2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)圓錐曲線的

定值問題重難點(diǎn)突破含答案

圓雄曲錢的定值問題

----------°°-----------

題型一橢圓中的定值問題（橢圓中的定值問題）..........................................1

題型二橢圓中的定值問題（橢圓中的定直線問題）........................................5

題型三雙曲線中的定值問題（雙曲線中的定值問題）.....................................11

題型四雙曲線中的定值問題（雙曲線中的定直線問題）...................................18

題型五拋物線中的定值問題（拋物線中的定值問題）.....................................24

題型六拋物線中的定值問題（拋物線中的定直線問題）...................................29

題型一橢圓中的定值問題（橢圓中的定值問題）

典型例題

1.（23-24高二上?河南鶴壁?開學(xué)考試）已知橢圓C：曖;+4=l（a>b>0）的離心率e=項(xiàng)，且圓〃

azbz2

+姨=2過橢圓。的上、下頂點(diǎn).

⑴求橢圓。的方程；

（2）若直線Z的斜率為2，且直線,與橢圓。相交于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E,點(diǎn)

4—2,1）是橢圓。上一點(diǎn),若直線AE與匐的斜率分別為卜的，kAQ.證明：k的+%陽為定值，并求出

此定值.

???

2.(24—25高二上?全國?課后作業(yè))已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:與+￥=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分

別為用(一通,0),凡(G0)，若P為C上一點(diǎn)，當(dāng)/EP西最大時(shí)，cos/RP西=J.

(1)求。的方程；

(2)設(shè)直線C=小"+逐與。交于AB兩點(diǎn)，點(diǎn)入關(guān)于加軸的對(duì)稱點(diǎn)為4(4與B不重合)，直線A.B

與刀軸交于點(diǎn)證明：|OH|為定值.

練透核心考點(diǎn)

3.(24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí))已知點(diǎn)P在橢圓+4=l(a>6>0)上，過點(diǎn)P作直線I

azbz

與橢圓。交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P作關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)P',\PP'\的最小值為，當(dāng)直線I的斜率

為0時(shí)，存在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P使得^|=4,\PQ\=2V3.

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)直線I的斜率為k(k￥0),直線QP'的斜率為我，求k?我的值.

4.(24-25高三上?河北滄州?階段練習(xí))已知橢圓「：《+《=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)為月,上、下頂點(diǎn)分

azbz

別為且乙47留=5,點(diǎn)夸)在「上.

(I)求橢圓r的方程；

⑵過左焦點(diǎn)E的直線交橢圓「于",'兩點(diǎn)，交直線2；=—2于點(diǎn)P,設(shè)兩=4礪，兩=〃麗，證

明：久+〃為定值.

題型二橢圄中的定值問題(楠圄中的定直線問題)

典型例題

5.(23-24高二上?湖北恩施?期末)已知?jiǎng)訄AT過定點(diǎn)ELLOI，且在定圓C(v-L<r-16的內(nèi)部與其

內(nèi)切.

(1)求動(dòng)圓圓心丁的軌跡方程.

(2)當(dāng)過點(diǎn)M4J)的動(dòng)直線/與圓心T的軌跡相交于兩不同點(diǎn)兒B時(shí)，在線段上取點(diǎn)Q，滿足

網(wǎng)用?園網(wǎng)，則點(diǎn)口是否在某條定直線上？若在,求該直線的方程；若不在，請(qǐng)說明理由.

?M

6.(23—24高二上?安徽?期中)已知橢圓C：《+*=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸，為，O為坐標(biāo)

azbz

原點(diǎn)，點(diǎn)"(t3在橢圓。上，且歸三卜弓，直線，'過點(diǎn)產(chǎn)且與橢圓。交于48兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知西?前，砒?田，若直線也，即交于點(diǎn)。，探究：點(diǎn)。是否在某定直線上？若是，求

出該直線的方程;若不是，請(qǐng)說明理由.

