第一章集合與常用邏輯用語

目錄

知識梳理..........................................

考點(diǎn)精講精練......................................

考點(diǎn)一：集合的含義與表示.........................................3

考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系........................................4

考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算..........................................4

考點(diǎn)四：充分條件與必要條件......................................6

考點(diǎn)五：全稱量詞與存在量詞......................................7

集合與常用邏輯用語實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練.........................................8

知識梳理

1、元素與集合

(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號分別記為：e和e.

(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖(vem?圖).

(4)常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號NN*或乂ZQR

①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這

個(gè)集合中就確定了.給定集合A={1,2,3,4,5},可知IwA,在該集合中，6eA,不在該集合中；

②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.

集合A={a,b,c}應(yīng)滿足a豐b手c.

③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合A=[1,2,3,4,5}和5={1,3,5,2,4}是同一個(gè)集合.

④列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{b'括起來表示集合的方法叫做列舉法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.

具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，

在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.

2、集合間的基本關(guān)系

(1)子集(subset)：一般地，對于兩個(gè)集合A、B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合8中的元素,

我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合3的子集，記作Ac3(或8衛(wèi)A),讀作“A包含于

3”(或“3包含A”).

(2)真子集(propersubset)：如果集合入屋3,但存在元素％￡區(qū)，且XEA,我們稱集合A是集合5的

真子集，記作(或.讀作“A真包含于3”或“3真包含A

(3)相等：如果集合A是集合3的子集且集合3是集合A的子集(304),此時(shí)，集合A

與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合3相等，記作A=5.

(4)空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非空集

合的真子集.

3、集合的基本運(yùn)算

(1)交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合3的所有元素組成的集合，稱為A與8的交集，記作AB,

即AB=[x\x&A,&B}.

(2)并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，稱為A與8的并集，記作AB,

即A8={x|xeA,或xeB}.

(3)補(bǔ)集：對于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集。的

補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作GA,即64=口|X6。,且%e4}.

4、充分條件、必要條件與充要條件的概念

(1)若P=q,則P是4的充分條件，4是P的必要條件；

(2)若夕nq且44P，則P是4的充分不必要條件；

(3)若。4q且則P是4的必要不充分條件；

(4)若P=q,則P是4的充要條件；

(5)若，44且44P，則P是4的既不充分也不必要條件.

5、全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞

短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示.

（2）存在量詞

短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“丁'表示.

（3）全稱量詞命題及其否定

①全稱量詞命題：對M中的任意一個(gè)工,有p（x）成立；數(shù)學(xué)語言：

②全稱量詞命題的否定：3x&M,^p{x}.

（4）存在量詞命題及其否定

①存在量詞命題：存在M中的元素工,有p（x）成立；數(shù)學(xué)語言：3x^M,p（x）.

②存在量詞命題的否定：

考點(diǎn)精講精練

考點(diǎn)一：集合的含義與表示

真題講解

例題1.（2023.河北.高三學(xué)業(yè)考試）給出下列關(guān)系：①手R；②⑸R；③卜3|eN；@|-3|eQ.其中

正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

例題2.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（）

A.所有直角三角形B.拋物線y=V上的所有點(diǎn)

C.某中學(xué)高一年級開設(shè)的所有課程D.充分接近代的所有實(shí)數(shù)

例題3.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）若不等式3-2x<0的解集為M則下列結(jié)論正確的是（）

A.OGM2GMB.（W,2e〃

C.D.

例題4.（2023?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“notebooks”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合中的元素個(gè)數(shù)是—

真題演練

1.（2023.河北.高三學(xué)業(yè)考試）給出下列關(guān)系：①白R；②⑸R；@|-3|eN；@|-3|eQ.其中正確的

個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（）

A.所有直角三角形B.拋物線y=x2上的所有點(diǎn)

C.某中學(xué)高一年級開設(shè)的所有課程D.充分接近6的所有實(shí)數(shù)

3.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）若不等式3-2x<0的解集為M則下列結(jié)論正確的是（）

A.0GM2GMB.（W,2GM

C.D.

