專題08幾何部分測(cè)試檢驗(yàn)卷

一、單選題

1.（2023?安徽蕪湖?統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形ABC。中，ZB=ZD=90。，AD=CD,現(xiàn)把四邊形經(jīng)過(guò)某種操

作，可以得到與它面積相等的等腰直角三角形，這個(gè)操作可以是（）

A.沿BD剪開(kāi)，并將54D繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

B.沿8。剪開(kāi)，并將BAD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

C.沿AC剪開(kāi)，并將，54。繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

D.沿AC剪開(kāi)，并將54D繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

【答案】A

【解析】如圖，沿3D剪開(kāi)，并將,B㈤繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到HCD,

:.NBDH=90°,

:.BD=DH,NBAD=NDCH,

ZABC=ZADC=90°,

ABAD+ZBCD=180°,

ZBCD+ZDCH=180°,

，點(diǎn)B,點(diǎn)C,點(diǎn)H三點(diǎn)共線，

區(qū)汨是等腰直角三角形，

故選：A.

2.（2023?河北衡水?衡水桃城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，。是正五邊形ABCDE的外接圓，這個(gè)正五邊形的邊

長(zhǎng)為內(nèi)半徑為R,邊心距為廣，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是（）

E

A.〃=Rcos36°B.=27?sin36°C.a=2rtan36°D.a=rsin36°

【答案】D

【解析】。是正五邊形ABCDE的外接圓，

E

VOB=OC,OF±BC,

=-ZBOC=1x72°=36°,BF=~BC=-a,

2222

.?.；a=Rsin36。，即a=2Rsin36。，故B不符合題意；

Jo=rtan36。，即〃=2rtan36。，故C不符合題意；

cos36°=—,即r=7?cos36°,故A不符合題意；

R

故選：D.

3.（2023?湖南岳陽(yáng)?統(tǒng)考二模）下列四個(gè)命題中，屬于真命題的共有（）

①相等的圓心角所對(duì)的弧相等②對(duì)角線相等的四邊形是矩形

③相似的兩個(gè)圖形一定是位似圖形④三角形的內(nèi)心到這個(gè)三角形三邊的距離相等

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【解析】在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所以①錯(cuò)誤；

對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以②錯(cuò)誤；

相似的兩個(gè)圖形不一定是位似圖形，所以③錯(cuò)誤；

三角形的內(nèi)心到這個(gè)三角形三邊的距離相等，所以④正確.

故選：A.

4.（2023?北京海淀?北理工附中校考三模）如圖，內(nèi)接于。，若：。的半徑為6,NA=6O。，則BC的

C.6萬(wàn)D.12萬(wàn)

【答案】B

【解析】連接。民OC，則：ZB（9C=2ZA=120o,

:。的半徑為6,

，=36=4萬(wàn)；

BC180

故選B.

5.（2023?河北保定??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，六邊形ABCDE尸為止六邊形，4〃4，則N2-N1的值為（）

C.108°D.120°

【答案】A

【解析】如圖,延長(zhǎng)AB交乙于點(diǎn)G,

六邊形ABCDEF為正六邊形,

NG3C=360。+6=60°,

：.4=/BGE,

?：N2=NBGE+NGBC,

：.Z2-Z1=ZGBC=6O°.

故選：A.

6.（2023?河北保定?校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtABC中，ABAC=90°,/為ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)C/交AB于

點(diǎn)、D,連接回，BI.若5/=4,BD=M,則48的長(zhǎng)為（）

C.8D.6

【答案】A

【解析】./為ABC的內(nèi)心，

:.C/平分/ACB,①平分/ABC,

ZICB+ZIBC=1(ZACB+ZABC)=90°-1ZA,

ABIC=180°-(90°-1/A]=90°+g/A=90°+45°=135°,

ZB/JD=45°,

?；4/平分/C43,

/MB=45°,

又：ZIBD=ZABI,

:..BIDs_BAI,

?BI_BD

??麗—訪，

即士也

BA4

解得

AB=^.