練透核心考點(diǎn)

A/陛烏

7.(23—24高二上.陜西漢中?期中)已知橢圓2+42=l(a>0,b>0)過點(diǎn)I3'3L且離心率

azbz

正

為丁

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/：丫-'+，”與橢圓。交"軸右側(cè)于不同的兩點(diǎn)入，8,證明：的內(nèi)心在一條定直線

上.

8.（2024?四川資陽?模擬預(yù)測）橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，左、右頂點(diǎn)分別為〃-LOI,

“訓(xùn)，點(diǎn)（L#）在橢圓E上.

（1）求橢圓E的方程.

（2）過點(diǎn)「L0?的直線Z與橢圓E交于P,Q兩點(diǎn)（異于點(diǎn)48）,記直線AP與直線BQ交于點(diǎn)/,試

問點(diǎn)及是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請(qǐng)說明理由.

題型三雙曲線中的定值問題（雙曲線中的定值問題）

典型例題

9.（2024.全國.模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過八L20），加7,31兩

點(diǎn).

（1）求。的方程；

⑵設(shè)P,河，N三點(diǎn)在。的右支上，APBP,證明：

（i）存在常數(shù)X,滿足瓦7?京■，國；

（ii）」GT的面積為定值.

?M

2V3

個(gè)20/2--------

10.（24—25高三上?貴州?開學(xué)考試）已知雙曲線C：4—5=l（a>0,b>0）的離心率為3，實(shí)軸長為

a2b2

6,A為雙曲線。的左頂點(diǎn)，設(shè)直線z過定點(diǎn)HY,a,且與雙曲線。交于瓦斤兩點(diǎn).

（1）求雙曲線。的方程；

（2）證明：直線AE與AF的斜率之積為定值.

練透核心考點(diǎn)

11.（2024高三.全國.專題練習(xí)）如圖，已知雙曲線。:《一好=1@>0）的右焦點(diǎn)尸，點(diǎn)兒B分別在。的

'7a2"'

兩條漸近線上，"1K軸，血108.BFUOA（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求雙曲線。的方程;

（2）過。上一點(diǎn)P（x°J，的直線,與直線A斤相交于點(diǎn)M,與直線’=?相交于點(diǎn)"，證明點(diǎn)「在。上

網(wǎng)

移動(dòng)時(shí)，恒為定值,并求此定值.

12.(23-24高三下?湖南長沙?階段練習(xí))已知橢圓G：冬+y2=l(a>l)，"分別為雙曲線&：4-孑

aa

=1的左，右頂點(diǎn)，g通分別為G和G的離心率.

叵

⑴若4.

(i)求'的漸近線方程；

(ii)過點(diǎn)G1的直線，交C的右支于A3兩點(diǎn)，與直線“1交于4B兩點(diǎn)，記45.LB

1111

坐標(biāo)分別為JJJ求證：「.「r;

(2)從G上的動(dòng)點(diǎn)P(x°J?)(4-±a)引q的兩條切線，經(jīng)過兩個(gè)切點(diǎn)的直線與G的兩條漸近線圍成三

角形的面積為S,試判斷S是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值;若不是，說明理由.

題型四雙曲線中的定值問題(雙曲線中的定直線問題)

典型例題

13.(23—24高二上.江西萍鄉(xiāng).期中)已知雙曲線C:耳—m=l(a>0,b>0)的離心率為J5,其左、右頂

a2bz

點(diǎn)分別為人，A,右焦點(diǎn)為B,F為C的左支上不同于A的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)F的縱坐標(biāo)為1時(shí),線段子的中

點(diǎn)恰好在J軸上.

(1)求雙曲線C'的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)M),連接MP交，「的右支于點(diǎn)。，直線4與直線QA：相交于點(diǎn)r,證明：當(dāng)F在的左

支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)7在定直線上.

14.(2024.貴州畢節(jié).三模)在平面直角坐標(biāo)系沖中,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，4T0).說I。，動(dòng)點(diǎn)P滿足

*，匕，?3,設(shè)點(diǎn)尸的軌跡為曲線

(1)求曲線「的方程；

(2)過點(diǎn)CH的直線Z與曲線［'在"軸右側(cè)交于不同的兩點(diǎn)在線段MN上取異于點(diǎn)的

點(diǎn)。，滿足口'，3AQ心工證明：點(diǎn)。在定直線上.