4.（2023?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“notebooks”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合中的元素個(gè)數(shù)是

考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系

真題講解

例題1.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）下列集合中，結(jié)果是空集的是（）

A.{x￡H|/-l=0}B.{x|x>6或％<1}

C.{（x,y）\x2+y2=0}D.{小>6且x<l}

例題2.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）已知集合N={1,3,5},則集合N的真子集個(gè)數(shù)為（）

A.5B.6

C.7D.8

例題3.（2023?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知A={第一象限角）,3={銳角},。={小于90。的角},那么

A、B、。的關(guān)系是（）

A.B=AnCB.BUC=CC.AuCD.A=B=C

真題演練

1.（2023?全國?高一學(xué)業(yè)考試）已知集合&=何-1<彳<3"€陰，則集合A的真子集的個(gè)數(shù)為（）

A.7B.8C.15D.16

2.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）若集合”={小抬1},N={y,=f,國＜1},貝I」

A.M=NB.M=NC.N=MD.McN=0

3.（2023秋?廣東?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知集合加={1,2,3},N={2,3,4},則下列式子正確的是

A.M=NB.N=MC.MN={2,3}D.MN={1,4}

考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算

真題講解

例題1.（2023廣東.高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合A={0,l,2},8={1,2,3},則AcB（）

A.⑶B.{0,1,2,3）

C.{1,2}D.0

例題2.(2023春?天津南開?高一學(xué)業(yè)考試)設(shè)全集I={0,1,2,3},集合M={0,1,2},N={0,2,3},則0(MuN)=

().

A.{1}B.{1,3}C.{0,2}D.0

則其圖象為（）

例題4.（2023?江蘇?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）對于兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合A和B,我們把集合口x=a+b,aeA,beB}

記作A*及若集合4={0,1},3={0,-1},則A*B中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

x-m

例題5.（2023.河北.高三學(xué)業(yè)考試）已知集合4={尤eR||x+2|<3},集合B=xeR<0且

x-2

AB=(-l,n),貝"相=,n=

真題演練

1.(2023春?浙江?高二學(xué)業(yè)考試)已知集合4=卜€(wěn)21尤2-2<0},8={0,1},則AB=()

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1)

2.(2023?廣東?高三學(xué)業(yè)考試)已知集合。={2,3,4,5,7},A={2,3},B={3,5,7),則A倒可=()

A.[2,3,5,7}B.{2,3,4}C.{2}D,{2,3,4,7)

3.(2023春?浙江?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知全集"={2,4,6,8,10},集合A={2,4},3={1,6,8},則(上4)八3=

()

A.{2,4}B.{6,8,10}C.{6,8)D.{2,4,6,8,10}

4.(2023春?福建福州?高二福建省福州延安中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試)設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},AIa3={1,3},

①(A3)={2,4},則集合B為()

A.{1,3,5,6,7,8}B.{2,4,5,6,7,8}

C.{5,6,7,8}D.{1,2,3,4}

5.(2023春海南?高一統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知集合河={x|-2<x<4},N={x|x...-1},則Nc低M)=()

A.B.{x"4}C.{尤—2}D.{x卜探!Jc4}

考點(diǎn)四：充分條件與必要條件

真題講解

例題1.（2023春?天津南開?高一學(xué)業(yè)考試）對于實(shí)數(shù)無，“x<0”是“x<l”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例題2.（2023春?福建福州?高二福建省福州延安中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）設(shè)aeR,貝『七（。-3）>0”是“。>3'

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例題3.（2023春?浙江溫州?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量a=92）,b=（l,"l）,則“f=2”是“〃//”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例題4.（2023?全國?高一學(xué)業(yè)考試）已知集合4={到20-14丈。+1},B={x\0<x<3].

（1）若a=l,求

（2）給出以下兩個(gè)條件：@AUB=B；②"xeA”是的充分不必要條件.

