2024-2025學年山東省菏澤市高二上學期開學考試數(shù)學檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)，在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.某車間從生產的一批零件中隨機抽取了1000個進行一項質量指標的檢測，整理檢測結果得到此項質量指標的頻率分布直方圖如圖所示.若用分層抽樣的方法從質量指標在區(qū)間的零件中抽取170個進行再次檢測，則質量指標在區(qū)間內的零件應抽?。ǎ〢.30個 B.40個 C.60個 D.70個3.拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，設“第一次向上的點數(shù)是2”為事件，“第二次向上的點數(shù)是奇數(shù)”為事件，“兩次向上的點數(shù)之和能被3整除”為事件，則下列說法正確的是（）A.事件與事件互斥B.C.D.事件與事件不相互獨立4.已知是兩條不同直線，是兩個不同平面，給出四個命題：①若，，，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的命題是（）A. B. C. D.5.若非零向量、滿足，且，則與的夾角為()A. B. C. D.6.靈運塔，位于九江市都昌縣東湖南山濱水區(qū)，踞南山之巔，南望鄱湖，當代新建仿古塔．某校開展數(shù)學建?；顒?，有建模課題組的學生選擇測量靈運塔的高度，為此，他們設計了測量方案．如圖，靈運塔垂直于水平面，他們選擇了與靈運塔底部D在同一水平面上的A，B兩點，測得米，在A，B兩點觀察塔頂C點，仰角分別為和，，則靈運塔的高度CD是（）A.45米 B.50米 C.55米 D.60米7.已知圓錐的高為，它的側面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積是（）A. B. C. D.8.如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動點，則的最小值為（）A B. C. D.3二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，在三棱錐中，能推出的條件是（）A.， B.，C平面平面， D.平面10.某科技學校組織全體學生參加了主題為“創(chuàng)意之匠心，技能動天下”的文創(chuàng)大賽，隨機抽取了400名學生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（）A.在被抽取的學生中，成績在區(qū)間內的學生有160人B.圖中的值為0.020C.估計全校學生成績的中位數(shù)約為86.7D.估計全校學生成績的80%分位數(shù)為9511.在中，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則為銳角三角形.C.等式恒成立.D.若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為___________.13.如圖，在中，點在邊上，，等邊三角形，且面積為，則______．14.在四棱柱中，底面，底面是正方形，，，為中點，則異面直線與所成角的余弦值為_____．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知中，，是邊上一點，，，.（1）求的長；（2）求的面積.16.如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.將△ADE與△BCF分別沿AE，BF折起，使得點D、C重合(記為點P)，形成圖2，且△PEF是等腰直角三角形.（1）證明：平面PAE⊥平面PBF；（2）求二面角的正弦值；（3）若，求四棱錐的體積.17.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.（1）求角C；（2）求△ABC的外接圓的半徑R，并求△ABC的周長的取值范圍.18.第19屆亞運會將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務工作是亞運會成功舉辦的重要保障．某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并按照，，，，分成五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第二、三、四組的頻率之和為0.9，第一組和第五組的頻率相同．（1）求，的值；（2）估計這100名候選者面試成績的中位數(shù)（精確到0.1）；（3）若先用分層隨機抽樣方法從面試成績在段的候選者中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人來自同一分數(shù)段的概率．19.已知直三棱柱滿足，，點，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.（3）求三棱錐的體積2024-2025學年山東省菏澤市高二上學期開學考試數(shù)學檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)，在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正確答案】D【分析】由復數(shù)的乘除法運算和的性質可得答案.【詳解】復數(shù)，在復平面內對應的點，所以在復平面內對應的點位于第四象限.故選：D.2.某車間從生產的一批零件中隨機抽取了1000個進行一項質量指標的檢測，整理檢測結果得到此項質量指標的頻率分布直方圖如圖所示.若用分層抽樣的方法從質量指標在區(qū)間的零件中抽取170個進行再次檢測，則質量指標在區(qū)間內的零件應抽?。ǎ〢.30個 B.40個 C.60個 D.70個【正確答案】C【分析】由分層抽樣按比例計算．