?M

練透核心考點(diǎn)

22

15.(2024.貴州遵義.一模)已知雙曲線C:%—4=l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸，6，直線J?3

a2b2

與C的左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn)，四邊形MFFK為矩形,且面積為I:.

(1)求四邊形MFFN的外接圓方程；

(2)設(shè)A,8為C的左、右頂點(diǎn)，直線，過點(diǎn)(-3,0)與。交于兩點(diǎn)(異于A,8),直線/》與日2交

于點(diǎn)R,證明：點(diǎn)R在定直線上.

16.(23—24高三上.河南周口.階段練習(xí))已知雙曲線—烏=l(a>0,b>0)實(shí)軸的左、右端點(diǎn)分別

a2bz

為A,4,點(diǎn)燈,"在。上，且融，的斜率之積為7.

(1)求。的方程；

(2)已知直線Z與。交于V,N兩點(diǎn)(均與尸不重合)，與直線2交于點(diǎn)Q,且點(diǎn)M,N在直線2

的兩側(cè)，若W?P2卜卜1I|沖|,線段的中點(diǎn)為凡證明：點(diǎn)H在一條定直線上.

?M

題型五批物線中的定值問題（柳牧線中的定值問題）

典型例題

17.（2024?山東濟(jì)南?三模）如圖所示，拋物線婿=2年（2>0）的準(zhǔn)線過點(diǎn)（-13）,

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若角u為銳角，以角）為傾斜角的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)尸，且與拋物線交于4、B兩點(diǎn)，作線段

AB的垂直平分線，交,軸于點(diǎn)F,證明:㈤bI二即Icos二a為定值,并求此定值.

18.（24-25高三上?湖北武漢?開學(xué)考試）已知曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)尸I】.。1的距離比到直線—3的距離小

?Q為坐標(biāo)原點(diǎn).直線，'過定點(diǎn)4°」）.

（1）直線，與曲線「僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線，的方程；

（2）曲線，「與直線,交于兩點(diǎn)，試分別判斷直線?！?。"的斜率之和、斜率之積是否為定值？并

說明理由.

練透核心考點(diǎn)

19.(23-24高二上?河南焦作?階段練習(xí))已知直線48過拋物線才=4宓的焦點(diǎn)尸，交拋物線于兒§兩點(diǎn).

⑴若從4?5,求直線as的方程.

(2)若過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D,直線能的斜率是否為定值？若是,請(qǐng)求出

定值,若不是，說明理由.

20.(2024?甘肅武威?模擬預(yù)測)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為;.P是。上在第一象

限內(nèi)的點(diǎn),且直線PF的傾斜角為60,,點(diǎn)P到/的距離為1.

(1)求「的方程；

(2)設(shè)直線與C交于4B兩點(diǎn)，。是線段上一點(diǎn)(異于AB兩點(diǎn))，月是。上一點(diǎn)，且加〃K

軸.若平行四邊形加G的三個(gè)頂點(diǎn)均在C上，DH與段交于葭G，證明：|「叫為定值.

?M

題型六批物線中的定值問題（柳牧線中的定直線問題）

典型例題

21.（2024高三.全國.專題練習(xí)）如圖所示，已知拋物線靖=2c,過點(diǎn)R】?°i作兩條直線分別交拋物線于點(diǎn)

A、6和點(diǎn)C、。，直線交于點(diǎn)口.證明：點(diǎn)。在定直線上.

22.（2024?廣東肇慶）設(shè)拋物線C：y』2PMp>0）的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)R°，4I的動(dòng)直線，與拋物線。交于

A,S兩點(diǎn)，當(dāng)尸在,上時(shí)，直線，的斜率為

（1）求拋物線的方程；

⑵在線段48上取點(diǎn)Q，滿足石麗，樂?，麗，證明：點(diǎn)。總在定直線上.

