8.6.2直線與平面垂直性質(zhì)定理1、直線與平面垂直的定義一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個(gè)平面互相垂直．2、直線與平面垂直的判定如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．復(fù)習(xí)回顧關(guān)鍵：線不在多，相交則靈.直線與平面垂直的判定定義法

例題結(jié)論判定定理

如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它的平行線也垂直于這個(gè)平面。

如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么此直線垂直于這個(gè)平面。

如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么此直線垂直于這個(gè)平面。復(fù)習(xí)回顧與地面垂直的旗桿，它們有什么關(guān)系？問題：把地面抽象為平面，旗桿抽象為直線，這個(gè)問題能夠轉(zhuǎn)化為？探索新知1.利用判定定理我們證明了一個(gè)重要的結(jié)論，也請一個(gè)同學(xué)敘述一下．如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面．2.請將上述命題用數(shù)學(xué)符號表示出來.若a∥b，a⊥α，則b⊥α．這個(gè)例題可以當(dāng)作直線和平面垂直的又一個(gè)判定定理.現(xiàn)在請同學(xué)們交換這個(gè)定理的題設(shè)和結(jié)論,寫出新的命題.若a⊥α，b⊥α，則a∥b．下面就讓我們看看這個(gè)命題是否正確？新課引入請同學(xué)們寫出已知、求證并結(jié)合題意畫出圖形.已知：a⊥α，

b⊥α求證：a∥b．分析：a、b是空間中的兩條直線，要證明它們互相平行，一般先證明它們共面，然后轉(zhuǎn)化為平面幾何中的平行判定問題，但這個(gè)命題的條件比較簡單，想說明a、b共面就很困難了，更何況還要證明平行．我們能否從另一個(gè)角度來證明，比如，a、b不平行會有什么矛盾？這就是我們提到過的反證法．否定結(jié)論→推出矛盾→肯定結(jié)論學(xué)習(xí)新知分析：第一步，我們做一個(gè)反面的假設(shè)，假定b與a不平行，現(xiàn)在應(yīng)該要推出矛盾，從已知條件中的垂直關(guān)系，讓我們想起例題1，在這個(gè)例題的已知條件中，平面有一條垂線，垂線有一條平行線，因此需要添加一條輔助線．層層推進(jìn)，得出證明過程如下:證明：假定b與a不平行設(shè)b∩α＝O，b′是經(jīng)過點(diǎn)O與直線a平行的直線，∵

a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．所以,經(jīng)過同一點(diǎn)O的兩條直線b，b′都垂直于平面α。顯然這是不可能的．因此，a∥b．學(xué)習(xí)新知垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．指出:判定兩條直線平行的方法很多，直線與平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們，可以由兩條直線與一個(gè)平面垂直判定兩條直線平行。學(xué)習(xí)新知直線和平面垂直的性質(zhì)定理:圖形語言符號語言線面垂直線線平行證明空間直線和直線平行揭示了“平行”與“垂直”的內(nèi)在聯(lián)系作用：交換“平行”與“垂直”

⊥α,b⊥α∥bbαl(1)線面垂直性質(zhì)定理深化探究結(jié)論：垂直于平面的直線，也垂直于和這個(gè)平面平行的直線.學(xué)習(xí)新知(2):設(shè)l為直線，α，β為平面，若l⊥α，α//β，則l與β的位置關(guān)系如何？為什么？βlαab結(jié)論：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于一條直線，則另一個(gè)平面也垂直于這條直線.（4）:設(shè)l為直線，α、β為平面，若l⊥α，l⊥β，則平面α、β的位置關(guān)系如何？為什么？βlα結(jié)論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行1.△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是(

)A．相交

B．異面C．平行

D．不確定C鞏固練習(xí)2.

