復數(shù)及其應用

（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

維構(gòu)建?里里循0永紿

/鼓的定義：形如,+0（.力￡對球叫做出、

~\、其中實部是a,虛部是bj

--------------------------------■（詡80））

題型01復數(shù)的基本概念及應用

<。知識點一復數(shù)的基本概念）一"的分類L：a?（bHO）（a=O眈■《?））

題型02根據(jù)復數(shù)相等求參數(shù)

題型03復數(shù)的模長計算

題型04共柜復數(shù)及其應用

1球的有關破葉:?數(shù)）

L［復數(shù)的模）

復

數(shù)「‘空面的概念建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面口撤復平面

題型01復數(shù)與復平面的點——對應

及

-QQ知識點二復數(shù)的幾何意蚓與麗］1［謝叫叫軸，y軸叫做贏題型02復數(shù)與復平面向量——對應

其L復數(shù)的幾題型03復數(shù)的模的幾何意義及應用

應

用/二..——,、二復數(shù)的運算法則，一：加、減、乘、除）題型01復數(shù)的四則運算

Y。知識點三復數(shù)的四則運算）一…人力--------->題型02復數(shù)的乘方運算

\______________________________/匕艘運算的幾個重要結(jié)論

題型03復數(shù)范圍內(nèi)解方程

復數(shù)的輻角

輻角主值

題型01復數(shù)的代數(shù)式與三角式互化

o知識點四復數(shù)的三角形式廠復數(shù)的三角物t：z=r（cosO+isin0）題型02復數(shù)三角形式乘除法運算

題型03復數(shù)的新定義問題

復數(shù)的三角腕及運算復數(shù)的乘法運算

復數(shù)的除法運算」

口以盤點?蟄幅訃煤

知識點1復數(shù)的基本概念

1、復數(shù)的定義：形如a+6i（a,6GR）的數(shù)叫做復數(shù)，其中實部是°,虛部是6.

2、復數(shù)的分類：

［實數(shù)b=0,

復數(shù)z~a+hi

［純虛數(shù)4=0

a,6GR虛數(shù)b豐0'

I非純虛數(shù)存0

3、復數(shù)的有關概念

復數(shù)相等。+歷=。+%=。=。且b=d(Q,b,c,d￡R)

共軌復數(shù)a+bi與c+di共甄=a=c且b=-d(〃，b,c,d￡R)

向量反的模叫做復數(shù)Z=q+6i的模，記作|z|或H+加，

復數(shù)的模

即匕=q+bia,b￡R）

知識點2復數(shù)的幾何意義

1、復平面的概念：建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面；

2、實軸、虛軸：在復平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除原點以外，虛軸上

的點都表示純虛數(shù)；

3、復數(shù)的幾何表示：復數(shù)z=a+6i?一一■對應復平面內(nèi)的點Z(a,b)<..對應〉平面向量衣.

知識點3復數(shù)的四則運算

1、復數(shù)的運算法則

設Z]=〃+/?i,z2=c+di(a,b,c,d￡R),則

(1)zi+z2=(Q+bi)+(c+di)=(Q+c)+(b+(/)i；

(2)z\—Z2=(a+bi)_(c+di)=(a-c)+(Z7-d)i；

(3)21，Z2=(Q+Z?i)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

z〔a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbc-ad八、

—=----=----------=—；——+——71(。+力。0).

(4)72222

z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+d

2、復數(shù)運算的幾個重要結(jié)論

(1)\Z1+Z2|2+|Z1—Z2|2=2(|Z1|2+|Z2|2).

(2)Z.z=|z|2=|Z匕

(3)若Z為虛數(shù)，則|z|2先2.

(4)(1土i)2=±2i.

(5)i4w=l；i4w+1=i；i4w+2=-l；i4w+3=-i.

知識點4復數(shù)的三角形式

1、復數(shù)的輔角

(1)輔角的定義：設復數(shù)z=a+bi的對應向量為近，以x軸的非負半軸為始邊，向量次所在的射線(射

線。Z)為終邊的角仇叫做復數(shù)z的輔角.

(2)輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復數(shù)輔角有無限多個值，且這

些值相差2兀的整數(shù)倍.

規(guī)定：其中在03。<2兀范圍內(nèi)的輔角8的值為輔角的主值，通常記作argz.

【注意】因為復數(shù)0對應零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數(shù)0的輔角是任意的.