練透核心考點(diǎn)

23.（23—24高二下?浙江?期中）已知直線l：y=kx+l與拋物線「:〃=也相交于兩點(diǎn).

⑴求（用心表示）；

（2）過點(diǎn)AB分別作直線，的垂線交拋物線r于。，。兩點(diǎn).

⑴求四邊形ABC?面積的最小值；

（u）試判斷直線Z與直線CD的交點(diǎn)Q是否在定直線上？若是，求出定直線方程;若不是，請(qǐng)說明理由.

24.（2024.山西）已知圓尸:"+媛—6y+5=0,某拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)為圓心尸，經(jīng)過點(diǎn)尸的直線

Z交圓尸于N,S兩點(diǎn),交此拋物線于河，T兩點(diǎn)，其中S,T在第一象限，在第二象限.

（1）求該拋物線的方程；

（2）是否存在直線/,使得|NS|是\MN\與\ST\的等差中項(xiàng)？若存在，求直線，的方程；若不存在,請(qǐng)說

明理由.

圓僮曲隹的正值間強(qiáng)

o(KES°

題型一橢圈中的定值問題（橫園中的定值問題）......................................1

題型二橢國中的定值問題（橫園中的定直線問題）....................................5

題型三雙曲線中的定值問題（雙曲線中的定值問題）.................................11

題型四雙曲畿中鮑定值問題（雙曲線中的定直畿問題）...............................18

題型五拗物畿中的定值問題（出物線中的定值問題）.................................24

題型六批物線中的定值問題（批物線中的定直線問題）...............................29

題型一楠國中的定值問題（橢腳中的定值問題）

典型例題

1.（23-24高二上?河南鶴壁?開學(xué)考試）已知橢圓C：曖;+4=l（a>b>0）的離心率e=項(xiàng)，且圓〃

azbz2

+姨=2過橢圓。的上、下頂點(diǎn).

（1）求橢圓。的方程；

（2）若直線，的斜率為2，且直線，與橢圓。相交于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E,點(diǎn)

4（—2,1）是橢圓。上一點(diǎn)，若直線AE與匐的斜率分別為例的kAQ.證明：卜的+為定值，并求出

此定值.

【答案】⑴與+4=1;

o2

（2）證明見解析，0.

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的定值問題

【分析】（1）根據(jù)圓的上下頂點(diǎn)可求b,利用a,b,c的關(guān)系可得答案；

（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出k小s,,求和化簡即可.

【詳解】⑴由題意可得6=0，e=-1-=J/烏=，所以口2=8,

所以橢圓。的方程為：4=1;

o2

⑵證明：設(shè)直線Z的方程為力=2g+力，設(shè)P（力1,m）,Q（x2,y》，由題意E（一小一%）,

聯(lián)立［：—整理可得8才+4%+±2—8=0,

3+旬2=8

△=16t2-4x8x（力2—8）>0,即一4〈力V4,且m+紡=一小，V出2==至，

No

抽?7?1一%—1（統(tǒng)一1（%+1）（2紡+1+2）+（%—1）（2%+方—2）4g曲+力（陰+生）+4

加以心k+k*）=---------—H---------=--------------------------------------------------------=----------------------------------

一劣2+262+2（2%+力-2）（2紡+力+2）（2陰+力-2）（2例+方+2）

???

_4（"g）+4一0.

（2%+￡-2）（2紡+力+2）

即證得k^E+k^Q為定值，且定值為0.

2.（24—25高二上?全國?課后作業(yè)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓+鳥=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分

a21bz

別為砥—信0）,￡（3,0）,若P為。上一點(diǎn)，當(dāng)4RPFz最大時(shí)，cos4RP氏=j.

（1）求。的方程；

（2）設(shè)直線①=小4+0與。交于兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于c軸的對(duì)稱點(diǎn)為A（A與B不重合）,直線A.B

與力軸交于點(diǎn)證明：|。印為定值.

