專題10中考初中物理推理證明類問題證明推導(dǎo)題就是結(jié)合物理公式和物理規(guī)律，用數(shù)學(xué)的方法，導(dǎo)出一個要得到的等式。在證明過程中需要用到物理規(guī)律，所以靈活理解物理規(guī)律，應(yīng)用物理規(guī)律是物理證明推導(dǎo)題的精神所致。光用數(shù)學(xué)辦法得出的結(jié)論是不可靠的。初中階段在證明題問題中，經(jīng)常用到平衡力思想、光的反射定律、牛頓第三定律、串并聯(lián)電路電流電壓特點、重力與質(zhì)量關(guān)系等，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識經(jīng)常用到全等三角形、相似三角形、三角函數(shù)等。有時能正確做出圖形是完成任務(wù)的重要保證。證明推導(dǎo)題在安徽省、天津市中考常出現(xiàn)，在河南省、河北省、以及湖北、山東等雖然沒有直接要求證明推導(dǎo)，但在選擇題、填空題、計算題里要用到推導(dǎo)的辦法。所以這類問題也要十分關(guān)注?！纠}1】如圖所示，豎直懸掛的彈簧測力計吊一物體，處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧測力計示數(shù)表示物體對彈簧的拉力，其大小為F，試論證物體受到重力大小等于F，每一步推導(dǎo)都要寫出所根據(jù)的物理規(guī)律?！敬鸢浮縂=F?！窘馕觥繌椈蓽y力計的示數(shù)F等于彈簧受到的拉力，設(shè)物體受到彈簧的拉力為F＇，物體受到的重力為G物體靜止受力平衡，根據(jù)共點力平衡條件F＇＝GF與F＇是作用力和反作用力，根據(jù)牛頓第三定律F＝F＇所以：物體重力大小G＝F【點撥】力的平衡及牛頓第三定律。【例題2】證明：（1）透鏡成像公式（2）共軛法求焦距公式：f=(L2-d2)/4L【答案】見解析?！窘馕觥孔C明：（1）如圖所示，物距BO=u,像距BˊO=v,焦距FO=Fˊ0=f,ΔABO∽ΔA′B′O，得：AB/A′B′=u/v…………（a）ΔCFO∽ΔA′B′FCO/A′B′=FO/B′F,即AB/A′B′=f/(v-f)…………（b）解上述兩式：fv+fu=uv兩邊同除以ufv,得：（2）如圖所示，由透鏡成像公式：且v1=L-u1,v2=L-u2,u2=u1+d,解此三式可得：u1=(L-d)/2,v1=(L+d)/2將此兩式代入透鏡成像公式可得：f=(L2-d2)/4L．【例題3】證明動能定理：外力對物體所做的總功等于物體動能的增加．【答案】見解析?！窘馕觥孔C明：一個質(zhì)量為m的物體原來的速度為v1，動能為mv12/2，在恒力F的作用下，發(fā)生一段位移s，速度為v2，動能增加到mv22/2，設(shè)外力方向與運動方向相同，外力F做的功W=Fs，根據(jù)牛頓第二定律F=ma，由運動學(xué)公式v22-v12=2as,得：s=(v22-v12)/2a,所以Fs=ma(v22-v12)/2a=mv22/2-mv12/2或W=EK2-EK1上述結(jié)論由假定物體受一個力推導(dǎo)出來的，如果不只受一個力而是幾個力，總功就是各個力做功的代數(shù)和．【例題4】證明機(jī)械能守恒定律：在只有重力做功的情形下，物體的動能和重力勢能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但總的機(jī)械能保持不變．【答案】見解析?！窘馕觥孔C明：如圖所示，取地為零勢能點，設(shè)物體只受重力作用，向下做勻加速運動。在位置1時速度為v1，高度為h1，在位置2時速度為v2，高度為h2，由勻加速運動公式可得：v22-v12=2g(h1-h2)v12+2gh1=v22+2gh2,mv12/2+mgh1=mv22/2+mgh2即，E1=E2所以機(jī)械能守恒．