考題猜想6-1圖形的相似

（熱考+壓軸必刷50題12種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

強(qiáng)型人集合

＞利用比例的性質(zhì)求解＞利用相似求點(diǎn)的坐標(biāo)

＞黃金分割＞相似三角形與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

＞利用相似多邊形的性質(zhì)求解＞利用相似三角的性質(zhì)與判定確定函數(shù)解析式,

并確定自變量的取值范圍

＞利用平行線分線段成比例求解

＞相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

＞相似三角形的判定

＞坐標(biāo)系與位似圖形

＞相似三角形性質(zhì)與判定綜合

＞相似三角形綜合

驗(yàn)理大通關(guān)

__________

一.利用比例的性質(zhì)求解（共4小題）

1.（23-24九年級(jí)上?江蘇南京?階段練習(xí)）（1）若;=（=（,且3x-2y+z=8,求2%-3y+4z的值；

⑵若則券=——-

2.（22-23九年級(jí)上?浙江嘉興?期中）已知a:b=1:2,且a+2b=10.

⑴求a、b的值；

（2）若c是a、。的比例中項(xiàng)，，求c的值.

3.（22-23九年級(jí)?江蘇南京咱主招生）已知a+b+c=2023,5二一=一—=三=，x+y+z^0,求

x^-yzy^-zxzA-xy

ax+W+cz的值.

x+y+z＞

4.（23-24九年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué).用我們平時(shí)喝的糖水做

"糖水實(shí)驗(yàn)"，也能驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)結(jié)論.

⑴糖水實(shí)驗(yàn)一：

現(xiàn)有a克糖水，其中含有b克糖（a>b>°）,則糖水的濃度（即糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比）為3.加入機(jī)

克水，則糖水的濃度為.

生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，糖水加水后會(huì)變淡，由此可以寫出一個(gè)不等式,我們?nèi)しQ為"糖水不等式"；

⑵糖水實(shí)驗(yàn)二：

將“糖水實(shí)驗(yàn)一"中的"加入m克水"改為"加入m克糖”，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)你寫出一個(gè)新的"糖水不等式":

⑶糖水實(shí)驗(yàn)三:

請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)“糖水實(shí)驗(yàn)”，說(shuō)明等比定理“若含="=...=空，則如+在+…+飯=叁成立.

。1+。2+…+a?i

二.黃金分割（共3小題）

5.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在△力中，4B=4。=2,乙4=36。，8。平分

N4BC交AC于點(diǎn)D.

⑴求證：4ABCMBDC；

（2）求證：點(diǎn)。是線段ac的黃金分割點(diǎn);

⑶求線段力D的長(zhǎng).

6.（2024九年級(jí)下?江蘇?專題練習(xí)）寬與長(zhǎng)之比為雪：1的矩形叫黃金矩形.如圖：如果在一個(gè)黃金矩形

里面畫一個(gè)正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

7.（24-25九年級(jí)上?廣東江門?階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐.實(shí)踐主題：黃金分割數(shù).

⑴材料探索：如圖1,我們知道，如果點(diǎn)尸是線段4B上的一點(diǎn)，將線段分割成2P,BP兩條線段

（AP>BP）,且滿足BP:AP=aP:2B,那么這種分割就叫做黃金分割.其中線段力P與4B的比值或線段BP

與ZP的比值叫做黃金分割數(shù).

III

APB

若設(shè)線段4B=1,4P的長(zhǎng)為尤，貝U8P可表示為1一支，

0BP:AP=AP:AB,0（1—%）:%=%:1,

…，根據(jù)此方法可計(jì)算出黃金分割數(shù)為x=（結(jié)果保留根號(hào)）.

（2）實(shí)踐應(yīng)用：二胡是中國(guó)古老的民族拉弦樂(lè)器之一，演奏家發(fā)現(xiàn)，二胡的“千斤"鉤在琴弦長(zhǎng)的黃金分割點(diǎn)

處（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出來(lái)的音調(diào)最和諧悅耳.如圖2,一把二胡的琴弦長(zhǎng)為

80cm,求“千斤”下面一截琴弦長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）.

三.利用相似多邊形的性質(zhì)求解（共3小題）

8.（23-24九年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）如圖，有一種復(fù)印紙，整張稱為&紙，對(duì)折一分為二裁開(kāi)成為4

紙，一分為二成為&紙…，它們都是相似的矩形.

