目錄

【題型歸納】

題型一求曲線的方程.................................................3

題型二最值（范圍）問題..............................................4

題型三定點定值與存在性.............................................6

【鞏固訓(xùn)練】

題型一求曲線的方程.................................................8

題型二最值（范圍）問題..............................................9

題型三定點定值與存在性............................................11

高考數(shù)學(xué)《圓錐曲線》題型歸納與訓(xùn)練

【題型歸納】

題型一求曲線的方程

例1已知定點G（—3,0）,S是圓C:（x—3y+y2=72（C為圓心）上的動點，SG的垂直平分線與SC交于點E,

設(shè)點E的軌跡為M.求M的方程.

【答案】見解析

【解析】由題意知但。二|冏，所以怛6+但0=|第+但。=6＞反又因為|Gq=6v6jL所以點E的軌跡是

22

以G,C為焦點，長軸長為6垓的橢圓，動點E的軌跡方程為三十二=1.

189

例2設(shè)。為坐標(biāo)原點，動點用在橢圓。:土+產(chǎn)=1上，過點〃作x軸的垂線，垂足為N,

2

點P滿足NP=y/2NM.求點P的軌跡方程.

【答案】見解析

【解析】如圖所示，設(shè)P（x,y）,N（x,0）,M（x,yx）.

由=知，y=\t2y1,即

又點M在橢圓］+V=l上，則有'+'=1,即/+尸=2

例3如圖，矩形A3CD中，A（—2,0）,B（20）C（2,2）,O（—2,2）且麗7=4。。，

4e［0』］,4N交8M于點Q.若點。的軌跡是曲線尸的一部分，曲線P關(guān)于x軸、y軸、原點都對稱，求曲線尸的

軌跡方程.

【答案】。的軌跡為第二象限的,橢I員I,由對稱性可知曲線P的軌跡方程為三+9=1.

44

【解析】設(shè)Q（x,y）,由AM=/M￡）,￡W=；IDC,求得M（—2,2；l）,N（4；l—2,2）,

1.?I

:k=彳7，攵酬z=一彳，??攵如戊心

ANZ/lZ4

yy=-l,整理得作十9=］（-2?了40,0（丫（1）.

x+2x-2

1丫2

可知點。的軌跡為第二象限的上橢圓，由對稱性可知曲線P的軌跡方程為上+/=1

44

【易錯點】求軌跡問題學(xué)生容易忽視范圍

【思維點撥】高考中常見的求軌跡方程的方法有：

1.直譯法與定義法：直譯法求軌跡方程:題目給出的條件可以直接得到一個關(guān)于動點坐標(biāo)的關(guān)系式,化簡；

定義法求筑跡方程:軌跡方程問題中，若能得到與所學(xué)過的圓錐曲線定義相符的結(jié)論,可以根據(jù)相應(yīng)圓錐曲線的定義

求出相關(guān)的參數(shù),從而得到方程.

2.相關(guān)點法：找動點之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系（平移，伸縮，中點，垂直等），用要求的代替已知軌跡的，代入化簡

3.參數(shù)法：可用聯(lián)立求得參數(shù)方程，消參.注意此種問題通常范圍有限制.

4.交軌法：聯(lián)立求交點，變形的軌跡.

題型二最值（范圍）問題

例1已知產(chǎn)為拋物線C：丁=4、的焦點，過尸作兩條互相垂直的直線4,/2,直線4與。交于A、B兩點,直

線，2與C交于。、E兩點,則目的最小值為（）

A.16B.14C.12D.10

【答案】A

【解析】設(shè)4（百,乂）,5（U%）,。（七,％），￡（天，”），直線4的方程為丁=匕（％-1），聯(lián)立方程，

_426+4

得小2"特工-4工+好=0,."+々=--竺—

~^T

2月+4

同理直線12與拋物線的交點滿足:x+x

34~kT

?i-2+47k2+444I16

由拋物線定義可知從耳+|。目=怎+七+不+/+2p=——I——f-4=—+—+8>222+8=16,

6&k}k2丫k{k；

當(dāng)且僅當(dāng)％=-&=1（或-1）時，取等號.