1.如圖有兩平面鏡夾角為θ，有一束光線從C點射人經(jīng)過兩次反射從F點射出，證明其出射角γ=2θ．【答案】見解析?！窘馕觥咳切蔚囊粋€外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。γ=∠FED+∠CDE平角等于180°所以∠FED=180°-2∠DEO∠CDE=180°-2∠EDO所以γ=∠FED+∠CDE=（180°-2∠DEO）+（180°-2∠EDO）=360°-2（∠DEO+∠DEO）在△EDO中，∠DEO+∠DEO=180°-θ所以，γ=360°-2（∠DEO+∠DEO）=360°-2（180°-θ）=2θ所以γ=2θ．2.如圖，用彈簧測力計稱物體重力時，吊著物體在空中靜止不動，彈簧測力計示數(shù)等于物體的重力.牛頓第三定律告訴我們：兩個物體之間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反，作用在同一條直線上.請你依據(jù)牛頓第三定律和二力平衡的條件推證：彈簧測力計的示數(shù)F′(即彈簧所受A的拉力)就等于物體A的重力G，即F′=G.【答案】見解析。【解析】先根據(jù)處于靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運動狀態(tài)的物體受到平衡力作用，分析物體A在水平方向所受的拉力和摩擦力是一對平衡力；然后再利用作用力與反作用力的關(guān)系，分析彈簧測力計對物體A的拉力與物體A對彈簧測力計的拉力是一對相互作用力，根據(jù)平衡力大小的特點、相互作用力大小的特點以及利用等效替代法進(jìn)行證明．證明：因為物體A處于靜止?fàn)顟B(tài)，物體A在豎直方向上受到拉力和重力是一對平衡力，所以彈簧測力計對物體的拉力等于物體所受重力，即F=G；而測力計對物體A的拉力F與物體A對測力計拉力F′是一對作用力與反作用力,由牛頓第三定律可知：F=F′,所以F′=G.3.“等效替代法”是物理學(xué)中常用的一種方法．若圖甲的兩個電阻并聯(lián)后接入電路中的效果與圖乙一個電阻接入電路的效果相同，請你利用并聯(lián)電路電壓、電流的規(guī)律及歐姆定律推導(dǎo)出R與R1、R2的關(guān)系式．【答案】見解析。 【解析】本題先利用歐姆定律得出并聯(lián)電路中各電阻上的電流，然后將各電阻上的電流值，代入并聯(lián)電路的電流關(guān)系式中，結(jié)合并聯(lián)電路的電壓特點即可導(dǎo)出R與R1、R2的關(guān)系式．根據(jù)歐姆定律可得并聯(lián)電路中兩個電阻上的電流分別為：I1=；I2=；一個電阻R上的電流為：I=；由并聯(lián)電路的電流關(guān)系I=I1+I2得：=+；又因為并聯(lián)電路電壓的特點是：U=U1=U2；所以=+．4．試根據(jù)壓強(qiáng)是物體所受壓力的大小與受力面積之比的定義，推導(dǎo)出密度為ρ的液體，在液面下深度為h處液體產(chǎn)生的壓強(qiáng)P的表達(dá)式。（已知：重力與質(zhì)量的比值為g，要求用ρ、h、g表示P）?！敬鸢浮恳娊馕??！窘馕觥吭O(shè)想液面下h深處有一面積為S的水平圓面，則水平圓面受到的壓力：F=G=mg=ρVg=ρShg，則在液面下深度為h處液體產(chǎn)生的壓強(qiáng)：p===ρgh。5.如圖，AB兩地相距4km，MN是與AB連線平行的一條小河的河岸，AB到河岸的垂直距離為3km，小軍要從A處走到河岸取水然后送到B處，他先沿垂直于河岸的方向到D點取水然后再沿DB到B處。若小軍的速度大小恒為5km/h，不考慮取水停留的時間。（1）求小軍完成這次取水和送水任務(wù)所想要的總時間。（2）為了找到一條最短路線（即從A到河岸和從河岸到B的總路程最短），可以將MN看成一個平面鏡，從A點作出一條光線經(jīng)MN反射后恰能通過B點，請你證明入射點O即為最短路線的取水點?！敬鸢浮?1)1.6h；如解析所述，入射點O為最短路線的取水點?！窘馕觥?1)如下圖所示,小軍通過的路程是AD+DB，此時,AB=4km,AD=3km,根據(jù)勾股定理可知,DB=5km，

