綜合測試卷(四)

時間：120分鐘分值：150分

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.(2024山東濰坊模擬)已知集合上｛矛3-120｝,廬3尸e｝則/C6=()

A.(0,+8)B.(-°0,1]

C.[1,+°°)D.(-°°,-1]U[1,+8)

答案C因?yàn)?-120,所以矛21或后-1,所以/=(-8,-1]口[1,+8).又因?yàn)槭?*>0,所以

廬(0,+8),所以/C廬[1,+8),故選a

2.(2024安徽馬鞍山二模,3)已知復(fù)數(shù)z滿意zi=3+4i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于

()

A.第一象限B.其次象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(3+4i)(i)=

答案D由zi=3+4i,得=2-4-3i,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

1-1

(4,-3),該點(diǎn)位于第四象限.故選D.

3.(2024陜西漢中重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考,7)若Iog2x+log4產(chǎn)1,則()

A./尸2B./尸4C.xy-2D.xy-\

1111

答案BIog2^+log4y=log2^+-log27=log2^+log22=log2(x2)=1,所以x5=2,兩邊平方得

xy=4.故選B.

4.(2024河南安陽二模,7)已知得/是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，則下列可以

推出的是()

A.ml,7,g￡,/J_aB.mil,aCl歸a

C.m//2,mVa,/_L￡D.71

答案D在A中,￡,八。，則。與￡相交或平行，故A錯誤；

在B中,aC8:1,應(yīng)。，則。與￡有可能相交但不垂直，故B錯誤；

在C中,加〃，則q〃￡,故C錯誤；

在D中，/J_a,m//7,則ml_Q、又m//B,則。_L￡，故D正確.故選D.

5.（2024山東煙臺一模,7）設(shè)戶為直線3『4y+4=0上的動點(diǎn),用,分為圓C:（x-2）2+y=l的兩條

切線,46為切點(diǎn)，則四邊形/咖面積的最小值為（）

A.V3B.2V3

C.V5D.2V5

答案A如圖所示.圓。:（矛-2y+/=1的圓心為C（2,0）,半徑為1,為=9則S四娜

|陽?|陽，又???△70為直角三角形，|以"|2-2-1,

因此12一1,若四邊形月必，的面積最小，則防。最小，當(dāng)配垂直于直線

3『4片4=0時，|①取最小值，即點(diǎn)C到直線3『4尹4=0的距離，回%1n也注出=2,故四邊

5

形面積的最小值為亞可=展.故選A.

22/o

6.已知橢圓C:—+—=l（a>A>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F”&圖心率為A過莊的直線/交。于

A,6兩點(diǎn),若△掰8的周長為4V3,則。的方程為（）

999

A-+T=1B.丁戶1

2222

C.—-+-T--1D.—-+—=1

128124

答案A的周長為4g,.?.由橢圓的定義可知

4a=4通,：e=-=冬c=l,9=2,；.方程為丁丁1,故選A.

7.（2024廣東廣州綜合測試一，10）已知點(diǎn)戶（司,川）是曲線C:y=x-x+\上的點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P

處的切線與直線產(chǎn)8矛-11平行，則（）

4

A.8二2B.Ab=--

「4

C.劉二2或xo=--4D.荀=-2或_p.照不

答案B由尸Y-f+l可得/=上乙2%則切線斜率公_=3介2茄,又切線平行于直線

產(chǎn)8x-n,；.3臺2荀=8,...荀=2或q.①當(dāng)劉=2時,切點(diǎn)為⑵5）,切線方程為廠5=8（矛-2）,即

8x-廣11=0,與已知直線重合,不合題意,舍去;②當(dāng)為制時,切點(diǎn)為卷）,切線方程為

鴻1=8（+小，即產(chǎn)8x+警與尸8尸H平行，故選B.

8.（2024天津,8,5分）如圖，在平面四邊形ABCD中,ABLBC,ADLCD,ZBAD=12,0:AB=AD=1.

若點(diǎn)￡為邊切上的動點(diǎn),則一（?一>的最小值為（）

噫D.3

答案A本題主要考查數(shù)量積的綜合應(yīng)用.

