專(zhuān)題28硬幣問(wèn)題

例1.一種拋硬幣游戲的規(guī)則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分.

(1)設(shè)拋擲5次的得分為求自的分布列和數(shù)學(xué)期望EJ；

(2)求恰好得到〃(〃eN*)分的概率.

【解析】

?<1<

(1)所拋5次得分J的概率為PC=i)=G(1)G=5,6,7,8,9,10),

其分布列如下

5678910

P155551

323216163232

10

^=pq-5(1i)5=1y5

(2)令4表示恰好得到〃分的概率，不出現(xiàn)九分的唯一情況是得到分以后再擲出一次反面.

因?yàn)椤安怀霈F(xiàn)“分”的概率是1-5，“恰好得到n-1分”的概率是P.i，

因?yàn)椤皵S一次出現(xiàn)反面”的概率是)，所以有1-月=；月.1，

212

即一§=_萬(wàn)區(qū)-1_§)'

[2121211

于是《月一彳是以《一一=——=——為首項(xiàng)，以——為公比的等比數(shù)列.

I3J132362

所以W尸即匕=%2+(—；)"].

3o232

恰好得到九分的概率是j2+(—g)〃].

例2.棋盤(pán)上標(biāo)有第0、1、2、…、100站，棋子開(kāi)始位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲

出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站或第100站時(shí)，游戲結(jié)束.

設(shè)棋子位于第〃站的概率為匕.

(1)當(dāng)游戲開(kāi)始時(shí)，若拋擲均勻硬幣3次后，求棋手所走步數(shù)之和X的分布列與數(shù)學(xué)期望;

（2）證明：匕+i—g（匕一匕T）（1<〃<98）；

（3）求/、Ex,的值.

【解析】

（1）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有3、4、5、6.

P”=3）嗎:"，P（X=4）=G［］《

P（X=5）=C[

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：

X3456

1331

P

8888

13319

所以，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為EX=3x—+4x—+5x—+6x—=—；

88882

（2）根據(jù)題意，棋子要到第（八+i）站，由兩種情況，由第九站跳1站得到，其概率為:匕，也可以由第（"-1）

站跳2站得到，其概率為:匕T，所以，匕M=g匕

等式兩邊同時(shí)減去匕得以「匕=_；與+g心］=_；優(yōu)—么J（1<“<98）；

<1113

p+=

（3）由（2）可得此=1,Px=-,P2=~i2^4

由（2）可知，數(shù)列｛與+1-匕｝是首項(xiàng)為公比為-;的等比數(shù)列，

，片9=4+（2-4）+但—￡）+L+（%-月8）=]+（-5

又名廠既^-萬(wàn)］=-^9-'則片8=31+??；

由于若跳到第99站時(shí)，自動(dòng)停止游戲，故有幾o(hù)=g68=（［+/］-

例3.在孟德?tīng)栠z傳理論中，稱(chēng)遺傳性狀依賴(lài)的特定攜帶者為遺傳因子，遺傳因子總是成對(duì)出現(xiàn)，例如，豌

豆攜帶這樣一對(duì)遺傳因子：A使之開(kāi)紅花，。使之開(kāi)白花，兩個(gè)因子的相互組合可以構(gòu)成三種不同的遺傳

性狀：A4為開(kāi)紅花，Aa和一樣不加區(qū)分為開(kāi)粉色花，aa為開(kāi)白色花，生物在繁衍后代的過(guò)程中，后

代的每一對(duì)遺傳因子都包含一個(gè)父本的遺傳因子和一個(gè)母本的遺傳因子，而因?yàn)樯臣?xì)胞是由分裂過(guò)程產(chǎn)

生的，每一個(gè)上一代的遺傳因子以工的概率傳給下一代，而且各代的遺傳過(guò)程都是相互獨(dú)立的，可以把第九

2

代的遺傳設(shè)想為第〃次試驗(yàn)的結(jié)果，每一次試驗(yàn)就如同拋一枚均勻的硬幣，比如對(duì)具有性狀A(yù)a的父本來(lái)說(shuō),

