第三節(jié)函數(shù)的奇偶性及周期性

函數(shù)的奇偶性及周期性

結(jié)合詳細函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性及周期性的含義.

ZHISHIHUIGU................

抓主干?知識回顧＞穩(wěn)固根基

學問點一函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

假如對于函數(shù)大%)的定義域內(nèi)隨意一

偶函數(shù)個人,都有%)="),那么函數(shù)八%)關(guān)于y軸對稱

是偶函數(shù)

假如對于函數(shù)抵%)的定義域內(nèi)隨意一

奇函數(shù)個工,都有——%)=—《%),那么函數(shù)關(guān)于原點對稱

八%)是奇函數(shù)

易誤提示

1.推斷函數(shù)的奇偶性，易忽視推斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對

稱.定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件.

2.推斷函數(shù)危)的奇偶性時，必需對定義域內(nèi)的每一個工,均有

人一%)=一九%),而不能說存在祝使人一配)=—八一%0)=危0).

3.分段函數(shù)奇偶性判定時，利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是

奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性是錯誤的.

必記結(jié)論

1.函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論：

(1)假如一個奇函數(shù)危)在原點處有定義，即火0)有意義，那么肯

定有火0)=0.

(2)假如函數(shù)兀0是偶函數(shù)，那么危)=火因).

(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即火%)=0,

x^D,其中定義域。是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集.

(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩

個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

2.有關(guān)對稱性的結(jié)論：

(1)若函數(shù)丁=火%+")為偶函數(shù)，則函數(shù)>=加)關(guān)于％=。對稱.

若函數(shù)y=火工+。)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=K%)關(guān)于點3,0)對稱.

(2)若八%)=<2"一%),則函數(shù)人%)關(guān)于對稱.

若八%)+#2a—%)=2乩則函數(shù)危)關(guān)于點(a,切對稱.

［自測練習］

1.函數(shù)_/U)=lg(%+D+lg(%—l)的奇偶性是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)

%+1>0

解析：由知%>1,定義域不關(guān)于原點對稱，故危)為非

1>0

奇非偶函數(shù).

答案：c

2.(2024?石家莊一模)設(shè)函數(shù)#%)為偶函數(shù)，當X￡(0,+8)時，

危)=log亦，則火一也)=()

A.—2B2

C.2D.-2

解析：因為函數(shù)危)是偶函數(shù)，所以大一也)=式的=10g2m=；,

故選B.

答案：B

3.若函數(shù)八%)=%2—1%+。|為偶函數(shù)，則實數(shù)。=.

解析：對于%￡區(qū)恒成立，，|—%+。|=|%+。|對于％

￡區(qū)恒成立，兩邊平方整理得a%=0對于%￡R恒成立，故Q=0.

答案：0

學問點二函數(shù)的周期性

1.周期函數(shù)

對于函數(shù)y=A%),假如存在一個非零常數(shù)T,使得當％取定義域

內(nèi)的任何值時，都有任+T)=/U),那么就稱函數(shù)y=/U)為周期函數(shù)，

稱T為這個函數(shù)的周期.

2.最小正周期

假如在周期函數(shù)性)的全部周期中存在一個最小的正數(shù),那么這

個最小正數(shù)就叫作1%)的最小正周期.

必記結(jié)論定義式*%+!)=?￥)對定義域內(nèi)的％是恒成立的.若

“x+a)=/(X+b),則函數(shù)八%)的周期為T=\a-b\.

若在定義域內(nèi)滿意/(%+“)=—九%),?x+a)="1,/(%+a)=—

八X)J\X)

(a〉0).則危)為周期函數(shù)，且7=2”為它的一個周期.

對稱性及周期的關(guān)系：

(1)若函數(shù)八X)的圖象關(guān)于直線％=。和直線％=/?對稱，則函數(shù)八%)

必為周期函數(shù)，2|“一切是它的一個周期.