解法一:如圖，以〃為原點(diǎn),加所在直線為x軸,加所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則

/（1,0）,犯，與，。（0,煦），設(shè)￡（0,。，te

_V3

：0,V3],/.(-1,t),(E0,㈣".當(dāng)二京4

’取得最小值，C

解法二:令=A）（0W4W1）,由已知可得〃年服,

>+*+X

>=(------>+A---0*(--->+--->+A

=3A2--2+-,

當(dāng)時,—>-一）取得最小值義故選A.

ZXJ410

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分.

9.定義:若函數(shù)6(x)在區(qū)間［a,6］上的值域?yàn)椋踑,b］,則稱區(qū)間［a,⑸是函數(shù)尸(x)的“完備區(qū)

間”，另外，定義區(qū)間［a,6］的“復(fù)區(qū)間長度”為2(Aa),已知函數(shù)則()

A.［0,1］是f(x)的一個“完備區(qū)間”

B.［展竽］是F(x)的一個“完備區(qū)間”

C.f(x)的全部“完備區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為3+痣

D.f(x)的全部“完備區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為3+2小

答案AC當(dāng)xe［0,1］時,f(x)=14,易知/1(x)在［0,1］上單調(diào)遞減,/(0)=1,/-(1)=0,故值域

為［0,1］,所以［0,1］是/'(X)的一個“完備區(qū)間”，故A正確.

由于1〈0,F(x)20恒成立,故B錯誤.

由定義域?yàn)椋踑,6］,f(x)》0,可知OWa(瓦

當(dāng)慶1時，［a,［0,1］,此時汽入)=，算|=1-片則函數(shù)f(x)在［0,1］上單調(diào)遞減，所以函數(shù)

F(x)在區(qū)間應(yīng)切上單調(diào)遞減，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間［a,6］上的值域?yàn)椋踑,6］,

所以f!!=1I=，所以3+樂爐+a=l,則>舁甘f

2、2

所以才-對二夕一始,即(-0，所以二歸或W6,整理得己+為1或46(舍去)，

又因?yàn)閍+Z?2=l,所以左4,解得80(舍去)或左1,則-左0,此時3+左0+1=1,所以a=0,左1

是方程組j’的唯一解，

(()=1-=

故此狀況下存在年0,左1,使得區(qū)間［a,6］是函數(shù)f(x)的“完備區(qū)間”，此區(qū)間［a,b］的“復(fù)區(qū)

間長度”為2X(1-0)=2.

當(dāng)b>l時，

①若0Wa〈l,則1G［a,b\,此時f(x)ma=f(l)=0,若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,6］上的值域?yàn)椋踑,方］,

則a=0,f(6)=6,

因?yàn)閎>l,所以/"(6)=1爐-1|=爐-1=6,即爐-61=0,解得房子(舍去)或反竽，

故此狀況下存在a=0,爐竽,使得區(qū)間［a,6］是函數(shù)f(x)的“完備區(qū)間”，此區(qū)間［a,b］的“復(fù)

區(qū)間長度”為2X(竽-0>1+述.

②當(dāng)司21時，F(xiàn)(x)二9-1,［a,b\,函數(shù)f(x)在［昆6］上單調(diào)遞增,

若函數(shù)?（王）在區(qū)間居"］上的值域?yàn)榱?6］,貝訃jJ=27='

所以a與6是方程/-^-1=0的兩個不等實(shí)根，

解得為二十,苞=苧,所以|因?yàn)閍=［但<1,所以此狀況不滿意題意.

乙乙1+V5乙

、-2，

綜上所述，函數(shù)F（x）=|x2-I|的全部“完備區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為2+（1+質(zhì)）=3+逐,

故C正確,D錯誤.

故選AC.

22

10.已知雙曲線。:F—F=1Q>0">0）與直線尸Ax交于46兩點(diǎn)，點(diǎn)尸（Xo,㈤為。上隨意一點(diǎn)，

且直線序，外的斜率分別為扇，及，且扇?3,則下列結(jié)論正確的是（）

A.雙曲線的漸近線方程為產(chǎn)土）

B.雙曲線的漸近線方程為產(chǎn)士|x

C.雙曲線的離心率為當(dāng)

D.雙曲線的離心率為:

4

2222

答案AC設(shè)點(diǎn)/（x,力，B{-x,-y）,貝又???甘-*=1，；?兩式相減得

2-22_22_22八_八!Q2nq

二^—=「.又泓,人」-----匚="??雙曲線的漸近線方程

乙zo0_o+4Z42

為產(chǎn)土gx,故選項(xiàng)A正確,選項(xiàng)B錯誤；

又?.—=上二=/-13,聾,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯誤.