故小軍通過的路程s=AD+DB=3km+5km=8km，∵v=st∴所需的時間：t=sv=8km5km/h=1.6h；(2)作出發(fā)光點A關(guān)于平面鏡的對稱點,即為像點A′,連接A′、B點交平面鏡于點O，沿OB畫出反射光線，連接AO畫出入射光線，如圖所示，圖中O就是入射點；①由圖可知,A′B的連線是線段,兩點之間,線段最短,即此時A′B之間的距離(A′O+OB)最短；②根據(jù)平面鏡成像的特點可知,此時AD=A′D,且Rt△ADO與Rt△A′DO有一條公共邊DO,故可知Rt△ADO≌Rt△A′DO,即AO=A′O；故AO+OB=A′O+OB；即此時O點是最短路線的取水點。6.如圖所示，豎直放置平面鏡MN前有一直立人體AB，人眼可通過平面鏡觀測到自己的像，試結(jié)合平面鏡成像特點和光的反射原理推證：平面鏡所需最小長度為人體長度的一半時，人眼即可觀看到全身像.（設(shè)人眼在A點，不考慮成像寬度）【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)平面鏡成像特點作出像A′B′，分別連接AA′、AB′交平面鏡于O′、O，人眼能看到像是因為物體發(fā)出的光經(jīng)平面鏡反射到人眼，再連接BO，可知人體最下端B發(fā)出的光可經(jīng)O點反射到人眼，同樣人體最上端A發(fā)出的光可經(jīng)O′反射到人眼.如答圖所示.由平面鏡成像特點可知：又有，所以在中是三角形的中位線，所以又知故7．已知水的比熱容為C水，沙子的比熱容的C沙，一堆干沙子和質(zhì)量相同的水混合成為濕沙子，試推證濕沙子的比熱為(C水＋C沙)/2【答案】見解析?！窘馕觥孔C明：假設(shè)濕沙子吸熱后溫度上升,那么其中所含干沙子吸收的熱量為;所含水吸收的熱量為,那么濕沙子的比熱容：，從而得證.8.汽車沿著平直的公路從甲地開往乙地.（1）若汽車在前一半路程的平均速度為v1，在后一半路程的平均速度為v2，則汽車全程的平均速度V為υ=2υ1υ2∕（υ1+υ2）（2）若汽車在前一半路程和后一半路程所用時間相同，則全程平均速度V是多少？【答案】見解析。【解析】(1)設(shè)甲乙兩地間的距離是2s，則前半段與后半段的路程都是s，∵v=st，∴汽車的運動時間：t1=s/v1,t2=s/v2，總的運動時間：t=t1+t2=s//v1+s/v2=s（1/v1+1/v2）=sv1v2/（v1+v2）全程的平均速度：v=2s/t=2s/sv1v2/（v1+v2）v=2v1v2/（v1+v2）(2)前一半路程和后一半路程所用時間相同，則t1=t2=s/v1=s/v2，則v1=v2，全程的運動時間：t′=2t1=2s/v1=2s/v2，全程的平均速度：v′=2s/t′=2s/2s/v2=v1=v29.一均勻的長方體浸沒在液體中，如圖所示．已知它的底面積為S，上表面所處深度為h1，下表面所處深度為h2，則長方體下表面所受到液體的壓力表達(dá)式為、浮力表達(dá)式為．（液體密度ρ液和g為已知量）【答案】ρ液gh2S；ρ液g（h2﹣h1）S．【解析】由液體壓強(qiáng)公式p=ρgh及壓強(qiáng)公式的變形公式F=pS得：F1=p1S=ρ液gh1S；F2=p2S=ρ液gh2S，F(xiàn)浮=F2﹣F1=ρ液gh2S﹣ρ液gh1S=ρ液g（h2﹣h1）S．10．如圖所示，用平行于斜面的力F，把重力為G的物體沿著長為L，高為h的斜面勻速拉到斜面頂端，這時物體受到的摩擦力大小為f，（η、F為已知，η為斜面的機(jī)械效率）試推導(dǎo)：f=F(1-η)．