軌跡、路徑類綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）

選擇題

I.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長，寬，高分別為100c%,：15c加和IOCVM,/和8是這個臺階的兩

個相對的端點，/點上有一只螞蟻想到3點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度為（）

A.115cmB.125cmC.135cmD.145cm

【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計算42,則根據(jù)兩點之間線段最

短得到螞蟻所走的最短路線長度.

【解答】解：展開圖為：

則NC=100c加，5C=15X3+10X3=75cm,

在RtZUBC中，=yjAC2+BC2=125cm.

所以螞蟻所走的最短路線長度為125cm.

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問題是解題的關(guān)

鍵.

2.如圖，一個底面圓周長為24%,高為5〃?的圓柱體，一只螞蟻沿側(cè)表面從點/到點2所經(jīng)過的最短路線

長為（）

<______>3

A.12mB.15mC.13mD.9.13m

【分析】將圓柱的側(cè)面展開，得到一個長方形，再利用兩點之間線段最短解答.

【解答】解：將圓柱體的側(cè)面展開，連接/瓦如圖所示：

由于圓柱體的底面周長為24m,

1

則NO=24X]=12m.

又因為NC=5"?,

所以AB—V122+52=13m.

即螞蟻沿表面從點A到點B所經(jīng)過的最短路線長為13m.

故選：C.

AD

【點評】本題考查了平面展開-最短路徑問題，解決此類問題，一般方法是先根據(jù)題意把立體圖形展開

成平面圖形，再確定兩點之間的最短路徑.通常情況是根據(jù)兩點之間，線段最短的性質(zhì).本題將圓柱的

側(cè)面展開，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.正方體盒子的棱長為2,2c的中點為"，一只螞蟻從/點爬行到M點的最短距離為()

A.V13B.V17C.5D.2+V5

【分析】把此正方體的點M所在的面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點/和點/間的線段長，

即可得到螞蟻爬行的最短距離.在直角三角形中，一條直角邊長等于2長，另一條直角邊長等于3,利

用勾股定理可求得.

【解答】解：展開正方體的點M所在的面，

的中點為初，

1

所以MC=58C=1,

在直角三角形中/M=j22+(1+2)2=V13.

故選：A.

【點評】本題考查了勾股定理的拓展應(yīng)用.“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關(guān)

鍵.

4.底面周長為12,高為8的圓柱體上有一只小螞蟻要從N點爬到B點，則螞蟻爬行的最短距離是（）

'口

A.10B.8C.5D.4

【分析】將圓柱的側(cè)面展開，得到一個長方體，再然后利用兩點之間線段最短解答.

【解答】解：如圖所示：

由于圓柱體的底面周長為12an,

1

則BC=nx-=6cm.

又因為NC=8C/M,

所以AB=V62+82=10cm.

故螞蟻從點/出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是10cm.

故選：A.

【點評】此題趣味性強，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，將圓柱的側(cè)面展開，構(gòu)造出直角三角形是解題

的關(guān)鍵.

5.如圖，8c是的直徑，BC=4近,M、N是半圓上不與8、C重合的兩點，且NMON=120°,AABC

的內(nèi)心為￡點，當(dāng)點N在曲上從點M運動到點N時，點￡運動的路徑長是（）

27r47187116n

A-Tc-D.

【分析】如圖，連接BE、CE,由NA4C=90°，E是內(nèi)心，推出NB￡C=135°，推出點E在以尸為圓

心的PC為半徑的圓上運動（軌跡是GH）,求出尸G,NGP”即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接8E、CE,

VZBAC=90°,￡是內(nèi)心，

...N2EC=135°,

...點￡在以P為圓心的尸C為半徑的圓上運動（軌跡是儕1）,在。P上取一點〃'，連接BAT、CM',

則=180°-135°=45°,ZBPC=2ZM'=90°,

△8CP是等腰直角三角形，

V5C=4V2,

:.PB=PC=4,

11

ZHPC=2ZHBC=ZNBC=~ZNOC,同理/GPB=~Z.MOB,

1

AZHPC+ZGPB=~（ZNOC+ZMOB）=30°,

：.ZGPH=6Q°,

607T-44

；?點E運動的路徑長是me=7Tt,

loUD

故選：B.