2、復數(shù)的三角形式及運算

(1)定義：任何一個復數(shù)都可以表示成z=r(cos8+is譏。)的形式，其中r是復數(shù)的模，。是復數(shù)的輔角.

【注意】復數(shù)的三角形式必須滿足：模非負，角相同，余正弦，加號連.

(2)復數(shù)乘法運算的三角表示：已知Zi=r1(cos01+is沅％),z2=r2(cos02+is譏。2)，

則Z]Zi=rtr2[cos(/+02)+is譏(％+02)]-

這就是說，兩個復數(shù)相乘，積的模等于各復數(shù)的模的積，積的輔角等于各復數(shù)的輔角的和.

(3)復數(shù)除法運算的三角表示：已知Zi=r1(<cos01+is譏J。,z2=r2(cos92+is譏4)

1

則i=累當魯譽=?r[cos（%—名）+is出⑸-%）].

Z2r2（COS^2十1S17W2）2

這就是說，兩個復數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，

商的輔角等于被除數(shù)的輔角減去除數(shù)的輔角所得的差.

云突破?春分?必檢

重難點01與復數(shù)有關的最值問題

求復數(shù)模的范圍與最值問題的解題策略

（1）把復數(shù)問題實數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來處理，轉(zhuǎn)化為實數(shù)范圍內(nèi)，求

模的范圍與最值問題來解決；

（2）發(fā)掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解答；

（3）利用三角函數(shù)解決.

【典例1】（2024?山東煙臺?三模）若復數(shù)z滿足H=|"2-2i|,則目的最小值為（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解析】若復數(shù)z滿足閆=匕-2-0，

則由復數(shù)的幾何意義可知復數(shù)z對應的點集是線段3的垂直平分線，其中。（0,0）,/（2,2）,

所以目的最小值為=；也2+22=也.故選:B.

【典例2]（2024?云南?二模）已知i為虛數(shù)單位,復數(shù)z滿足|z-l|=|z+i|,則|z-i|的最小值為（）

B11

A.—B.-C.-D.0

223

【答案】A

【解析】設2=尤+貞,（弘昨2，而|z-[=|z+i|,所以（x-lp+y2=x2+（y+l）2,即y=-x,

所以-《x2+=J2+㈠―]j=也/+2x+l=3卜+[+^,

等號成立當且僅當y=r=（，

綜上所述，|z-i|的最小值為也.故選：A.

重難點02共軌復數(shù)與復數(shù)運算的綜合問題

共輾復數(shù)問題的求解技巧:

1、若復數(shù)Z的代數(shù)式已知，則根據(jù)共輾復數(shù)的定義，可以寫出I,再進行復數(shù)的四則運算.

2、已知關于z和I的方程，而復數(shù)z的代數(shù)形式位置，求解z.解決此類問題的常規(guī)思路是：設

z=a+bi（a,beR）,則5-歷，代入所給等式，利用復數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解.

【典例1】（2024?福建泉州?一模）（多選）已知復數(shù)z滿足z=l」，則（）

2

A.z,z=\B.—~zC.z+z=-1D.\z-z|=

【答案】AD

【解析】設復數(shù)z=a+bi,Qb￡R）,=a2-b2+2abi

因為復數(shù)z滿足z=l—,可得z2=z—1,則/一/+2〃bi=a+bi-l,

z

可得/一〃=q_i且2ab=b,

由2ab=Z?時，可得。=—或6=0,

2

當。=:時，可得6=±也，止匕時z=L土且i；當6=0時，方程°2_&+1=0,無解；

2222

對于A中，當2=』+且i,Wz=--—i,可得z「=l；

2222

當2=工-"3可得[=^+3i,可得z；=i，所以A正確；

2222一一

對于B中，當2=工+如3可得z2=一L+"i，=則z?片"所以B不正確；

222222

對于C中，當2=1+"3可得三可得z+1=i，所以C不正確；

2222

對于D中，當2=工+且i,可得力=!一且i,可得zq=Gi，貝小=上百；

222211

當Z」一立i,可得也i,可得z二=f/^i,貝“Z二卜百，所以D正確.故選：AD.

