平方根與立方根

知識(shí)梳理

1.平方根

(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫作a的平方根，也叫作a的二次方根，記為“土〃

,讀作“正負(fù)根號(hào)a”.如下：

b2=a=>±Va=b

其中把a(bǔ)稱(chēng)之為被開(kāi)方數(shù).

⑵特性：正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為相反數(shù)；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；0的平方根還是0.

2.算術(shù)平方根

⑴定義：非負(fù)數(shù)的非負(fù)平方根稱(chēng)為算術(shù)平方根.一個(gè)數(shù)a(aNO)的算術(shù)平方根記作迎，讀作“根號(hào)a”.O的算術(shù)平方

根為0.

⑵算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性：被開(kāi)方數(shù)a是一個(gè)非負(fù)數(shù),其結(jié)果“仿”t也是一個(gè)非負(fù)數(shù).

3.平方根與算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別

1)聯(lián)系：

⑴算術(shù)平方根是平方根中的一部分，是取了一個(gè)數(shù)a的平方根±迎中的非負(fù)部分；

(2)平方根和算術(shù)平方根的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根和算術(shù)平方根；

(3)0的平方根和算術(shù)平方根都是0.

2)區(qū)別:

(1)個(gè)數(shù)上：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，必有一正一負(fù).而算術(shù)平方根只有一個(gè)，取它的正平方根.

(2)表示方法:士Ya表示平方根，前面的“士”表示其值有正負(fù)；迎表示算術(shù)平方根.特別注意的是：士迎力傘.

4.立方根

(1)定義：一般地,一個(gè)數(shù)的立方等于a,這個(gè)數(shù)就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根，記為“〃”，讀作

“三次根號(hào)a”.即可以表示如下

b3—a=>y/a.—b

其中，a是被開(kāi)方數(shù)，3是根指數(shù).

(2)特性：每個(gè)數(shù)都有一個(gè)立方根，且正數(shù)有且僅有一個(gè)正的立方根，負(fù)數(shù)有且僅有一個(gè)負(fù)的立方根，。的立

方根是0.

推廣：一個(gè)數(shù)的奇次方根有且只有一個(gè).

(3)與平方根的主要區(qū)別：表示方法的不同；負(fù)數(shù)也有立方根，但是沒(méi)有平方根.

5.幾個(gè)關(guān)于平方根、立方根的記憶點(diǎn)

⑴一個(gè)數(shù)的平方根是本身，這個(gè)數(shù)是0；

⑵一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是本身，這個(gè)數(shù)是0,1；

⑶一個(gè)數(shù)的立方根是本身，這個(gè)數(shù)是-I,0,1.

(4)幾個(gè)常見(jiàn)平方根的近似值：V2=1,414,73=1.732,V5=2.236.

6.實(shí)數(shù)

⑴實(shí)數(shù)的定義：無(wú)理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).

其中無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)包P的形式(這里P,q是互質(zhì)的整數(shù)，且討0),其主要形式有：

①所有開(kāi)不盡的方根都是無(wú)理數(shù)，如VI百等(注意，不是所有帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)，如V4);

②圓周率兀及一些含有兀的數(shù)都是無(wú)理數(shù)，如兀/2等；

③無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.1010010001...(每?jī)蓚€(gè)1中依次多一個(gè)0).

⑵實(shí)數(shù)的分類(lèi)：

,［正有理數(shù),

有理數(shù)，零有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)［負(fù)有理數(shù).

,TF無(wú)理數(shù)、

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

［負(fù)尢理數(shù)］

典型例題

例1

下列各數(shù)有沒(méi)有平方根?如果有，求出它的平方根和算術(shù)平方根；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)16;(2)(-2產(chǎn);⑶一32;(4)23(5)V25.

分析要判斷一個(gè)數(shù)有沒(méi)有平方根，就要判斷被開(kāi)方數(shù)是不是負(fù)數(shù).如果是負(fù)數(shù)的話(huà)，就沒(méi)有平方根，其余的都

有.特別需要留意的是后的平方根，其實(shí)是求25的平方根的平方根，即土后,所以其平方根應(yīng)該為士遍.

解⑴有,±4,4;⑵有,±2,2;⑶無(wú)平方根;⑷有,±|,|;(5)W,±V5,V5.

例2

利用如圖4-1所示的5x5方格，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，請(qǐng)?jiān)诜礁裰凶鞒雒娣e為10平方單位的

正方形，然后在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)g與-舊(如圖4-2所示).

-5-4-3-2-I012345x

圖4-2

分析考查在數(shù)軸上精確地表示個(gè)別無(wú)理數(shù)是經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，而且也是學(xué)生覺(jué)得比較難的.這種題目主要

首先使用面積法獲得該無(wú)理數(shù)的長(zhǎng)度，進(jìn)而將其表現(xiàn)在數(shù)軸上.這里列舉了幾種常見(jiàn)的由面積法求無(wú)理數(shù)的長(zhǎng)度.