故選AC.

2q

思路分析設(shè)點(diǎn)A（x,力，B—利用點(diǎn)差法得到3kP^—即可得到一卷,從而求出雙曲

線的漸近線與離心率.

11.（2024山東百師聯(lián)盟測試五,9）函數(shù)F（x）=/sin（。戶0）（4〉0,。>0,|。|〈”）的部分圖象

如圖所示,則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)f(x)的周期為Ji

B.函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸方程為用

C.函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為[一稱，n+百(右Z)

D.當(dāng)xG/,引時,函數(shù)f(x)的值域?yàn)椴方?]

答案AC由題中圖象知，中1/=彳*\今六五，所以°="二2,依據(jù)五點(diǎn)作圖法得

2義丁"0=0今0=-三,則/'(x)=sin(2-7),對稱軸方程為后萬m+記#ez,單調(diào)減區(qū)間為

["-箸，"+總'Z.當(dāng)時,2kV：,5],F(x)=sin(2七)e

卜今耳.故選AC.

12.(2024福建泉州畢業(yè)班適應(yīng)性線上測試)已知F(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(l+x)=『(1-x),

若『⑴=1,則()

A.f(x)是周期函數(shù)

B.當(dāng)〃為偶數(shù)時，f(〃)=0

C.r(l)+2V(2)+32(3)+—+62r(6)=16

D.f(l)+22/(2)+3*(3)+…+(4A+2)5(4力*2)=87+8加1

答案ABD因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x).

又/'(l+x)=『(l-x),所以f(x+2)=f(-X)=-r(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可得函數(shù)f(x)的周期為4,選項(xiàng)A正確；f(-2)=-f(2)=-f(0)=0,

即F(-2)=f(2)=F(0),又因?yàn)楹瘮?shù)f{x)的周期為4,所以當(dāng)〃為偶數(shù)時,『5)=0,選項(xiàng)B正確;

因?yàn)?(-i)=-r(i)=-i,周期芹4,

所以/1⑴+2%(2)+32/(3)+-+62/(6)=1-32+52=17,

所以選項(xiàng)C是錯的；

『(1)+23(2)+3"承⑶+???+(4/74-2)5(4加2)=1-32+52-72+92—?+(4加1)2

=1+(52-32)+(9-72)+???+[(4774-1)-(4^1)2]

=1+2[3+5+7+9+…+(4/2-1)+(4/2+1)]

=1+2*？(":+0=1+2〃(4加4)=8/+8加1,

所以選項(xiàng)D正確，故選ABD.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.已知coscos(a+￡)=—；,且a,6G(0,j),貝Ucos(a-￡)=.

答案g

V

解析GG(O,y),.\2oe(0;Ji).

197

Vcos^=-,/.cos2a=2cos^-1=—,

3'9，

sin2^=A/1-COS22一二邛，

而a,￡￡(0,3,I.q+￡￡(0,JI),

sin(q+￡)=V1-cos2(+7=^,

.'.cos(a-￡)=cos[2a-(a+￡)]

=cos2acos(a+￡)+sin2asin(a+￡)

14.我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載:一年有二十四個節(jié)氣,每個節(jié)氣號(gui)

長損益相同(號是依據(jù)日影測定時刻的儀器,號長即為所測量影子的長度)，夏至、小暑、大暑、

立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)十二個節(jié)氣，其日影子長

依次成等差數(shù)列,經(jīng)記錄測算,夏至、處暑、霜降三個節(jié)氣日影子長之和為16.5尺,這十二個

節(jié)氣的全部日影子長之和為84尺,則夏至的日影子長為尺.

