專題03特殊平行四邊形中的三種幾何動(dòng)點(diǎn)問題

類型一、面積問題

例.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,ZBCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm.點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā),

以每秒3cm的速度沿折線ABC方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段。。方向向點(diǎn)C運(yùn)

動(dòng).已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸，。同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P,。運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為心

⑴直接寫出CD的長(zhǎng)（cm）；

（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，直接寫出四邊形P2QD的周長(zhǎng)（cm）；

⑶在點(diǎn)尸、點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得V3尸。的面積為15cm2?若存在，請(qǐng)求出所有滿足

條件的r的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【變式訓(xùn)練1】如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZA=ZB=90°,ZADC=120°,AD=12cm,BC=15cm,

點(diǎn)尸自點(diǎn)A沿折線AD-DC以Icm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。自點(diǎn)C沿向CB-班以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P,Q

同時(shí)出發(fā)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為"s）.

備用圖

⑴當(dāng)P在AD邊上，點(diǎn)。在3C邊上時(shí)，如圖1.

①用含f的代數(shù)式表示：DP=,BQ=；

②若四邊形APQ2是平行四邊形，求f的值？

⑵求V8PQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的數(shù)量關(guān)系式，并寫出r的取值范圍.

【變式訓(xùn)練2】如圖，在矩形ABCZ）中，AB=12,BC=18,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿

AD邊做往返運(yùn)動(dòng),在點(diǎn)尸出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC邊向終點(diǎn)（運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)間時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為*秒）.

⑴當(dāng)仁4時(shí)，尸。的長(zhǎng)度為一

⑵當(dāng)四邊形A8QP為矩形時(shí)，f的值為_

⑶設(shè)四邊形A2QP的面積為S,求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑷當(dāng)PQ所在的直線將矩形ABC。分成的兩部分的面積比為102時(shí)，直接寫出f的值.

【變式訓(xùn)練3】如圖，在人4成>中，AB=AD,4。平分過點(diǎn)。作的平行線交4。的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)C,連接BC.

D

（2）如果。4,03（04>03）的長(zhǎng)（單位：米）是爐-7x+12=0的兩根，求的長(zhǎng)以及菱形ABCD的面積；

⑶在（2）的條件下，若動(dòng)點(diǎn)加從A出發(fā),，沿AC以2米/秒的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)N從8出發(fā)，

沿以1米/秒的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,當(dāng)"運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止.若址、N同時(shí)出發(fā)，問出發(fā)

幾秒鐘后，AMON的面積為2米2

類型二、幾何圖形存在性問題

例L如圖，在RGABC中，?B90?,BC=56，NC=30。.點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿C4方向以每秒2個(gè)單位

長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿A3方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)8勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其

中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)DE運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是f秒(/>0).過點(diǎn)。作8±BC

于點(diǎn)尸，連接DE,EF.

C

⑴求ARAC的長(zhǎng);

(2)求證：AE=DF；

⑶當(dāng)f為何值時(shí)，ADEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由.

例2.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，以2cm/s的速度沿CfD方向向

點(diǎn)￡)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s的速度沿A―3方向向點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)，若P、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為Zs.

備用圖1備用圖2

⑴連接尸￡>、PQ、DQ,求當(dāng)t為何值時(shí)，△尸。。的面積為7c療？

(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的r使得△PQD是以PD為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符

合條件的f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

例3.如圖，在四邊形A8CZ)中，AD0BC,國(guó)8=90。，A8=8cm,A￡)=12cm,BC=18cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)

以lcm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)

尸也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P,。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為fs.

⑴從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)f取何值時(shí)，PQSCD?

(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中是否存在"直，使得四邊形PQC。是菱形？若存在，請(qǐng)求出r值；若不存在，請(qǐng)說明理

由；

⑶從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)f取何值時(shí)，四邊形尸。崩是矩形？

⑷在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中是否存在"直，使得四邊形尸。區(qū)4是正方形？若存在，請(qǐng)求出f值；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

例4.如圖，在菱形A8CD中，對(duì)角線AC與3D交于點(diǎn)0,且AC=8,BD=6,現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)"，N分別

從A,C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M沿線段A2向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿折線C-O-A向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)

終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒).

⑴填空：AB=_；菱形ABCD的面積S=_；菱形的高//=

(2)若點(diǎn)M的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)N的速度為每秒。個(gè)單位(其中。＜[),當(dāng)/=4時(shí)在平面內(nèi)存在點(diǎn)E使

得以A,M,N,E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)求出所有滿足條件的。的值.