【答案】⑴與+鳥=1

85

（2）證明見解析

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中的定值問題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、橢圓中焦點(diǎn)三角形的其他問題

【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)三角形，結(jié)合余弦定理以及基本不等式即可求解8S/EPE的最小值為當(dāng)一1,即可

（T

求解，

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程可得韋達(dá)定理，根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線4B方程，令9=0,代入化簡即可求解|。引

的值.

__nr+nJ-4cz-4c'-2mn24",

【詳解】⑴設(shè)pF卜凡眼"i，則皿4跋=3m=-—F----------==,

丫,

W-------a

又12.?，當(dāng)且僅當(dāng)切=〃=。時(shí)取等號(hào)，

方方

3$*\PF-------1>---1邦2

所以；甲；口，即COS/EP月的最小值為*一1,

a2

所以空—1=J_,又a-”-3,解得=3"=5,

a24

所以。的方程為4+各=1.

⑵設(shè)人⑸,%）,8（如統(tǒng)），4（%-%），易知in,0,

卜?6

聯(lián)立IF9T得I4W+8）「+10加-15=。，

106n-15

則；+…-病VE,

r.+r,,、r.+r,.

:K

-------Dr-^-r|?：——(x-\)

因?yàn)椋?,則直線』5的方程為

一至一.（叫?"艮+（-+"帆?遼.而■成

令F?0,得Ji+T：J+J：F+F：-\0yj5m???

練透核心考點(diǎn)

3.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在橢圓+鳥=l（a>b>0）上，過點(diǎn)P作直線I

a2b~

與橢圓。交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P作關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)P',\PP'\的最小值為2■，當(dāng)直線I的斜率

為0時(shí)，存在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P使得|PP|=4,|PQ|=2四.

（1）求橢圓。的方程；

（2）設(shè)直線I的斜率為k（k豐0）,直線QP的斜率為k\求k-k'的值.

【答案】⑴（+萼=1

62

⑵f一卷

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的定值問題

【分析】（1）由題意可得2b=2打，點(diǎn)P坐標(biāo)為（、后,1）,進(jìn)而計(jì)算可求橢圓的方程；

率+卷=1①

⑵設(shè)點(diǎn)P（g,y0）,Q（如%）,P'（一如一%）,由題可得「,，計(jì)算可得結(jié)論.

等+”②

62

【詳解】（1）因?yàn)閨PP|的最小值為2四，所以2b=22,所以6=方，

當(dāng)直線Z的斜率為零時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于9軸對(duì)稱，又點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱,

由橢圓的對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于c軸對(duì)稱，則/PQP=90。，

由幾何關(guān)系可解得點(diǎn)P坐標(biāo)為（V3.1）,

代入橢圓。的方程：+2~=1得：3+4=1,解得a?=6,

2稼2

故橢圓。的方程為4+<=1;

O2

⑵設(shè)點(diǎn)P（x0,y0）,Q（a;i,yi）,P（一%一如）,

烯

Xo一

7~+2

因?yàn)辄c(diǎn)P和Q均在。上，故\

賀

4+

2

0

力-J。/,+y0__￡卜.

即*?\v,+v?司又

k-k'=--.

o

4.（24—25高三上?河北滄州?階段練習(xí)）已知橢圓r：4+^=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)為月，上、下頂點(diǎn)分

別為AB,且/小留=],點(diǎn)（1,空）在「上.

⑴求橢圓r的方程；

⑵過左焦點(diǎn)E的直線交橢圓「于MN兩點(diǎn)，交直線c=—2于點(diǎn)P,設(shè)同？=4礪，兩=〃麗，證

明：久+〃為定值.

【答案】⑴苧+靖=1

（2）證明見解析

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的定值問題、根據(jù)韋達(dá)定理求

參數(shù)

【分析】（1）由乙4瓦8=5，得a=〃^b，再把點(diǎn)（1,亨）代入橢圓方程求出a,6即可；

⑵設(shè)出直線AW的方程，代入橢圓方程，設(shè)“⑶,陰）,陽如加），由月丸相，用=而樂，表示出入+

〃，利用韋達(dá)定理化簡得定值.