5

故選：A.

7.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)A（2,0）,ZOAB=120°,AB=AO=2,

且點(diǎn)3在第一象限內(nèi)，將一AO3繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，則第2023次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）

【答案】A

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)3作軸與點(diǎn)R,

?.?點(diǎn)A（2,0）,ZO4B=120°,AB=AO=2,且點(diǎn)2在第一象限內(nèi),

/BQ4=/ABR=30。，

AR=ABsin30°=1,BR=ABcos300=y/3,OR=OA+AR=3,

2

?.?將A03繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。,

Z.ZB'OB=60°,

又ZAO8=30。，

民*關(guān)于x軸對(duì)稱,

V2023-6=3371,

二第2023次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)8的坐標(biāo)與9（3,-舊）的相同，即第2023次旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)B的坐標(biāo)是？（3,一8）.

故選A.

8.（2023?貴州遵義?統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=一走了+

班與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),

3

圓心在無(wú)軸上的P經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)，則P的半徑為（）

A.1B.73C.2D.

【答案】C

【解析】如圖所示，連接3尸,

;直線y=-*x+道與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),

當(dāng)x=0時(shí)，y=6

OB=5

當(dāng)y=。時(shí)，x=3,

04=3

tanZBAO=—

3

NBA。=30。

ZBPO=6D°

sinZBPO

故選：C.

9.（2023?新疆喀什?統(tǒng)考三模）如圖，在正方形ABC。中，對(duì)角線AG交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸是3。邊上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，PE工BD于點(diǎn)G,交A5于點(diǎn)E,P尸，AC于點(diǎn)H,交8于點(diǎn)E下列結(jié)論：①△BPG^PCH；②

CHPH

PH-+PG2=OP2;（§）—=—；@PE+PF=AC.其中正確的是（）

HCHF

A.①②③④B.①②③C.①②④D.③④

【答案】C

【解析】???正方形ABCD中，對(duì)角線AC、交于點(diǎn)。，

ZPBG=ZPCH=45°,

:PELBD,PF1.AC,

:./XBPGSNCH,故①正確；

VPELBD,PF工AC,

：.PH//OB,PG//OC,

四邊形OGPH是平行四邊形，

VPELBD,即"GO=90°,

二四邊形OGPH是矩形，

Z.OG=PH,

，PH2+PG2=OG2+PG2=OP2,故②正確；

,:NFCH=45°,ZFHC=90°,

.?.VA如是等腰直角三角形，則△。尸”只是直角三角形，

ACFH與AOPH不相似，

.OHPH

-故③不正確；

HCHF

ZPBG=Z.EBG=45°,ZPGB=ZEGB=90°fBG=BG,

：.APGB^AEGS(ASA),

PG=EG=-PE=OH,

2

同理，PH=FH=-PF=CH,

2

PG+PH=OC,

：.PE+PF=AC,故④正確；

綜上，①②④正確；

故選：C.

10.（2023?河北邯鄲??？既＃┤鐖D1是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形鐵絲框ABC,按圖2方式變形成以A為圓心,

長(zhǎng)為半徑的扇形（圖形周長(zhǎng)保持不變），則所得扇形ABC的面積是（）

A.1B.2C.；D."

【答案】C

【解析】設(shè)==

圓心角的度數(shù)為：——

71

180秒

???扇形ABC的面積是—=1，

360~2

故選：C.

二、填空題

11.（2023?廣東珠海?校考三模）若扇形的面積為4萬(wàn)，半徑為2,則扇形的弧長(zhǎng)是

【答案】4萬(wàn)

【解析】由題意得：R=2,S扇形=4萬(wàn)，

故可得：4萬(wàn)=；/x2,

解得：I=4兀.

故答案為：4*

12.(2023?湖南岳陽(yáng)?統(tǒng)考二模)已知銳角NAO3=40。，如圖，按下列步驟作圖：①在。4邊取一點(diǎn)。，以。為

圓心，0。長(zhǎng)為半徑畫MN，交OB于點(diǎn)，連接CO.②以。。為圓心，。長(zhǎng)為半徑畫GH，交OB于點(diǎn)E,

連接。E.則NCDE的度數(shù)為.