【點評】本題考查三角形的內(nèi)心、三角形的外接圓與外心等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點￡的運動軌

跡，學(xué)會添加輔助圓解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

6.如圖，在矩形48co中，AB=?BC=l,把矩形/BCD繞點/順時針旋轉(zhuǎn)30°得到矩形/5C

D',其中點C的運動路徑為CC',則圖中陰影部分的面積為（)

B

。追-D空-逼

工A33B32C3233

【分析】如圖連接，首先證明4、4、C共線.根據(jù)S陰=S扇形NC。-C,計算即可.

【解答】解：連接力。，

在矩形N8C。中，VZ5=90°,AB=W，BC=\,

BCV3

：.tanZBAC^—^—,

：.ZBAC=30°,

;旋轉(zhuǎn)角為30°,

：.A,夕、C共線.

：.AC=7AB2+BC2=V3T7=2,

.；S陰=S扇形ice，_SUB，C>

30°X7TX4V3X1_ZEV3

??”=360°——~=3~T'

故選：B.

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)，扇形的面積的計算等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識

解決問題，學(xué)會利用分割法求陰影部分面積.

7.如圖，是。。的直徑，C是弧上的三等分點，E、尸是弧N5上的動點，ZEOF=6Q°,線段/￡、

2尸相交于點。，M是線段2。的中點.當(dāng)點￡從點2運動到點。時，則”、E兩點的運動路徑長的比

是（)

DE

AV3V2TT7

AB.------D.叵

-T88

【分析】先求出點河的運動軌跡，再分別求出點E,點河的運動路徑長，即可求解.

【解答】解：設(shè)。。的半徑是小

???點E從點5運動到點C,

120°X7rxr2nr

???點E的運動路徑長為

180°3

VZEOF=60°,

AZAOF+ZBOE=i20°,

AZEAB+ZABF=60°，

：.ZADB=nO°,

如圖，作△45。的外接圓圓連接。“，AH,BH,OH,取8”中點G,連接OG,MG,

VZADB=120°,

AZAHB=2X(180°-/ADB)=2(180°-120°)=120°，

?:AH=BH,AO^BO.

：.OH.LAB,/HBO=30°,

OB

=<.BHW

,OH-33

??,〃是中點，G是中點,

1V3

:?MG=~DH=-r,

乙3

???點M在以點G為圓心，MG為半徑的圓上，

??,點E從點B運動到點C,

點D從點B運動到點4,

???點M從點5運動到點。，

?：NBOH=90°,GH=BG,

：.OG=BG=GH,

：.ZOBH=ZGOB=30°,

AZBGO=120°,

點M的運動路徑長為I2。。*兀x.r=竽他，

18009

:.M、E兩點的運動路徑長的比=亨，

故選：C.

【點評】本題考查了軌跡，圓的有關(guān)知識，弧長公式，確定點河的運動軌跡是本題的關(guān)鍵.

8.如圖，矩形4BCD中，48=3,40=4,點E在邊4D上，且/E：ED=1：3.動點P從點”出發(fā)，沿

N8運動到點8停止.過點￡作￡尸，尸￡交射線8c于點尸，設(shè)M是線段E廠的中點，則在點尸運動的整

個過程中，點/運動路線的長為（）

A.3B.4C.-D.5

【分析】如圖，當(dāng)P與N重合時，點尸與K重合，此時點河在，處，當(dāng)點尸與8重合時，點尸與G重

合，點河在N處，點M的運動軌跡是線段求出KG的長即可解決問題.

