等腰三角形性質(zhì)定理(提高)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解等腰三角形的有關(guān)概念，掌握等腰三角形的軸對(duì)稱性

2.利用軸對(duì)稱變換推導(dǎo)等腰三角形的性質(zhì)，并加深對(duì)軸對(duì)稱變換的認(rèn)識(shí).

3.掌握等腰三角形的下列性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形三線合一.

4.會(huì)利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理、判斷、計(jì)算和作圖.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、等腰三角形的定義

1.等腰三角形

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底,

兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

如圖所示，在4ABC中，AB=AC,則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,

/A是頂角，/B、/C是底角.

2.等腰三角形的作法

已知線段a,b(如圖).用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

b

作法：1.作線段BC=a；

2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫(huà)弧,

兩弧相交于點(diǎn)A;

3.連接AB,AC.

△ABC為所求作的等腰三角形.

3.等腰三角形的對(duì)稱性

(1)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形

(2)ZB=ZC

(3)BD=CD,AD為底邊上的中線.

(4)ZADB=ZADC=90°,AD為底邊上的高線.

結(jié)論：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線是它的

對(duì)稱軸.

4.等邊三角形

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等

腰三角形，有三條對(duì)稱軸，每個(gè)角的平分線（底邊上的高線或中線）所在的直線就是它的對(duì)稱

軸.

要點(diǎn)詮釋：（1）等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只

能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）./A=180。-2ZB,ZB=

180°-ZA

zc=---------.

2

（2）用尺規(guī)作圖時(shí)，畫(huà)圖的痕跡一定要保留，這些痕跡一般是畫(huà)的輕一些，能看清就

可以了，題目中要求作的圖要畫(huà)成實(shí)線，最后一定要點(diǎn)題，即“xxx即為所求”.

（3）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形

不一定是等邊三角形.

等邊三角形是中考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，并且有關(guān)它的計(jì)算也很常見(jiàn)，因此對(duì)于等邊三角

形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于心，比如邊長(zhǎng)為a的等邊三角形它的高是面積是

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等腰三角形的性質(zhì)及判定，知識(shí)要點(diǎn)】

要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)

1.等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱“在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”.

推論：等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角都等于60°.

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡(jiǎn)稱“等腰三角形三

線合一”.

2.等腰三角形的性質(zhì)的作用

證明兩條線段或兩個(gè)角相等的一個(gè)重要依據(jù).

3.尺規(guī)作圖：已知底邊和底邊上的高

已知線段a,h（如圖）用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BC=a,BC邊上的高線為h.

作法：1.作線段BC=a.

2.作線段BC的垂直平分線1,交BC與點(diǎn)D.

3.在直線1上截取DA=h,連接AB,AC.AABC就是所求作的等腰三角形.

【典型例題】

類型一、等腰三角形中的分類討論

等腰三角形的性質(zhì)及判定：例2(1)]

C1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°,則頂角的度數(shù)為().

A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°

【答案】D；

【解析】由等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理可知，等腰三角形的頂角可以是銳角、

直角、鈍角，然而題目沒(méi)說(shuō)是什么三角形，所以分類討論，畫(huà)出圖形再作答.

(1)頂角為銳角如圖①，按題意頂角的度數(shù)為60°；

(2)頂角為直角，一腰上的高是另一腰，夾角為0°不符合題意；

(3)頂角為鈍角如圖②，則頂角度數(shù)為120。，故此題應(yīng)選D.

【總結(jié)升華】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對(duì)于三角形的三種位置

關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視了頂角為120。這種情況，把三角形簡(jiǎn)單的認(rèn)

為是銳角三角形.

舉一反三：

等腰三角形的性質(zhì)及判定：例2(2)1

【變式1】已知等腰三角形的周長(zhǎng)為13,一邊長(zhǎng)為3,求其余各邊.

【答案】

解：(1)3為腰長(zhǎng)時(shí)，則另一腰長(zhǎng)也為3,底邊長(zhǎng)=13—3—3=7；

(2)3為底邊長(zhǎng)時(shí)，則兩個(gè)腰長(zhǎng)的和=13—3=10,則一腰長(zhǎng)=!乂10=5.

2

這樣得兩組：①3,3,7②5,5,3.

而由構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊可知：3+3<7,故不能組成三角形，應(yīng)

舍去.

二等腰三角形的周長(zhǎng)為13,一邊長(zhǎng)為3,其余各邊長(zhǎng)為5,5.

【變式2】等腰三角形有一個(gè)外角是100。，這個(gè)等腰三角形的底角是.

【答案】50°或80°.

解：①若100°的外角是此等腰三角形的頂角的鄰角，

則此頂角為：180°-100°=80°,

則其底角為：(180°-80°)4-2=50°；

②若100°的外角是此等腰三角形的底角的鄰角，

則此底角為：180°-100°=80°；

故這個(gè)等腰三角形的底角為：50°或80°.

故答案為：50°或80°.