【答案】30。/30度

【解析】由作法得OC=OD,DO=DE,

OD=OC,

NOCD=NODC=1(180°-ZAOB)=1x(180°-40°)=70°,

DO=DE,

：.ZDEO=ZDOE=40°,

ZOCD=NCDE+NDEC,

ZCDE=ZOCD-ZDEC=70°-40°=30°.

故答案為:30°.

13.(2023?北京海淀?北理工附中校考三模)如圖，AB為。的弦，半徑OCLAB于點(diǎn)。，若A8=8,CO=2,

則0B的長(zhǎng)是.

【解析】為，；。的弦，半徑OCLAB于點(diǎn)。,

ABD=-AB=4,OC=OB,

2

設(shè)0C=Q3=r,

OD=OC-CD=r-2,

在中，由勾股定理，得：r2=42+(r-2)2,

解得：r=5；

.?.03的長(zhǎng)是5,

故答案為：5.

14.（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考二模）某正六邊形的雪花圖案如圖所示.這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后能

與自身重合，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)角的大小至少為_(kāi)____度.

【答案】60

【解析】正六邊形的雪花圖案是中心對(duì)稱圖形，

這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后能與自身重合，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)角的大小至少為60°,

故答案為：60.

15.（2023?云南昆明??？既＃┰赗tAABC中，ZC=90°,sinA=1,貝ijcos8=.

【答案】，

【解析】vZC=90°,sinA=y,

16.（2023?上海?一模）在及ABC中，ZA=90°,已知AB=1,AC=2,AD是的平分線，那么AO的

長(zhǎng)是.

【答案】速

3

【解析】過(guò)B作交AD的延長(zhǎng)線于E,

ZBAC=90°,AD是ZBAC的平分線，

：.ZBAE=45°,

???_ABE是等腰直角三角形,

:.BE=AB=1,

AE=y]AE2+BE2=A/2，

VZCAB=90°,AB上BE,

：.ACBE,

：.AACDSAEBD,

.ACAD

??茄一瓦‘

.2_AD

"T-V2-AD，

?g2V2

??AD-------，

3

故答案為：巫.

3

r

17.（2023?山東泰安?統(tǒng)考二模）如圖，正方形4穌C°A的邊長(zhǎng)為1,正方形4與44的邊長(zhǎng)為2,正方形

2c24的邊長(zhǎng)為4,正方形A383c34的邊長(zhǎng)為8…依次規(guī)律繼續(xù)作正方形4紇GA.,且點(diǎn)4,A”4,

A，…，4+1在同一條直線上，連接4G交，A4于點(diǎn)2,連接AG，交人&于點(diǎn)小，連接4C3,交43用

于點(diǎn)2,…記四邊形4nQR的面積為、，四邊形ABC。2的面積為邑，四邊形482c的面積為S3,一，

四邊形的面積為S",則S2023=.

【解析】???正方形4綜C°A的邊長(zhǎng)為1,正方形AAG4的邊長(zhǎng)為2,

AJDJ//A2G，A)4=L44=A2G=2、44=1+2=3,

A）AMA）4G，

???翁妥即"

A2=|

1222122X1-!

??a=S4紇c。A-S.4AA=1x1——xlx—=—=——=-------

23333

,3,2x2—1S-2522x3-1

同理可得：s=—=-—

233S3一了3

1

歸納類推得：s=--（"為正整數(shù)）,

"n3

,2x2023-1

故答案為：--.

3

18.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,點(diǎn)E為A8邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊BC上一

動(dòng)點(diǎn)，連接PE,沿尸E折疊△P3E得到△?￡.當(dāng)射線所經(jīng)過(guò)正方形ABC。的邊的中點(diǎn)（不包括點(diǎn)E）時(shí),

3尸的長(zhǎng)為.

