12.3角的平分線的性質(zhì)

第2課時(shí)角平分線的判定新課導(dǎo)入我們知道，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，反過來，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在這個(gè)角的平分線上呢？這節(jié)課我們來對這個(gè)問題進(jìn)行探究.學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．能說出角平分線的性質(zhì)的逆定理，并能給

予證明.2．能夠熟練地運(yùn)用角平分線的性質(zhì)的逆定理

解決一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.推進(jìn)新課如圖，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交叉處500m.這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）？思考角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．

交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個(gè)新結(jié)論正確嗎？角平分線的性質(zhì)定理的逆定理的證明知識點(diǎn)1∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上（OP

平分∠AOB）．幾何語言：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．你能證明這個(gè)結(jié)論的正確性嗎？這個(gè)結(jié)論可以用來判定角的平分線，而角的平分線的性質(zhì)可用來證明線段相等．

這個(gè)結(jié)論與角的平分線的性質(zhì)在應(yīng)用上有

什么不同？角相等角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“線段相等”之間的一種特殊關(guān)系.角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)定理的逆定理線段相等這為今后我們證明角相等，線段相等提供了一種解題思路.角平分線的性質(zhì)定理的逆定理的應(yīng)用知識點(diǎn)2例如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．證明：過P

點(diǎn)作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM

是△ABC的角平分線，點(diǎn)P

在BM

上，∴PD=PE.同理

PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．EDF練習(xí)1判斷題：（1）如圖，若QM=QN，則OQ平分∠AOB；（）×ABOQMN判斷題：（2）如圖，若QM⊥OA于M，QN⊥OB于N，則OQ是∠AOB的平分線；（）×ABOQMN判斷題：（3）已知：Q到OA的距離等于2cm，且Q到OB距離等于2cm，則Q在∠AOB的平分線上．（）√ABOQMN如圖，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交叉處500m.這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）？圖上距離500m120000=解：∵∴圖上距離=0.025m=2.5cm.P如圖所示：P點(diǎn)即為所求;理由：P點(diǎn)在這個(gè)交叉口的角平分線上，所以P點(diǎn)到公路與鐵路的距離相等.作其中任意兩角的平分線，交點(diǎn)即為所要找的點(diǎn).練習(xí)2要在三角形的內(nèi)部找到一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到三角形的三邊的距離都相等，這個(gè)點(diǎn)應(yīng)如何確定？練習(xí)3如圖，△ABC的∠ABC的外角的平分線BD

與∠ACB

的外角的平分線CE

相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P

到三邊AB，BC，CA

所在直線的距離相等.【課本P50練習(xí)第2題】證明：過P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PQ⊥AB于Q.∵CE為∠MCN的平分線，∴PM=PN，同理PN=PQ，∴點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.QNM隨堂演練1.如圖所示，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（

）A.1處 B.2處C.3處 D.4處基礎(chǔ)鞏固D2.如圖，點(diǎn)P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分線的交點(diǎn)，求證：AP平分∠BAC.綜合應(yīng)用證明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分別為Q，M，N.∵P點(diǎn)在∠CBE和∠BCF的平分線上，∴PM=PQ，PN=PQ，∴PM=PN.NQM又PM⊥AE，PN⊥AF，

∴AP平分∠BAC.3.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F．連接EF，EF與AD交于G，AD垂直平分EF嗎？證明你的結(jié)論．拓展延伸解：AD垂直平分EF.證明如下：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠1=∠2，∠AED=∠AFD=90°，DE=DF.∴△AED≌△AFD（AAS）.∴AE=AF，在△AEG和△AFG中，∴△AEG≌△AFG（SAS）.∴∠AGE=∠AGF=90°，EG=FG.∴AD⊥EF.∴AD垂直平分EF.課堂小結(jié)角相等角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)定理的逆定理線段相等角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．1.從課后習(xí)題中選??；2.完成練習(xí)冊本課時(shí)的習(xí)題。課后作業(yè)1．如圖，PC⊥OC于點(diǎn)C，PD⊥OD于點(diǎn)D.若PC＝PD，則(