(2)若函數(shù)危)的圖象關(guān)于點(a,0)和點(h0)對稱，則函數(shù)兀0必為

周期函數(shù)，2|0一例是它的一個周期.

(3)若函數(shù)危)的圖象關(guān)于點(a,0)和直線x=b對稱，則函數(shù)危)必

為周期函數(shù)，4|q一例是它的一個周期.

［自測練習］

4.函數(shù)八工)對于隨意實數(shù)％滿意條件加+2)=，，若丸1)=—5,

則用⑸尸.

解：<%+2)=看，.?./(%+4)2)=火")'

.?.#5)=<1)=-5,.?.歡5))=<-5)=火3)=志=一/

定案.一」

日木?5

MBBWKAODIANYANJIU.................................................................................................................................................................................................................................................

同回》考點研究①強技提能

考點一函教奇偶性的推斷I導點最需

［題組訓練］

推斷下列函數(shù)的奇偶性.

(1W)=A/1—X2+AJX2—1；

(2次0=)3—2%+5一3；

(3玳%)=3-3、

\l4~x2

(4)/(%)=,+3］—3；

/+%,%>0,

(5求%)=

丫一%,x<0.

解：⑴由募得=1,

...於)的定義域為{-1,1}.

又火1)+#—1)=0,火1)一八-1)=0,

即八%)=坡一%).

.?.八%)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(2)V函數(shù)?=.3—2%+22%—3的定義域為||1,不關(guān)于坐標原

點對稱，

；?函數(shù)危)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

(3):危)的定義域為R,

：.f(-x)=3~x~3x=-(3x-3~x)=-f(x),

所以危)為奇函數(shù).

4—A2與。，

(4)\?由<得一2W%W2且％W0.

卜+3|-3W0,

；.八%)的定義域為[一2,0)U(0,2],

."小T_小T34T

?'-ZW-k+3|-3-(x+3)-3-%'

，八一%)=,.../(%)是奇函數(shù)?

(5)易知函數(shù)的定義域為(一8,o)U(0,+°°),關(guān)于原點對稱,

又當x>0時，火%)=/+%,

則當％<0時，一%〉0,

故j(—x)=x1—x=f(x);

當x<0時，J(x)=x2—x,則當％>0時，一%<0,

故八一%)=爐+%=#%),故原函數(shù)是偶函數(shù).

》規(guī)律方法

函數(shù)奇偶性的判定的三種常用方法

1.定義法:

2.圖象法:

3.性質(zhì)法:

(1)“奇+奇”是奇，“奇一奇”是奇，“奇.奇”是偶，“奇?

奇”是偶;

⑵“偶+偶”是偶，“偶一偶”是偶，“偶?偶”是偶，“偶一

偶”是偶;

(3)“奇?偶”是奇，“奇?偶”是奇.

考點二函數(shù)的周期性|急隹然器

［典題悟法］

隨設(shè)危)是定義在R上的奇函數(shù)，且對隨意實數(shù)％，恒有

+2)=一危).當工￡［0,2］時，*%)=2%—

(1)求證：#%)是周期函數(shù)；

(2)當工￡［2,4］時，求危)的解析式；

(3)計算*0)+火1)+#2)+…+火2017).

［解］(1)V>+2)=-?,

.\>+4)=->+2)=?.

；.八%)是周期為4的周期函數(shù).

⑵當?shù)犊谝?,0］時，一工￡［0,2］,由已知得

%)=2(-%)一(一4)2=-2%—%2.

又“Y)是奇函數(shù)，X)=—/(X)=—2%—X2,

.,./(%)=/+2%.

又當%￡[2,4]時,x-4e[-2,0]f

4)=(%—4)2+2(x—4).

又八工)是周期為4的周期函數(shù)，

.,.*%)=%-4)=(%—4)2+2(X—4)=%2—6%+8.

從而求得入￡[2,4]時，J(x)=x2—6%+8.

(3—0)=0,*2)=0,#)=1,火3)=-1.