如果拋出正面就選擇因子A,如果拋出反面就選擇因子。，概率都是二，對(duì)母本也一樣，父本、母本各自

隨機(jī)選擇得到的遺傳因子再配對(duì)形成子代的遺傳性狀，假設(shè)三種遺傳性狀A(yù)4，Aa（或aA）,以在父本

和母本中以同樣的比例M：V：W（M+V+VV+1）出現(xiàn)，則在隨機(jī)雜交試驗(yàn)中，遺傳因子A被選中的概率是

VV

p=M+5,遺傳因子。被選中的概率是4=?+/,稱(chēng)0、4分別為父本和母本中遺傳因子A和。的頻率，

p:4實(shí)際上是父本和母本中兩個(gè)遺傳因子的個(gè)數(shù)之比，基于以上常識(shí)回答以下問(wèn)題：

（1）如果植物的上代父本、母本的遺傳性狀都是Aa,后代遺傳性狀為A4，Aa（或&4）,的概率分

別是多少？

（2）對(duì)某一植物，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)遺傳性狀&具有重大缺陷，可人工剔除，從而使得父本和母本中僅

有遺傳性狀為A4,Aa（或&4）的個(gè)體，在進(jìn)行第一代雜交實(shí)驗(yàn)時(shí)，假設(shè)遺傳因子A被選中的概率為〃，

。被選中的概率為4,其中0、4為定值且。+4=1,求雜交所得子代的三種遺傳性狀A(yù)4,Aa（或a4）,

aa所占的比例為,匕，嗎；

（3）繼續(xù)對(duì)（2）中的植物進(jìn)行雜交實(shí)驗(yàn)，每次雜交前都需要剔除的個(gè)體.假設(shè)得到的第九代總體中3種

遺傳性狀A(yù)4，Aa（或aA）,所占的比例分別為：un,vn,yvn（un+vn+wn=1）,設(shè)第〃代遺傳因子

uV”

Un+22k,

A和a的頻率分別為p“和外,已知有以下公式2,〃=1,2…

Pn

1-w,1-w,

（i）證明I,｝是等差數(shù)列;

（五）求樂(lè)+1，v?+1,叱山的通項(xiàng)公式，如果這種剔除某種遺傳性狀的隨機(jī)雜交實(shí)驗(yàn)長(zhǎng)期進(jìn)行下去，會(huì)有什

么現(xiàn)象發(fā)生？

【解析】

解析：（1）因?yàn)樯洗副尽⒛副镜倪z傳性狀都是Aa,故子代的遺傳性狀有：A4，Aa,aA,共4

種，故A4，Aa（或oA）,的概率分別是,，—,

424

（2）由題可得，%=p2,V[=2pq,嗎=q2；

（3）由⑵知,un+1=pl,v?+1=2pnqn,%+i=q>

.A_%+I/2_P,MPM”_縱

i+c

"]一%+i-q；(i_q0)(i+q“)in'

i?if11

則——=i+—,??/一是公差為i的等差數(shù)列：

%+i%〔外,

11乜

—=—+(〃—1),其中〃.2pqq

12

dl-w11-ql+<7

11

—二——\-n,q

%ql+nq

p+nqp(p+陽(yáng))

Pn=]_q〃=“〃+i

\+nq(1+陽(yáng))2

對(duì)于%M=，—,"越大，叫+i越小，所以這種實(shí)驗(yàn)長(zhǎng)期進(jìn)行下去，w“越來(lái)越小，而也是子代中aa

[1+”<7,

所占的比例，也即性狀a。會(huì)漸漸消失.

例4.某游戲棋盤(pán)上標(biāo)有第0、1、2、…、100站，棋子開(kāi)始位于第0站，選手拋擲均勻硬幣進(jìn)行游戲,

若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站或第100站時(shí)，游戲

結(jié)束.設(shè)游戲過(guò)程中棋子出現(xiàn)在第九站的概率為匕.

（1）當(dāng)游戲開(kāi)始時(shí)，若拋擲均勻硬幣3次后，求棋子所走站數(shù)之和X的分布列與數(shù)學(xué)期望;

(2)證明：^+1-^=-1(^-^-1)(1<?<98)；

(3)若最終棋子落在第99站，則記選手落敗，若最終棋子落在第100站，則記選手獲勝.請(qǐng)分析這個(gè)游戲

是否公平.