【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)η=W有用/W總,求出有用功大小，再根據(jù)W總=W有用+W額求出克服摩擦力做的額外功的大小，根據(jù)W額=fs求出摩擦力大小．（1）∵η=W有用/W總,∴W有用=ηW總=ηFs，∵W總=W有用+W額∴W額=W總-W有用=Fs-ηFs=（1-η）Fs=fs，∴物體受到的摩擦力：f=F（1-η）．11．演繹式探究﹣探究太陽的引力系數(shù)：（1）宇宙中任何兩個物體之間都存在萬有引力，萬有引力的大小F引=G，其中m1、m2分別為兩個物體間的距離，萬有引力常數(shù)G=6.67×10﹣11N?m2/kg2．物體間引力和距離一定時，兩個物體質(zhì)量m1、m2分的關(guān)系可以用如圖中圖線來表示．（2）行星繞恒星的運動可以近似地看作勻速圓周運動．行星受到一個恒定的指向恒星的向心力，向心力的大小F向=mω2r，其中m為行星質(zhì)量，r為兩星之間的距離，ω為行星做圓周運動的角速度，其大小等于單位時間內(nèi)行星與恒星連線轉(zhuǎn)過的角度．行星繞恒星運動一周所用的時間用周期T表示，角速度ω與轉(zhuǎn)動周期T的關(guān)系為：ω=．行星所受向心力F向的大小等于恒星對行星的引力F引的大?。總€星球?qū)υ谒砻娓郊奈矬w都存在引力，引力與物體質(zhì)量的比值叫作引力系數(shù)，用g表示，我們學(xué)過地球的引力系數(shù)g地=10N/kg．對于每個星球來講，下列公式成立：R2g=GM，其中R為星球半徑，g為星球引力系數(shù)，M為星球質(zhì)量，萬有引力常數(shù)G=6.67×10﹣11N?m2/kg2．已知地球質(zhì)量為m，地球到太陽的距離為L，太陽半徑為R，地球的公轉(zhuǎn)周期為T．請你推導(dǎo)出太陽的引力系數(shù)g日=．【答案】（1）b；（2）如解析所示．【解析】根據(jù)萬有引力的大小F引=G，分析其中已知量和不為的量和變化的量，可得兩個物體質(zhì)量m1、m2分的關(guān)系，從而確定圖象；太陽為恒星，地球為太陽的行星，根據(jù)它們之間的萬有引力公式和它們之間的向心力公式，結(jié)合對于太陽來講，R2g=GM進(jìn)行推導(dǎo)．（1）萬有引力的大小F引=G，其中m1、m2分別為兩個物體間的距離，萬有引力常數(shù)：G=6.67×10﹣11N?m2/kg2．由上式可知：物體間引力和距離一定時，兩個物體質(zhì)量m1、m2分之積為定值，為反比例函數(shù)的關(guān)系，故可以用如圖中圖線b來表示．（2）地球為太陽的行星，根據(jù)萬有引力公式，F(xiàn)引=G=G﹣﹣﹣﹣﹣①，它們之間的向心力：F向=mω2r=m﹣﹣﹣﹣﹣②；因地球所受向心力F向的大小等于太陽對地球的引力F引的大小．由①②得：F引=G=G=mL，即GM=﹣﹣﹣﹣﹣﹣③；又對于每個星球來講，R2g日=GM，g日=﹣﹣﹣﹣﹣④，將③代入④得：太陽的引力系數(shù)g日=．12．液體內(nèi)部存在壓強(qiáng)。如圖所示，燒杯內(nèi)盛有密度為的液體，我們可以設(shè)想液面下h深處有一面積為s的水平圓面，它所受到的壓力是其上方圓柱形的小液柱所產(chǎn)生的。（1）請在圖中作出小液柱所受重力的示意圖。（2）請推證：液體內(nèi)部深度為h處的壓強(qiáng)?！敬鸢浮恳娊馕觥！窘馕觥浚?）如圖（2）小液柱的體積為：V=sh小液柱的質(zhì)量為：m=ρV=ρsh小液柱的重力為：G=mg=ρshg小液柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)為：p=F/s=G/s=ρshg/s=ρhg即：液體內(nèi)部深度為h處的壓強(qiáng)p=ρhg13.