【詳解】設質量指標在區(qū)間內的零件應抽取個，則，解得，故選：C．3.拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，設“第一次向上的點數(shù)是2”為事件，“第二次向上的點數(shù)是奇數(shù)”為事件，“兩次向上的點數(shù)之和能被3整除”為事件，則下列說法正確的是（）A.事件與事件互斥B.C.D.事件與事件不相互獨立【正確答案】C【分析】由互斥事件的定義判斷A；應用列舉法計算，判斷BC；利用獨立事件的定義判斷D.【詳解】顯然事件A與事件B可以同時發(fā)生，事件與事件不互斥，A錯誤；拋擲一枚骰子兩次的樣本點數(shù)共36種：，，，，，，事件B的樣本點為，共18種，事件C的樣本點為，共12種，事件的樣本點為，共6種，因此，B錯誤；，C正確；而，于是，則事件B與事件C相互獨立，D錯誤.故選：C4.已知兩條不同直線，是兩個不同平面，給出四個命題：①若，，，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的命題是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由面面垂直的判定定理，可判斷①的真假；由面面平行的判定定理及線面垂直的幾何特征，可以判斷②的真假；由面面垂直的判定定理，及線面垂直的幾何特征，可以判斷③的真假；根據(jù)線面平行的幾何特征及面面平行的判定方法，可以判斷④的真假．【詳解】①若，，，如圖，則與不一定垂直，故①為假命題；②若，根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面平行，則；故②為真命題；③若，則，故③為真命題；④若，如圖，則與可能相交，故④為假命題．故選B．本題考查的知識點是平面與平面之間的位置關系，熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定定理、性質定義、幾何特征是解答的關鍵．5.若非零向量、滿足，且，則與的夾角為()A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義和運算法則即可計算.【詳解】，，∴，.故選：B.6.靈運塔，位于九江市都昌縣東湖南山濱水區(qū)，踞南山之巔，南望鄱湖，當代新建仿古塔．某校開展數(shù)學建?；顒樱薪Ｕn題組的學生選擇測量靈運塔的高度，為此，他們設計了測量方案．如圖，靈運塔垂直于水平面，他們選擇了與靈運塔底部D在同一水平面上的A，B兩點，測得米，在A，B兩點觀察塔頂C點，仰角分別為和，，則靈運塔的高度CD是（）A.45米 B.50米 C.55米 D.60米【正確答案】B【分析】設，進而可得，由余弦定理得：，可求．【詳解】設米，在中，，則，在中，，則，因為，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米).故選：B7.已知圓錐的高為，它的側面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】直接利用扇形弧長公式和面積公式計算即可.【詳解】由題意知，設圓錐的底面圓半徑為r，母線長為l，則，底面圓周長為，又扇形的弧長為，所以，解得，得，所以底面圓的面積為，扇形面積為，所以圓錐的表面積為.故選：A8.如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動點，則的最小值為（）A. B. C. D.3【正確答案】B【分析】連接，以所在直線為軸，將所在平面旋轉到平面，設點的新位置為，連接，判斷出當三點共線時，則即為的最小值.分別求出,,利用余弦定理即可求解.【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉到平面，設點的新位置為，連接，則有.當三點共線時，則即為的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.同理可求：因為，所以為等邊三角形，所以，所以在三角形中，,,由余弦定理得.故選B.（1）立體幾何中的翻折（展開）問題截圖的關鍵是：翻折（展開）過程中的不變量；（2）立體幾何中距離的最值一般處理方式：①幾何法：通過位置關系，找到取最值的位置（條件），直接求最值；②代數(shù)法：建立適當?shù)淖鴺讼?，利用代?shù)法求最值.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，在三棱錐中，能推出的條件是（）A.， B.，C.平面平面， D.平面【正確答案】BCD【分析】利用線面垂直的判定與性質及面面垂直的性質，即可得出結論．【詳解】解：對于A，，，不能證明，不能推出；對于B，，，，則平面，，能推出；對于C，平面平面，平面平面，，平面，，能推出；對于D，平面，，能推出；故選：BCD．10.某科技學校組織全體學生參加了主題為“創(chuàng)意之匠心，技能動天下”的文創(chuàng)大賽，隨機抽取了400名學生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（）A.在被抽取的學生中，成績在區(qū)間內的學生有160人B.圖中的值為0.020C.估計全校學生成績的中位數(shù)約為86.7D.估計全校學生成績的80%分位數(shù)為95【正確答案】ACD【分析】對于A，由頻率分布直方圖求出的頻率，再乘以400可得結果，對于B，由各組的頻率和為1可求得結果，對于C，先判斷中位數(shù)所在的區(qū)間，再列方程求解，對于D，根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.【詳解】由題意，成績在區(qū)間內的學生人數(shù)為，故A正確；由，得，故B錯誤；由于前3組的頻率和，前4組的頻率和，所以中位數(shù)在第4組，設中位數(shù)為，則，得，故C正確；低于90分的頻率為，設樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為，則，解得，故D正確.