類型二、等腰三角形的操作題

▼2、如圖，有甲，乙兩個(gè)三角形，請(qǐng)你用一條直線把每一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形,

并標(biāo)出每個(gè)三角形各角的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，一個(gè)等腰三角形的兩底角相等，故可把原三角形中的

一個(gè)角分成兩個(gè)角，故（1）把75°的角分成25°的角和50°的角，則25°和25°的底角

組成一個(gè)等腰三角形，另外一個(gè)三角形是兩底角為50°的等腰三角形；（2）把120。的角分

成80°和40°的角，則40。與40°的底角組成一個(gè)等腰三角形，另外一個(gè)三角形有兩個(gè)角

都是80°.

【答案與解析】

解：如圖1：直線把75°的角分成25°的角和50°的角，

則分成的兩個(gè)三角形都是等腰三角形；

如圖2,直線把120°的角分成80°和40°的角，

則分成的兩個(gè)三角形都是等腰三角形.

【總結(jié)升華】本題主要考查了等腰三角形的判定以及作圖，確定分割三角形中的哪一個(gè)角是

解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】直角三角形紙片ABC中，ZACB=90°,ACWBC,如圖，將紙片沿某條直線折疊，

使點(diǎn)A落在直角邊BC上，記落點(diǎn)為D,設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點(diǎn)E、F,

探究：如果折疊后的4CDF與4BDE均為等腰三角形，那么紙片中的/B的度數(shù)是多少？寫(xiě)

出你的計(jì)算過(guò)程，并畫(huà)出符合條件的折疊后的圖形.

【答案】

解：若4CDF是等腰三角形，則一定是等腰直角三角形.

設(shè)/B為x度Nl=45°,Z2=ZA=90°-x

①當(dāng)BD=BE時(shí)

180°-x

/o

2

45。+9。。-+7=18。。，

x=30°.

②經(jīng)計(jì)算ED=EB不成立.

③當(dāng)DE=DB時(shí)

Z3=180°-2x

45°+90°-x+180°-2x=180°,

x=45°.

綜上所述，NB=30°或45°.

類型三、等腰三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用

C3、如圖，在AABC中，AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC,延長(zhǎng)BE交

AC于F.

求證：AF=EF.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H,得到△ADC^^HDB,

利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行等量代換，得到4AEF中的兩個(gè)

角相等，然后用等角對(duì)等邊證明AE=EF.

【答案與解析】

證明：延長(zhǎng)AD至UH使DH=AD,連接BH.

：AD是BC邊上的中線，

.*.BD=CD

在4ADC和△HDB中，

BD=DC

<ZBDH=ZCDA,

AD=HD

.,.△ADC^AHDB,

.?.Z1=ZH,BH=AC

VBE=AC,

；.BE=BH,

?,.Z3=ZH,

.*.Z1=Z3

又：/2=/3,

.?.Z1=Z2,

；.AF=EF

【總結(jié)升華】證明不在同一個(gè)三角形的兩條線段相等，而它們所在的三角形不全等，可以利

用輔助線將它們轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，然后通過(guò)等腰三角形來(lái)證明.

舉一反三:

【變式】如圖，已知AD是AABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.

求證：AC=BF.

【答案】

證明：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G,使DG=AD,連接BG.

?.?AD為中線，

：.BD=CD.

在△ACD和△G3D中，

AD=DG,

<ZADC=NGDB,

CD=BD,

AAACD也AGBD(SAS).

：.BG=AC,ZG=ZCAD.

'：AE=EF,

：.ZCAD=ZAFE.

又?：NBFD=NAFE,

：.ZG=ZBFD.

：.BF=BG=AC.

C4、如圖，AC=BC,ZACB=90°,/A的平分線AD交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作BELAD于

點(diǎn)E.求證：BE=—AD.

2

c

E

【答案與解析】

證明：如圖，延長(zhǎng)BE、AC交于點(diǎn)F.

VZ1=Z2,AE=AE,ZAEB=ZAEF=90°,

.?.△AEB^AAEF(ASA).

1

；.BE=FE=—BF.

2

VZ3=90°-ZF=Z2,BC=AC,

RtABCF^RtAACD(ASA)

1

；.BF=AD,BE=-AD.

2

【總結(jié)升華】在幾何解題的過(guò)程中，當(dāng)遇到角分線或線段垂線時(shí)?？紤]使用翻折變換，可保

留原有圖形的性質(zhì)，且使原來(lái)分散的條件相對(duì)集中，以利于問(wèn)題的解決.

舉一反三:

【變式】如圖1,在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上.

(1)求證：BE=CE；

(2)如圖2,若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,且BFJ_AC,垂足為F,ZBAC=45

原題設(shè)其它條件不變.求證：4AEF^4BCF.

【答案】

證明：(1)VAB=AC,D是BC的中點(diǎn),

ZBAE=ZEAC,

在4ABE和4ACE中，

AB=AC

<ZBAE=ZEAC,

AE=AE

A△ABEACE(SAS),

???BE=CE；

(2)VZBAC=45°,BF±AF,

??.△ABF為等腰直角三角形，

AF=BF,

TAB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

???AD±BC,

AZEAF+ZC=90°,

BF_LAC,

???NCBF+NC=90°,

???ZEAF=ZCBF,

在AAEF和ABCF中，

ZEAF=ZCBF

<AF=BF

/AFE=NBFC=90。

：.AAEF^ABCF(ASA).

C5、如圖，AABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點(diǎn)，以CD為邊作等邊