BK

當(dāng)2與4重合時，點廠與K重合，此時點M在H處，當(dāng)點尸與8重合時，點廠與G重合，點M在N

處，點”的運動軌跡是線段

AE：ED=1：3,

：.AE=\,DE=3,

在RtZXZEB中，AE=\,AB=3,

:.BE=7AE2+z#=VTT^=VTo,

,:AD〃BC,

：./AEB=/EBG,

又?：NA=/BEG=90°,

AAEBsAEBG,

.BEAE

??麗=靛’

3邈產(chǎn)=10,

1

*：BK=AE=\,

:?KG=BG-BK=9,

19

.\HN=~^KG=~,

9

二點初的運動路徑的長為

故選：C.

【點評】本題考查軌跡，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確

尋找點M的運動軌跡，學(xué)會利用起始位置和終止位置尋找軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題.

—.填空題

9.如圖，圓錐的軸截面是邊長為6c加的正三角形/3C,P是母線/C的中點.則在圓錐的側(cè)面上從2點到

尸點的最短路線的長為_3V5_.

【分析】求出圓錐底面圓的周長，則以N3為一邊，將圓錐展開，就得到一個以/為圓心，以為半徑

的扇形，根據(jù)弧長公式求出展開后扇形的圓心角，求出展開后NR4C=90°,連接8P,根據(jù)勾股定理求

出3尸即可.

【解答】解：圓錐底面是以8c為直徑的圓，圓的周長是8Cir=6n,

以4B為一邊,將圓錐展開，就得到一個以4為圓心，以N3為半徑的扇形，弧長是/=6m

TZTTX6

設(shè)展開后的圓心角是,則二口八.=6ir,

loU

解得：H=180,

1

即展開后/B4C=5X180°=90°,

1

AP=~AC—3,AB—6,

則在圓錐的側(cè)面上從B點到尸點的最短路線的長就是展開后線段BP的長，

2

由勾股定理得：BP=VXB2+Api=V62+3=3V5,

故答案為：3事）.

【點評】本題考查了圓錐的計算，平面展開-最短路線問題，勾股定理，弧長公式等知識點的應(yīng)用，圓

錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.本題就

是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決.

10.如圖，一個圓柱形水杯深20cm,杯口周長為36c〃?，在杯子外側(cè)底面/點有一只螞蟻，它想吃到杯子

相對的內(nèi)壁上點8處的蜂蜜，已知點8距離杯子口4°加，不考慮杯子的厚度，螞蟻爬行的最短距離為

30c冽

.B

【分析】將杯子側(cè)面展開，建立8關(guān)于E尸的對稱點皮，根據(jù)兩點之間線段最短可知夕/的長度即為

所求.

【解答】解：如圖:

將杯子側(cè)面展開，作5關(guān)于跖的對稱點夕

連接3'A,則4/即為最短距離，B'A=7AC2+B'C2=>242+182=30c加.

故答案為：30cm.

【點評】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計

算是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，圓柱形容器高為18cro,底面周長為24CTW,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點2處有一滴蜂蜜，此時一

只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點/處，則螞蟻從外壁/處到達內(nèi)壁B處的最短距離

【分析】將杯子側(cè)面展開，作/關(guān)于E尸的對稱點H,根據(jù)兩點之間線段最短可知H8的長度即為所

求.

【解答】解：如圖，將杯子側(cè)面展開，作/關(guān)于跖的對稱點H,

連接卬B,則卬3即為最短距離，

在直角中，由勾股定理得

A'B=y/A'D2+DB2=V122+162=20(cm).

【點評】本題考查了平面展開-最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是

解題的關(guān)鍵.同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

12.如圖，在菱形N5CD中，//=120°,AB=2,點￡是48邊上的動點，過點3作直線CK的垂線，垂

足為尸，當(dāng)點￡從點/運動到點8時，點尸的運動路徑長為

【分析】因為/CEB=90°,推出點尸的運動軌跡是以2C為直徑的，圓弧BAf,求出圓心角N30M即

可解決問題.

【解答】解：如圖，取8c的中點。，連接NC,BD交于點、M,連接(W.