【易錯點】本題考查拋物線的焦點弦長,利用觸物線的焦點弦長公式,表示出|4且十|。目，然后利用基本不等式求最

值.對相關(guān)流程應(yīng)有所熟練

22

例2已知點A(0,—2),橢圓E：鼻+當(dāng)=1(。>力>0)的離心率為土，尸是橢圓E的右焦點，直線AF

a-b-2

的斜率為個一，O為坐標(biāo)原點.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點A的動直線/與E相交于P,Q兩點，當(dāng)AOPQ的面積最大時，求/的方程.

【答案】見解析

【解析】(1)設(shè)尸(c,0),由條件知,2=迪，得c=M

c3

又￡所以4=2,b2=a2-c2=\.故以勺方程為￡+y=i.

a24

(2)當(dāng)/J_R軸時不合題意，故設(shè)/：尸丘-2,2(西,丁]),。*2。2)?

將丁二履一2代入上+丁=1得(1+4公)f一16"+12=0.

4'

當(dāng)A=16(4公一3)>0,即上2>3時，1=詼.2”-3

44公+1

從而行

|PQ|=|.V,-A-2|=彳叼;

9

又點O到直線PQ的距離d=.所以AOPQ的面積

收+1

?1jloci4」4k2-3

設(shè)“設(shè)-3=r,則r>0,SA0PQ=-^―=—

'+4t+-

t

因為，+±24,當(dāng)且僅當(dāng)，=2,即％=±也時等號成立，且滿足△>().

t2

所以，當(dāng)A0P3勺面積最大時，1的方程為了=#>2或尸-[x-2.

【思維點撥】圓錐曲線中的取值范圍問題常用的方法有以下幾個：

(1)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系;

（2）利用基本不等式求HI參數(shù)的取值范圍：

（3）利用函數(shù)的值域的求法（甚至求導(dǎo)）.確定參數(shù)的取值范圍.

題型三定點定值與存在性問題

例1已知橢圓C：—7+>Z?>0）的離心率為>

點（2,7份）在。上.

（1）求C的方程.

（2）直線/不過原點。且不平行于坐標(biāo)軸，，與C有兩個交點A,B,線段A5的中點為M.直線的斜率與

直線/的斜率的乘積為定值.

【答案】見解析

【解析】（1）由題意有‘"一"=也,4+4=1?解得〃=8,從=4.

a2ab~

所以C的方程為二十二二1.

84

Mx

⑵設(shè)直線/：丁二履+8（攵00,bwO）,A（xryj,8（孫％），（,w?%）?

22

將）=五+。代入會+?=1得（222+1）/+4礪+力2—8=0.

+x_-2kb.,b

故％2

2~2k1+\

于是直線。M的斜率蛆=一（，即

所以直線0M的斜率與直線/的斜率的乘積為定值.

【思維點撥】解析幾何是高考必考內(nèi)容之一，在命題時多從考查各種圓錐曲線方程中的基本量關(guān)系及運算，在直線

與圓錐曲線關(guān)系中.一般用方程的思想和函數(shù)的觀點來解決問題，并會結(jié)合中點坐標(biāo)，方程根與函數(shù)關(guān)系來求解.

例2已知拋物線C：V=4x,點M（皿0）在x軸的正半軸上，過M點的直線/與拋物線C相交于4,B兩點,。為

坐標(biāo)原點.

y

(1)若m=1,且直線/的斜率為1,求以為直徑的圓的方程;

1

(2)是否存在定點M,使得不論直線=+m繞點M如何轉(zhuǎn)動+2恒為定值?

|AM|2|BM|

【答案】(1)(x—3『+(y—2)2=16.(2)存在定點"(2,0).

【解析】(1)當(dāng)機=1時，M(l,0),此時，點M為拋物線C的焦點,

直線/的方程為y=x—l,設(shè)A(X,yJ,8(x2M),聯(lián)立{,=以，

y=x-\

2

消去y得，X-6X+1=0,：.X}+X2=6,?。?%=%+/2-2=4,，圓心坐標(biāo)為(3,2).