已知直線a,b

和平面a,且a⊥b,a⊥a,則b

與a

的位置關(guān)系是

.平行或在a內(nèi)bDD

CBC

B

AA

baa分析:借助正方體模型.//a

a例1：如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF與異面直線AC,A1D都垂直相交.求證:EF∥BD1.分析連接AB1與CB1,證明EF與BD1都與平面AB1C垂直.證明:連接AB1,B1C,BD,如圖.∵DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1B1.∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,∵AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又EF⊥AC,AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用典型例題本例應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)達(dá)到證明線線平行的目的,即線面垂直的性質(zhì)提供了線線平行的依據(jù).在空間證明線線平行的方法有:（1）定義法（2）基本事實(shí)4（3）線面平行的性質(zhì)定理（4）面面平行的性質(zhì)定理（5）線面垂直的性質(zhì)定理.（6）初中所學(xué)(三角形中位線,平行四邊形對邊等)直線與平面垂直的其他性質(zhì):(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面,則它就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線;(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面;(3)若一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè),則它必垂直于另一個(gè)平面;(4)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.反思感悟例2如右圖所示，已知異面直線a、b與AB垂直相交于A、B，且a、b分別垂直于平面α、β，α∩β＝c，求證：AB∥c.【分析】由題目可獲取以下主要信息：①AB⊥a,AB⊥b,a、b異面；②a⊥α,b⊥β.解答本題可先利用線⊥面的性質(zhì)得線⊥線，再證平行．典型例題例2如右圖所示，已知異面直線a、b與AB垂直相交于A、B，且a、b分別垂直于平面α、β，α∩β＝c，求證：AB∥c.典型例題【證明過點(diǎn)B引直線a′∥a，a′與b確定的平面設(shè)為γ，因?yàn)锳B⊥a

，a′∥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b,

a′∩b＝B,所以AB⊥γ.因?yàn)閎⊥β，c?β，所以b⊥c①因?yàn)閍⊥α，c?α，所以a⊥c，又a′∥a，所以a′⊥c②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.練習(xí)：如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：(1)MN∥AD1；

(2)M是AB的中點(diǎn)．【證明】

(1)∵四邊形ADD1A1為正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵M(jìn)N⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.【分析】要證明線線平行，要先證線面垂直，即證AD1⊥平面A1DC.鞏固練習(xí)如圖所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上的動點(diǎn)，過動點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在平面，E是VC的中點(diǎn)，D是VA上的點(diǎn)，若DE⊥平面VBC，試確定D點(diǎn)的位置．鞏固練習(xí)解：∵VC⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴VC⊥AC，又∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，而BC∩VC＝C，∴AC⊥平面VBC，若DE⊥平面VBC，則由線面垂直的性質(zhì)定理可知，DE∥AC，又∵點(diǎn)E是VC的中點(diǎn)，∴DE是△VAC的中位線，∴D是VA的中點(diǎn)．

練習(xí)：如圖，已知∩β=l，CA⊥于點(diǎn)A，CB⊥β于點(diǎn)B,求證：a∥l.ABCβla分析：α證明：鞏固練習(xí)[分析]

證明MN∥AD1，轉(zhuǎn)化為證明AD1⊥平面A1DC，MN⊥平面A1DC．[證明]

因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D．又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因?yàn)锳1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因?yàn)镸N⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.變式訓(xùn)練如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC．求證：MN∥AD1；鞏固練習(xí)過平面外一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.點(diǎn)到平面的距離：思考：直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離相等嗎？為什么？相等PQα學(xué)習(xí)新知由A、B是直線上任取的兩點(diǎn)，可知直線上任意一點(diǎn)到平面的距離相等一條直線與一個(gè)平面平行時(shí),這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離,叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.直線到平面的距離如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等,我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.思考：如果兩個(gè)平面平行,在其中一個(gè)平面內(nèi)任取幾個(gè)點(diǎn),這些點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等嗎?平面與平面的距離棱柱和棱臺的高就是上、下底面這兩個(gè)平行平面之間的距離.學(xué)習(xí)新知[解]連接PA，PB.易知△SAC，△ACB是直角三角形所以SA⊥AC，BC⊥AC.取AB、AC的中點(diǎn)E、F，連接PF，EF，PE則EF∥BC，PF∥SA.所以EF⊥AC，PF⊥AC.因?yàn)镻F∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.又PE?平面PEF，所以PE⊥AC.易證△SAC≌△SBC.因?yàn)镻是SC的中點(diǎn)，所以PA＝PB.而E是AB的中點(diǎn)，所以PE⊥AB.因?yàn)锳B∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.從而PE的長就是點(diǎn)P到平面ABC的距離．典型例題方法提升：求點(diǎn)到面的距離的關(guān)鍵是確定過點(diǎn)與平面垂直的線段．可通過外形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為易于求解的點(diǎn)，等體積法也是求點(diǎn)到平面的距離的常用方法．反思感悟

距離的定義具有最短性和確定性,充分體現(xiàn)了化歸思想.兩個(gè)平行平面間的距離、直線到平面的距離,都是轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離來解決.求點(diǎn)到平面的距離一般有兩種方法:(1)構(gòu)造法:根據(jù)定義構(gòu)造垂直于面的直線,確定垂足位置,將所求線段化歸到三角形中求解.(2)等積變換法:將所求距離看作某個(gè)幾何體(多為棱錐)的高,利用體積相等建立方程求解.解：因?yàn)锽1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距離等于