BB141平面ABCD；

（2）若過點C,E的平面a與BD平行，且交直線力久于點F,求二面角F-CB一。的余弦值.

【解題思路】（1）延長四棱臺的四條側(cè)棱交于點P,取4B中點0,證明P。1平面ABC。后可得證面面垂直;

（2）以。為原點，O4OQOP分別為%,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。一xyz,首先求出平面a的一

個法向量，確定出F與4重合，再由向量法求得二面角.

【解答過程】（1）分別延長四棱臺的四條側(cè)棱交于點P,則由48=34/1，A41=BB]=2迎得P&=PBr=

=V2,

又4%=2,所以P擊+P屏=&虜，即△0&名為等腰直角三角形，從而APAB為等腰直角三角形，P是

直角頂點，

取4B中點。，連接PO,則PO=14B=3,PO1AB,

又PC=|CQ=6,由題意△力CB是等邊三角形，因此C014B,OC=~AB=3A/3,

所以PC?=。。2+。。2,所以p。，。。，

又4BC0C=。，u平面2BCD,所以「。_1平面48。。，

因為P。u平面488送1，所以平面4峭411平面4BCD；

(2)以。為原點，。4。&<^分別為%,%2軸建立空間直角坐標系。一孫2,如圖，

則。(6,38,0),P(0,0,3),E(3,苧,|),C(0,3V3,0),4(3,0,0),B(-3,0,0),

CE=(3,—苧,|),麗=(9,373,0),

設平面a的一個法向量是記=(x,y,z),則，記.遺=°,

樂I?BD=0

□35/33

即3芯_三、十±z_u,?。?1,則y=_W,z=-5,即沆=(1,_百,_5),

9%+3V5y=0

設標=AAP=(一3尢0,3/1),則而=CA+AF=(3-3Af-3^3,3A),

--->O

所以CF-m=3-3A+9-15Z=0,A=|,

所以尸與4重合.

所以二面角尸-CB—O即為二面角4—C8-￡),

BC=(3,3V3,0),=(4,0,2),

設平面41cB的一個法向量是元=(a,b,c),

則/B三3a+3同=0,取°=i,得元=(_b1)2V3),

又平面BCD的一個法向量是五=(0,0,1),

/->n/c2A/3A/3

COS(Tl,K)=LI=/——=—，

''同同V3+1+12X12

所以二面角F—CB—。的余弦值是弓.

5.(2023下?重慶沙坪壩?高一重慶一中?？计谀?如圖，尸為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AC為底面

直徑，△480為底面圓。的內(nèi)接正三角形，且△48。的邊長為百，點E在母線PC上，且=CE=1.

p

(1)求證：直線PO〃平面BDE,并求三棱錐P-BDE的體積：

(2)若點M為線段P。上的動點，當直線DM與平面48E所成角的正弦值最大時，求此時點M到平面ABE的距離.

【解題思路】(1)設2CCBD=F,由正弦定理和三角形相似關系可證得EFL力C,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)

可證得平面4BD,由此可得PO〃EF,由線面平行的判定可得結(jié)論；由平行關系可得0_BDE=%-BDE，

根據(jù)棱錐體積公式可求得結(jié)果；

(2)以尸為坐標原點可建立空間直角坐標系，設施=根據(jù)線面角的向量求法，可確定當2=|時，sin。

取得最大值，由此可確定前彳，利用點到面的距離的向量求法可求得結(jié)果.

【解答過程】(1)設ACnBD=F，連接EF,

,??△48。為底面圓。的內(nèi)接正三角形，??.AC=當=2,F為8。中點,

si嗎

又4尸=3--=-,CF=2--=-,AO=-AF=1；

742223

AE=V3,CE=1,.-.AE2+CE2=AC2,???AE1EC,

AFAF

?.?竺=竺，；

AEAC-.^AEF^AACE,/.AFE=Z.AEC,?-?EFLAC

???P。J?平面力BD,POu平面P4C,二平面P4C_L平面ABD,

???平面P4C。平面4BD=AC,EFu平面PAC,EF，平面4BD,

又P。1平面2BD,EF//PO,

■：PO仁平面BDE,EFu平面BDE,P?！ㄆ矫鍮DE；

??,F為BD中點，AFLBD,即。FJ.8D,

又EF1平面ABD,OF,BDc^FffiXFD,EF1OF,EF1BD,

???EFCBD=F,EF,BDu平面8DE,OF1平面8DE,

EF=y/AE2-AF2=3--=—,EF1BD,,-.S,=-BD-EF=-Xy/3x—=-,

q42ABDE2224

又OF="F=|,PO〃平面BDE,

11311

=XX=

Vp-BDE=VO-BDE=三DS^BDE'。9oD77Zpo-

(2)vOF=CF=I，F(xiàn)為。C中點，又PO〃EF,???E為PC中點，PO=2EF,

：.PO=V3,PC=2,

以F為坐標原點，而，而，而正方向為x,y,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

則4(0,_|,0),B(y,0,0),F(0,0,y)<￡>(-y,0,0),0(0,-j,0),P(0,-|,V3),

.??荏=（今|,0）,荏=（。,|片），訶=（。,0,旬，麗=（今/。），育=（今-|,0）,

設麗=WP=(0,0,V3A)(0<2<1),.-.DM=Dd+OM=(y,-|,V3A)；

設平面4BE的法向量元=（x,y,z）,

(AB-n=~x+-y=0

則《23.,令y=—1,解得：x=V3,z=V3,n=(V3,—1,V3),

荏?元=三丫+如z=0

I2，2

設直線DM與平面/BE所成角為仇

|2+3A|

sin。=?—qI-；

|DAf|-|n|V7xV3A2+l

令t=34+2,貝IjtC[2,5],%=T，

(t-2)2

3M+1_3+1_t2-4t+7

(3A+2)2~t2~3t2

111-23A2+111

???-G闿=即a=機寸,(3A+2)2]

.52.7亞

min47’

???(sin0)max==1,此時而=(f,一

V7XJi'222，

■■.MA=DA-DM=(0,-1,-y),

.?.點M到平面力BE的距離d=呻=4=5.

\n\V714

6.(2023下?重慶沙坪壩?高一?？计谀?我們把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公

垂線.如圖，在菱形4BCD中，ABAD=60°,將AABD沿BD翻折，使點A到點尸處.E,F,G分別為BD,PD,

BC的中點，且FG是PD與BC的公垂線.

(1)證明：三棱錐P—BCD為正四面體；

(2)若點M,N分別在PE,BC上，且MN為PE與BC的公垂線.

①求黑的值；

ME

②記四面體BEMN的內(nèi)切球半徑為r,證明：；〉力+力.

2rEMBN

【解題思路】(1)作出輔助線，證明出線面垂直，得到BCLPG,由三線合一得到PB=PC,進而得到六

條邊均相等，證明出結(jié)論；

(2)①設出邊長，由余弦定理得到COSNPEC=設出麗=APE.BN=畫,表達出而=(1一〃)麗+

(1EC+(2-1)￡T,利用而?前=標?阮=0列出方程，求出九得到答案；

②取中點Q,令乙MEQ=a,則E到平面MBN的距離為d=MEsina,表達出VE_MBN<3ME?BN?MN,

6

再利用四棱錐內(nèi)切球半徑得到/_MBN=1s?r,其中S>MN?(ME+BN),進而得到不等式，求出答案.

【解答過程】(1)連接PG,DG,

因為菱形4BCD