又恒目=再+/+2=8,J圓的半徑為4,???圓的方程為(x-3『+(y-2)2=16.

(2)由題意可設(shè)直線/的方程為x=ky+m,則直線/的方程與拋物線C:y2=4x聯(lián)立，

消去x得：)/一4心，-4m=0,則丁跖二-4〃，，)'1+必=42,

1111

------------+----------=I+I

\AM\2--|BM|2--(百一嶗+%2(9一機)2+為2

1I1_后32

(八［|婷?叫方一(八1)婷婷

_3+%)2_2、心_16r+8加_2-+加

對任意攵eR恒為定值,

—儼+1),2為2—,2+1)16加2~2m2[k2+\)

于是機=2,此時1---?--------萬=一?,?存在定點M(2,0),滿足題意.

\AM\2|BM|24

【易錯點】定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果(取特殊位置或特殊值)，因此

求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).

【思維點撥】定點、定值問題通常先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不

存在.在求解中通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化

為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.

【鞏固訓(xùn)練】

題型一求曲線的方程

1.設(shè)圓/+丁+2工一］5=0的圓心為A,直線/過點8(1,0)且與x軸不重合，/交圓A于C,。兩點，過8作4c

的平行線交A。于點E.證明|E4|+但卻為定值，并寫出點E的軌跡方程.

22

【答案】—+-^-=1(y00)

【解析】因為IAO|=|AC|,EB//AC,故NEBD=ZACD=ZADC,

所以|EB\=\ED\t故|EA\+\EB\=\EA|+|ED|=|AD\.

又圓4的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l)2+y2=］6,從而|AO|=4,所以|￡4|+|EB|=4

22

由題設(shè)得8(1,0),\AB\=2,由橢圓定義可得點上的軌跡方程為二十匕=1(y00).

43

2.已知動圓G過定點產(chǎn)(4,0),且在y軸上截得的弦長為8.求動圓G的圓心點G的軌跡方程；

【答案】y2=8x

【解析】設(shè)動圓圓心G(x,y),設(shè)圓交y軸于M,N兩點，連接G￡GM,

則|Gr|=GM］，過點G作G〃_LMV,則點”是MN的中點，

顯然|GM|=7X2+42,\GF\=^(X-4)2+/,于是J(x_4『+y2=正十片,

化簡整理得V=8x,故的軌跡方程為V=8x.

3.已知拋物線C：V=2x的焦點為廠，平行于工軸的兩條直線《J2分別交。于A,B兩點，交。的準(zhǔn)線于P,Q

兩點.

(1)若尸在線段48上，R是P。的中點，證明AR〃/Q；

(2)若△尸0尸的面積是A43尸的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.

【答案】(1)見解析:(2)y=x-l.

【解析】由題設(shè)廠（；,0）.設(shè)/[：y=a/2：＞=b，則。匕工0，且

A（g,a）.,b）,P（-〈,〃）,Q（-2,b）,R（-:,"："）.

222222

記過4,8兩點的直線為/,則/的方程為2x—（a+b）y+ab=0.

（1）由于尸在線段A8上，故1+。人=0.記AR的斜率為占，R2的斜率為22,則

.a—ba—b1-ab..「匚”.“〃廠一

&=-----=—＞----=-=-----=一b=網(wǎng)?所以4冗〃FQ.

\+a~a~-abaa

（2）設(shè)/與不軸的交點為O（M，0）,

則S&ABF=Jb-41皿=gM-dX_；,S*PQF=.

由題設(shè)可得;|。一4%-；=與回，所以玉二0（舍去），％=i.

設(shè)滿足條件的AB的中點為E（x,y）.

7V

當(dāng)A8與二軸不垂直時，由原B=&E可得=^=3一3/1）.

a+bx-l

而等=y,所以＞2二%一1（%。1）.

當(dāng)48與二軸垂直時，E與。重合.所以，所求軌跡方程為y2=x-i.

題型二最值（范圍）問題

1.已知動點E到點4（2,0）與點8（-2,0）的直線斜率之積為-;，點E的軌跡為曲線C.

