專題18特殊的平行四邊形綜合檢測過關(guān)卷

（考試時(shí)間：90分鐘，試卷滿分：100分）

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）如圖，在菱形438中，ZB=60°,連接AC,若AC=6,則菱形ABC。的周長為（）

A.24B.30C.18V3D.36V3

【答案】4

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)證明AB=BC=CD=AD,在根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，求出

AB=BC=AC=6,從而求出菱形周長即可.

【解答】解：??,四邊形ABCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,

VZB=60°,

AABC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC=6,

：.AB=BC=CD=AD=6,

菱形4BCD的周長為：

AB+BC+CD+AD

=6+6+6+6

=24,

故選：A.

2.（3分）如圖，四邊形A3CZ）是平行四邊形，下列說法不正確的是（）

A.當(dāng)AC=5Z）時(shí)，四邊形A3CD是矩形

B.當(dāng)時(shí)，四邊形A8CD是菱形

C.當(dāng)AC平分NBA。時(shí)，四邊形A8CD是菱形

D.當(dāng)/0AB=90°時(shí)，四邊形ABCD是正方形

【答案】。

【分析】根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，有一個(gè)角是直角

的平行四邊形是矩形，對角線平分對角的平行四邊形是菱形判斷即可.

【解答】解：A、:四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD,

二四邊形ABC。是矩形，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、四邊形A8CD是平行四邊形，AC±BD,

，四邊形4BCZ）是菱形，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、?.,四邊形A8CD是平行四邊形，AC平分/8A。，

四邊形ABC。是菱形，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、四邊形ABC。是平行四邊形，ZDAB=90a,

四邊形ABCD是矩形，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)正確；

故選：D.

3.（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC,8。交于點(diǎn)。，ZAOB=60°,AC=4,則邊AB長為（）

AD

BC

A.V3B.V2C.1D.2

【答案】。

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OA=OB,進(jìn)而利用等邊三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【解答】解：：四邊形4BCD是矩形，AC=4,

1

A0A=OB=jAC=2,

VZAOB=60°,

???△A05是等邊三角形，

.\AB=0A=0B=2,

故選：D.

4.（3分）由6個(gè)形狀相同、大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A,B,C都

在格點(diǎn)上，/。=60°,則tan/A8C=（

AC

OB

V3V311

A.—B.—C.-D.-

2323

【答案】4

【分析】如圖，連接E4、EC,先證明/A￡C=90°,E、C、8共線，再根據(jù)tan/4BC=餞，求出AE、

DD

EB即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接屈4,EC,

設(shè)菱形的邊長為a,由題意得/AEb=30°,ZBEF=60°,

.".AE=y[3a,EB=2a,

：.ZAEC=9Q°,

NACE=ZACG=ZBCG=60°,

AZ￡CB=180°,

：.E、C、8共線，

在RtAA￡B中，tanZABC=普=照=堂.

EB2a2

故選:A.

5.（3分）己知菱形的周長為40,一條對角線長為12,則這個(gè)菱形的面積為（）

A.40B.47C.96D.190

【答案】C

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，四條邊相等且對角線互相平分且互相垂直，由勾股定理得出BO的長，進(jìn)而

得其對角線BD的長，再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半計(jì)算即可.

【解答】解：如圖：四邊形ABCD是菱形，對角線AC與8。相交于點(diǎn)。

??,菱形的周長為40,

：.AB=BC=CD=AD=10,

:一條對角線的長為12,當(dāng)AC=12,

：.AO=CO=6,

在RtAAOB中，BO=V102-62=8,

：.BD=2BO=16,

1

斐形的面積=1AC-B￡>=96,

6.（3分）如圖中的大長方形都是由邊長為1的小正方形組成，其中每個(gè)正方形的頂點(diǎn)稱之為格點(diǎn)，若4、

3、C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有（）

5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

【答案】D

【分析】分/A為頂角和為頂角判定即可.

【解答】解：當(dāng)/A為頂角時(shí)，符合的點(diǎn)有一個(gè)C6；C1，

當(dāng)為頂角時(shí)，符合的點(diǎn)有五個(gè)Cl,C2,C3，C4,C5,

7.（3分）如圖是由6塊直角三角形拼成的矩形其中①②③④是四個(gè)全等的三角形,則非=（）

43

A.-B.—C.V2D.V3

32

【答案】C

【分析】先設(shè)直角三角形①中短直角邊為m長直角邊為6,分別表示出A3即可解答.