⑴求令的值.

（2）若4紙的周長(zhǎng)為286厘米，求必紙的周長(zhǎng).

9.（23-24九年級(jí)上?安徽安慶?期中）如圖所示，一般書本的紙張是原紙張多次對(duì)開(kāi)（對(duì)折）得到，矩形

4BCD沿EF對(duì)開(kāi)后，再把矩形EFCD沿MN對(duì)開(kāi)，依次類推，若各種開(kāi)本的矩形都相似，求黑的值.

10.（21-22九年級(jí)上?江蘇連云港?期末）如圖，一個(gè)矩形廣場(chǎng)的長(zhǎng)2B=120米，寬AD=60米，廣場(chǎng)內(nèi)兩

條縱向的小路寬為。米，橫向的兩條小路寬為b米，矩形4BCD?矩形EFGW.

D

H

a

E

B

⑴求a:b的值；

（2）若a=4,求矩形EFGH的面積.

四.利用平行線分線段成比例求解（共4小題）

11.（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）己知：如圖，在△48C中，AB=AC,以腰48為直徑作O。,

分別交BC,4C于點(diǎn)D,E,連接。D,DE.

⑴求證：BD=DC.

（2）若NB4C=40°,求NODE的度數(shù).

12.（2024九年級(jí)下?江蘇?專題練習(xí)）如圖，BE、CF是△ABC的中線，交于點(diǎn)G.求證：釜=蕓=j

GBGC2

13.（23-24八年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期末）如圖，△ABC中，AB=AC,4。1BC于點(diǎn)D,E在4。上，—=

AD5

CE交4B于點(diǎn)F,DG||CF.若AB=6cm,求GF的長(zhǎng).

14.（2023?河北石家莊?模擬預(yù)測(cè)）閱讀材料:

角平分線分線段成比例定理：如圖L在AABC中，4。平分MAC,則桀=詈

下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程:

證明：如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CE||力。，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

解決問(wèn)題:

⑴請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余過(guò)程;

（2）如圖3,在△力BC中，AD是角平分線，AB=5,AC=4,BC=7,求BD的長(zhǎng).

D

圖2圖3

五.相似三角形的判定（共4小題）

15.（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）如圖，△28C中，CD是邊48上的高，5.CD2AD-BD.

⑴求證：AACDS^CBD；

（2）求N2C8的大小.

16.（2022?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AABC任EBD,連接ZE、CD,且點(diǎn)4、E、D在同一條直線上,

17.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，點(diǎn)E,F分別在正方形4BCD的邊BC,CD上，BE=3,EC=6,

CF=2.求證：AABEs4ECF.

18.（2024?廣東梅州?模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖1,在矩形48CD中，點(diǎn)C,。分別在邊DC,8c上，ABLAB,垂

圖1

【問(wèn)題解決】

（2）如圖2,在正方形48CD中，點(diǎn)E,F分別在邊DC,8c上，AE=DF,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)H,使CH=DE,

連接DH.求證：乙ADF=.

【類比遷移】

（3）如圖3,在菱形4BCD中，E,F分別在邊DC,BC上，AE=DF=10,DE=7,^AED=60°,求CF

的長(zhǎng).

圖3

六.相似三角形性質(zhì)與判定綜合（共5小題）

19.（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期中）如圖，在四邊形力BCD中，AD\\BC,AB>CD,點(diǎn)、E,尸分別在線段

AC,8c上，且NF"=/.ADE,AC=AD.

D

⑴求證：AF=DE；

(2)若4尸2=BF?CE,求證：乙ABC=LCDE.

20.(24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期中)如圖，點(diǎn)、E,F分別在正方形A8CD的邊BC,CD上，且4E1EF.

⑴求證：4ABEfECF；

(2)若BE=3,EC=7,求CF的長(zhǎng).

21.(24-25九年級(jí)上?江蘇淮安?階段練習(xí))綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題初探】

(1)如圖1,4D是AABC的中線，BE交AC于點(diǎn)、E,交4D于點(diǎn)RS.AE=EF,

圖1

則下面是小明、小紅的部分思路和方法，

小明的思路和方法：如圖2,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=DF,連接CG,構(gòu)造ADGC....

