第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則一、一個(gè)方程的情形二、方程組的情形三、由方程組確定的反函數(shù)的求導(dǎo)

公式隱函數(shù)存在定理1

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy=，它滿足條件并有

.隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、一個(gè)方程的情形解令則例１驗(yàn)證方程在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值可導(dǎo)、且時(shí)的隱函數(shù)，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在的值.依定理知方程在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值可導(dǎo)、且時(shí)的函數(shù)．

.解令則例2已知求隱函數(shù)存在定理2

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)，它滿足條件

單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)

并有：

解令則

.例3設(shè)，求解令則思路：把z看成yx,的函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得，把x看成yz,的函數(shù)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)得，把y看成zx,的函數(shù)對(duì)z求偏導(dǎo)數(shù)得.例4

設(shè)，求，，.把z看成yx,的函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得整理得把x看成yz,的函數(shù)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)得整理得把y看成zx,的函數(shù)對(duì)z求偏導(dǎo)數(shù)得整理得隱函數(shù)存在定理3

設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且,，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比式）,二、方程組的情形在點(diǎn)不等于零，則方程組

在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，，它們滿足條件,，并有解1直接代入公式；解2運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法，求

，，和.例5

設(shè)，，將所給方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)并移項(xiàng)將所給方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)，用同樣方法得在的條件下，定理4設(shè)函數(shù)，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，又，，則該方程組在的某一鄰域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反