【解答】解：如圖:

???①②③④是四個(gè)全等的三角形，

.'.AF=a-b,DF=a+b,

：.AB2^a1+b2,AD^AFi+DF2^(a-Z?)2+(a+Z?)?=2(次+廬)，

.AD22(a2+b2)

——=—=2,

AB2a2+b2

.也_

??—v2,

AB

故選：C.

8.(3分)如圖，菱形A8CD的對角線交于點(diǎn)0,E為邊的中點(diǎn)，若菱形的周長為24,則0E的長是()

A.1B.20C.3D.4

【答案】C

【分析】直接利用菱形的性質(zhì)得出其邊長以及對角線關(guān)系，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出OE的長.

【解答】解：：菱形A8CD的周長為24,

1

4B-X

-424=6,AC上BD,

：.ZAOB=90°,

,IE為AB邊中點(diǎn)，

1i

/.OE=^AB=1x6=3.

故選：C.

9.(3分)如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)瓜產(chǎn)是C。的三等分點(diǎn)，AFLBE,垂足為貝!jtanNE4尸的值是

()

【答案】C

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)證得△AO/和△8色全等，得出NAf7)=N3EC,于是得到再證

MFEF1

4ABMs/\FEM,得出一=—=一，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出tanZEAF的值.

MABA3

【解答】解：E、尸是8的三等分點(diǎn)，

：.DE=EF=FC,

：.DF=CE,

???四邊形A5CD為矩形，

:?AD=BC,ZD=ZC=90°,AB//CD,AB=CD=3EF,

在△AD尸和△BCE中，

AD=BC

Z-D=zC,

IDF=CE

：.AADF(SAS),

，NAFD=NBEC,

：.ME=MF,

設(shè)ME=MF=x,

\9AB//CD,

???LABMsXFEM,

.MFEF1

MA~BA~3

.\MA=3x,

VAF±BE,

/.ZAME=90°,

.,.,tan/口/人EA口F=M誨E=荻x=w1，

故選：C.

10.（3分）下列說法正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

【答案】B

【分析】一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，由此可判斷A不符合題意；對角線互相平分的四

邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形，由此可證明對角線互相平分且相等的四邊形是矩

形，可判斷8符合題意；對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，由此可判斷C不符合題意；對角線互

相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，由此可證明對角線互相垂直平分

的四邊形是菱形，可判斷O不符合題意，于是得到問題的答案.

【解答】解：???對角線相等的四邊形不一定是平行四邊形，

.*.A不符合題意；

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形，

對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，

符合題意；

???對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，

；.C不符合題意；

.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，

對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，

對角線互相垂直平分的四邊形不一定是正方形，

不符合題意,

故選：B.

填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11.（3分）如圖，四邊形ABCD是菱形，連接AC,2。交于點(diǎn)0,過點(diǎn)A作交BC于點(diǎn)E,若

AC=4,BD=6,則BE的長度為史”

-13'

13

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用勾股定理求得邊長AB,等面積法求得AE,在中，勾股定理即

可求解.

【解答】解：：四邊形ABCD是菱形，AC=4,BD=6,

：.AO=2,80=3,AB=BC,AC±BD,

在Rt/XABO中，AB=>JAO2+0B2=V13,

1

，.，S^ABC=jAC,BD=AE,BC,

-1___

nX4x612V13

「A七一知一13'

，……,5V13

故答案為：----

13

12.（3分）如圖，正方形ABC。內(nèi)有一點(diǎn)E,連接BE,DE,ZAED=90°,過點(diǎn)B作交CD

37^

于G,過點(diǎn)D作。尸〃BE交BG于足若。G=l,CG=2,則BE的長是

一13一

BC

……3V65

【答案】-----

13

【分析】延長交于延長交2G于N,證四邊形MBGZ）是平行四邊形得BM=DG=1,進(jìn)

而得CD=AB=AD=3,AM=2,在RtAlDM中由勾股定理求出DM,再利用三角形的面積公式求出AE,

進(jìn)而再求出DE，然后證△BAN和△ADE全等得AN=DE,BN=AE,繼而可求出EN,最后在RtABEN

中由勾股定理可求出BE.