【答案】2或20-2

【解析】分三種情況：

(1)如圖1,當(dāng)射線EF經(jīng)過(guò)正方形ABCD的邊AD的中點(diǎn)G時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EQ〃交尸尸于點(diǎn)。,

圖1

:在正方形45co中，AB=4,點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G為AD邊的中點(diǎn),

/.BE=AE=AG=—x4=2,/4=90°.

2

ZA￡G=ZAGE=45°.

,/沿PE折疊4PBE得到APFE,

/.EF=BE=2,ZEFP=ZB=90°.

■：EQ//AD,

：.ZAEQ=9Q°.

；.ZFEQ=ZAEQ-ZAEG=45°.

ZFQE=ZFEQ=45°.

:.FQ=EF=2,EQ=2-j2.

?/EQ//AD,AD//BC,

：.EQ//BC.

：.ZQEP=ZQPE.

：.PQ=EQ=2y/2.

：.BP=PF=PQ+FQ=2j2+2.

BC=4,

???旅＞5C,點(diǎn)P在5c的延長(zhǎng)線上，不合題意，舍去.

⑵如圖2,當(dāng)射線EF經(jīng)過(guò)正方形ABC。的邊CO的中點(diǎn)M時(shí),

圖2

???點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為。。邊的中點(diǎn)，

：.EM//BC.

V?B90?,

ZBEM=90°.

???沿尸E折疊AP班得到APFE,

ZBEP=ZFEP=-ZBEM=45°,NEFP=NB=90。,EF=BE=2.

2

ZFEP=ZFPE=45°.

：-PF=EF=2.

：.BP=PF=2.

(3)如圖2,當(dāng)射線EF經(jīng)過(guò)正方形ABCD的邊3。的中點(diǎn)N時(shí)，

??,點(diǎn)￡為A5邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N為3C邊的中點(diǎn),

BN=BE=-x4=2.

2

4=90°,

:./ENB=/BEN=45。,EN=2拒.

沿PE折疊△尸3E得到APFE,

?.EF=BE=2,ZEFP=ZB=90°.

ZPFN=90°,FN=EN-EF=2應(yīng)-2.

/./FPN=/FNP=45。.

?■PF=FN=2也-2.

BP=PF=2逝-2.

故答案是2或2志-2.

19.（2023?河北保定??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，己知NA6?=40。，按下列步驟作圖:

①在。4上取一點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，OD長(zhǎng)為半徑畫弧，交OB于點(diǎn)C,連接C。；

②以點(diǎn)。為圓心，OD長(zhǎng)為半徑畫弧，交OB于點(diǎn)E,連接?！?

⑴若OC=3cm,則DE—cm；

(2)NCDE的度數(shù)為.

【答案】330。/30度

【解析】(1)由作法可得8=x,DO=DE,

DE=OC=3cm；

(2)OD=OC,ZAOB=40°,

ZOCD=ZODC=1(180°-ZCOD)=1x(180°-40°)=70°,

,:DO=DE,

：.ZDEO=ZDOE=AO°,

■:ZOCD=NCDE+ZDEC,

??.ZCDE=70°-40°=30°.

故答案為：3,30°.

20.(2023?安徽宿州??？家荒?如圖，正方形ABCQ的邊長(zhǎng)為4,E為邊AO上任意一點(diǎn)，尸為破的中點(diǎn)，將

DE戶繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△GHF,連接則。”的最小值為.

【答案】272

【解析】如圖，連接AC、8。相較于點(diǎn)。，連接OF、AF、CH,BH,

:點(diǎn)尸是BE上的中點(diǎn)，4045=90。，

AF=EF=BF=-BE,

2

又：在正方形ABCD中，OA=OB,ZAOB=90°,

?*.O尸垂直平分48,

/.ZBOF=-ZAOB=45°,

2

由旋轉(zhuǎn)可知，F(xiàn)H=EF,/EFH=9。。,

:.ZHFB=90°,HF=BF,

43也是等腰直角三角形，

/.BH=y/2BF，ZFBH=45°，

又：在正方形ABCD中，BC=6OB，NCBD=45。,

HBCBr-

：.—=—=J2,NHBC=NFBO,

FBOB

：.4HBCFBO,

：.ZBCH=ZBOF=45°,

又，:ZACS=45。，

...點(diǎn)〃在AC上，

...當(dāng)DHLAC時(shí)，的值最小，此時(shí)0、X重合，則OC=V5OO，

力。=竿=；=2五，

夜V2

.???08的最小值為：20，

故答案為：20.