答案1.5

解析設(shè)此等差數(shù)列U)的公差為4前〃項(xiàng)和為S,

,C"Jc.12x11c._

由題意得[12j8416耳即1?丁‘解得｛]=J5'

1

(1+5+9=16-5,心5=3(1+4)=16.5,=1?

所以夏至的日影子長為L5尺.

15.(2024天津南開中學(xué)第五次統(tǒng)練，13)已知函數(shù)/1(x)=xlnkaf+Qa-Dx,若函數(shù)f(x)在

A=1處取得極大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案+8)

f

解析f(^r)=lnx-2ax+2af令g(x)=lru^2ax+2a(x>0),:?g'(x)=L-2a,

若aWO,則g｛x｝—~2a>Q恒成立,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,g(l)=0,當(dāng)(0,1)

時,g(x)=f'(x)<0,廣(x)單調(diào)遞減,當(dāng)(1,+8)時,g(x)二6(x)>0,F(x)單調(diào)遞增,故函數(shù)

Hx)在下1處取得微小值,不符合題意.

若a>0,則0<x/時,gf(x)=--2a>0,g(x)單調(diào)遞增,吐g'(x)二上-2水0,g(x)單調(diào)遞

減,g⑴=￡⑴=0,

??"(x)在尸1處取得極大值，.?.★1時,g(x)=f'(x)>0,x>\時,g(x)=f在x)<0,即函數(shù)F(x)在

戶1的兩側(cè)先增后減,則'1,解得a>\.綜上,a的取值范圍是&+8).

16.(2024山東第一次仿真聯(lián)考,15)在四棱錐上ABCD中,四邊形是邊長為2的正方

形,P仁PD=亞,平面上讓平面ABCD,則四棱錐RZ時外接球的表面積為.

答案

解析取切的中點(diǎn)區(qū)連接陽

因?yàn)榍途l1,所以PELCD,則止2,

連接力?能交于點(diǎn)a,則a為四邊形相功的中心，

過四邊形的中心a作平面切的垂線71,過三角形尸切的外心a作平面尸切的垂線12,

設(shè)hw則。為四棱錐p/az?外接球的球心，

設(shè)oa=h,四棱錐氏/四外接球的半徑為R,

則廬方+2=(2-獷+1,解得A=|,則正*4卷，

故四棱錐尸四切外接球的表面積為4K始=牛.

四、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知回｝是遞增的等差數(shù)列,且a%&是方程春5X+6=0的根,數(shù)列伉｝的前n項(xiàng)和

為S,且S=26「2(/?eN,).

⑴求數(shù)列｛a｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若c薩?6"(AGN*),求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和T?.

解析(1)因?yàn)椤?。?(加l)a〃=l,

所以T―f

所以———y---T-_（〃，2）,

-i-i

所以---a1=1--2）.

又^1=1,所以------所以^=277-1（77^2）.

又當(dāng)二1也符合上式，

所以a=2/7-1（〃￡N*）.

⑵結(jié)合⑴得知濘，

所以￡=*+*+*+看+???+彳—」,①

OOOOO

-3s，4314342+33-+—3,>②

所以$=3-3-1.

18.（12分）（2024山東煙臺一中期末，17）在條件：

①（a+Z））（sin/-sin而=（L6）sing②asin廬Acos（+孑）,③6sin:=asin8中任選一個，補(bǔ)

充到下面問題中，并給出問題解答.

在△48C中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,Mc-6,a=2巡,.求△/回的面積.

解析若選①：

由正弦定理得（a+6）（a-6）=（56）c,即tj+（f-a=bc,

―2*2_21

所以cosA=--------二二-，

“222

因?yàn)?G（0,JI）,所以J=y,

又a=li+c-bc^（Zr<-c）2-3be,a=2,yj6,什c=6,

所以bc=4,

所以S/\AB（r~bcsin/二;X4Xsiny=V3.

若選②：

由正弦定理得sinZsin廬sin氏os（+彳）.

因?yàn)?<B<兀,所以sin身0,所以sin/=cos（+彳），

化簡得sin/4cos4-；sin4即tan/二日，

因?yàn)?<A<Ji,所以又因?yàn)椴哦?+3-26ccosg,

00

所以b/+）；2=6：：,即力c-24-126，

2+V32+V歹3

所以Sk^|z?csin^=|x（24-12禽）x|=6-3V3.