（1）求。的方程；

（2）過點。（1,0）作直線/與曲線。交于「，。兩點，求OP-OQ的最大值.

【答案】（1）、+y2=i（xw±2）（2）；

【解析】⑴設(shè)E（x,y），則xw±2.因為E到點4（2,0）,與點6（-2,0）的斜率之積為一；，所以焉?號

整理得。的方程為—+y2=l（x^±2）.

⑵當(dāng),垂直于軸時，/的方程為A1,代入?+/

OP-OQ=fl.—1=-.

I2只2J4

當(dāng)/不垂直于x軸時，依題意可設(shè)y=Mx—l)(ZwO),代入工+y2=i得

（1+4/*一8/X+4〃_4=0.因為△=16（1+3/）>0,設(shè)P（%,y）,。（%,外）.

8人24^2-4

則王+x=

21+4公-l+4/r2

222（玉

OPOQ=%與+y\y2=x1x2+A：（x1-l）（x2-1）=（\-\-k^XyX2-k+%2）+%2

、4公—48Z41171

/2<—

X+4左21+4F44+16公4

綜上OP?OQ<1,當(dāng)/垂直于尢軸時等號成立,故OP0。的最大值是;.

2.設(shè)橢圓"：*?+￡=1(〃>b>0)經(jīng)過點P>/3,—，「鳥是橢圓M的左、右焦點，且APGE的面積為日.

\7

(1)求橢圓M的方程；

(2)設(shè)0為坐標(biāo)原點，過橢圓M內(nèi)的一點(0")作斜率為2的直線/與橢圓M交于A8兩點，直線04,03的斜

率分別為4次2,若對任意實數(shù)Z,存在實數(shù)陰，使得勺+&=〃戊，求實數(shù)用的取值范圍.

22

【答案】(1)=1?(2)/nw[2,+co).

【解析】(1)略

m

(2)設(shè)直線/的方程為y=Ax+r,由｛43，

y=kx+t

得（3+4X）f+83+4/一12=0,

設(shè)4（x，y），B（w，必），則x+w=一^^7，，

,,x%,，，，…G+w）"2kr

k、+k?=J-^―=-=k-i—+k-1=2k4----------------------=2k—,

x,x2%1x2玉&r-3

2t213（m—2）

由K+K=?成對任意女成立，得/〃=2--z?t1=-----------

r-3m

又（0"）在橢圓內(nèi)部中，，0W/<3,???機22,即機42,+8）.

題型三定點定值與存在性問題

22

1.已知分別是橢圓E：￡+A=\（ci>b>0）的左、右焦點，離心率為—?M，N分別是橢圓的上、下頂點,

MF2-NF2=-2.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若直線丫=奴+6與橢圓E交于相異兩點AB,且滿足直線M4,M3的斜率之積為!，證明：直線A3恒

過定點，并求定點的坐標(biāo).

2o

【答案】（1）三+二=1⑵直線A8恒過定點（0,2方）.

43

22

【解析】（1）由題知乙（。,0）,M（0,b）,N（0-b）,:.MF2NF2=c-b=-2?

C1

由e=2二L,得。=2c②5La2-h2=c2③

a2

由①②③聯(lián)立解得：a2=4,6=3???橢圓E的方程為土十二=1.

43

（2）證明：由橢圓E的方程得，上頂點〃（0,、回）,

設(shè)A（%,y）,B（x2,y2）,由題意知，馬00,x2^0

y=kx+m

由，冗22得：（3+4公卜2+以儂+4（"/-3）=0

—+—=1

143

.-Skin4（w2-3）

??…二^p，

y-V3_kx]+m-43y-V3_kx.

Vki2

入KMA~=，KMB

x2

由KMA=不得4kx+m一百14+m-JJ）=xxx2,

4（/w2-3）（4a2-1）+4%伍一石]—8府）+4（〃.61（3+4公）=0，

化簡得：加2一36〃2+6=0

解得:〃2=內(nèi)或加=2k，結(jié)合外工0,%工0知根=2后,

即直線AB恒過定點伍,2石).