222211

【典例2]（23-24高三下?湖南婁底?階段練習）（多選）己知復數(shù)4/2的共鈍復數(shù)分別為下列結(jié)論正

確的是（）

A.若4為純虛數(shù)，則4+1=0

B.若z；+z；=0,則Z]=z?=0

C.若忖―Z2|=0,則Z]—Z2=0

D.若|z-l|=|z+l|,則z在復平而內(nèi)對應的點的軌跡為直線

【答案】ACD

【解析】對于A,設句=例，=-bi,故Z]+2]=0成立，故A正確，

對于B,設z=i,z2=1,則滿足z；+z；=O,但4WZ2WO,故B錯誤，

對于C,設Z]=Q+bi,z2=c+di,貝ljz]=a-6i,z2=c-di,

故為一Z2=(a-c)+(b-d)i,~z2\='(a-c)?+(b-d?=0,

解得。=。，b=d,則Z]—z2=(a—c)+(d—6)i=0,故C正確，

對于D,設2=x+yi,因為|z_"=|z+l],Iz-11=yj(x-l)2+y2,

|z+l|="(X+l)2+y2,所以J(x+l)2+『=J(x_l)2+y2,

化簡得x=0,故2在復平而內(nèi)對應的點的軌跡為直線，故D正確.故選：ACD.

法技巧?苗裒學露

一、復數(shù)的分類

對于復數(shù)a+bi,

(1)當且僅當6=0時，它是實數(shù)；

(2)當且僅當a=b=0時，它是實數(shù)0；

(3)當厚0時，叫做虛數(shù)；

(4)當a=0且厚0時，叫做純虛數(shù).

【典例1】(2024?廣東東莞?模擬預測)若復數(shù)z滿足自+i)(l+i)=4,則復數(shù)z的虛部是()

A.2B.-2C.3D.-3i

【答案】C

【解析】設z=a+6i,根據(jù)題意，可得(。-歷+i)(l+i)=4,

化簡為+6-1)+(a-6+1)i=4,

..fa+b-l=4\a=2

根據(jù)復數(shù)相等，得入|…解得八「

[a-6+l=0[6=3

所以z=2+3i,即復數(shù)z的虛部是3.故選：C

【典例2](23-24高三上?甘肅慶陽?階段練習)(多選)下列各式的運算結(jié)果是實數(shù)的是()

A.z=i(l-i)2B.z=(l+i『

C.z=(l+i)(l+2i)(l+3i)D.z=U

【答案】AC

【解析】A項中，z=i(l-i)2=i(-2i)=-2i2=2,故A正確；

B項中,z=(l+i)2=2i,故B錯誤；

C項中，z=(l+i)(l+2i)(l+3i)=(-l+3i)(l+3i)=-10,故C正確；

D項中，z=》=、6i)(34i)=包=2,故D錯誤.故選：AC.

3+4i2525

二、求復數(shù)標準代數(shù)式形式的兩種方法

1、直接法：將復數(shù)用已知復數(shù)式表示出來，利用復數(shù)的四則運算化簡為復數(shù)的標準代數(shù)式；

2、待定系數(shù)法：將復數(shù)設為標準式，代入已知的等式中，利用復數(shù)相等的條件列出關于復數(shù)實部和虛部的

方程(組)，通過解方程(組)求出復數(shù)的實部與虛部.

【典例1】(2024?新疆?三模)復數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,貝"的虛部為()

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】C

【解析】設z=a+6i且,則z+2i=a+6i+2i=a+0+2)i,

因為|z+2i|=p],所以/+0+2)2=/+/,解得：b=-l,貝的虛部為-i.故選：c

【典例2】(2024?福建泉州?模擬預測)已知復數(shù)z滿足目=2,|z-2|=2,則z+』=()

A.2A/3B.2C.-2D.-273

【答案】B

【解析】設復數(shù)z=a+6i,a,beR,

由匕月W=2,得-2)2+5=\la2+b2=2>解得。=1,b=+V3,

???z=l土&，z+I=2.故選：B.

三、復數(shù)的幾何意義

('1)任一個復數(shù)z=a+6i(a,6GR)與復平面內(nèi)的點Z(a,6)是一一對應的.

(2)一個復數(shù)z=a+6i(a,6GR)與復平面內(nèi)的向量次=(a,6)是一一對應的.

【典例1】(2024?四川自貢?三模)在復平面內(nèi)，復數(shù)4，z?對應的向量分別是方=(-2,3),麗=(3,-2),

則復數(shù)對應的點位于()

Zl+Z2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】因為復數(shù)4，Z2對應的向量分別是。3=(-2,3),礪=(3,-2),

所以■=-2+3i,z2=3—2i,

所以z，=3-2i=(3-2i)(l-i)=J__5.