若選③：

由正弦定理得sinBsin:=sinZsinB,

因?yàn)?〈水兀，所以sin身0,

所以sin-i—=sinJ,又因?yàn)锽+O兀-A,

所以cos5二2sin萬cos萬，

因?yàn)?<水兀，所以0<—,所以cos—7^0,

所以sin-=1,即彳W所以A=^.

22263

貝!Ja-ID+c-bc=2~3be,又近2般,所以6c=4,所以S^ABc=-bcsin^jX4Xsiny=V3.

19.（12分）（2024廣東湛江一模,17）在等差數(shù)列｛a｝和等比數(shù)列伉｝中，&=0,&=1,且

a^b>,a=Z?4.

（1）求為和bn；

（2）求數(shù)列｛刀4｝的前n項(xiàng)和￡.

解析（1）設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d等比數(shù)列｛口的公比為。,,?,功=0,益=1,且

所二勾國二瓦.??"+占0,617=1,ai+2*bi6,為+3/力i/,四式聯(lián)立解得

4二-2,戶2,61二;,疔2,.,?劣=-2+2（hl）=2/7-4,4=2".

（2）數(shù)歹!J｛〃4｝的前刀項(xiàng)和S=$2+3X2+4X22+???+T7?2",

25=1+2X2+3*2,…+(hl)?2”,

.?.-5>=i+1+2+22+-+2"2-77?)_〃?2弋

21-2J

即S=31)?2個.

20.(12分)(2016課標(biāo)/理,19,12分)某公司安排購買2臺機(jī)器,該種機(jī)器運(yùn)用三年后即被淘

汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機(jī)器

運(yùn)用期間,假如備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損

零件,為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年運(yùn)用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：

以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記才

表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),〃表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù).

(1)求才的分布列；

(2)若要求P(XWri)NO.5,確定n的最小值；

(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在行19與廳20之中選其一,應(yīng)選用哪個?

解析(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為

8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的全部可能取值為

16,17,18,19,20,21,22,

P(^16)=0.2X0.2=0.04;

一(閆7)=2X0.2X0.4=0.16;

9018)=2X0.2X0.2+0.4X0.4=0.24;

產(chǎn)(#49)=2X0.2X0.2+2X0.4X0.2=0.24;

9020)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2;

產(chǎn)(游21)=2X0.2X0.2=0.08;

戶(斤22)=0.2X0.2=0.04.

所以X的分布列為

z16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

(2)由⑴知18)=0.44,尸(收19)=0.68,故n的最小值為19.

(3)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元).

當(dāng)上19時，

止19X200*0.68+(19X200+500)X0.2+(19X200+2X500)X0.08+(19X200+3X500)X0.

04=4040.

當(dāng)上20時，

￡片20X200X0.88+(20X200+500)X0.08+(20X200+2X500)X0.04=4080.

可知當(dāng)上19時所需費(fèi)用的期望值小于上20時所需費(fèi)用的期望值,故應(yīng)選上19.

21.(12分)(2024天津七中一模，19)已知橢圓〃:二+―=l(a>6>0)的離心率為g,點(diǎn)｛1,在橢

圓〃上.

(1)求橢圓〃的方程；

(2)經(jīng)過橢圓〃的右焦點(diǎn)尸的直線，與橢圓〃交于，兩點(diǎn),46分別為橢圓〃的左、右頂

點(diǎn),記△/劭與△居0的面積分別為S和S,求|s-s|的取值范圍.

解析⑴由一口^總得3-二南①,將41,3代入橢圓方程,得與六勺②，由①②得

22

a=2,Z>=V3,所以橢圓"的方程為了+彳二L

⑵當(dāng)直線1的斜率不存在時,直線方程為下1,

△Z初與比的面積相等，|S-S|=o,當(dāng)直線1的斜率存在(明顯AW0)時,設(shè)直線方程為

=(T),

產(chǎn)A(xT),設(shè)。(X1,%),〃(晶㈤，聯(lián)立］22

I4---1--3--=---1-,'

消掉P得(3+42)/-8^+4A-12=0,

明顯/>0,方程有根，

口,_