單調(diào)性-一定義法判斷證明函數(shù)的單調(diào)性(初階)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、解答題

1.已知函數(shù)"X)=，+l(a>1)在區(qū)間［0,2］上的最大值與最小值之和為7.

⑴求a的值；

⑵證明：函數(shù)F{x)=/(x)-/(-x)是R上的增函數(shù).

2.已知/(幻=生之

X+1

⑴用定義證明/(尤)在區(qū)間口,+8)上是增函數(shù)；

(2)求該函數(shù)在區(qū)間［2,4］上的最大值.

3.已知函數(shù)〃x)=言?是定義在R上的奇函數(shù)，且/⑴=；.

⑴確定函數(shù)的解析式；

⑵用定義證明在(1,儀)上單調(diào)遞減.

4.已知函數(shù)/(x)=U^，xe(—2,2).

⑴求/(/⑴)的值.

(2)用定義證明函數(shù)/(%)在(-2,2)上為增函數(shù).

5.已知函數(shù)/(力=丁

⑴判斷函數(shù)“X)的奇偶性，并說明理由；

(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并證明.

>-1

6.已知函數(shù)=

(1)判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)判斷并證明〃久)在其定義域上的單調(diào)性.

7.已知函數(shù)/。)=了\,無€(-2,2).

(1)用定義法證明：函數(shù)在(-2,2)上單調(diào)遞增；

(2)求不等式/?+/(l-2Z)>0的解集.

8.已知函數(shù)/(耳=，三是奇函數(shù).

(1)求。的值，判斷/'(X)的單調(diào)性并用定義證明之；

⑵若對(duì)任意的xeR,不等式/(f+皿)+/(d+4)>0成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

9.已知函數(shù)〃耳=3了的圖像經(jīng)過點(diǎn)12,一￡|.

(1)求。值，并寫出函數(shù)的解析式；

(2)判斷函數(shù)/■(%)在(0』上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并用單調(diào)性定義證明.

10.已知函數(shù)/(x)=Y+4(無聲0,aeR).

(1)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性.

(2)當(dāng)a=4時(shí)，證明函數(shù)/。)在區(qū)間［2,+8)是增函數(shù).

試卷第2頁(yè)，共2頁(yè)

參考答案：

1.(1)0=2

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)〃力=，+1(4＞1)單調(diào)性代入計(jì)算即可；

(2)根據(jù)定義法證明函數(shù)為增函數(shù)即可.

【詳解】⑴因?yàn)?/+1(。＞1)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/⑺="+1(。＞1)在區(qū)間［0,2］上的最大值與最小值之和為“2)+/⑼=7,

所以02+1+“。+1=7,解得a=±2,

又因?yàn)閍＞l,所以a=2.

(2)由(1)知，F(xiàn)(x)=f(x)-f(-x)=2X-2-x,

任取尤，1%eR,且占＜%，則

尸(占)一尸(無2)=(2七一2")一(2次一2一次)

=2為-2X2+--------

2也2百

ex-2畫一2%2

=21—2盯+-------

2電.2再

=(23一2”)［1+擊)

因?yàn)闉椋捡R，所以2』一2也＜0,1+再:＞。，

所以尸(西)—尸(蒼)＜。即尸(%)＜下(動(dòng),

所以B(x)=/(x)-((-力是R上的增函數(shù).

2.(1)見解析

【分析】(1)在口，+動(dòng)內(nèi)任取兩個(gè)不同的x值均，尤2且規(guī)定大小，利用作差法比較了(%)與

/(%)的大小得結(jié)論；

(2)利用函數(shù)在［2,4］上是增函數(shù)求得函數(shù)的最值.

【詳解】(1)證明：任取4，x2e［l,+8),且玉＜9,

答案第1頁(yè)，共7頁(yè)

ri\/-/x2%+12X+1x-x

則f(X1)-f(x)=一!------2-——=---!——=2---.

入J2石+1無2+1(%+1)(%2+1)

.xx<x2,xl-x2<0,而玉+l>0,x2+1>0,

即/(占)(A%),

.../(X)在區(qū)間［1,+8)上是增函數(shù);

(2)解：由(1)知，f(x)在區(qū)間［2,4］上是單調(diào)增函數(shù),

,—、八2x4+19

??/(%)…=/(4)=4+[=[

3.⑴〃x)=心

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到方程，求出》=0,再根據(jù)/(1)=；求出。，得到解析式;

(2)利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟，取值，作差，判號(hào)，下結(jié)論.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),

-ax+b_-ax—b

所以〃—x)=—〃x),所以,貝股=0,

1+x21+X2

此時(shí)〃x)=鼻，所以〃l)='|=g，解得a=l，

所以〃力亡;

(2)證明：\/\,x2e(l,+oo),且占</，

玉_(/一馬)(1-卒2)

則〃國(guó))一〃9)=

1+兀；1+xf(1+冗；)(1+,)'

*.*1<%1<X2

玉一/<。，玉％2>1，則1一X\X2<0，

又(1+無：)(1+考)>0

二/(%)-即〃占)>/(馬)，

所以“X)在(1,”)上單調(diào)遞減.

5

4.(1)—；

101

(2)證明見解析.

答案第2頁(yè)，共7頁(yè)

11

【分析】（1）首先求得了⑴=二，再由/（〃1））=/（?即可求值；

（2）令-2＜網(wǎng)＜尤2＜2,結(jié)合解析式判斷了（馬）"（再）的大小，即可證結(jié)論.

1

【詳解】（i）由/⑴='=:，貝1/（〃1））=/4）=^^=言.