【詳解】（1）由題意可知，=所以。?心,

因?yàn)辄c(diǎn)（1,空）在r上，所以5T+3r

解得。-i,故:"A,

所以橢圓r的方程為丁.」".

（2）由已知得直線的斜率必存在，可設(shè)直線A￡V的方程為.「

-II

T,X?:

設(shè)”(為,工)，N()，則,"?f2k**If2k,

4x,+2K：?2

又R-2T).耳(?L0)由麗.溝冗而■,網(wǎng)得?一百了“一忑燈

.『+2/+22x昌?3(x*xJ+4

4+/.__!-------------■―----；--------1-----；-----

所以X?IX,+1|v*?-1)|X.+11

所以4+〃=0為定值.

題型二橢圄中的定值問題（橢圄中的定直線問題）

典型例題

5.（23-24高二上?湖北恩施?期末）已知?jiǎng)訄AT過定點(diǎn)且在定圓0d-I「?J-1。的內(nèi)部與其

內(nèi)切.

（1）求動(dòng)圓圓心丁的軌跡方程.

（2）當(dāng)過點(diǎn)PUI的動(dòng)直線I與圓心r的軌跡相交于兩不同點(diǎn)48時(shí)，在線段上取點(diǎn)Q,滿足

網(wǎng)網(wǎng)網(wǎng)網(wǎng)，則點(diǎn)。是否在某條定直線上？若在,求該直線的方程;若不在，請(qǐng)說明理由.

r~y1.

【答案】（1）T+T=

（2）點(diǎn)。在定直線3上.

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中的定直線、軌跡問題一一橢圓

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求得軌跡方程；

AP（AQ

（2）設(shè)點(diǎn)。（3Ji）倒4J'）,由研網(wǎng)網(wǎng)附均不為零，記何［附'，則4>0且"1,

由橢圓方程說明點(diǎn)F在橢圓外，得出1麗.而='誣，用坐標(biāo)表示出該等式，然后求得i不，并利用

點(diǎn)45在橢圓上消去各參數(shù)得出關(guān)于的方程，從而得出結(jié)論.

【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓丁和定圓C切于點(diǎn).

由題意可得動(dòng)點(diǎn)7到定點(diǎn)￡：-Q|和定圓圓心「LOl的距離之和恰好等于定圓C的半徑，即

|7Z|+|TC|-|7J/|+|lC|-4

由橢圓定義可得動(dòng)圓圓心r的軌跡方程為4+7一.

（2）點(diǎn)】在定直線j上.理由如下.?M

設(shè)點(diǎn)I

由題設(shè)知網(wǎng)網(wǎng),網(wǎng)網(wǎng)均不為零，記同”［，則，1>0且4=1,

1>1

因?yàn)閍P,E，。四點(diǎn)共線，將點(diǎn)R工」代入軌跡方程了得了十7‘，所以點(diǎn)F在橢圓外，又點(diǎn)。在線段

4B上，所以4P=-L°5=工'8,

7+%

11.五J*;④

又點(diǎn)4B在橢圓上，所以I.■$?3

(x,-4x,)(x.+AxJ(j,-Aj'.MT.+ATJ,r

---------；-----------—+--------：-----=1-Tr+L

③—④K*得4-------------------------3---------------------，代入①②有

6.(23-24高二上.安徽.期中)已知橢圓C：4+A=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為產(chǎn)，石，O為坐標(biāo)

a?bz

原點(diǎn)，點(diǎn)*(T9在橢圓。上，且?臥卜，，直線I過點(diǎn)尸且與橢圓。交于48兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知西―西，砒?百，若直線,，即交于點(diǎn)。，探究：點(diǎn)。是否在某定直線上？若是，求

出該直線的方程;若不是，請(qǐng)說明理由.

3

X*,J*M1

【答案】(1)T*T=

(2)點(diǎn)。在直線1--I上.