三、解答題

21.（2023?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,連接30,點(diǎn)E在BD上,連接CE,

若Zl=N2.

⑴求證：AABDS^EDC.

(2)若NA=130。，BE=BC,求的度數(shù).

【解析】⑴證明：

ZABD=ZEDC,

又：Z1=Z2,

AABDs/^EDC；

(2)；△ABDS^EDC,ZA=130°,

Z./DEC=130。,

ZBEC=50°,

BE=BC,

：.ZBEC=ZBCE=50°,

：.Z.DBC=180°-100°=80°.

22.(2023?江蘇徐州?校考三模)如圖，YABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)。,于點(diǎn)E,CF_L&)于

點(diǎn)下.

求證：

(1)AABE^/XCDF；

(2)四邊形AECF是平行四邊形.

【解析】⑴：四邊形"CD是平行四邊形,

AAB^CD,ABCD,

：.ZABD=ZCDB,

VAE±BD,CF±BD,

：.ZAEB=ZCFD,

：.AABE^ACDF(AAS)；

(2)證明：由(1)得：ABE^CDF,

:.AE=CF,

VAE.LBD,CF±BD,

：.ZAEB=NCFD,

:ZAEB-^-ZAEF=180°,NCFD+NCFE=180。,

:.ZAEF=ZCFE,

/.AECF,

???四邊形AECF是平行四邊形.

23.(2023?新疆喀什?統(tǒng)考三模)如圖，在矩形ABCD中，瓦)于點(diǎn)區(qū)于點(diǎn)孔連接AF、CE,

⑴求證：AE=CF；

⑵判斷四邊形AEC廠的形狀，并說(shuō)明理由.

【解析】(1)證明：???四邊形ABCD為矩形，

：.AB=CD,AB//CD,

:?ZABE=/CDF,

?：AE_LBD,CFJLBD,

ZAEB=ZCFD=90°f

：.AABE^ACDF(AAS),

AE=CF.

(2)四邊形AEC歹為平行四邊形；理由如下：

VAE±BD,CFrBD,

：.AE//CF,

,：AE=CF,

二四邊形AECF為平行四邊形.

24.(2023?浙江溫州?校聯(lián)考二模)如圖，RtABC中，NABC=90。，點(diǎn)O,E分別為AB,AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)。E

至尸，使EF=2DE,連結(jié)BE,CF,BF,其中即與AC相交于G.

A

⑴求證：四邊形3CFE是平行四邊形.

(2)已知5石=3,EG=DE,求防的長(zhǎng).

【解析】(D：點(diǎn)。，E分別為AB,AC的中點(diǎn),

???OE是g/RC的中位線，

:,BC=2DE,BC//DE,

,:EF=2DE,

：.BC=EF,

???四邊形是平行四邊形；

(2)VRtABC中，NA6C=90。，點(diǎn)DE分別為AB,AC的中點(diǎn),

ABC=2DE,AC=2BE,

?；BE=3,,

：.AC=6,EC=BE=3,

???在平行四邊形BCEE中，

13

:.EG=-EC=~,

22

,:EG=DE,

3

???EG=DE=—,

2

：.BC=3,

ZABC=90°,

???Z4=30。，

???AB=cosZA-AC=—-6=3y/3,

2

.??￡)B=—,

2

??,BC=EF,

：.EF=3,

39

??.DF=DE+EF=—+3=',

22

，在心。5/中，BF=y/DF2+DB2=3A/3,

25.（2023?山東臨沂?統(tǒng)考二模）在古代，智慧的勞動(dòng)人民已經(jīng)會(huì)使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一