斜面是人們生產(chǎn)和生活中經(jīng)常使用的一種可以省力的簡單機(jī)械。下面是某同學(xué)針對斜面問題進(jìn)行的理論研究的過程。請你幫他完成“理論論證”。提出問題：使用斜面為什么可以省力？建立模型：如圖所示，斜面的長為L，高為h，沿光滑斜面勻速向上拉動重為G的物體，所用拉力為F。理論論證：運用功的原理證明:F<G?！敬鸢浮恳娊馕?。【解析】將重為G的物體升高h(yuǎn)，直接用手做的功W1=Gh，利用斜面做的功W2=FL，根據(jù)功的原理W2=W1，F(xiàn)L=Gh，F(xiàn)=Gh/L,因為L>h,所以F<G。14.在底面積為S的薄壁柱形容器內(nèi)注入適量的水，讓空燒杯漂浮在水面上，測出水的深度為h0，如圖所示：再將一金屬球放入燒杯中，此時燒杯仍漂浮在水面上，測出水的深為h1，最后將該金屬球取出放入水中（空燒杯仍漂浮在水面上，待金屬球沉底后測出水的深度為h2，已知水的密度為ρ水，請你推導(dǎo)：（1）金屬球的密度為ρ球=ρ水（h1-h0）/（h2-h0）（2）金屬球沉底后，它對容器底的壓力為F=ρ水g（h1-h2）S

【答案】見解析?！窘馕觥拷饘偾蚍湃霟校鶕?jù)排開的液體體積增加量，利用阿基米德原理求出金屬球的重力G球=△F浮，即可求其質(zhì)量；將該金屬球取出放入水中，此時排開的液體體積增加量，即為金屬球的體積；最后即可根據(jù)ρ=求出金屬球的密度；將該金屬球取出放入水中，利用阿基米德原理求出金屬球的浮力；它對容器底的壓力F=G-F浮。（1）當(dāng)裝有金屬球的燒杯漂浮在盛有水的大容器的水面上，排開液體體積的增加量為△V排=S（h1-h0），則由漂浮條件可得：G球=△F浮=ρ水△V排g=ρ水S（h1-h0）g，所以，m球==ρ水S（h1-h0），金屬球投入水中后沉底，則V球=V排′=S（h2-h0），所以，ρ球===ρ水；（2）將該金屬球取出放入水中后沉底，金屬球受到的浮力：F浮=ρ水V排′g=ρ水S（h2-h0）g，則它對容器底的壓力：F=G球-F浮=ρ水S（h1-h0）g-ρ水S（h2-h0）g=ρ水g（h1-h2）S。15．求證在串聯(lián)電路中，串聯(lián)電路的總電阻，等于各導(dǎo)體的電阻之和．證明：根據(jù)流過串聯(lián)電路各電阻的電流相等和串聯(lián)電路兩端的總電壓等于各部分電路兩端的電壓之和，可得：I=I1=I2=……=In…………（1）U=U1+U2+……+Un…………（2）根據(jù)歐姆定律：U=IR，U1=IR1,U2=IR2，……Un=IRn…………（3）把上述關(guān)系式代入（2）式，整理后可得：R=R1+R2+……+Rn16．求證在并聯(lián)電路中，并聯(lián)電路總電阻的倒數(shù)，等于各個導(dǎo)體的電阻倒數(shù)之和．證明：根據(jù)并聯(lián)電路中各支路兩端的電壓相等和并聯(lián)電路中的總電流等于各支路電流之和，可得：U=U1=U2=……=Un………（1）I=I1+I2+……+In…………（2）由歐姆定律，I=U/R,I1=U1/R1,I2=U2/R2,……，In=Un/Rn，代入（2）式并考慮到（1）式，得：1/R=1/R1+1/R2+……1/Rn17.如圖所示，用測力計將長桿一端A微微抬離地面，測力計示數(shù)是F1；同理，用測力計將長桿的另一端B微微抬離地面，測力計示數(shù)是F2．測力計保持豎直向上.請推導(dǎo)長桿的重力G=F1+F2 【答案】見解析?！窘馕觥吭O(shè)重心O點離左端距離為L1，離右端距離為L2，長桿重力為G。當(dāng)用測力計將長桿一端A微微抬離地面時，以B點為支點，有：F1L=GL1當(dāng)用測力計將長桿一端B微微抬離地面時，以A點為支點，有：F2L=GL2兩個式子相