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、橢圓中的定直線、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

【分析】

(1)利用兩點(diǎn)距離公式可計(jì)算焦點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法計(jì)算橢圓方程即可；

(2)由題意先確定A/、N位置，設(shè)直線?與A、B坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓方程利用韋達(dá)定理得出A、5縱坐標(biāo)

MS

關(guān)系式，再利用點(diǎn)A、5坐標(biāo)表示直線AM>Bt'-,法一、求出D點(diǎn)橫坐標(biāo)化簡計(jì)算即可；法二、直接利用直

L+2

線必、用，'方程作比計(jì)算T為定值，計(jì)算即可.

【詳解】⑴設(shè)，-，山，月，9>0）,

則?+】）：=4,解得e._3舍去）,

則丁-于?I,①

MTI_L=I

代入點(diǎn)I"得爐+4獷，②

聯(lián)立①②，解得4-4,0?3,

依題意，A，|-:0),"I二。1,

K-)節(jié).1

設(shè)直線，\=勺_1,聯(lián)立3/+4jr：-m,

整理得(3'+4p-如i.r-9?0,

△?36m：+36(圳：+4).144(1+冽)>0.

設(shè)，，,

6m9

則J+J-3M+4?J:=-育+4,

所以1可J+3:+工|-0.

AW7=-^!—|x+2)j=-2J_|X-2)

可設(shè)直線,'+-，直線

卜金八

[j--^x-2).

法一：聯(lián)立I

.」力(—+2)+川4-2)

得?M

.、+1）+此〃格-3）、電人+二-3?]

\r：+3y,J

』？河5+3/+川-2[九+3川]”

=.-------------------------="4

『:+比J,

故點(diǎn)。在直線I--』上.

3,、31

x0+2口/+2）可另,「-1『，」」）?12ILZ21.1

2r1v

許，~----I>^y:-3r_3（Jp）+1.（_3）_3

法一：故-__,

解得1=7,

故點(diǎn)。在直線1-4上.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程,設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為'1',-1；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于1（或廣）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算自；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為1+”、1\（或J+J、.「.「.）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

練透核心考點(diǎn)

7.（23—24高二上?陜西漢中?期中）已知橢圓C:%+4=l（a>0,b>0）過點(diǎn)I3且離心率

azbz

正

為三.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線Z：「=、+巾與橢圓。交,軸右側(cè)于不同的兩點(diǎn)A,8,證明：的內(nèi)心在一條定直線

上.

X'j2.[

【答案】⑴7+下=

（2）證明見詳解

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的定直線

【分析】（1）根據(jù)題意建立關(guān)于17,5的方程組，再求解即可得到橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)《v-1,1,31J",聯(lián)立直線I和橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到關(guān)于I的一元二次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理

證明，產(chǎn)<.=0，進(jìn)而即可得出結(jié)論.

?M

【詳解】（1）依題意有，解得3-L

x_y

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為^：

聯(lián)立x?刑/肖F整理得3/*4皿*2)n2-4-0,

則16潮一口冊(cè)叫＞0，解得-44加〈而,

所以

所以*「+*.=0恒成立，則的平分線總垂直于2軸,

8.（2024?四川資陽?模擬預(yù)測）橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，左、右頂點(diǎn)分別為〃-二0）,

32-01，點(diǎn)°淘在橢圓E上.???

（1）求橢圓E的方程.

（2）過點(diǎn)的直線/與橢圓E交于P,Q兩點(diǎn)（異于點(diǎn)4B）,記直線AP與直線8Q交于點(diǎn)試

問點(diǎn)〃是否在一條定直線上？若是,求出該定直線方程;若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴？十手“

（2）點(diǎn)河在定直線X-7上

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、橢圓中的定直線、根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方

程

【分析】（1）根據(jù)左右頂點(diǎn)及點(diǎn)在橢圓上列式求解寫書橢圓方程即可；

（2）先設(shè)直線方程再聯(lián)立方程組求韋達(dá)定理，再求兩個(gè)直線的交點(diǎn)，確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)即得.

【詳解】（1）設(shè)橢圓E的方程為3+川1：'Q|

4洌?1J?

則［川+前,解得1"-F,

故橢圓石的方程為？*丁..