Z1+z2-2+3i+3-2i(l+i)(l-i)22，

所以復數(shù)對應的點為一百，位于第四象限.故選：D

Zl+Z2(21)

【典例2】(2024?安徽馬鞍山?三模)已知復數(shù)z滿足zN=2(z+7)=4,若z在復平面內(nèi)對應的點不在第一

象限，貝1Jz=.

【答案】1-gi

【解析】設z=a+6i,Q,b￡R,則亍=。一為，

因為z?三=2(z+z)=4,

z-z=(^a+bi)(^a-bi)=a2+b2=4/a=1a=1

2(z+亍)=2[(q+6i)+(q-6i)]==4，角牛將6=G戈b=-y/3

又因為z在復平面內(nèi)對應的點不在第一象限，可知640,

4=1

可知〈廠，所以z=l-后.

b=73

故答案為：1-ei.

四、虛數(shù)單位i的乘方

計算復數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，i〃有如下性質(zhì)：

P=i,i2=-1,i3=ii2=—i,i4=i3-i=—ii=1,

從而對于任何〃￡N+，都有i4n+1=i4,2-i=(i4)z/-i=i,

同理可證i4"+2=—1,j4〃+3=—j,j4〃+4=].

這就是說，如果〃￡N+，那么有i4〃+i=i,i4/?+2=-1,i4n+3=—i,i4w+4=l.

由此可進一步得(l+i)2=2i,(1—i)2=—2i,-―—1,^=i,i.

1+i1—ii

【典例1】(2024?湖北?二模)已知復數(shù)z=%+i),則產(chǎn)=()

A.1B.-1C.-iD.i

【答案】A

【解析】因為z=%+i),所以z2=g(l+2i+i2)=i,

所以Z2024Mz2廠2=(了。口=1.故選：R

【典例2】(2024?河北?三模)已知復數(shù)1滿足2。2°23+[2必)=[2。25,則1的共軻復數(shù)的虛部是()

1.

BC.——1D.

-I22

【答案】D

【解析】由Z。2°23+12。24)=12025,可得7(j3+4x505+「+4x506)=產(chǎn)4x506,

i(l+i)_-l+i11.

所以z(l-i)=i所以2=白二------1—i

(1—i)(l+i)222

_111

所以z=-3-3,所以I的共輒復數(shù)的虛部是故選：D.

五、復數(shù)方程的解

在復數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程a/+版+c=0(a40)的求解方法：

C1)求根公式法：

①當△20時，X="±"2-4ac②當△<()時，X=f(b

2a2a

(2)利用復數(shù)相等的定義求解，設方程的根為％=TH+ni(7H,n6/?),

將此代入方程a%2+版+。=OQw0),化簡后利用復數(shù)相等的定義求解.

【典例1】(23-24高三下?西藏拉薩?階段練習)已知z=l-i是方程Z2+2QZ-b=0(〃/￡R)的根，則〃+b=()

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】A

[解析]由題意，得(1—i)2+2o(l—i)—6=0,即2Q_6+(_2_2〃)i=0,

所以2a—b=0,且一2—2。=0,解得。=—1,6=—2,

所以。+6=-3.故選：A.

【典例2】(2024?江蘇鹽城?模擬預測)(多選)已知為,%?為方程/+2、+3=0的兩根，則()

A.1^-z2U272B.上+'=一1'

11

zxz2J

C.|Z1|+|Z2|=2V3D.Z]—z2—Zj+z?

【答案】BC

【解析】方程/+2x+3=0的兩根分另1J為一1+Vii和一1-",且Z[+Z]=-2,44=3,

所以不妨設馬=-1+,z2=-1-V2i,

^=-l+V2i,所以,_司=卜1+匈_(_1+網(wǎng)=0,故A錯誤；

11_zx+z22

-1--=----故B正確;

Z\Z2Z1Z2

22

|zj+|z2|=2^(-I)+(V2)=25/3,故C正確;

Z]_z?=_,Z]+z2=-1—y/^21—]-2,

所以4-Z2w4+Z2,故D錯誤.故選：BC.

六、復數(shù)的三角表示

將復數(shù)z=a+bi(a,beR)化為三角形式z=r{cos9+isizi。)時，要注意以下兩點：

(1)r=Va2+b2,

(2)cos。="ne=[,其中e終邊所在象限與點(a,6)所在象限相同，

當a=0,6>0時，argz=]

【注意】每一個不等于零的復數(shù)有唯一的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，

兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輔角的主值分別相等.