圖2

小紅的思路和方法：如圖3,過(guò)點(diǎn)B作BGII4C交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,于是得到ABOG...；

A

G圖3

根據(jù)小明或小紅的方法，可以得到線段4C與BF的數(shù)量關(guān)系是.

【變式拓展】

(2)如圖4,在△力BC中，DC=2BD,BE交AC于點(diǎn)E,交力。于點(diǎn)F,且力E=EF,判斷線段4C與BF的

數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由

圖4

【遷移應(yīng)用】

(3)請(qǐng)你借助以上結(jié)論或方法，用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在圖5的線段EF上作一點(diǎn)P,使EP=2FP.(要

求：不寫作法，保留作圖痕跡)

II

EF

圖5

【綜合提升】

(4)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，^BAC=90°,71(-3,0),D(0,4),過(guò)8、C點(diǎn)分別作力。平行線，交x軸

于E、尸兩點(diǎn)，若CD=2BD,直線BE、CF之間距離的最大值為.

22.（24-25八年級(jí)上,江蘇無(wú)錫,期中）如圖，在等邊AABC中，點(diǎn)D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)C的右

側(cè)），CD=DE,^BDE=120°.點(diǎn)尸是線段BE的中點(diǎn)，連接DF、CF.

⑴請(qǐng)你判斷線段。尸與力。的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

（2）若力B=4,求線段CF長(zhǎng)度的最小值.

23.（24-25九年級(jí)上,江蘇無(wú)錫,階段練習(xí)）在矩形4BCD中，點(diǎn)尸在力。上，AB=2,AP=1.將直角尺的

頂點(diǎn)放在尸處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點(diǎn)E、F,連接EF（如圖1）.

⑴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)廠恰好與點(diǎn)C重合（如圖2）,求PC的長(zhǎng)；

⑵探究：將直尺從圖2中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)￡和點(diǎn)A重合時(shí)停止.在整個(gè)過(guò)程中，

①富的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；②直接寫出線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng).

七.利用相似求點(diǎn)的坐標(biāo)（共3小題）

24.（22-23九年級(jí)上,云南保山?期末）如圖，矩形。4BC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為

（4,6）,雙曲線y=3。＞0）的圖象經(jīng)過(guò)BC上的點(diǎn)。與AB交于點(diǎn)E,連接DE,若E是4B的中點(diǎn).

⑴求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)尸是OC邊上一點(diǎn)，若△尸和ADEB相似，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

25.（22-23九年級(jí)上?湖南邵陽(yáng)?期末）如圖，直線y1=zn%+7i（?nW。）與雙曲線丫2=。相交于

4(-1,2)和8(2,6)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D

⑴求雙曲線的解析式；

(2)連接。4、0B,求AAOB的面積；

⑶在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使ABCP與△OCD相似？若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

26.(2022?山東濟(jì)寧?一模)如圖，己知二次函數(shù)y=-/+2x+3的圖象交x軸分別于A,￡＞兩點(diǎn)，交y軸

于3點(diǎn)，頂點(diǎn)為C.

⑴求拋物線的對(duì)稱軸；

(2)求tan/BHC；

⑶在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使得以P,B,。三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與A/IBC相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸

的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

27.(2021?遼寧鐵嶺?二模)已知，如圖，己知拋物線丫=(1/+6久一百與萬(wàn)軸交于4(3,0),B(-1,0)兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC,若點(diǎn)M是無(wú)軸上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8重合)，MN1AC于點(diǎn)M連接CM.

備用圖

(1)求拋物線的解析式;

（2）當(dāng)MN=1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo);

（3）是否存在以點(diǎn)C,M,N為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

八.相似三角形與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（共4小題）

28.（24-25九年級(jí)上?江西撫州?期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（P點(diǎn)不與端點(diǎn)重

合），作NDPE=60。，PE交邊AC于點(diǎn)E,PD交邊4B于點(diǎn)D.

（2）若力C=10,BD=3,BP:CP=4:1,求CE的長(zhǎng).

29.（24-25九年級(jí)上?山西太原?期中）如圖，在△ABC中，ZB=90°,AB=8cm,BC=12cm,點(diǎn)P從

點(diǎn)4開(kāi)始沿以2cm/s的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC以4cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，如果P,Q分別

從4,8同時(shí)出發(fā)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.當(dāng)t為何值時(shí)，

以P,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與AaBC相似？

30.（24-25九年級(jí)上?河北石家莊?階段練習(xí)）如圖，在RtAACB中，NC=90。，AC=30cm,BC=

25cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿C2方向運(yùn)動(dòng)，速度是2cm/s,動(dòng)點(diǎn)0從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng)，速度是

lcm/s.