又八工)是周期為4的周期函數(shù)，

.?.人0)+火1)+火2)+火3)=#4)+#5)+火6)+人7)=…=*2008)+

火2009)+/2010)+/(2011)=/(2012)+/2013)+#2014)+火2015)=

0,

...*0)+火1)+火2)+…+五2017)=火0)+火1)=0+1=1.

》規(guī)律方法

推斷函數(shù)周期性的兩個方法

⑴定義法.

⑵圖象法.

［演練沖關(guān)］

已知函數(shù)八%)是定義在R上的偶函數(shù)，若對于％20,都有加+

2)=一點，且當工仁［0,2)時，兀0=log2(x+1),則求八一2015)+#2017)

的值為.

1

解析：當時，危+2)=?，

.?.危+4)=/)，即4是火%)(X20)的一個周期.

.,./(2017)=Al)=log22=l,

八一2015)=黃2015)=火3)=—六=-1,

...八一2015)+火2017)=0.

答案：0

考點三函數(shù)奇偶性、周期性的應用|急患臂感

高考對于函數(shù)性質(zhì)的考查，一般不會單純地考查某一特性質(zhì)，而

是對奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合考查.

歸納起來常見的命題探究角度有：

1.已知奇偶性求參數(shù).

2.利用單調(diào)性、奇偶性求解不等式.

3.周期性及奇偶性綜合.

4.單調(diào)性、奇偶性及周期性相結(jié)合.

探究一已知奇偶性求參數(shù)

1.（2024?高考全國卷I）若函數(shù)0%）=%ln（%+Na+1）為偶函數(shù),

貝a=.

解析：由題意得加）=%ln（%+4a+肥）=孤—x）=—%ln（ya+由一%）,

所以日^+川+工=一,解得a=1.

弋。十%'一%

答案：1

探究二利用單調(diào)性、奇偶性求解不等式

2.（2024?高考全國卷II）設(shè)函數(shù)危）=ln（l+|x|）——鏟則使得

兀0次2%—1）成立的x的取值范圍是（）

A.1

B.f—00,|jU(l,+°0)

解析：函數(shù)危）=111（1+|刈-53，.\/（一%）=火%）,故火%）為偶函

出，危）是單調(diào)遞增的,

數(shù)，又當工￡（0,+8）時，火%）=ln（l+x）

故危）次2區(qū)-1）於川%|）次A|x|>|2x-l|,解得;4<1,故選A.

答案：A

探究三周期性及奇偶性相結(jié)合

3.（2024.石家莊一模）已知八%）是定義在R上的以3為周期的偶

2a—3—

函數(shù)，若人1）<1,<5）=n，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.(-1,4)B.(-2,0)

C.(-1,0)D.(-1,2)

解析：:火%)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù),

.\A5)=火5—6)=火-1)=<1),

2。一3

?加)<1,火5)=一，

2a~3a—4

即<0,解得一l<a<4,故選A.

Ja+[<La+1

答案：A

探究四單調(diào)性、奇偶性及周期性相結(jié)合

4.已知定義在R上的奇函數(shù)八%)滿意八%—4)=一八%),且在區(qū)間

［0,2］上是增函數(shù)，則()

A.八一25)勺(11)勺(80)

B.>0)</(11)</(-25)

C./11)</(80)</(-25)

D.八一25)480)411)

解析：,.,/(%)滿意加-4)=—fix),

.?.危-8)=火%),.?.函數(shù)八%)是以8為周期的周期函數(shù)，

則八一25)=#—1),#80)=<0),式11)=火3).

由危)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿意八%—4)=一本)，得人11)

=火3)=-/(_1)=火1).

?.?危)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，八工)在R上是奇函數(shù)，

.?.危)在區(qū)間［-2,2］上是增函數(shù)，

?\A-1)40)41),即#—25)580)411).

答案：D

》規(guī)律方法

函數(shù)性質(zhì)綜合應用問題的三種常見類型及解題策略

(1)函數(shù)單調(diào)性及奇偶性結(jié)合.留意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義,

以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性.