【解析】

(1)由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有3、4、5、6,

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

X3456

1331

P

8888

(2)依題意，當(dāng)1<〃<98時(shí)，棋子要到第("+1)站，有兩種情況：

由第力站跳1站得到，其概率為-P,,

2：

可以由第(〃-1)站跳2站得到，其概率為gP.p

所以，匕匕一「

同時(shí)減去匕得5+gp1T=_ge_/Lj(l<〃<98)；

(3)依照(2)的分析，棋子落到第99站的概率為片9=；48+；67，

由于若跳到第99站時(shí)，自動(dòng)停止游戲，故有<oo=g用8-

所以々00<69，即最終棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戲不公平.

例5.甲，乙兩人進(jìn)行拋硬幣游戲，規(guī)定：每次拋幣后，正面向上甲贏，否則乙贏.此時(shí)，兩人正在游戲，

且知甲再贏加(常數(shù)相>1)次就獲勝，而乙要再贏”(常數(shù)〃〉機(jī))次才獲勝，其中一人獲勝游戲就結(jié)束.設(shè)

再進(jìn)行J次拋幣，游戲結(jié)束.

（1）若加=2,n=3,求概率P（J=4）；

⑵若〃=加+2,求概率P（J=加+左）（左=2,3,…，加+1）的最大值（用加表示）.

（1）依題意，游戲結(jié)束時(shí)，甲、乙兩人獲勝次數(shù)之比可能是：2：2且最后一次甲勝或者1：3且最后一次

乙勝,

33

P(^=4)=C^x(i)xi+C>(l)xl=1.

/\m+k

⑵依題意，P+左)=?J+C)局1(左=2,3,…，加+1).

/[\m+k（加+左一1）!（〃z+左一1）!tn+k

設(shè)〃左窗.閨

Hcz+C（加一1）!左！（機(jī)+1）!（左一2）!\2/

加（〃1+1）+左（左一1）/[\m+k

（加+1）!左！

〃z(〃z+l)+(左+1)左/]\m+^+l

\2)?(〃:+左)!

f(k+l)_(m+l)!(Zr+l)!(m+k)"7(加+1)+(左+1)左

則

于(k)m(m+l)+^(^-l)m+k2(左+1)m(m+l)+(k-l)k

?（加+左一1）

（冽+1）!左!

（加+左）加（冽+1）+（左+1）左

而>1(*)

2（左+1）"2（加+1）+（左一1）左

ok3—(m+1)^2+(席—2^k—m(rYi1—m—2^<0

<=>（左一根）（左2一人+及一加一2）<0（#）

因?yàn)樽?—左+.—m―2=o的判別式△=「4（——加一2）<。

<^>m2-m--^-<0（顯然在m>l,mGN*時(shí)恒成立），

所以左2—左+根2—加一2>0.

又因?yàn)樯稀断?，所以?）恒成立，從而（*）成立.

所以‘1,即/（左+1）2/（左）（當(dāng)且僅當(dāng)左=小時(shí)，取“="）,

/1\4，〃于1

所以/㈤的最大值為=+1）=?7+C宵）.尚，

即產(chǎn)質(zhì)=加+左）的最大值為（c^+C/I）?收）.

例6.某產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場(chǎng)以來(lái)，生產(chǎn)企業(yè)為確保產(chǎn)品質(zhì)量，決定邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量

檢測(cè)，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)Z來(lái)衡量產(chǎn)品的質(zhì)量.當(dāng)ZN8時(shí)，產(chǎn)品為優(yōu)等品；當(dāng)6<Z<8時(shí)，產(chǎn)品為一等品;

當(dāng)2Kz<6時(shí)，產(chǎn)品為二等品.第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)在該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取500件，繪制了這500件產(chǎn)品的質(zhì)量

指標(biāo)Z的條形圖.用隨機(jī)抽取的500件產(chǎn)品作為樣本，估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量情況，并用頻率估計(jì)概

率.