類型三、直線位置關(guān)系問題

例1.如圖，在中，ZABC=90°,AC=5,BC=4,點(diǎn)。是邊A3的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)以

每秒1個(gè)單位的速度沿4c向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作尸。，AC交折線AB—3c于點(diǎn)0(點(diǎn)。不與點(diǎn)。重合),

以PQ、。。為鄰邊構(gòu)造平行四邊形PQNW,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

⑴直接寫出A3的長(zhǎng).

(2)當(dāng)點(diǎn)。落在邊上時(shí)，用含/的代數(shù)式表示DQ的長(zhǎng).

⑶當(dāng)平行四邊形尸。。河為軸對(duì)稱圖形時(shí)求t的值.

⑷連接當(dāng)。“與RtZkABC的某條邊平行時(shí)，直接寫出r的值.

例2.如圖，在YABCD中，ZA=60°,AB=6cm,連接8D,恰有？AB￡>90?,過點(diǎn)。作DEL3C于點(diǎn)

E.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)沿ZM以lc7〃/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，以4cm/s的速度沿射線

BC運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

⑴分別求BD和BE的長(zhǎng)度；

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(2)連接PQ,當(dāng)f=g時(shí)，判斷PQ與AO是否垂直，并說明理由；

⑶試判斷是否存在/的值，使得以「，Q,C,。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出/的值；若不

存在，請(qǐng)說明理由；

⑷若點(diǎn)尸關(guān)于直線。。對(duì)稱的點(diǎn)恰好落在直線8上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸，。之間的距離.

課后訓(xùn)練

1.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,ZA=90°,DC=24cm,AB=26cm,動(dòng)點(diǎn)尸從。開始沿。C邊向

C點(diǎn)以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B開始沿54向A點(diǎn)以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P,。分別從點(diǎn)5同

時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

（1）/為何值時(shí)，四邊形&PQA為矩形？

（2八為何值時(shí)，四邊形PQ8C為平行四邊形?

2.如圖，在AABC中，AC=6cm,BC=8cm,點(diǎn)。以每秒的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）,

過點(diǎn)。作直線MN〃3C,/BC4的外角平分線C尸于點(diǎn)/，ZACB的平分線CE于點(diǎn)E設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒.

發(fā)現(xiàn)：

⑴在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，0E與。尸的關(guān)系是,請(qǐng)寫出理由.

⑵當(dāng)f=2時(shí)，EF=cm.

探究：當(dāng)仁時(shí)，四邊形是矩形，并證明你的結(jié)論.

拓展：若點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過程中，能使四邊形AECF是正方形，試寫出線段A3的長(zhǎng)度.（直接寫出結(jié)論即可）

3.已知正方形A3CO中，AB=BC=CD=DA=8,ZA=ZB=ZC=ZD=90°.動(dòng)點(diǎn)尸以每秒2個(gè)單位速

度從點(diǎn)8出發(fā)沿線段BC方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)以每秒8個(gè)單位速度從8點(diǎn)出發(fā)沿正方形的邊

B4-AD-OC-CB方向順時(shí)針作折線運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.

圖1備用圖2

⑴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為一秒時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)。相遇;

(2)當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；

⑶連接24,當(dāng)ABIB和AQ山全等時(shí)，求f的值.

4.如圖，在YABCD中，NB4c=90。，CD=3,AC=4.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A￡)以lcm/s速度向終點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以4cm/s速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng)，

設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒(r>0).

(1)C3的長(zhǎng)為.

⑵用含t的代數(shù)式表示線段。8的長(zhǎng).

(3)連接尸。,

①是否存在f的值，使得PQ與AC互相平分？若存在，求出f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由;

②是否存在f的值，使得PQ與互相平分？若存在，求出r的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

⑷若點(diǎn)尸關(guān)于直線A。對(duì)稱的點(diǎn)恰好落在直線上，請(qǐng)直接寫出，的值.

5.如圖，矩形ABCD中，8=4,ZCBD=30°.一動(dòng)點(diǎn)尸從B點(diǎn)出發(fā)沿對(duì)角線方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)

度的速度向點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)。從。點(diǎn)出發(fā)沿。C方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)c勻速

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)產(chǎn)、。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒過點(diǎn)尸

作尸于點(diǎn)E,連接EQ,PQ.

(備用圖)

⑴求證：