個(gè)固定長(zhǎng)度的“連桿”，推動(dòng)“連桿”帶動(dòng)磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動(dòng)力傳輸工具為“曲柄連桿

機(jī)構(gòu)，，.小明受此啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙連桿機(jī)構(gòu)”，設(shè)計(jì)圖如圖1,兩個(gè)固定長(zhǎng)度的“連桿”AP,3尸的連接點(diǎn)尸

在＜。上，當(dāng)點(diǎn)P在。上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)A,B分別在射線加，ON上滑動(dòng)，OMLON.當(dāng)AP與r。相

切時(shí)，點(diǎn)8恰好落在（。上，NO與圓交于點(diǎn)。，如圖2.請(qǐng)僅就圖2的情形解答下列問(wèn)題.

（1）求證：NPAO=2NPBO；

20

（2）若O的半徑為5,=y,求尸。的長(zhǎng).

【解析】（1）證明：連接。P,取y軸正半軸與。交點(diǎn)于點(diǎn)。，如下圖:

?：OP=OB,

：.NOPB=NPBO,

NPOQ為PO5的外角，

...ZPOQ=ZOPB+ZPBO=2/PBO,

”與。相切，OM1ON,

ZPOQ+ZPOA=ZPOA+ZPAO=90°,

.?.ZPAO=ZPOQf

：.ZPAO=2ZPBO；

(2)如圖，連接尸。，過(guò)點(diǎn)尸作。。的垂線，交OQ與點(diǎn)、D,如下圖:

由題意：在RtAPO中，AO=yjAP2+PO2=—,

?/八”c

sinNPAO=OP=一3,

AO5

由(1)知：ZQOP=ZOAP,

*：ZAPO=ZODP=90°,

「.RtAPO^RtODP,

:?/POD=/PAO,

PD3

sinAPOD=sinZPAO=——=-,

OP5

3

PD=-x5=3,

:.OD=4POr-PEr=后臼=4，

DQ=QO-DO=5-4=1,

/.PQ/PB+DQ2="萬(wàn)=廂.

26.(2023?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè))(1)如圖1,在.ABC中，AB=2,BC=3,ZB=30°,貝|ABC

的面積為------.

圖1

(2)如圖2,在。中，C是優(yōu)弧43上一點(diǎn)，點(diǎn)尸在。外，且C、尸在直線的同一側(cè)，試比較/C和NP

的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由問(wèn)題解決.

(3)矩形花園ABCD中，AB=150m,AD=135m,E、尸分別為A3、CD的中點(diǎn)，G、H為花園內(nèi)兩個(gè)出

水GELAB于E,HF_LCD于F,且EG=10m,HF=45m,尸為線段AE上一點(diǎn)，現(xiàn)需在矩形內(nèi)部過(guò)點(diǎn)？

鋪設(shè)兩條等長(zhǎng)管道尸河、PN,PM、PN分別經(jīng)過(guò)出水口G、H,且PM=PN=105m.請(qǐng)確定點(diǎn)尸的位

置，使得兩管道圍成的面積最大，并求出其面積最大值.

圖3得用圖

【解析】(l)：A8=2,3C=3,N8=30。

，一1113

△力BC的面積為一BCxABxsinB=—x2x3x—=—

2222

,3

故答案為：—

(2)ZC>ZP,理由：

如圖，設(shè)A尸與［。的交點(diǎn)為Q,連接8。

則/C=ZAQ8,又ZAQB>/P

：.Z.OZP

(\3)/SisrI.vuN=-2-PM-PN-smZMPN=-2xlO5xlO5xsinZMPN

要使尸MN面積最大，只需NMPN最大.

如圖，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)G、〃且和線段AE相切的圓，圓心記為0,切點(diǎn)記為P,

由⑵知,此時(shí)/MPN(即/GPH)最大.