6

士

季

得

)

田

筮

■

1

質(zhì)量指標(biāo)Z

（1）從該企業(yè)生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；

（2）現(xiàn)某人決定購(gòu)買(mǎi)80件該產(chǎn)品.已知每件成本1000元，購(gòu)買(mǎi)前，邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)要購(gòu)買(mǎi)的80件

產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè).買(mǎi)家、企業(yè)及第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)就檢測(cè)方案達(dá)成以下協(xié)議：從80件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件

產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)出3件或4件為優(yōu)等品，則按每件1600元購(gòu)買(mǎi)，否則按每件1500元購(gòu)買(mǎi)，每件產(chǎn)

品的檢測(cè)費(fèi)用250元由企業(yè)承擔(dān).記企業(yè)的收益為X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）商場(chǎng)為推廣此款產(chǎn)品，現(xiàn)面向意向客戶(hù)推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng).客戶(hù)可根據(jù)拋硬幣的結(jié)果，操

控機(jī)器人在方格上行進(jìn)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是二，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、……、

第50格.機(jī)器人開(kāi)始在第。格，客戶(hù)每擲一次硬幣，機(jī)器人向前移動(dòng)一次，若擲出正面，機(jī)器人向前移動(dòng)

一格（從左到左+1）,若擲出反面，機(jī)器人向前移動(dòng)兩格（從左到左+2）,直到機(jī)器人移到第49格（勝利

大本營(yíng)）或第50格（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束，若機(jī)器人停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得優(yōu)惠券.設(shè)機(jī)

器人移到第"格的概率為月（0<,<50,〃wN*）,試證明{5}（1</<49,"eN*）是等比數(shù)列，并解

釋此方案能否吸引顧客購(gòu)買(mǎi)該款產(chǎn)品.

【解析】

121+87+421

(1)根據(jù)條形圖可知，優(yōu)等品的頻率為------------=—,用頻率估計(jì)概率，則任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的

5002

概率為尸=工.

2

(2)由(1)任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為工，

2

由題意X=(1600—1000)x80—250x4=47000,或

X=(1500-1000)x80—250x4=39000

產(chǎn)(X=47000)=屐a4

(Il

P(X=39000)=C°

故X的分布列為:

X4700039000

511

p

1616

所以數(shù)學(xué)期望EX=47000X—+39000x—=41500.

1616

(3)機(jī)器人在第0格為必然事件，及=1,第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，機(jī)器人移到第1格，其概率

機(jī)器人移到第n(2<n<49)格的情況只有兩種：

①先到第7格，又出現(xiàn)反面，其概率32,

②先到第〃—1格，又出現(xiàn)正面，其概率;匕

所以匕、嘮故與一以=4優(yōu)「

所以時(shí)，數(shù)列｛弓―CT｝為首項(xiàng)片―4=—3，

公比為-工的等比數(shù)列.

2

所以『片=4'￡一”〔一1’—[J……，k加=:口'

以上各式累加，得巴—1=(—g)+1—g)+…+(—g),

(n=0,l,--,49)

2

所以獲勝概率％=耳

失敗概率月。=；巴8=；

七一々ng1—g］"Jl+'j=JLU〉°，所以獲勝概率更大，

故此方案能吸引顧客購(gòu)買(mǎi)該款產(chǎn)品.

例7.時(shí)至21世紀(jì).環(huán)境污染已經(jīng)成為世界各國(guó)面臨的一大難題，其中大氣污染是目前城市急需應(yīng)對(duì)的一項(xiàng)

課題.某市號(hào)召市民盡量減少開(kāi)車(chē)出行以綠色低碳的出行方式支持節(jié)能減排.原來(lái)天天開(kāi)車(chē)上班的王先生積

極響應(yīng)政府號(hào)召，準(zhǔn)備每天從騎自行車(chē)和開(kāi)小車(chē)兩種出行方式中隨機(jī)選擇一種方式出行.從即日起出行方式

選擇規(guī)則如下:第一天選擇騎自行車(chē)方式上班，隨后每天用“一次性?huà)仈S6枚均勻硬幣”的方法確定出行方式,

若得到的正面朝上的枚數(shù)小于4,則該天出行方式與前一天相同，否則選擇另一種出行方式.