【典例1](23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習)(多選)任何一個復數(shù)z=a+6i6eR,i為虛數(shù)單位)

都可以表示成z=r(cos6+isin。)(r>0,0eR)的形式，通常稱之為復數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學家棣莫

弗發(fā)現(xiàn)：[r(cose+isine)]"=r"(cos”e+isin〃e)(〃eN*),我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理，則下列說法正

確的有()

A.復數(shù)z=l-gi的三角形式為z=2(cos：-isin：]

TT

B.當，=1,時，z+z23+.-+z2024=0

2+z

TT

C.當r=2,§時，z3=—8

D.當，，=3,e=:TT時，"〃為偶數(shù)”是"z"為純虛數(shù)”的充分不必要條件

4

【答案】BC

【解析】復數(shù)z=l-后的三角形式為z=2"*sin歌，故A錯誤；

、[,八兀rL71..兀.

當”1,6=一時，z=cos—+isin—=i,

222

因為i4Al+i欽+2+i4k+3+i4M=0,keZ,

所以Z+Z2+Z3+,??+Z2°24=0,故B正確；

當尸=2,。=烏時，z=2\cos—+isin—I,

3<33J

33

z=2^cosy+isiny^=2(cosTI+isinTT)=-8,故C正確;

當尸=3,。=四時，z=3|cos—+isin—I，

4I44)

z"3Jcos—兀+i.si.n

I4

rm八

cos——=0

,則—=—卜所以〃=

若z"為純虛數(shù),則4kit,4k+2,keZ■,

.rm.42

sin——H0

4

雖然〃=4左+2,左eZ是偶數(shù)，但是偶數(shù)還有〃=4鼠左eZ的形式的數(shù)，

所以“〃為偶數(shù)”是“z"為純虛數(shù)”的必要不充分條件，故D錯誤.故選：BC.

【典例2】(2024?黑龍江哈爾濱?三模)復數(shù)2=。+歷(“)€氏1是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應點為2,設

r=|OZ|,6是以x軸的非負半軸為始邊，以0Z所在的射線為終邊的角，貝ljz=a+6i=r(cose+isin。)，把

r(cosO+isinO)叫做復數(shù)。+用的三角形式，利用復數(shù)的三角形式可以進行復數(shù)的指數(shù)運算，

[r(cos8+isin。)]"=r"(cos〃e+isinw<9)(〃eN*),例如：與:=^cosisin=cos2K+isin27t=1,

(1+i)4=jV2[cos：+isi嗎=4(cost-Hsin7i)=4,復數(shù)z滿足：z=l+i，則z可能取值為()

A.亞(cosg+isinB.8(cos+isin

C.啦(cos1+isin]]D.V2^cos+isin

【答案】D

【解析】設z=r（cose+isine）,

則z3=l+i=V2cos—+isin—I=/(cos39+isin36),

TT7IcTTTT

所以r=蚯，3e=2ht+：#eZ,即夕=學+音水eZ,

所以2=蚯cos［學+^|）+isin［當+專］］,左eZ

故左=2時，。=詈，故z可取痣［cos詈+isin詈］,故選：D

庇笏錯?睢券另幅

易錯點1忽視復數(shù)2=。+次是純虛數(shù)的充要條件

a=0

點撥：對復數(shù)為純虛數(shù)理解不透徹，對于復數(shù)2=。+初為純虛數(shù)八，往往容易忽略虛部不等于0.

b彳0

【典例1］（24-25高三上?湖南?開學考試）已知復數(shù)Z1=2-i,Z2=a+i（aeR）,若復數(shù)4七為純虛數(shù)，則

實數(shù)。的值為（）

A.--B.vC.-2D.2

22

【答案】A

【解析】由已知，復數(shù)z/Z2=（2-i）（a+i）=（2a+l）+（2-a）i為純虛數(shù)，

一（2a+l-0,1

所以'八得.=-：.故選：A.

2-a^0,2

【典例2］（23-24高三上?廣西?開學考試）已知i是虛數(shù)單位，若z=K是純虛數(shù)，則實數(shù)。=

1-1

13￡

A.-B.—C.1D.

222

【答案】C

1+ai(l+〃i)(l+i)1-Qa+1.

【解析】z=------------------------------------------1----------1

1-i(l-i)(l+i)22

4=0

因為Z=，%是純虛數(shù)，所以＜,2

解得。=1.故選：C.

1-1。+八

-----1W0

[2

易錯點2錯誤的理解復數(shù)比大小

a＜c

點撥：兩個復數(shù)不能直接比大小，但如果。+