在以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到橫線處，求解下列問題：

若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

真題演練

1.（2023?湖南衡陽?高二校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）使不等式工>1成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.2<x<3B.%>0C.-2<x<5D.x>l

2.（2023春?安徽馬鞍山?高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）“（計(jì)1）（工+2）=0”是“％=1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.（2023春?浙江金華?高二學(xué)業(yè)考試）若P：x<2；q：-l<x<2,則。是4成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)五：全稱量詞與存在量詞

真題講解

例題I.（2023?浙江溫州?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知命題p：Vx<2,|x|V3,則命題的力為（）

A.3x0<2,闖>3B.3x0>2,闖>3

C.Vx<2,|x|=3D.Vx>2,|x|>3

例題2.（2023春?浙江溫州?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)命題P：D%￡R,(x-2)(x+3)>0,貝?。萃翞?)

A.3XGR,(X-2)(X+3)>OB.3xGR,――-<0

0OO0°x°+3

x（）-2、

C.VYGR,(x-2)(x+3)<0D.現(xiàn)eR,一二■<（）或％=-3

玉）十J

例題3.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）命題F%￡R,%2T+I=0,,的否定為

例題4.（2023?安徽?高二馬鞍山二中校考學(xué)業(yè)考試）命題“玄￡[1,2],x2+%_々00，，為假命題，則，的取值

范圍為

真題演練

1.（2023春?天津南開?高一學(xué)業(yè)考試）已知命題P：Bx>0,X2+2X+2<0,則命題〃的否定為（）.

A.3x<0,x2+2%+2>0B.Vx>0,x2+2%+2>0

C.Hx>0,X2+2X+2>0D.VX<0,X1+2X+2>0

2.（2023?山西太原?高二太原師范學(xué)院附屬中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）命題“卻wR,x；+3x「2=0”的否定為（）

A.V尤eR,》2+3x-2=0B.\fxeR,x2+3x-2^0

C.eR,尤;+3x；—2=0D.3^GR,尤；+—2w0

3.（2023?湖南衡陽?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）命題2],無2<i?的否定是（）

22

A.HrG[-1,2],x>1B.3xg[-l,2],x<1

22

C.VXG[-1,2],x<1D.Vxe[-1,2],x>1

4.（2023春?河北?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若命題“叫e[-1,2],-x；+2..a”是假命題，則實(shí)數(shù)。的范圍是（）

A.a>2B.a..2C.a>-2D.④-2

5.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）若命題FXER,f_2x+根<0”是假命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

集合與常用邏輯用語實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練

1.（2023?浙江溫州?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知集合4=3-2Vx<6},3={x|0<尤<8},則43=（）

A.{x|0<x<5}B.{x|0<x<6}

C.{x|-l<x<8}D.{x|—2<x<8}

2.（2023?廣東?高三學(xué)業(yè)考試）集合A={1,2},B={2,3},C={3,4,5},貝[|（AIB）UC=（）

A.{1,2,3}B.{2,4,5}C.{2,4}D.{2,3,4,5}

3.（2023春?河北?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）命題P：“玉eR,x+2W0”的否定是（）

A.VxwR,x+2<0B.HXGR,X+2>0

C.VxwR,x+2>0D.HYGR,x+2>0

4.（2023春?浙江溫州?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若集合A=N,8={x|-lWxW3},則A3=（）

A.（1,2,3}B.{-11,2,3}C.{0.1,2,3}D.{2,3}

5.（2023春?湖南?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）命題“王eR,爐+》+1<0”的否定是（）

A.VxeR,尤？+尤+1<。B.VxeR,x2+%+1>0

C.玉eR,x2+x+l>0D.*wR,尤2+x+ivo

6.（2023秋?福建?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“4。|>"c|”是“0>人”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

7.（2023秋?重慶?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)aeR,集合&={#2-%-2訓(xùn)，2={無}=In（x-a）},B^A,

則。的取值范圍是（）

A.（-oo,-l）B.（1,+co）C.[2,+oo）D.（2,+8）

8.（2023?安徽?高二馬鞍山二中校考學(xué)業(yè)考試）若集合A={1,2,3,4,5},集合3={x|（x+2）（x-3）<0},則

圖中