(2)周期性及奇偶性結(jié)合.此類問題多考查求值問題，常利用奇

偶性及周期性進行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的

函數(shù)定義域內(nèi)求解.

(3)周期性、奇偶性及單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周

期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.

S盤玄M=￥XTIE|2.構(gòu)造法在函數(shù)奇偶性中的應用

【典例】設(shè)函數(shù)*%)=?+?；1sm"的最大值為乂,最小值為

m,則M+m=.

［思路點撥］干脆求解函數(shù)的最大值和最小值很困難不行取，所

以可考慮對函數(shù)整理化簡，構(gòu)造奇函數(shù)，依據(jù)奇函數(shù)的最大值及最小

值之和為零求解.

—A-?,,2%+sinx

［斛析］易知危)=1+1+］.

“2%+sin%

僅g(%)="￥)—1=.+i，

則g(%)是奇函數(shù).

”."(%)的最大值為M,最小值為m,

「.g(%)的最大值為M-1,最小值為m~1,

—1+m—1=0,Af+m=2.

［答案］2

［方法點評］在函數(shù)沒有指明奇偶性或所給函數(shù)根本不具備奇

偶性的狀況下，通過視察函數(shù)的結(jié)構(gòu)，發(fā)覺其局部通過變式可構(gòu)造稀

奇偶函數(shù)，這樣就可以依據(jù)奇偶函數(shù)特有的性質(zhì)解決問題.

［跟蹤練習］已知人%)=2+依3+"—8,且八一2)=10,則式2)

等于()

A.-26B.-18

C.-10D.10

53％53

解析：由火%)=X+QA+)—8知/a)+8=x+ax+/7%,

令F(x)=危)+8可知尸(%)為奇函數(shù)，

.?.尸(一%)+尸(%)=0.

.(一2)+/(2)=0,故人-2)+8+*2)+8=0.

???#2)=-26.

答案：A

GENZONGJIANCE

時?跟蹤檢測＞查漏補缺

A組考點實力演練

1.（2024?陜西一檢）若危）是定義在R上的函數(shù)，則“#0）=0"

是“函數(shù)/（%）為奇函數(shù)”的（）

A.必要不充分條件

B.充要條件

C.充分不必要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：危）在R上為奇函數(shù)"0）=0;<0）=00/危）在R上

為奇函數(shù),如火%）=%2,故選A.

答案：A

2.（2024?唐山一模）已知函數(shù)八%）=—%+log2充+1,則（目+

A.2B.-2

C.0D.210g2；

1—x1~H%

解析：由題意知,危)-1=—X+Iog2j7p‘八一%)—1=%+10g2j7Z^

=%—10g2；W=—(/(%)—1),所以八%)—1為奇函數(shù)，則1+1一目

-1=0,所以《m+《_g=2.

答案：A

3.設(shè)危)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當工￡[—2,1)時，*%)

4%2—2,12W%W0

、x,0<x<l

A.0B.1

；

C.D.-1

解析：因為危)是周期為3的周期函數(shù)，所以-2+3r

=4X；:一2=—1,故選D.

答案：D

4.在R上的奇函數(shù)兀0滿意火工+3)=犬"),當0<%Wl時，危尸

21則人2015)=()

A.-2B.2

C.一；D.；

解析：由火%+3)=兀0得函數(shù)的周期為3,所以人2015)=/(672X3

_1)=#—1)=-/Q)=-2,故選A.

答案：A

5.設(shè)奇函數(shù)八%)在(0,+8)上是增函數(shù)，且火i)=o,則不等式

次伏㈤一人一刈<。的解集為()

A.{%|—1<%<0,或%>1}

B.{x|x<—1,或0<%<1}

C.或%>1}

D.{%|—1<%<0,或0<x<l}

解析：??,奇函數(shù)八%)在(0,+8)上是增函數(shù)，八一%)=—/(%),可⑴

—八—%)]<0,???歡%)<0,又#1)=0,

???A-1)=0,

從而有函數(shù)八%)的圖象如圖所示：

則有不等式%應工)一/(一%)]<0的解集為

{R—1<%<0或0<￥<1},選D.