2.已知橢圓C：5+4=的離心率為"，A(。，。)，8(0,b),0(0,0),AQAB的面積為1.

ab2

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)尸是橢圓C上一點，直線%與y軸交于點M,直線網(wǎng)與天軸交于點N.求證：|AN|?|8M|為定值.

廠

【答案】(1)一+y2'=11(2)見解析.

4

【解析】

cV3

a2

1丈2

(1)由題意得《-^=1,解得。=21=1.所以橢圓。的方程為可+尸=1

CT>=b>^2+C2,

(2)由(1)知，A(2,0),B(0,l),設(shè)尸(%,%)，則其+4y；=4.

當(dāng)與N0時，直線PA的方程為5二工4*-2).

/一2

令x=o,得)h=--生^.從而忸M=|I-3

/一2

直線的方程為），二為匚工+1.

而

令y=0,得/=一X。丁從而MM=|2一馬1=2+y^y.

%一

所以?忸M=2+^^H2y）

1+

玉）一2

x；+4y；+4/%-4%)-8%+44%%—4/8%+8

=4.

/%_/_2%+2/%_/_2%+2

當(dāng)%=0時，%=-1,忸M=2,|AN|=2,所以|AN|?忸M=4.綜上，|AN|?忸M為定值?

工+》

3.在平面直角坐標(biāo)系X0y中,已知橢圓C：/+記=1（。>6>0）的離心率0且橢圓C上的點

到。（0,2）的距離的最大值為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）在橢圓C上，是否存在點加（加,〃）使得直線/：mx+〃y=l與圓0：xI2+3y2=i相交于不同的兩點AB,

且AO48的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及相對應(yīng)的八。43的面積；若不存在，請說明理由.

2

【答案】⑴4+丁=1（2）見解析

3

【解析】⑴由e=￡=也=>C?=2/,所以〃=々2-。2=J_〃2

〃丫333

設(shè)P（x,y）是橢圓C上任意一點,所以/=/(1

IPQ\=巧(、_2)2=次-3/+(y—2)2=7-2(y+l)2+a2+6

所以，當(dāng)y=-l時，|PQ|有最大值,。2+6=3,可得。=百，所以b=l,c=J5

故橢圓C的方程為：—+/=1

3

（2）存在點M滿足要求，使AOAB得面積最大.

假設(shè)直線/：如+肛=1與圓O：f+y2=1相交于不同兩點A,B,

則圓心。到/的距離d=><1,Am2+?2>l①

yltn2+n2

2

因為M（利,以）在橢圓。上，所以4-+〃2=1②，由①⑦得：3

???|A31=2Vb^=2卜：〃=1

Vm+n

所以S=1IABR7=(1一一r),由②得〃2=1一二代入上式

2V/H+nm+n3

此時對應(yīng)的八。45的面積為L.

2

4.已知過拋物線產(chǎn)=2內(nèi)（〃>0）的焦點尸，斜率為正的直線交拋物線于4（%,%）,8（々,%）（百<9）兩點，

且|陰=6.

（1）求該拋物線E的方程;

（2）過點/任意作互相垂直的兩條直線44,分別交曲線石于點CD和M,N.設(shè)線段CRMN的中點分別為

P,Q,求證：直線尸Q恒過一個定點.

【答案】（1）y2=4x（2）直線PQ恒過定點（3,0）.

【解析】（1）拋物線的焦點廠（5,0）,???直線48的方程為：y=42（x-^

V=2px

聯(lián)立方程組｛廠加卜_爐消元得：9一2*+2=0,

4

￡

%+占=2p,x,x=

24

2

\AB\=71+2^(x)+x2)-4X,X2=6?J4P2-p?=6,解得p=±2.

???〃>(),???拋物線E的方程為：y2=4x.

（2）設(shè)C,。兩點坐標(biāo)分別為（內(nèi),乂）,（乙,%），則點P的坐標(biāo)為":",

由題意可設(shè)直線4的方程為》=刈工—1）（女工0）.