如圖4-3(a)(b)(c)所示，其中每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.

(b)陰影部分面積為5,

邊長(zhǎng)為夜■邊長(zhǎng)為西邊長(zhǎng)為/瓦

圖4-3

由圖4-3可知:加是邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角邊長(zhǎng)；；后是長(zhǎng)為2,寬為1的長(zhǎng)方形的對(duì)角邊長(zhǎng)；"U是長(zhǎng)為

3,寬為1的長(zhǎng)方形的對(duì)角邊長(zhǎng).

解面積為10平方單位的正方形如圖4-3(c)所示，VTU和-VTU如圖4-4所示

圖4-4

例3

已知|x+2|+Jy-3+(z+I)2=0,求x+y+z的平方根.

分析在我們初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里面，主要有三個(gè)典型的非負(fù)數(shù)，分別是絕對(duì)值、平方(偶次方),算術(shù)平方根.我們

知道這些非負(fù)數(shù)如果相加為0,那么只能每一個(gè)都為0.由此，我們可以得到關(guān)于x,y,z的方程，從而求得x+y+z的平

方根

解

因?yàn)閨x+2|+Jy-3+(z+I)2=0,

所以x+2=0,y—3=0,z+l=0,

所以、x=-2,y=3,z=-1,

所以x+y+z=O,

所以x+y+z的平方根為0.

例4

求下列各數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值：

—Tt,A/10,—A/5,A/3—2

分析本題考查的是實(shí)數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值的求法.在實(shí)數(shù)中，有關(guān)于相反數(shù)、絕對(duì)值和數(shù)與數(shù)之間的大小比較

的內(nèi)容都是適用的.一個(gè)實(shí)數(shù)的相反數(shù)，就是在其前面添加“一”.正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的

相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.

解-兀的相反數(shù)是兀,絕對(duì)值是兀.國(guó)的相反數(shù)是-同,，絕對(duì)值是V10

-4的相反數(shù)是逐，絕對(duì)值是V5,V3-2的相反數(shù)是2-百，絕對(duì)值是2-V3.

雙基訓(xùn)練

1.下列說(shuō)法正確的是（）.

A.4的平方根是2B.8的立方根為±2

C.-64沒(méi)有立方根D.4是64立方根

2.下列各式?jīng)]有意義的是（）.

4,-V2B.（-l）2013C.VOD.^3

3.下列說(shuō)法正確的是（）.

A.無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)B.無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)

C.帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)D.無(wú)理數(shù)都是帶根號(hào)的數(shù)

4.下列說(shuō)法正確的是（）.

A.W下等于15

B.-11的立方根可以表示為V^TT

C.負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根

D.任何一個(gè)整數(shù)都有兩個(gè)立方根，它們互為相反數(shù)

5.一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是x，則它后面一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是（）.

A.x+1B.x2+1C.-\/x+1D.slx2+1

6.下面3個(gè)結(jié)論：

（1）存在兩個(gè)不同的無(wú)理數(shù)，它們的差是整數(shù)；

（2）存在兩個(gè)不同的無(wú)理數(shù)，它們的積是整數(shù)；

（3）存在兩個(gè)不同的非整數(shù)的有理數(shù)，它們的和與商都是整數(shù).

其中，正確的結(jié)論有（）個(gè).

A.OB.lC.2D.3

7.若2m—4與3m—1是同一個(gè)數(shù)的兩個(gè)不同平方根，則m的值是（）.

A.-3B.lC.-3或1D.-1

8.已知x,y是實(shí)數(shù)，且V3x+4+（y-3/=0,則xy的值是（）.

9Q

A.4B.-4C.-D.--

44

9.估計(jì)國(guó)+1的值是（）.

A.在2和3之間B.在3和4之間

C.在4和5之間D.在5和6之間

10.(1)±通表示_的_根,_夕表ZR的一根；_

(2)眄表示_的_根，_-；的立方根是」

11.一個(gè)整數(shù)的立方為a,則這個(gè)數(shù)的相鄰整數(shù)為

12.在實(shí)數(shù)-4,y,0,V2-1,V64,V—27,,號(hào)1,余■是無(wú)理數(shù)的是」

13.VI石的平方根是.

14.(1)—5的相反數(shù)是___倒數(shù)是―；

⑵絕對(duì)值為舊的數(shù)為一；—

(3)-位的絕對(duì)值是____；

(4)75-3的相反數(shù)是絕對(duì)值是―；

⑸比較大小:-國(guó)_-3;

(6)比-夜小的最大整數(shù)是一，比-俄大的最小整數(shù)是一.