答案：D

6.已知危)是定義在R上的偶函數(shù)，#2)=1,且對隨意的工￡R,

都有八%+3)=火%),貝IJ火2017)=.

解析：由於+3)=危)得函數(shù)#%)的周期7=3,則#2017)=/⑴

=#一2),又危)是定義在R上的偶函數(shù)，所以#2017)=火2)=1.

答案：1

7.函數(shù)火%)=0+iy+葉為奇函數(shù),則。=.

解析：由題意知，g(%)=(X+l)(%+a)為偶函數(shù)，-1.

答案：一1

8.已知函數(shù)兀0在實數(shù)集R上具有下列性質(zhì)：①直線％=1是函

數(shù)八%)的一條對稱軸；②次%+2)=一火%)；③當1WXI<%2W3時，|>2)

一於1)](%2—陽)<0,則火2015),火2016),火2017)從大到小的依次為

解析：由火%+2)=一<%)得加+4)=八%),即函數(shù)危)是周期為4

的函數(shù)，由③知兀0在[1,3]上是減函數(shù).所以丸2015)=犬3),丸2016)

=<0)=火2),火2017)=火1),所以火1)次2)次3),即火2017)次2016)次2

015).

答案：人2017)次2016)次2015)

<―x2+2x,x>Q,

9.已知函數(shù)兀0={0,x=0,是奇函數(shù).

x<0

(1)求實數(shù)機的值；

(2)若函數(shù)危)在區(qū)間［—1,a—2］上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范

圍.

解：⑴設(shè)X<0,則一%>0,

所以大-%)=_(-%>+2(_%)=—x2~2x.

又八%)為奇函數(shù)，所以八一%)=一危)，

于是X<0時，f(x)=x1-{-2x=x1-{-mx,所以機=2.

(2)要使危)在［-1,。-2］上單調(diào)遞增，

“一2〉—1,

結(jié)合危)的圖象知，

、。一2W1,

所以l<aW3,故實數(shù)a的取值范圍是(1,3］.

10.函數(shù)y=#%)(%W0)是奇函數(shù)，且當工￡(0,+8)時是增函數(shù),

若火1)=0,求不等式<0的解集.

解：?.3=/(%)是奇函數(shù)，八一1)=一<1)=0.

又,.,丁=危)在(0,+8)上是增函數(shù)，

.,.》=啟)在(一8,0)上是增函數(shù)，

|<1,解得聶〈空亙或匕叵=%<().

即

1,解得％￡0.

J原不等式的解集是

11+V171—^17

x2<x<---4—或44<0

B組高考題型專練

1.(2024.高考新課標全國卷I)設(shè)函數(shù)兀0,g(x)的定義域都為R,

且犬%)是奇函數(shù)，g(%)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.火%)g(x)是偶函數(shù)

B.網(wǎng)%)庶(%)是奇函數(shù)

C.危)|g(x)|是奇函數(shù)

D.府)g(%)|是奇函數(shù)

解析：由題意可知八一%)=—*%),g(一%)=g(x),對于選項A,火一

%>g(—%)=—所以/(%)g(x)是奇函數(shù)，故A項錯誤；對于選

項B,次一%)|g(一%)=|—/(%)lg(%)=IK%)lg(%)，所以|K%)lg(%)是偶函數(shù),

故B項錯誤；對于選項C,/(—%)|^(—%)|=—f(x)lg(x)|,所以八%)|g(x)|

是奇函數(shù)，故c項正確；對于選項D,[/(-%)(?(—尸

\f(x)g(x)\,所以依必(%)|是偶函數(shù)，故D項錯誤，選C.

答案：C

2.(2024?高考安徽卷)設(shè)函數(shù)#%)(%GR)滿意?￥+7i)=#X