連接OP、0G、OH、GH,過(guò)點(diǎn)。作O/LG"

VOG=OH,OI±GH

：.GI=-GH,ZGOI=-ZGOH

22

第261s圖3

VEG=10,HF=45

GH=80

???GI=40

TAE與。相切于點(diǎn)尸,

???OPLAE

???四邊形PE70是矩形

???OP=IE=10+40=50

???OG=50

404

：.sinZGOI=——

OG505

4

sinZGPH=-

5

14

:SPMN的最大值為5X105X105Xg=4410

檢驗(yàn)：延長(zhǎng)PG交5C于點(diǎn)延長(zhǎng)P"交。。于點(diǎn)K,通過(guò)計(jì)算得

PG=10屈,PL=35屈,PH=30V10,PK=45AAO

30M<105<35A/TO

APG<PM<PL,PH<PN<PK

：.PM.PN分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)G、H,且都在矩形內(nèi)部，符合要求.

綜上，PAW面積的最大值為4410m2

27.(2023?上海?一模)如圖，在RtaABC中，ZACB=90°.AB=13,CD〃AB.點(diǎn)￡為射線。上一動(dòng)點(diǎn)(不

與點(diǎn)C重合)，聯(lián)結(jié)AE,交邊BC于點(diǎn)F,154E的平分線交BC于點(diǎn)G.

(2)設(shè)CE=x,AE=y,當(dāng)CG=2GB時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)AC=5時(shí)，聯(lián)結(jié)EG,若△AEG為直角三角形，求BG的長(zhǎng).

【解析】⑴過(guò)點(diǎn)C作CHLAE于H,

V-EF-CH

CEFEF

AF

uCAF-AFCH

2

9：CD//AB,

.EFCE

9AF~AB

VCE=3,AB=13.

.EF3

>?=,

AF13

.LCEF_=空一

"5皿AFIS-

(2)延長(zhǎng)AG交射線8于點(diǎn)K,

-：CD//AB,

:.ZEKA=ZKAB,

丁AG平分/B4石，

???ZEAK=ZKAB,

：.ZEKA=ZEAK,

：.AE=EK,

,:CE=x,AE=y,

；.CK=CE+EK=CE+AE=x+y1

?：CD//AB,

.CKCG

~~GB

?;CG=2GB,

.CK

??一N,

AB

.%+y=2

13~

y=26-x.

(3)由題意，得：BC=n,

①當(dāng)NAGE=90。時(shí)，

*.?AE=EK

：.AG=GK,

\9CD//AB,

.BGAG

=1,即5G=GC

*GC~GK

BG=-BC=6.

2

②當(dāng)NAEG=90。時(shí)，則VACFSVGEF,

.CFEF

ZCFE=ZAFG,

*AF-FG

；?t.ECFs&GAF,

:./ECF=/FAG,

XVZFAG=ZGAB,ZECF=ZBf

：.ZB=/GAB,

：.GA=GB,

過(guò)點(diǎn)G作67\^，河于乂

113

BN=—AB=—,

22

ZBNG=NACB,ZB=NB

:…BGNBAC

.BGBN

**BA-BC

BG=—BN=—.

1224

28.（2023?河南南陽(yáng)?統(tǒng)考二模）如圖①，中國(guó)古代的馬車已經(jīng)涉及很復(fù)雜的機(jī)械設(shè)計(jì)（相對(duì)于當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)力）,

包含大量零部件和工藝，所彰顯的智慧讓人拜服，如圖②是馬車的側(cè)面示意圖，為車輪O的直徑，過(guò)

圓心。的車架A8一端點(diǎn)C著地時(shí)，地面CD與車輪O相切于點(diǎn)。，連接AD,BD.

DC

圖①圖②

(1)求證/4=4。。；

(2)若3c=2米，DC二屈米,求車輪的半徑.

【解析】(1)證明：連接OD,

DC

.8是。的切線，

，OD±DCf

ZBDC+ZODB=90°,

AB是。的直徑，

ZODB+ZADO=90°,

/BDC=ZADO,

又OA=