?..四邊形/BCD是菱形,

J.ACLBD,N/8C=180°-/BAD=60°,AM=CM,

當(dāng)點￡與/重合時，點尸與NC中點M重合，

"：ZCFB=90°,

點廠的運動軌跡是以2C為直徑的，圓弧

:點。是3c中點，AM=CM,

；.3O=OM=1,OM//AB,

：.ZBOM=nO°,

2

故答案為鏟.

【點評】本題考查軌跡，菱形的性質(zhì)，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會準確尋找點的運動軌跡，所

以中考?？碱}型.

13.在平面直角坐標(biāo)系中，A(-2,0)、B(4,0),如圖C在x軸上，BC=2,。從。向C運動，以/0、

2。為邊作等邊△/E0、等邊△EB0.連接斯，點尸為￡尸中點，則P點運動的路徑長為1.

【分析】如圖所示，延長BF交于點、H,則為等邊三角形，再由三角形NE0與三角形BG尸

為等邊三角形，得到兩對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到K0與平行，EQ與BH平行,

進而確定出四邊形尸，為平行四邊形，根據(jù)尸為所的中點，得到P為的中點，隨著點0從。點

向。點運動，點P也由尸1運動到P2,利用中位線定理求出P點運動的路徑長即可.

【解答】解：如圖所示，延長ZE,BF交于點、H,則■為等邊三角形，

LAEQ與△2F0都為等邊三角形，

AZEAQ=ZFQB=60°,ZAQE=ZQBF=60°,

：.FQ//AH,EQ//BH,

...四邊形EQFH為平行四邊形，

?尸為EF的中點，

尸為，0中點，

'：A(-2,0),B(4,0),BC=2,

：.OC=2,

隨著點。從。點向C點運動，點P也由Pl運動到22，

1

：.PiP2=-OC=\,

即P運動的路徑為1.

故答案為：1.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，中位線定理，熟練掌

握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，△48C是邊長為4的等邊三角形△A8C,將繞邊48的中點。逆時針旋轉(zhuǎn)60°,點C的運動路

徑為C?,則圖中陰影部分的面積為，s二百.

A'

aB'C

【分析】如圖，連接OC,OC,設(shè)NC于。。交點為。，由等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求。。=

OC=2V3,ZCOC=60°,由三角形內(nèi)角和定理可求/NZ）O=90°,由面積的和差關(guān)系可求解.

【解答】解：如圖，連接OC,OC,設(shè)/C與。。交點為。，

A4BC是邊長為2的等邊三角形，

:.NB=NBAC=60°,AB=BC=4,

丁點。是N2的中點，

1

：.AO=~AB=2,OCLAB,

；./BOC=N4OC=90°,

：.OC=BC-sin600=2展，

將△ZBC繞邊48的中點。逆時針旋轉(zhuǎn)60°,

二。。=0。=2打，/。。。=60。,

：.ZAOC^ZAOC-ZCOC=30D,

：.ZADO=1SO°-ZAOC-ZBAC=90°,

AD=AO9sin30°=1,

2

.60°X7TX（2V3）1廠1「r-

??S陰影=Szuoc+S扇形coc-S^AOC=^77^+7x2近x1x2X2V3=2n—V3，

DOU乙乙

故答案為：2n—

【點評】本題考查了軌跡，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積公式，求出的長是本題的

關(guān)鍵.

15.如圖，有一條長度為1的線段其端點E、尸分別在邊長為3的正方形N3CD的四邊上滑動.當(dāng)EF

繞著正方形的四邊滑動一周時，跖的中點M形成的路徑所圍成的圖形面積是」二不一.

11

【分析】先分析點￡在N8上，點廠在3C上的情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到8M=萬￡/=5,根據(jù)

圓的面積公式、正方形的面積公式計算即可.