15.求下列各數(shù)的平方根與算術(shù)平方根.

(1)12100(2)0.25(3)781(4)(-7)2

16.求下列各數(shù)的立方根.

(1)0.216⑵(-I?(3)1-g

17.請(qǐng)將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi).

—2,n,-i-|-3|,*—0.3,1.7,5匕0,1.1010010001...(每?jī)蓚€(gè)1之間加一個(gè)0)

有理數(shù)：｛.??｝；

無(wú)理數(shù)：｛..?｝；

整數(shù):｛-｝；

負(fù)分?jǐn)?shù)：｛.?.｝；

正實(shí)數(shù)：｛.??｝；

實(shí)數(shù):｛

18.若17-2|磯的值是最大的負(fù)整數(shù),求a的值

19.如圖4-5所示的方格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,求陰影部分正方形的面積和邊長(zhǎng).

圖4-5

20.(1)已知a,b為有理數(shù),m,n分別表示5-V7的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且滿(mǎn)足由皿+bn2=1,求a+b的值.

⑵設(shè)x為一實(shí)數(shù),[x]表示不大于x的最大整數(shù),求滿(mǎn)足[-77.66x]=[-77.66]x+l的整數(shù)x的值.

能力提升

21.若a<0,則下列結(jié)論不成立的是().

A.a2—(—a)2B.a3-(—a)3C.a2=\a2\D.a3——|a3|

22.已知a,b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且a<V28<b,則a+b=.

23.設(shè)a=痘-?b=2-W,c=遮-2,則a,b,c的大小關(guān)系是」

24.如圖4-6所示，數(shù)軸上表示1,四的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B,點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)C所表示

的數(shù)為x,求x+|的值.

CAB

_____?_______?_____?______?.

0x\'/2

圖4-6

25.計(jì)算.

(1)-22--|2-2V2|+V8

⑵一32一(一I)3+G+|)+斤取

26.已知V%—1+71—x=y+6,求xy的值.

27.若一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別為x+1和x+3,求(*15的值

28.已知k忑與褥二可互為相反數(shù)，求5的值

29.在沒(méi)有帶開(kāi)方功能的計(jì)算器的情況下，我們可以用下面的方法得到傷（n為正整數(shù)）的近似值a"k為正整

數(shù)）,并通過(guò)迭代逐漸減/小\ak-迎|的值來(lái)提高ak的精確度，以求a回校的近似值為例，迭代過(guò)程如下：

⑴先估計(jì)V7的范圍并確定迭代的初始值a1：

因?yàn)椤?lt;夕<眄所以2<V7<3,取a-2+”=2.5;

（2）通過(guò)計(jì)算mk=S?2f和a0+i=a!3-爪回得到精確度更高的近似值（說(shuō)明V7N6458,此題中記V7?2.

6458,,以下結(jié)果都要求寫(xiě)成小數(shù)形式）：

k=l時(shí),nt=Sj：7=,a2=a1—m1=_,\a2—V7|=_;

k=l時(shí),m2—E~,（精確至［I0.001,）a3===,|a_{2}-\sqrt{7}|=\underline（\quad\quad\quad};

30.（1）如圖4-7所示，直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓從原點(diǎn)O沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，圓上一點(diǎn)P（滾動(dòng)時(shí)與點(diǎn)O重

合）由原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)則點(diǎn)O1的坐標(biāo)是；

（2）已知2a-1的平方根是±3,3a+b-l的算術(shù)平方根是4,求后天的值.

拓展資源

31.已知實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足=0,求實(shí)數(shù)曲的值.

yJCl+7

32.填寫(xiě)下表并回答問(wèn)題.

n1491625100

(1)當(dāng)n(自然數(shù)的平方)逐漸增大時(shí)，傷,霽有什么變化？

⑵試比較血和噂的大小.

33.(1)i+M.

V2+1)(72-1)=.;(V3+V2)(V3-V2)=_

(2+V3)(2一的=_;(V5+2)(V5-2)=一.

⑵通過(guò)以上計(jì)算，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?請(qǐng)用含n(n為正整數(shù))的等式表示出來(lái).

34.設(shè)a為73+V5-J3-花的小數(shù)部分,b為也+3百-丁6-3百的小數(shù)部分，求［-工的值.

ba

35.若a滿(mǎn)足|2013-a\+Va-2014=a，求a-20142的值.

第四講

1.D2.D3.B4.B5.D6.D7.B8.B9.C;

10.65,平方,7,算數(shù)平方;⑵9,立方，甘

11.V?+1,Va-H2.y,V2-1,^,^-13.±2

~3

14.⑴兀/2,-%;⑵士V3;(3)V7;(4)3-V5,3-V5;(5)<;(6)-5,-4

15.(1)平方根:±1