⑴幾秒后^?！芭c4/BC相似？

（2）設(shè)ACPQ的面積為S「△28C的面積為$2；在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻3使得S1:S2=2:5?若存

在，求出f的值；若不存在，則說(shuō)明理由.

31.（24-25九年級(jí)上,江蘇泰州,階段練習(xí)）【問(wèn)題提出】

如圖1,在矩形力BCD中，*=k,E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接4E,過(guò)點(diǎn)E作EF14E,且EF=匕舊求生的

值.

【問(wèn)題探究】

（1）如圖2,當(dāng)k=l時(shí)，則"=

（2）如圖1,當(dāng)k為任意數(shù)時(shí)，求￡的值.

BE

【問(wèn)題拓展】

如圖3,在菱形力BCD中，E是邊BC上一點(diǎn)，連接AE,過(guò)點(diǎn)E作NAEF==120。，且EF=4E,連接

九.利用相似三角的性質(zhì)與判定確定函數(shù)解析式，并確定自變量的取值范圍（共4小題）

32.（23-24九年級(jí)上?四川樂(lè)山?期末）如圖，在AABC中，4D是BC上的高，且BC=3,4D=2,矩形

EFGH的頂點(diǎn)F、G在邊8c上，頂點(diǎn)E、H分別在邊AB、AC上.

⑴設(shè)EF=K（0（比＜2）,矩形EFGH的周長(zhǎng)為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)EFGH為正方形時(shí)，求正方形EFGH的面積.

33.（22-23九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?期末）如圖1,在△力BC中，^ACB=90°,BC=4,線段AB的垂直平分線

交AC于點(diǎn)。，CD=3.

⑴求AC的長(zhǎng)；

（2）如圖2,點(diǎn)尸是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)A、D、C重合），PQ1AC,與相交于點(diǎn)。，連接

DB、DQ,設(shè)4P=K,APDQ與AABD重疊部分的面積為S.

①求S關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

②試問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P位于____________位置時(shí)△「。（2與44BD重疊部分的面積S最大，此時(shí)S的最大值是

34.（21-22九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期中）如圖，在RtMBC中，EC=90°,BC=3,AC=4,點(diǎn)尸，。都是斜邊

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸從B向A運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)8重合），點(diǎn)。從A向B運(yùn)動(dòng)，BP=AQ.點(diǎn)D,E分別是點(diǎn)

A,B以Q,尸為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)，反。&42于。，交AC于點(diǎn)X,當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)頂點(diǎn)A時(shí)，P,0同時(shí)停止

運(yùn)動(dòng)，設(shè)的長(zhǎng)為x,SHOE的面積為y.

（1）求證：SDHQ^BABC；

（2）求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，回HOE為等腰三角形？

35.（21-22九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期中）如圖，在矩形中，AB=4,BC=3,點(diǎn)E是邊C￡＞上任意一點(diǎn)

（點(diǎn)E與點(diǎn)C、。不重合），過(guò)點(diǎn)4作4m4E,交邊C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)況連接ER交邊于點(diǎn)G.設(shè)

DE=x,BF=y.

（1）求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并寫出自變量尤的取值范圍；

（2）如果AZ）=BF,求證：AAE廂ADEA；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在邊CO上移動(dòng)時(shí)，AAEG能否成為等腰三角形？如果能，請(qǐng)求出線段OE的長(zhǎng)；如果不能，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

一十.相似三角形的實(shí)際應(yīng)用（共6小題）

36.（23-24九年級(jí)上?江蘇南通?期末）如圖，為了求出海島上的山峰AB的高度，在。處和尸處樹(shù)立標(biāo)桿

CD和EF,標(biāo)桿的高都是20米，D,尸兩處相隔200米，并且4B,CD和EF在同一平面內(nèi).從標(biāo)桿CD后退

80米的G處，可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端C在一條直線上；從標(biāo)桿EF后退160米的反處，可以看到頂峰

A和標(biāo)桿頂端E在一條直線上.求山峰的高度力B及它和標(biāo)桿CD的水平距離BD各是多少米？

37.（23-24九年級(jí)上?河南焦作,期中）閱讀材料、完成探究.