,y2=4x

由｛,、得以2一（2/+4卜+公=0.

y=^（x-l）

△=（2公+4）—4%4=16公+16>0

44

因為直線L與曲線E于C,￡）兩點，所以豆=2+—,y,+%=&（芯+/-2）=一.

kk

（22

所以點尸的坐標(biāo)為l+乒工

由題知，直線的斜率為一：，同理可得點。的坐標(biāo)為（1+2公,-2k）.

D—F2kI

當(dāng)4工±1時，有1+義。1+2/,此時直線產(chǎn)。的斜率欠「0=——V--------=—^—

k2PQ14-4-1-2^

k2

所以，直線尸。的方程為y+2攵=—^^一1一2攵2）,整理得yF+（x-3）Z-y=0.

1_k

于是，直線尸Q恒過定點（3,0）；

當(dāng)左=±1時，直線PQ的方程為無=3,也過點（3,0）.

綜上所述，直線尸Q恒過定點（3,0）.

新課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容與現(xiàn)形課標(biāo)內(nèi)容的對比如下表:

主題學(xué)課包含的內(nèi)容與現(xiàn)形課標(biāo)的對與現(xiàn)形課標(biāo)對比，內(nèi)容的

必修分時照，在現(xiàn)形課標(biāo)中不同

課程的位置

主題一819集合A版：必修1第一考查知識點基本不變

（預(yù)備章L1節(jié)

知識）B版：必修1笫一章考查知識點基本不變

全部內(nèi)容

常用邏輯用A版：選修2-1笫一基本不變

語章1.1節(jié),1.2節(jié)，

（與A版內(nèi)1.4節(jié)

容較接近）B版：選修2-1第一新課標(biāo)增加了全稱量詞與

章1.1節(jié)，1.3節(jié)存在量詞

一元二次函A版：必修1第二章知識點基本不變

數(shù)、方程和2.3節(jié)中與新函數(shù)有不等式與現(xiàn)形課標(biāo)相比少

不等式關(guān)的一元二次函數(shù)了二元一次不等式及線性

（與B版內(nèi)提了出來規(guī)劃

容接近）必修5第二章3.1

節(jié),3.2節(jié)，3.4節(jié)

中關(guān)于不等式的知

識

B版：必修1第二章基本不變

2.2節(jié)中的2.2.2,

2.2.3中的一元二次

函數(shù)知識

必修5第三章3.1

節(jié)，3.2節(jié)，3.3節(jié)，

3.4節(jié)中的不等式知

識

主題二54函數(shù)概念與A版：必修1第一章基本不變；函數(shù)的性質(zhì)并

（函數(shù)性質(zhì)1.2節(jié)，1.3節(jié)入了三角函數(shù)來了解函數(shù)

及應(yīng)（與A版內(nèi)的周期性

用）容接近）

B版：必修1第二章增加了函數(shù)的最值與周期

2.1節(jié)性

塞函數(shù)、指A版：必修1第二章基本不變

數(shù)函數(shù)、對2.1|J,2.2節(jié)，2.3

數(shù)函數(shù)節(jié)

（與A版內(nèi)B版：必修1第三章基本不變

容接近）3.1TJ,3.2節(jié)，3.3

節(jié)

三角函數(shù)A版：必修4第一章基本不變

（與A,B全部內(nèi)容及第三章

版內(nèi)容相差全部內(nèi)容

不大）B版：必修4第一章基本不變

全部內(nèi)容及第三章

全部內(nèi)容

函數(shù)綜合應(yīng)A版：必修1第三章基本不變

用全部內(nèi)容

（與A版內(nèi)B版：必修1第二章增加了函數(shù)模型

容接近）2.3節(jié)，2.4節(jié)

主題三44平面向量及A版：必修4第二章基本不變

（幾何應(yīng)用全部內(nèi)容

與代（與A,BB版：必修4中第二基本不變

數(shù)）版相差不章全部內(nèi)容

大）

復(fù)數(shù)A版：選修2-2第三增加了選學(xué)內(nèi)容“復(fù)數(shù)的

（與A版內(nèi)章全部內(nèi)容三角表示”