【解答】解：延長DE交于延長交BG于N,如圖所示：

.四邊形ABC。為正方形，

；.AB=BC=CD=DA,AB//CD,ZBAD^9Q°,

'：BG//DE,

四邊形MBGD是平行四邊形，

BM=DG=\,

"：DG=\,CG=2,

:.CD=DG+CG=3,

：.AB=AD=3,

J.AM^AB-BM=2,

在RtZ\ADM中，AM=2,AD=3,

由勾股定理得：DM=y/AD2+AM2=V13,

11

由三角形的面積公式得：SAADM=^AE-DM=^AM-AD,

.“廠AM-AD6V13

??AE=-^r=^-'

：.DE=ylAD2-AE2=

9：ZBAD=90°,ZAED=90°,

：.ZBAN^-ZDAE=90°,ZADE+ZDAE=90°,

???NBAN=ZADE,

?:BG〃DE,ZAED=90°,

：.ZANB=90°,

AZANB=ZAED=90°,

在和△AOE中，

乙BAN=A.ADE

乙ANB=Z-AED=90。，

AB=AD

：./\BAN^/\ADE(AAS),

..AN—DE=—,BN=AE=—^—,

?674/79同6場3T

..EN=AN-AE=-----jy-=-13~

在RSEN中，BN=^^-,EN=3713

13

由勾股定理得：BE=ZEN?+BN2=當(dāng)普.

3V65

故答案為：----.

13

13.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABC。的頂點(diǎn)A,B,C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-1,

0),ZBC￡>=120°,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,g)

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出OB,OA的長，進(jìn)而利用菱形的性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【解答】解：：菱形ABC。，ZBC￡>=120°,

ZABC=60°,

'：B(-1,0),

：.OB=\,OA=V3,AB=2,

：.A(0,A/3),

：.BC=AD=2,

：.OC=BC-OB=2-1=1,

：.C(1,0),D(2,V3),

故答案為：(2,V3).

14.（3分）如圖，在矩形A5CD中，點(diǎn)E為54延長線上一點(diǎn)，/為CE的中點(diǎn)，以8為圓心，8廠長為半

徑的圓弧過AD與CE的交點(diǎn)G,連接3G.若AB=4,CE=10,則AG=3.

【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求8尸=5,由勾股定理可求解.

【解答】解：：四邊形ABCD是矩形，

/.ZBAC=90°,

VC￡=10,尸為CE的中點(diǎn)，

：.BF=|C￡=5,

：.BF=BG=5,

：.AG=yjBG2-AB2="5-16=3,

故答案為：3.

15.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，長方形ABCD按如圖所示放置，。是的中點(diǎn)，且A、B、C的坐標(biāo)分

別為（5,0）,（5,4）,（-5,4）,點(diǎn)尸是BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△OOP是腰長為5的等腰三角形時(shí)，則點(diǎn)尸

【答案】（-2,4）或（-3,4）或（3,4）.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，

,：A.B、C的坐標(biāo)分別為（5,0）,（5,4）,（-5,4）,

：.OD=OA=5,AB=CD=4,

???四邊形A8CD是矩形,

.\ZC=ZCDO=90°,

設(shè)BC與y軸交于E,

當(dāng)DP=D0=5,

；.CP=V52-42=3,

：.PE=2,

：.P(-2,4),

當(dāng)0D=0P=5時(shí)，PE=V52-42=3,

：.P（-3.4）或（3,4）,

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,4）或（-3,4）或（3,4）,

故答案為：（-2,4）或（-3,4）或（3,4）.

三.解答題（共8小題，滿分57分）

16.（7分）下面是多媒體上的一道試題：

如圖，在菱形A8CQ中，過點(diǎn)8作BE_LC￡）于點(diǎn)E,點(diǎn)/在邊上，AF=CE,連接8。，DF.求證:

四邊形8FDE是矩形.

小星和小紅分別給出了自己的思路.