數(shù)學(xué)活動(dòng)：測(cè)量樹(shù)的高度.

在數(shù)學(xué)課上我們學(xué)過(guò)利用三角形的相似測(cè)高，在物理課我們學(xué)過(guò)光的反射定律.數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組想利用

光的反射定律測(cè)量河流對(duì)岸一棵樹(shù)的高度A8,測(cè)量的部分步驟和數(shù)據(jù)如下：

①如下圖，在地面上的點(diǎn)C處放置了一塊平面鏡，小華站在BC的延長(zhǎng)線上，當(dāng)小華從平面鏡中剛好看到

樹(shù)的頂點(diǎn)A時(shí)，測(cè)得小華到平面鏡的距離CD=2米，小華的眼睛E到地面的距離ED=1.5米；

②將平面鏡從點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線移動(dòng)10米到點(diǎn)尸處，小華向后移動(dòng)到點(diǎn)”處時(shí)，小華的眼睛G又剛好

在平面鏡中看到樹(shù)的頂點(diǎn)A,這時(shí)測(cè)得小華到平面鏡的距離F”=3米，小華的眼睛G到地面的距離GH=

1.5米；

③已知ED1BH,GH1BH,點(diǎn),B,C,D,F,X在同一直線上.

(I)OZABC=乙EDC=90°,乙ACB=4ECD,

0AABOAEDC,

言=些，絲=處

EDCD'BCCD

可得霽=（寫比值）

￡>C

⑵利用以上信息，繼續(xù)使用圖形相似等有關(guān)知識(shí)計(jì)算樹(shù)的高度AB.

38.（23-24九年級(jí)上,河北邢臺(tái)?期中）張師傅有一塊如△ABC的銳角三角形木料，其中BC=120mm,高

AD=80mm,張師傅想把它加工成矩形零件PQMN,使一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊力B、4C上,

PQ與4。交于點(diǎn)H.A

⑴當(dāng)點(diǎn)尸恰好為A8中點(diǎn)時(shí)，PQ=；/“\

（2）當(dāng)四邊形PQMN為正方形時(shí)，求出這個(gè)零件的邊長(zhǎng)；/'

⑶若這個(gè)零件的邊PN:PQ=1:2.則這個(gè)零件的長(zhǎng)、寬各是多少？!J\

39.（22-23九年級(jí)上,上海寶山?期中）學(xué)習(xí)了相似三角形知識(shí)后，小麗同學(xué)準(zhǔn)備用自制的直角三角形紙板

測(cè)量校園內(nèi)一棵古樹(shù)的高度.已知三角形紙板的斜邊長(zhǎng)為0.5米，較短的直角邊長(zhǎng)為0.3米.

（1）小麗先調(diào)整自己的位置至點(diǎn)尸，將直角三角形紙板的三個(gè)頂點(diǎn)位置記為A、B、C（如圖①），斜邊48平

行于地面MN（點(diǎn)M、P、E、N在一直線上），且點(diǎn)。在邊力C（較長(zhǎng)直角邊）的延長(zhǎng)線上，此時(shí)測(cè)得邊4B

距離地面的高度EF為1.5米，小麗與古樹(shù)的距離4尸為16米，求古樹(shù)的高度DE；

（2）為了嘗試不同的思路，小麗又向前移動(dòng)自己的位置至點(diǎn)0,將直角三角形紙板的三個(gè)頂點(diǎn)的新位置記為

4、B\C，（如圖②），使直角邊（較短直角邊）平行于地面MN（點(diǎn)M、。、E、N在一直線上），點(diǎn)

。在斜邊B'4的延長(zhǎng)線上，且測(cè)得此時(shí)邊B'L距離地面的高度依然是1.5米，那么小麗向前移動(dòng)了多少

米？

40.（23-24九年級(jí)上?河南許昌?期末）學(xué)完《相似》一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)

量河的寬度.如圖，這條河的兩岸是平行的，小麗站在離南岸20米（即PE=20米）的點(diǎn)P處懶北岸，小

軍、小強(qiáng)站在南岸邊，調(diào)整小軍、小強(qiáng)兩人的位置，當(dāng)小軍、小強(qiáng)兩人分別站在C,D兩點(diǎn)處時(shí)，小麗發(fā)現(xiàn)

河北岸邊的兩根電線桿恰好被小軍、小強(qiáng)遮擋（即4&P三點(diǎn)共線，B,D,P三點(diǎn)共線）.已知電線桿A,B之

間的距離為75米，小軍、小強(qiáng)兩人之間的距離CD為30米，求這條河的寬度.