（2）依題可設(shè)直線，的方程為'-HT-1,尸T/'），臼工.JI,Nfiv-j,i

卜■附-1

聯(lián)立方程組1彳+T-1,整理得「加「+1/-4呵?-6=

0

4m—6

r,.r.=---------vJ.---------

貝廣—>r*l,

j

%VLz

r.一、

y-1t（KI2）jr=x-2

直線4P的方程為'+-，直線BQ的方程為r.-2

卜之…

1jr,.2r1x,-4ri+2x1r,?4y24mjj,-6j,+2y

1r-v-2ixu=~—-------

聯(lián)立方程組l'距一?，得ix,*2|j2-（x:-2)7

4m-6

由'+）~而+，得；加+】，得）%匚?臼外

212?凡--).

4mrtr.-6r,+2r.-6（另+齊+-12r,-4r,

所以.3,「?工-3j,fj.

故點(diǎn)M在定直線】=-4上.

題型三雙曲線中的定值問題(雙曲線中的定值問題)

典型例題

9.(2024.全國.模擬預(yù)測)已知雙曲線。的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過山-2⑼，3133兩

點(diǎn).

(1)求。的方程；

⑵設(shè)P,M,N三點(diǎn)在。的右支上，awAP,ANBP,證明：

(i)存在常數(shù)4，滿足南?系■?即；

(ii)/C/P的面積為定值.

【答案】⑴丁于

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)雙曲線過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線中的定值問題、雙曲線向量共線比例問題

11

【分析】(1)設(shè)。的方程為‘"I=1,其中;i「：U.由。過A,B兩點(diǎn)，代入解得4,3即可.

⑵(i)設(shè)「(加/?),/'M),其中x.>0,3K-4F：/2/=0J」.因?yàn)槊蟆?P,所以直線

k_幾

的斜率為"+?,方程為L八+"

[+A3

聯(lián)立hr-"/r+4)結(jié)合韋達(dá)定理得到i=h+>,[

.3*一

一r”F.,=——X.?,J*-

同理'--'.---1,2.再結(jié)合向量運(yùn)算即可解決.

(ii)結(jié)合前面結(jié)論，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式，三角形面積公式可解.

【詳解】⑴設(shè)。的方程為"n—『?【，其中「再<：0.

1I

▲Dj=一)1=一

由。過A,石兩點(diǎn)，故：”1,1加7-9“，解得4,3.

因此。的方程為1-?=1

(2)(i)設(shè)，」，“，，：，1其中，>0,3、7；-1?,i=0,1,2.

?M

因?yàn)榛?〃4P,所以直線EM的斜率為。+?,方程為『-3?K(K+4)

7-3-*,(x+4?得|3-4/片-8y(44+3)1?4。伏+3)*+3^-0

由

所以口-所)

叫+24<+12毗+24j|x*2)+12(x+2)

x.?------....-------=--------------------------------0------

3-K

12-4兒(》+2)+12(/+“

-----------------------------------------------2ro+況

12(x0+2)

八,F?(2x°+況+4)3.3、

r,=<|T+4|+3=--------------------+3=2r?+-(T?-2I+3=-I,,+2ru

因此X.+2

.r.-3

同理可得直線AN的斜率為)+4,直線AN的方程為1.

43

由=<I1+1i得I3-q*IV-16?T-」6?+：I-II

-2x.--J.i-

所以?3-4k?

船;+6炭/-「+6(乙+4)26xW+4&q-jr.)+l68

'=3-4<：-Xq+4)：—：=乂(1+"?“)

6r：+8.r：+14(3K：-4『：)+4*q?幾)

24Cx,+.r,+l):

Mx+?)=GF工:況+2)=2(J-3)-

因此。+4

=況-6-&%-4)=-3+況

則ZD?涮?.)-40?

,即存在I?4,滿足0M?QRT■A0P.

r-Jr=--

（ii）由（i）,直線跖V的方程為“

所以點(diǎn)P到直線MN的距離W"'+廿」.

網(wǎng)含■標(biāo)