（1）求王先生前三天騎自行車(chē)上班的天數(shù)X的分布列;

（2）由條件概率我們可以得到概率論中一個(gè)很重要公式——全概率公式.其特殊情況如下：如果事件44相

互對(duì)立并且P（A）＞0（z=l,2）,則對(duì)任一事件B有

P（B）=P（叫4）P（A）+P（叫&）P（4）=尸（48）+尸（4為.設(shè)P“（neN*）表示事件“第〃天王先生上班選

擇的是騎自行車(chē)出行方式”的概率.

①用P,i表示pn（?＞2）；

②王先生的這種選擇隨機(jī)選擇出行方式有沒(méi)有積極響應(yīng)該市政府的號(hào)召，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】

解：（1）設(shè)一把拋擲6枚均勻的硬幣得到正面向上的枚數(shù)為則&

6

年＜4）=41+《&+叱［+需］啜P（”）、仁4）4

由已知隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3；

1121231

P(X=1)=P?.4)?P(J<4)=—x—=-^―

32321024

2121441

p(X=3)=P(^<4)-P(^<4)=—x—=-——

32321024

P(X=2)=1—P(X=1)—P(X=3)=而或

21111111%2

P(X=2)=PC<4).P(理)+PC4)-P(^?4)=—x—+—x—=—,

J4J4J4A.\J

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X123

231352441

P

102410241024

(2)①設(shè)4T表示事件“第〃天王先生選擇的是騎自行車(chē)出行方式”，4表示事件“第〃天王先生選擇的

是騎自行車(chē)出行方式”，由全概率公式知P〃=P(4)=P(AJ4T)P(4T)+P(A/A二)p(A二)

=P”T.尸C<4)+(1_%JP4.4)=白p〃T+意即0=白P“T+白幾?2).

16321632

②由①知凡—又Pi=l,所以數(shù)列1p“—是首項(xiàng)為二，公比為工的等比數(shù)

216k2)I21216

列,

因?yàn)?g>g恒成立，所以王先生每天選擇騎自行車(chē)出行方式的概率始終大于選擇開(kāi)小車(chē)出

行方式，從長(zhǎng)期來(lái)看，王先生選擇騎自行車(chē)出行方式的次數(shù)多于選擇開(kāi)小車(chē)出行方式的次數(shù)是大概率事件，

所以王先生積極響應(yīng)該市政府的號(hào)召.

例8.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，記正面朝上的次數(shù)為X.

(1)求隨機(jī)變量X的分布列；

(2)若隨機(jī)變量F=2X+1，求隨機(jī)變量F均值、方差.

【解析】

隨機(jī)變量X的取值可以為0，1，2.

P(X=0)=

因此，隨機(jī)變量X的分布列為:

X012

￡]_

P

454

1119191911

（2）由（1）知EX=Ox—+lx—+2x—=1.DX=（O-l）-x-+（l-l）x-+（2-l）x-=-.

424v74v72v742

E（y）=E（2X+l）=2E（X）+l=3,

D（y）=D（2X+l）=4D（X）=2.

例9.一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.

（1）設(shè)拋擲4次的得分為X,求變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）當(dāng)游戲得分為“〃eN*）時(shí)，游戲停止，記得〃分的概率和為=g.

①求。2；

②當(dāng)“CN*時(shí)，記4=2!+|+；2,，4=2i+1—21，證明：數(shù)列｛4｝為常數(shù)列，數(shù)列｛用｝為等比數(shù)歹u.

【解析】

（1）變量X的所有可能取值為4,5,6,7,8.

每次拋擲一次硬幣，正面向上的概率為工，反面向上的概率也為工，

22

則P（X=4）=d）4=々,p（x=5）=C：x（g4=；p（x=6）=C：x（g）4=],

2162428

P（X=7）=C：><d）4=：,p（x=8）=C：><d）4=±.

24216

所以變量X的分布列為：

X45678

1j_j_1

P3

1648416

故變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=4XL+5XL+6X』+7><L+8XL=6.

1648416

(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，概率的和為2=g+(g)2=；.

②得九分分兩種情況，第一種為得2分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上,

故〃23且“eN*時(shí)，有&

則〃eN*時(shí),2+2=gQn+i+30小

所以4+1=Qn+2+TQn+1=T2+1+J+5Qn+1=Qn+1+j=4，

乙乙乙乙乙

故數(shù)列｛A,｝為常數(shù)列；

又Bn+l=2+2—Q“+i=-Q“+i+-2?-Qll+iQ,l+i+；=—；(Qn+「Qn)=-；B“,

乙乙乙乙乙乙

311

用=2-Qi=w-5=Z，所以數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列.