【解答】解：當(dāng)點￡在上，點尸在5c上時，連接的心

在Rt/XEBF中，NB=90°，點河是小的中點，

11

：.BM=~EF=~,

1

.,.點M的軌跡是以3為圓心、以萬為半徑的圓弧，

11cl

圓面的面積=ZXTtX(―)2=y^Tt,

當(dāng)E、尸在同一條邊上時，點M也在這條邊上，

C11

的中點”形成的路徑所圍成的圖形面積=32—正TTX4=9—不，

【點評】本題考查的是點的軌跡、正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意正確表示出跖的中點M

形成的路徑軌跡是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在中，AC=4,8C=2,點M為/C的中點.將△48C繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△

DEF,其中點8的運動路徑為曲，則圖中陰影部分的面積為2冗-3.

【分析】連接氏飲、EN,由題意可知4BME=90°,BC=CM=2,BM=&BC=2例,DFLAC,可求

90XTT（，2V2'）211

MN為ADEF的中位線，則有S陰影=S扇形-S^F.MN-S^BMH=TTT5x2x2——xlx2=2it-

360ZZ

3.

【解答】解：連接8"、EN,由題意可知/AWE=90°,BC=CM=2,BM=y[2BC=2-^2,DFLAC,

：.MN//EF,〃r為OF的中點,

MV為△。斯的中位線，

11

：.MN=~EF=1,MF=~DF=2,

S陰影=S序形-SAEMN-SABMH=777—x2x2——xlx2=2n-3.

【點評】本題考查扇形的面積，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；熟練掌握扇形的面積公式和三角形面積公式是解題的關(guān)

鍵.

三.解答題

17.如圖，把Rt4/BC的斜邊放在直線/上，按順時針方向在1上轉(zhuǎn)動兩次，使它轉(zhuǎn)到△/"2"C"的

位置，若2C=1,AC=43,則當(dāng)點/轉(zhuǎn)動到點/"的位置時，求點/兩次轉(zhuǎn)動所經(jīng)過的路程.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和弧長公式即可求出點“兩次轉(zhuǎn)動所經(jīng)過的路程.

【解答】解：'：BC=1,AC=<3,

AC「

/.tanZABC==v3,

DC

：.ZABC=60°,

.\ZC45=30°,

；.4B=2BC=2,

點A兩次轉(zhuǎn)動所經(jīng)過的路程為：

120X7TX290X7TXV3

180+-180―

4兀V37T

3十2?

答：點/兩次轉(zhuǎn)動所經(jīng)過的路程為h47T+wApi.jr

JZ

【點評】本題考查了軌跡、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

18.一塊等邊三角形木塊，邊長為1,如圖所示，現(xiàn)將三角形木塊沿水平線翻滾五次，那么點8從開始至結(jié)

束所走過的路徑長是多少？

【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)及弧長公式求出點8繞點C、點/、點C旋轉(zhuǎn)的三段弧長相加即可.

【解答】解：???點3所經(jīng)過的這三段弧所在圓的半徑為1,所對圓心角均為120度

120

，點B所經(jīng)過的路線長為3**嚴乂1=2TT.

n

【點評】本題主要考查了正三角形的性質(zhì)及弧長公式/=訴口.熟記弧長的公式是解題的關(guān)鍵.

loU

19.如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中4S=18cm,BC=ncm,5F=10c〃?，點四在棱48上，且

點N是尸G的中點，一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點M爬行到點N,它需要爬行的最

短路程是多少？

Oc

【分析】利用平面展開圖有兩種情況,畫出圖形利用勾股定理求出的長即可.

【解答】解：如圖1,

AB—lScm,BC—GF—12cm,BF—10cm,

.*.W=18-6=12,8N=10+6=16,

MN—V122+162=20(cm)；

如圖2,

"."AB=IScm,BC=GF=12cm,BF=l0cm,

：.PM=1S-6+6=18,7Vp=10,

MN—V182+102=2v106(cm).

如圖3中，

圖3

MN-V222+62=2V130Cem),

V20<2VT06<2VT30,

.?.螞蟻沿長方體表面爬到米粒處的最短距離為20c"?.

圖1

【點評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，利用展開圖有兩種情況分析得

出是解題關(guān)鍵.