小星：先證明四邊形BFDE是平行四邊形，然后利用矩形定義即可得證；

小紅：先證明與全等，然后利用“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”即可得證.

（1）請你選擇一位同學(xué)的思路，并進(jìn)行證明；

（2）若BD=2底BE=4,求8C的長.

【答案】（1）見解析過程;

(2)5.

【分析】(1)小星的思路.先證明四邊形8尸。￡是平行四邊形，然后利用矩形定義即可得證；

小紅的思路.由“S4S”可證八4。/也△C8E,可得/AfD=/CE8=90°,然后利用“有三個(gè)角是直角

的四邊形是矩形”即可得證；

(2)由勾股定理可求BC的長.

【解答】解：(1)選擇小星的思路.

證明：：四邊形A3。是菱形，

：.AB=CD,AB//CD.

?；AF=CE,

：.BF=DE,

...四邊形DFBE是平行四邊形.

,：CDLBE,

：.ZBED=90°,

四邊形是矩形；

選擇小紅的思路.

證明：\?四邊形A8CQ是菱形，

：.AD=BC,ZA=ZC.

,:AF=CE,

:.△ADFaCBE(.SAS),

：.ZAFD=ZCEB=90°,

：.ZDFB=90°.

'：CD//AB,

:./FBE=/CEB=90°,

：./DFB=/FBE=/BED=90°,

四邊形。尸BE是矩形；

(2)在RtABDE中，OE=y/BD2-BE2=J(2A/5)2-42=2,

:四邊形ABC。是菱形，

：.BC=CD,

：.CE=CD-DE=BC-2.

在RtZXBCE中，BC1=CE1+BEr,

：.BC1=（BC-2）2+42,

解得BC=5.

：.BC的長為5.

17.（7分）如圖，四邊形CEDF,/CED=/EDF=/DFC=/FCE=90°,CE=DE=DF=CF,A是邊

OE上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作BC,AC交。尸延長線于點(diǎn)區(qū)

（1）求證：BD=AE+CE；

（2）設(shè)△ACE三邊分別為縱b、c,利用此圖證明勾股定理.

【答案】（1）答案見解答過程；

（2）答案見解答過程.

【分析】（1）先證△CBE和△C4E全等得BF=A￡,然后根據(jù)CE=O/可得出結(jié)論；

（2）由（1）可知△CBfg/XCAE,貝ISACBF=S&CAE,BC=AC=C,BF=AE=a,進(jìn)而得四邊形ACBO

的面積=正方形CEDF的面積，即一4c?BC+$4Z>B￡）=CE2,而。A￡>=”-b,BD=a+b,

22

據(jù)此勾股定理得以證明.

【解答】（1）證明：如圖所示：

；/CED=NEDF=NDFC=NFCE=90°,BC±AC,

.,.Zl+Z3=90°,Z2+Z3=90°,ZCFB=90°,

.\Z1=Z2,ZCEA=ZCFB=90°,

在△CBF和△C4E中,

rzi=z2

\^CEA=乙CFB=90。，

(CF=CE

:.LCBF冬ACAE(AAS),

：.BF=AE,

又；CE=DF,

：.BD=BF+DF=CE+AE.

(2)證明：由(1)可知：ACBF咨ACAE,

工SACBF=SACAE,BC=AC=C,BF=AE=a,

：.四邊形ACBD的面積=正方形CEDF的面積，

11,

：.-AC-BC+^AD'BD=CE2,

22

即AC'BC+AD'BD=2CE2,

*.*DF=CE=DE=a,

.\AD=DE-AE=a-b,BD=CE+AE=a+b,

BPc2+(a-b)(6/+Z?)=2*，

整理得：〃=次+廬.

18.(7分)如圖，矩形EFGH的頂點(diǎn)E,G分別在菱形ABC。的邊A。，BC上，頂點(diǎn)凡X在菱形ABCZ)

的對角線3。上.

(1)求證：BG=DE；

(2)若E為4。中點(diǎn)，AB=2,求用的長.

(2)2.

【分析】(1)先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出石//=八7,EH//FG,再證明△2G尸也即可得證；

(2)連接EG,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EG=F",先證明四邊形A2GE是平行四邊形，即可得出EG,進(jìn)而

求出FH.