例10.某項(xiàng)比賽中甲、乙兩名選手將要進(jìn)行決賽，比賽實(shí)行五局三勝制.已知每局比賽中必決出勝負(fù)，若甲

先發(fā)球，其獲勝的概率為二，否則其獲勝的概率為

23

(1)若在第一局比賽中采用擲硬幣的方式?jīng)Q定誰(shuí)先發(fā)球，試求甲在此局獲勝的概率；

(2)若第一局由乙先發(fā)球，以后每局由負(fù)方發(fā)球規(guī)定勝一局得3分，負(fù)一局得0分，記X為比賽結(jié)束時(shí)甲

的總得分，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解析】

(1)若甲獲得發(fā)球權(quán)，則獲勝的概率為=如果甲沒(méi)有發(fā)球權(quán)，

224

則獲勝的概率為!義工=9,所以甲獲勝的概率為3+，=工.

2364612

(2)比賽結(jié)束時(shí)甲的總得分X的可能取值為0,3,6,9.

X=0時(shí)，比賽的結(jié)果為：“乙乙乙”，；.p(X=0)=2」［=」

3226

X=3時(shí)，比賽的結(jié)果為：“甲乙乙乙”，“乙甲乙乙”，"乙乙甲乙”，

..VQ、1211212121125

33223232322318

X=6時(shí)，比賽的結(jié)果為：“甲甲乙乙乙“，“甲乙甲乙乙”，“甲乙乙甲乙“，“乙甲甲乙乙”，

乙甲乙甲乙”“乙乙甲甲乙”,

212122111213

一.一.------1-------,—,——?——,——=---------.

323233223354

151317

X=9,.?.p(X=9)=l---------------=—

6185454

X的分布列為

X0369

151317

P

6185454

15131746

E(X)=0--+3?——+6?—+9?—

6185454~9

例11.有一種叫“對(duì)對(duì)碰”的游戲，游戲規(guī)則如下：一輪比賽中，甲乙兩人依次輪流拋一枚質(zhì)地均勻的硬

幣，甲先拋，每人拋3次，得分規(guī)則如下：甲第一次拋得x(xeN+)分，再由乙第一次拋，若出現(xiàn)朝上的

情況與甲第一次拋的朝上的情況一樣，則本次得2分，否則得1分；再甲第二次拋，若出現(xiàn)朝上的情況與乙

第一次拋的朝上的情況一樣，則本次得分是乙第一次得分的基礎(chǔ)上加1分，否則得1分；再乙第二次拋，若

出現(xiàn)朝上的情況與甲第二次拋的朝上的情況一樣，則本次得分是甲第二次得分的基礎(chǔ)上加1分，否則得1

分；按此規(guī)則，直到游戲結(jié)束.記甲乙累計(jì)得分分別為

(1)一輪游戲后，求〃〉3的概率；

171171

(2)一輪游戲后，經(jīng)計(jì)算得乙的數(shù)學(xué)期望石〃=五，要使得甲的數(shù)學(xué)期望立，求》的最小值.

【解析】

拋硬幣出現(xiàn)正面朝上，反面朝上的概率均為二，

2

(1)由游戲規(guī)則可知：723且每次拋幣得分為1分的概率均為:，

(2)記自(/=1,2,3)分別表示甲乙第i次拋幣的得分,

由題意，甲第一次得分為X,

甲第二次得分分布列：

123

J_￡￡

P

244

甲第三次得分分布列:

12345

￡￡11

P

5481616

砥=衛(wèi)

316

73117153

AE^E^+E^+EL=X+-+—>—,：.X>—,???xeN+，的最小值為2

234163232

法—-：J可能取值為x+2,x+3,尤+4,犬+6,x+7,%+8

J的分布列為

x+2x+3x+4x+5x+6x+7x+8

￡￡￡511

P

4448643264

廣匕59171.53

/Sc—XH------>-------,..X>-----,

163232

???)￡乂，，力的最小值為2