容接近）B版：選修2?2無教

材

立體幾何初A版：必修2第一章基本不變

步全部內(nèi)容及第二章

（與B版內(nèi)全部內(nèi)容

容接近）B版：必修2第一章基本不變

全部內(nèi)容

主題四18統(tǒng)計A版：必修3第二章基本不變；知識點統(tǒng)計圖

（統(tǒng)計（與A,B版2.1節(jié)，2.2節(jié)表中加入了“梳理義務(wù)教

與概內(nèi)容相差不育階段學(xué)過的統(tǒng)計圖表”

率）多）

B版：必修3第二章基本不變

2.1節(jié)，2.2節(jié)

概率A版：必修3第三章基本不變

（與A,B版全部內(nèi)容

內(nèi)容相差不B版：必修3第三章基本不變

多）3.1節(jié)，3.2節(jié)，3.4

節(jié)

主題五5數(shù)學(xué)建模與要求學(xué)生完成一個數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)

（數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)探究課題研究，包括選學(xué)文化是貫穿于整個高中

建模與題、開題、做題、數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，這

數(shù)學(xué)探結(jié)題四個環(huán)節(jié)。學(xué)些內(nèi)容不單獨設(shè)置，滲透

究）生需要撰寫開題報在每個模塊或?qū)ｎ}中。

告，根據(jù)選題內(nèi)容，

報告可以采用專題

作業(yè)、測量報告、

算法程序、制作的

實物或研究論文等

多種形式。在課題

研究中逐步提升數(shù)

學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、

數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運

算、邏輯推理和直

觀想象靜養(yǎng)。

選修主題一632數(shù)列A版：必修5第二章增加了“數(shù)學(xué)歸納法”

1（函數(shù)（與A版內(nèi)全部內(nèi)容

及應(yīng)容接近）B版：必修5第二章增加了“數(shù)學(xué)歸納法”

用）全部內(nèi)容

一元函數(shù)導(dǎo)A版：選修2-2第一1.刪掉了“生活中的優(yōu)化

數(shù)及應(yīng)用章全部內(nèi)容問題舉例”這一知識點

（與A版內(nèi)2.微積分的創(chuàng)

容接近）立與發(fā)展沒有提到通

過實例。

B版：選修2-2無教

材

主題二42空間向量與A版：選修2-1第三基本不變；用向量方法解

（幾何立體幾章全部內(nèi)容決點到直線、點到平面、

與代（與B版內(nèi)相互平行的直線、相互平

數(shù)）容接近）行的平面距離問題這一知

識點中加入了“能用框圖

描述解決這一類問題的思

路”

B版：選修2-1第三同上

章全部內(nèi)容

平面解析幾A版：必修2第三章基本不變

何全部內(nèi)容及第四章

（與A,B全部內(nèi)容

版內(nèi)容相差選修2?1第二章全

不多）部內(nèi)容

B版：必修2第二章基本不變

2.2節(jié)，2.3節(jié)

選修2-1第二章全

部內(nèi)容

主題三26計數(shù)原理A版：選修2-3第一基本不變

（統(tǒng)計（與A版內(nèi)章全部內(nèi)容

與概容接近）B版：選修2-3全部基本不變

率）內(nèi)容

統(tǒng)計與概率A版：選修2-3第二概率中“正態(tài)分布與超幾

（與A版內(nèi)章全部內(nèi)容、第三何分布”要通過具體實例

容接近）章全部內(nèi)容及必修分析

3第二章23節(jié)變量

間的相關(guān)關(guān)系

B版：選修2?3第二同上

章全部內(nèi)容、第三

章全部內(nèi)容及必修

3第二章2.3節(jié)變量

間的相關(guān)關(guān)系

主題四4數(shù)學(xué)建模與要求學(xué)生完成一個

（數(shù)學(xué)探究課題研究，也可以

建模與在必修“數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)探活動”或“數(shù)學(xué)探

究）究活動”所作的研

究基礎(chǔ)上繼續(xù)進行

深入探究。按照必

修部分的要求，完

成開題、做題、結(jié)

題的過程。如果選