41.（2022?陜西西安?三模）如圖，為了測(cè)量平靜的河面的寬度，即EP的長(zhǎng)，在離河岸。點(diǎn)3.2米遠(yuǎn)的2

點(diǎn)，立一根長(zhǎng)為L(zhǎng)6米的標(biāo)桿4B,在河對(duì)岸的岸邊有一根長(zhǎng)為4.5米的電線桿MF,電線桿的頂端M在河

里的倒影為點(diǎn)N,即PM=PN,兩岸均高出水平面0.75米，即DE=FP=0.75米，經(jīng)測(cè)量此時(shí)A、D、N

三點(diǎn)在同一直線上，并且點(diǎn)M、F、P、N共線，點(diǎn)、B、D、尸共線，若DE、均垂直于河面EP,求

河寬EP是多少米?

一十一.坐標(biāo)系與位似圖形（共3小題）

42.（23-24九年級(jí)上?江蘇鹽城?期中）已知，A4BC在直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4（0,3）,

B（3,4）,C（2,2）（正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為一個(gè)單位長(zhǎng)度）.

⑴畫出AABC向下平移4個(gè)單位得到的△2/16；

（2）以點(diǎn)的為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出A4B2c2，使A2c2與ACi位似,且位似比為3：1；

43.（23-24九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）如圖，10X10正方形網(wǎng)格中，ATAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

T（l,0）,4（2,2）,B（4,1）；

⑴以T為位似中心，按2：1在位似中心兩側(cè)將三角形TAB放大為T49，畫出三角形來(lái)，并寫出在第三象

限內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)4和9的坐標(biāo)；

⑵在（1）中，若C（a,b）為線段4B上任一點(diǎn)，寫出變換后C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，坐標(biāo)（用含°,。的代數(shù)式表示）

44.（23-24九年級(jí)上,江蘇無(wú)錫,期中）如圖，格點(diǎn)圖形中每一個(gè)最小正方形的邊長(zhǎng)為1單位長(zhǎng)度，AABC

的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

⑴在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，使得原點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)A、2坐標(biāo)分別為（—3,-1）,（1,-3）；

⑵以點(diǎn)。為位似中心，畫出△ABC的位似三角形△4/16，使得△41B1Q與△ABC相似比為2：1；

⑶在邊4B上求作點(diǎn)M,使得=2AM.

一十二.相似三角形綜合（共6小題）

45.（2023?重慶開(kāi)州?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,已知AADE是等邊三角形，邊4D=逐，點(diǎn)B、C是直線DE上的

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B始終在點(diǎn)。左側(cè)，點(diǎn)C始終在點(diǎn)E右側(cè)，且NB2C=120。，設(shè)CE=%,一次函數(shù)y2過(guò)

點(diǎn)（|，4）和（4,|）.

圖1圖2

⑴直接寫出為，力的函數(shù)關(guān)系式;

⑵在圖2中畫出函數(shù)月,力圖像，并寫出一條力的性質(zhì)；

⑶直接寫出乃＞當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍.

46.(2021,江蘇無(wú)錫?二模)在矩形ABC。的C。邊上取一點(diǎn)E,將△BCE沿8E翻折至△BFE的位置.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)/落在矩形ABC。內(nèi)部時(shí)，連接C尸并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G,若2B=12,BC=15,

DG=5,則G尸的長(zhǎng)度為；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C恰好落在邊上點(diǎn)尸處時(shí)，若4B=5,且4F-FD=10,求的長(zhǎng)；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)C恰好落在邊上點(diǎn)尸處時(shí)，延長(zhǎng)￡尸，與乙48尸的角平分線交于點(diǎn)M,BM交AD于

點(diǎn)、N,當(dāng)NF=4N+FD時(shí)，求處的值.

BC

47.(2021?四川樂(lè)山,中考真題)在等腰AABC中，AB=AC,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重