【解答】(1)證明??,四邊形EbGH是矩形,

:?EH=FG,EH//FG,

：.ZGFH=ZEHF,

VZBFG=180°-ZGFH,NDHE=180°-NEHF,

：.ZBFG=ZDHE,

???四邊形ABC。是菱形，

：.AD//BC,

：.ZGBF=ZEDH,

在/和△OEH中，

ZBFG=乙DHE

乙GBF=乙EDH,

VEH=FG

:ABGF%ADEH(A4S),

：.BG=DE；

(2)解：連接EG,

???四邊形ABC。是菱形，

：.AD=BC,AD//BC,

YE為AD中點(diǎn)，

：.AE=ED,

■:BG=DE,

：.AE=BGfAE//BG,

???四邊形ABGE是平行四邊形,

：.AB=EG,

???四邊形EbGH是矩形,

：.EG=FH,AB=2,

：.FH=2.

19.(7分)已知，A。是的角平分線，DE//AC交AB于點(diǎn)E,N)尸〃AS交AC于點(diǎn)尸.求證：四邊形

/是菱形.

【分析】先根據(jù)題中已知條件判定四邊形AEZ)尸是平行四邊形，然后再推出一組鄰邊相等.

【解答】證明：-：DE//AC,DF//AB,

四邊形AED尸是平行四邊形，ZEDA=ZFAD,

是△ABC的角平分線，/.ZEAD=ZFAD,

：.ZEAD=ZEDA,

：.EA=ED,

，四邊形AE。尸為菱形.

20.(7分)如圖，在△A8C中，ZABC=90°,80為△ABC的中線.BE//DC,BE=DC,連接CE.

(1)求證：四邊形BDCE為菱形；

(2)連接。E,若/ACB=60°,BC=4,求DE的長.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)先證明四邊形為平行四邊形，由直角三角形的性質(zhì)可得2￡?=CD,可得結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)可得￡＞。=?！?BCLDE,OC=2,由直角三角形的性質(zhì)可求。。的長，即可求解.

【解答】(1)證明：'JBE//AC,BE=DC,

:.四邊形BDCE為平行四邊形，

VZABC=90°,為AC邊上的中線,

1

：.BD=CD=^AC,

四邊形BDCE為菱形;

1

：.0C=^BC=2,Z.COD=90°,DE=2DO,

：.ZACB=60°,

.../EDC=90°-ZACB=30°,

；.￡>C=2OC=4,DO=V3OC=2V3,

：.DE=2DO=4A/3.

21.(7分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、2D相交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡、尸分別在A&AD±.,

AE^AF,連接EF,S.AC1EF.

(1)求證：四邊形4BCZ)是菱形；

(2)連接OE,若點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，OE=遮,OB=2OA,求四邊形ABC￡)的面積.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得/C4O=/ACB,再證/8AC=ND4C,得BA=BC,即可得出結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)得。4=OC,OB=OD=BD=2,ACLBD,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得AB=

WE,然后根據(jù)勾股定理和菱形面積公式即可得出結(jié)論.

【解答】⑴證明：/，

/AEF=NAFE,

\'AC±EF,

：.ZBAC=ZDAC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AD//BC,

：.ZCAD=ZACB,

：.ZBAC=ZBCA,

：.BA=BC,

平行四邊形ABCD是菱形；

(2)解：：四邊形ABC。是菱形，

：.OA^OC,OB=OD,ACLBD,

.*.N4OB=90°,

■:點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

：.AB=20E=2A/5,

\'0B=20A,

23

.?.在RtZXAOB中，OA2+O52=AB2,gp0/12+4OA2=(2V5),

AOA=2,02=4,

：.AC=4,BD=8,

11

:.S菱形ABCD=2AC'BD=]X4x8=16.

22.(8分)如圖，己知：在四邊形ABPC中，ZACB=90°,BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)。，交AB于

點(diǎn)E,且CF//AE.

(1)求證：四邊形BECP是菱形；

(2)當(dāng)44=45°時(shí)，四邊形8ECP是正方形；

(3)在(2)的條件下，若AC=4,則四邊形ABFC的面積為12.

(2)45；