)A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．無法確定B2．如圖是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在(

)A．△ABC的三條中線的交點(diǎn)

B．△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)C．△ABC的三條高所在直線的交點(diǎn)

D．以上都正確B3．如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊AB，BC，CA的距離OF＝OD＝OE.若∠BAC＝70°，則∠BOC的度數(shù)是(

)A．70° B．120°C．125° D．130°C4．如圖，BD⊥AE于點(diǎn)B，DC⊥AF于點(diǎn)C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，則∠DAF的度數(shù)是__________.20°5．如圖，點(diǎn)P到BE，BD，AC的距離恰好相等，則點(diǎn)P的位置：①在∠B的平分線上；②在∠DAC的平分線上；③在∠ECA的平分線上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)．其中正確的是____________(填序號)．①②③④6．如圖，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，點(diǎn)F，G分別是OA，OB上的點(diǎn)，且PF＝PG，DF＝EG.求證：OC是∠AOB的平分線．∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL)，∴PD＝PE.∵點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分線．第十二章全等三角形12.3角的平分線的性質(zhì)《第2課時(shí)角的平分線的判定》同步練習(xí)1角平分線的判定1．如圖，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，PC⊥OA于點(diǎn)C，PD⊥OB于點(diǎn)D，PC＝3cm，要使點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，則PD＝(

)A．1cm B．2cmC．3cm D．4cmC2．如圖，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，則∠BAD的度數(shù)是(

)A．10° B．40°C．30° D．20°B3．新情境如圖，一把直尺壓住射線OB，另一把相同的直尺壓住射線OA，并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，則判斷射線OP就是∠BOA的平分線的理論依據(jù)是______________________________________________________.在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上4．如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且BE＝CF.求證：AD是△ABC的角平分線．證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.在Rt△EBD和Rt△FCD中，∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分線，即AD是△ABC的角平分線．2角平分線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用5．三角形中，到三邊距離相等的點(diǎn)是(

)A．三條高線的交點(diǎn)B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn)D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)6．在△ABC中，∠BAC與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)P.若點(diǎn)P到邊AB的距離等于4cm，則它到邊AC和BC的距離之和等于______cm.C87．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O到三邊的距離相等，∠BAC＝60°，則∠BOC的度數(shù)是____________.120°8．如圖，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE＝DF，AB＝BC.求證：CD＝AD.證明：連接BD.∵DE＝DF，∴DB平分∠ABC，∠CBD＝∠ABD.再證△ABD≌△CBD(SAS)，∴CD＝AD.9．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.△ABC內(nèi)是否有一點(diǎn)P到各邊的距離相等？如果有，請作出這一點(diǎn)．說明理由并求出這個(gè)距離．解：△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P到各邊的距離相等．如圖，作∠CAB和∠ABC的平分線，兩射線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到各邊的距離相等．理由如下：過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，則PD＝PE，PE＝PF，所以PD＝PE＝PF，即△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P到各邊的距離相等，12×5÷2＝30,30×2÷(5＋12＋13)＝60÷30＝2.答：這個(gè)距離是2.10．如圖，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為點(diǎn)A，B，且PA＝PB.下列結(jié)論中不一定成立的是(

)A．PO平分∠AOB B．PO平分∠APBC．OA＝OB D．AB平分OPD11．如圖，AB∥CD，AD⊥DC于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，∠DCA＝55°，AD＝AE，則∠B的度數(shù)是__________.70°12．如圖，已知△ABC周長是10，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，則△ABC的面積是______.513．如圖，在四邊形ABCD中，CE⊥AB交AB于點(diǎn)E，且CD＝CB，∠ABC＋∠ADC＝180°.(1)求證：AC平分∠BAD.(2)若AE＝9，BE＝3，求AD的長．解：(1)證明：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F.∵∠ABC＋∠ADC＝