故選：ACD.11.在中，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則為銳角三角形.C.等式恒成立.D.若，則【正確答案】ACD【分析】由正弦定理可得即結合同角三角函數(shù)基本關系可判斷A；由余弦定理可判斷為銳角，而角和角無法確定即可判斷B；由正弦定理以及兩角和的正弦公式可判斷C；求出角，，，由正弦定理可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：在中，若，則，由正弦定理可得，所以，即，所以，可得，故選項A正確；對于B：由余弦定理可得只能判斷角為銳角，而角和角無法確定是什么角，所以得不出為銳角三角形，故選項B不正確；對于C：由正弦定理可得，右邊等于左邊顯然成立，故選項C正確；對于D：因為，，所以，，由正弦定理可得，故選項D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為___________.【正確答案】且．【分析】由數(shù)量積大于0，再除去共線的值即可參數(shù)范圍．【詳解】由題意，，又，時，兩向量相等，夾角為0，所以的范圍是且．故且．13.如圖，在中，點在邊上，，是等邊三角形，且面積為，則______．【正確答案】##【分析】求出，，再利用余弦定理求解.【詳解】解：因為是等邊三角形，且面積為，所以，解得，所以．因為，所以，由題得，在中，由余弦定理得，即，解得．故答案：14.在四棱柱中，底面，底面是正方形，，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為_____．【正確答案】【分析】結合題意，建立坐標系，運用向量的數(shù)量積公式，計算夾角余弦值，即可．【詳解】結合題意，繪制圖形，建立坐標系，得到點的坐標分別為：故，所以本道題考查了向量數(shù)量積公式，考查了異面直線所成角余弦值計算方法，難度中等．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知中，，是邊上一點，，，.（1）求的長；（2）求的面積.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，由正弦定理求出的長；（2）在中，求出，由余弦定理求出，再由三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）由已知，則中，；（2）中，，，，由余弦定理得：，解得，所以的面積為.本題主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式的應用，屬于中檔題.16.如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.將△ADE與△BCF分別沿AE，BF折起，使得點D、C重合(記為點P)，形成圖2，且△PEF是等腰直角三角形.（1）證明：平面PAE⊥平面PBF；（2）求二面角的正弦值；（3）若，求四棱錐的體積.【正確答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）應用線面垂直判定證面，再由面面垂直的判定證結論；（2）連接PG，PH，GH，且G，H分別為AB，EF的中點，根據(jù)二面角的定義找到其對應的平面角，根據(jù)題設求該角正弦值即可；（3）根據(jù)已知求得PH，結合PH⊥平面ABFE，棱錐的體積公式求體積.【小問1詳解】由題設，易知，又為等腰直角三角形，故，由且都在面內，故面，面，所以平面PAE⊥平面PBF；【小問2詳解】如圖，連接PG，PH，GH，且G，H分別為AB，EF的中點，由（1）知，故PG⊥AB，又GH∥AE，AE⊥AB，∴GH⊥AB，故∠PGH為二面角的平面角，由（1）知，AE⊥平面PEF，又平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE，又平面ABFE∩平面PFE，PH⊥EF，平面PFE，所以PH⊥平面ABFE，設，則，，，，故二面角的正弦值為；【小問3詳解】由（2）得PH⊥平面ABFE，又AB，所以，則，故四棱錐的體積為1.17.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.（1）求角C；（2）求△ABC的外接圓的半徑R，并求△ABC的周長的取值范圍.【正確答案】（1）（2），【分析】（1）由正弦定理結合和角公式得出角C；（2）由正弦定理得出，由正弦定理的邊化角公式得出，結合三角函數(shù)的性質得出△ABC的周長的取值范圍.【小問1詳解】由題，因為所以由正弦定理可得即在△ABC中，，且，B，又，所以，則【小問2詳解】由正弦定理得，所以由（1）知，，所以因為，所以則即△ABC的周長的取值范圍為18.第19屆亞運會將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務工作是亞運會成功舉辦的重要保障．某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并按照，，，，分成五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第二、三、四組的頻率之和為0.9，第一組和第五組的頻率相同．（1）求，的值；（2）估計這100名候選者面試成績的中位數(shù)（精確到0.1）；（3）若先用分層隨機抽樣的方法從面試成績在段的候選者中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人來自同一分數(shù)段的概率．【正確答案】（1），（2）69.4（3）【分析】（1）由頻率分布直方圖列方程組即能求出的值；（2）由于第一、二組的頻率之和為0.3而第三組的頻率為0.45，所以中