101

1+45'"5J_+4

25

xfx+4X-x；X1-4再

（2）令一2<%</<2,則/⑷T⑺=六-六22

（其+4）（4+4）

（X[-x2）-4（%1-x2）（x）x2—4）（x）-x2）

（尤;+4）（尤;+4）（x；+4）（考+4）,

又占%_4＜0,再_/＜0,（片+4）（尤;+4）＞0,故/（%）一/（再）＞°，即/（無2＞＜（項(xiàng)），

所以/（元）在（-2,2）上為增函數(shù).

5.⑴〃%）是奇函數(shù),理由見解析

⑵〃x）在（-M）上單調(diào)遞減，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性定義進(jìn)行判斷證明；

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明.

【詳解】（1）是奇函數(shù)，理由如下：

函數(shù)/（X）=告（-1＜無＜1），則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

因?yàn)椤?到==2一=-〃尤），所以"%）是奇函數(shù)；

（2）任取-1＜而＜%＜1,

則/（%）-/區(qū)）=4^-當(dāng)=2謂一戶_2：；巧+2%

12Xf-1X；-1（xf-lXxf-l）

_2X,X2（X2一西）+2（%2—玉）_2（周/+1）（兄2—石）

二（^-ix^-D-1）&1）'

因?yàn)橐?＜百＜九2＜1,所以玉工2+1＞O,X2-X1＞0,片-l＜0,xf-l＜0,

所以/4）-/（9）＞0,所以“X）在（T1）上單調(diào)遞減.

6.（1）詳見解答；（2）詳見解答.

【分析】（1）求出了（-%）判斷與/（x）的關(guān)系，即可得出結(jié)論；

（2）將了。）分離常數(shù)，任取當(dāng)＜%，用作差法比較了（占），/（%）大小，即可得出結(jié)論.

答案第3頁(yè)，共7頁(yè)

【詳解】(1)，(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,

2*+11+2”

所以/(X)是奇函數(shù)；

，無一1?

(2)f(x)=-------=1----------，設(shè)玉v/，

八12”+12%+1-

。。222(2司-23)

/(占)―/區(qū))=_2為+「2*+]=⑵+1)0+1)'

%1<x2,0<23<2~,2為一2整<O,/(Xj)</(x2),

所以/(x)在實(shí)數(shù)集R上增函數(shù).

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的證明，意在考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.(1)證明過程見解析；

⑵“|一卜<“

【分析】(1)取值，作差，判號(hào)，得到相應(yīng)結(jié)論；

(2)先得到了。)=/=，xe(-2,2)為奇函數(shù)，從而根據(jù)奇偶性和第一問求出的單調(diào)性解不

等式，得到答案.

【詳解】(1)任取士e(-2,2),且玉<尤2,

x玉(4一工22)—尤2(4—玉2)_4(芯一九2)+玉%2(%一%2)_(玉一馬)(4+九/)

*占)-7(%)=廣方2

2

q-A|4-X2

因?yàn)椴还?￡(-2,2),且王<%2,

xx

故再一々<0,i2e(-4,4),XjX2+4>0,4一石2〉o,4—石2〉0,

所以((I：；))；：；[。，f(^)-/(x2)<0,

故函數(shù)/(x)在(-2,2)上單調(diào)遞增；

(2)xe(-2,2),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且")=不廣一士=一小)，

所以〃加乙為奇函數(shù),

f(f)+f(1-2”0變形為=

答案第4頁(yè)，共7頁(yè)

—2<21—1<2

則要滿足12</<2,解得：<f<l,

2

t>2t—1

故不等式的解集為，

8.（1）4=1,遞增函數(shù)，證明見解析

（2）（-472,472）

【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的定義即可求解、證明；（2）根據(jù)奇函數(shù)、增函數(shù)

即可解不等式，再根據(jù)一元二次不等式恒成立求解.

【詳解】（1）顯然函數(shù)“X）的定義域是R,

3T3'-1

據(jù)題意有/（。）=0,得a=l,即/（x）

一3叫3—3（3匕1）

3一%—11-3X

此時(shí)“T）=五旬=而可=-"X）滿足題意.

1

（3--1（3+1）-2_121

/⑴-3（31+1）—3（3，+1）-3-3-（F+1），

由此可判斷出外力是R上的遞增函數(shù).

以下用定義證明：且玉<々，則3/一3為>0,

所以〃灰）-〃芯）=—............=------三

所以I〃I"3（3國(guó)+13^+1}37傳+1）（-3-為----+-1-7）>0

即/（%）>/（%），故是R上的遞增函數(shù).

（2）/⑺是奇函數(shù)，由已知可得了卜2+如）>一/（/+4）=/（-/-4）,

所以￡+mx>—尤2—4,則2X2+^；+4>0,

A<0,Ulm2-4x2x4<0,-4A/2<m<4y/2■

■■實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍為（-4及,40）.

9.（1）p=2./（x）="產(chǎn)（2）單調(diào)遞增.見解析

【分析】（1）將點(diǎn)J,-；］代入函數(shù)解析式，建立關(guān)于P的方程，即可求出P,進(jìn)而求出解

析式.

答案第5頁(yè)，共7頁(yè)

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)?.?〃同=然^圖像過［2,_￡|,.?.一1=罷：，解得0=2.

則〃x)=生產(chǎn)

(2)由(1)知〃尤)=受心，設(shè)不，%為(0,1］任意兩數(shù)且玉<%,則

-3x

2x^+2+2xf+2_2(X1X2-1)(X2-X1)

/(%))-/(%2)=-

3X1X2

2fxx9——2)

*.<0<^<x2<1,x2-x1>0,xxx2-l<0,/.---------------------<0,

3%工2

2.r\

即〃不)一"*2)<0,所以函