16

20.如圖所示，有一個圓柱，底面圓的直徑48=—,高BC=12cm,在2c的中點尸處有一塊蜂蜜，聰明

n

的螞蟻總能找到距離食物的最短路徑，求螞蟻從/點爬到P點的最短距離.

【分析】化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，得到兩點的位置，再根據(jù)兩點之間線段最短和勾股定理求解即

可.

【解答】解：將圓柱體的側(cè)面展開，如圖所示：

C

m

I---i-----

4B

11161

底面周長=5xnx蔡=8(cm),AP=~BC=6(cm),

所以AP=，82+62=10(cm),

故螞蟻從/點爬到P點的最短距離為10cm.

【點評】本題考查最短距離問題，化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，利用兩點之間線段最短和勾股定理是常

用求解方法.

21.問題探究：

(1)如圖①，已知等邊△4BC,邊長為4,則△N2C的外接圓的半徑長為_|\月_.

(2)如圖②，在矩形/BCD中，48=4,對角線AD與邊3c的夾角為30°,點E在為邊2C上且8￡=

1

了C,點尸是對角線5D上的一個動點，連接PE,PC,求△PEC周長的最小值.

問題解決：

(3)為了迎接新年的到來，西安城墻舉辦了迎新年大型燈光秀表演.其中一個鐳射燈距城墻30米，鐳

射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60。，如圖③，若將兩根光線(AB,AC)和光線與城墻的兩交點的連

接的線段(BC)看作一個三角形，記為34BC,那么該三角形周長有沒有最小值？若有，求出最小值,

角定理求出NO=NC=60°,解直角三角形求出即可.

(2)△尸EC周長的最小實質(zhì)是PE+PC,轉(zhuǎn)化為將軍飲馬模型求出尸點，然后利用勾股定理即可求出。

C即可解答，

(3)先由定角定高可知2c的最小值為三角形是等腰三角形N3=ZC時，8c最小，而求N8+/C,可以

先將A點沿3c方向平移BC,構(gòu)造平行四邊形將AB轉(zhuǎn)化為長，則AB+AC最小轉(zhuǎn)化為AC+CD最小，

作N點對稱點H,連接D,與交點與C重合，此時8C、NB+4C同時取最小值，即可知三角形

周長有沒有最小值.

【解答】解：(1)如圖，作三角形外接圓OO,作直徑/O,連接8。，

\,等邊△45C內(nèi)接于O。，40為直徑,

.\ZC=60°=Z￡>,ZABD=90°,

ABV3

VsinZjD=^=

2AB28V3

???OO的半徑是”.

4Vs

故答案為：§

(2)如圖2,作點E關(guān)于AD的對稱點E',連接皮C交BD于P,連接尸E,此時△PEC周長周長最

小.

連接,過￡'作E'HLBC,

VZD5C=30°,AB=CD=4,

."C=4禽，

1

又■:BE-BC.

4

:.BE=W

.點￡'是關(guān)于2。的對稱點E

:./E'277=60°,BE1=BE=V3,

V3,3

=E'H=~,

乙乙

7一

：.HC=~y/3,

：.E'C=y/E'H2+HC2=J(|)2+(|V3)2=V39

"?APEC周長=PC+PE+EC=PE'+EC=V39+3V3

(3)如圖3,VZBAC=60°,4H=30米,

.?.當(dāng)N8=/C時，邊3c取最小值，

此時2。=/。=20a，

作口/BCD,作/點關(guān)于直線8C的對稱點,連接HD,AB+AC^CD+A'C,

當(dāng)⑷，C,。在一條直線上時，/8+/C最小，

此時，Zk/BC應(yīng)為等邊三角形，N3+/C=40禽

'：AB+AC^\BC的最小值能夠同時取到，

故△NBC的周長最小值為60V3.

【點評】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，熟知

兩點之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點/、B、C的坐標(biāo)分別是(0,禽)、(V3+1,1)、(1,0