貴州省黔南布依族苗族自治州2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合N=尤-3)=0},則務4=()

A.{1,3}B.{2,4,5,6,7}C.{1,3,5,7}D.{2,4,6}

2.已知向量a=(-1,4),1=(3,x).若￡_1_幾貝!Jx=()

33

A.—12B.—C.—D.12

44

3.樣本數(shù)據：11,12,15,13,17,18,16,22,36,30的第70百分位數(shù)是()

A.16B.19C.20D.22

4.曲線=在點(1,/⑴)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為()

A.YB.1C.jD.e

5.若M為圓(無+1)2+j?=2上的動點，則點M到直線尤+夕-3=0的距離的最小值為()

A.72B.3-V2C.141D.

6.若cos(a+烏)=3,貝ljcos(2a-§=()

353

247「724

A.-----B.-----C.—D.

25252525

二、未知

7.三次函數(shù)/■(x)=a/+6d+cx+d的圖象如圖所示.下列說法正確的是()

C.a〉0,b<0fc<0,d<0D.a〉0,b>0,c<0,d<0

試卷第1頁，共4頁

三、單選題

8.通常用24小時內降水在平地上的積水厚度（單位：mm）來判斷降雨量的大小，如下表:

降雨等級小雨中雨大雨暴雨大暴雨特大暴雨

積水厚度（mm）（0,10）[10,25)[25,50)[50,100)[100,250)[250,+<%>)

某同學用如圖所示的圓臺形容器接了24小時雨水，則這24小時內降雨的等級是（）

A.中雨B.大雨C.暴雨D.大暴雨

四、多選題

9.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,，等比數(shù)列也｝的前〃項和為北.下列說法正確的是（）

A.數(shù)列｛2｝為等差數(shù)列

B.若星=2,久=12,則S4=7

n

C.數(shù)列｛?。秊榈缺葦?shù)列D.若"=9想則數(shù)列低｝的公比為2

10.函數(shù)/(X)=Zsin(G%+°)/>0,閘的部分圖象如圖所示.下列說法正確的是（）

上

6：

771371

函數(shù)（）在區(qū)間上單調

A.y=fx7'萬

B.函數(shù)y=/（%）在區(qū)間（1,2兀）上有兩個極值點

試卷第2頁，共4頁

C.函數(shù)y=n>)的圖象關于點[工,oj中心對稱

7117兀

D.函數(shù)y=f(x)的圖象與直線了=1在區(qū)間上有兩個公共點

11.已知拋物線C:/=4y的焦點為歹，過點尸的直線/與拋物線C交于A,8兩點.若拋物

線C在點A,B處的切線的斜率分別為占，k2,且拋物線C的準線與歹軸交于點N,則下

列說法正確的是()

A.以目的最小值為4

B.若|AB|=4,則附_LA?

C.若左+心=4,則直線N8的方程為尤->+1=0

D.直線/N的傾斜角a的最小值為工

4

五、填空題

12.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z(l-i)=l+i,貝!]]=.

13.的展開式中，常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)

14.已知集合4="次為不超過上的正整數(shù)｝,左eN*.若％e4，￡>*=60,貝"的最大

k=l

值與最小值之和為.

六、解答題

15.已知V/3C的三個內角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,且s%/+mcos/=0,

。=7,6=3.

⑴求A和c；

(2)已知點。在線段上，且/。平分/B4C,求的長.

16.已知函數(shù)/(x)=ae*-x+l(aeR).

⑴討論函數(shù)〃x)的單調性；

(2)若當。>0時，函數(shù)/(無)有兩個不同的零點，求實數(shù)。的取值范圍.

17.如圖，四棱錐P-/BCD的底面4BCZ)為平行四邊形，P/_L底面4BCD,^)ABD=90°.

試卷第3頁，共4頁

\

4IA--------X>J)

________2\

H____________C

⑴求證：平面尸45_L平面尸AD；

(2)若PA=AB=BD,求平面PBD與平面PDC的夾角的余弦值.

22

18.已知橢圓C:j+2=l(a>b>0)的左、右焦點分別為不(-6,0),g(G,0),且橢圓C經

ab

過點D(瓜5.過點7(/,0)(：>2)且斜率不為0的直線交橢圓C于A,3兩點，過點A和"(1,0)

的直線AM與橢圓C的另一個交點為N.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若直線3N的傾斜角為90。，求t的值.

19.若無窮正項數(shù)列｛%｝同時滿足下列兩個性質：①｛4｝為單調數(shù)列；②存在實數(shù)4>0,

對任意〃eN*都有%<4成立，則稱數(shù)列｛a,,｝具有性質T.

⑴若.“=2〃+1,或=(；)",判斷數(shù)列｛%｝,也｝是否具有性質T,并說明理由；

⑵已知離散型隨機變量X服從二項分布3(〃,p),“eN*,pe(0,g),記X為奇數(shù)的概率為

P..

(i)當。時，求巴；

(ii)求e，并證明數(shù)列｛匕｝具有性質T.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號123456891011

答案BCCAACAACDBDABD

1.B

【分析】用列舉法表示集合A,再利用補集的定義求出結果.

【詳解】依題意，4={1,3］所以令/={2,4,5,6,7}.

故選：B

2.C

【分析】根據給定條件，利用向量垂直的坐標表示列式計算得解.

【詳解】向量。=(一1,4),5=(3,x),由"_1_幾得￡石=-3+4x=0，所以x=；.

故選:C

3.C

【分析】利用百分位數(shù)的定義進行求解.

【詳解】共有10個數(shù)，10x70%=7,故從小到大排列，選擇第7個數(shù)和第8個數(shù)的平均數(shù)

作為第70百分位數(shù)，即20為第70百分位數(shù).

故選：C.

4.A

【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，進而求出三角形面積.

【詳解】由/(》)=山》，求導得】(x)=L則八1)=1,而"1)=0,

X

因此曲線/(x)=lnx在點。，/⑴)處的切線為>-0=工-1,該切線交x于點(1,0),交V軸于點

(0,-1),

所以該切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積5=!'卜1=!.

22

故選：A

5.A

【分析】求出圓心到直線的距離，再利用圓的性質求出最小值.

【詳解】圓。+仔+/=2的圓心C(-l,0),半徑/=也,

點C(-l,0)到直線x+y-3=0的距離d=-方=2收＞0

即直線％+>-3=0與圓(x+l)2+)2=2相離，又點M在該圓上,

答案第1頁，共10頁

所以點M到直線x+V-3=0的距離的最小值為d—尸=也.

故選：A

6.C

【分析】利用誘導公式及二倍角的余弦公式計算得解.

【詳解】由cos(aH—)=—，得cos[((7——)H—]=—,即一sin(a)=—,解得sin?)=—,

356256565

所以cos(2a-y)=cos2(a-^-)=1-2sin2(tr-^-)=1-2x(-^-)2=±.

故選：C

7.D

【分析】求出函數(shù)/(%)的導數(shù)，結合函數(shù)的圖象特征確定各項系數(shù)的正負.

【詳解】函數(shù)/(X)=+/2+cx+d,求導得=3辦2+2bx+c,

觀察函數(shù)圖象，得函數(shù)/⑸有異號兩個極值點看/2,且再<-2<0</<2,

函數(shù)/(X)在y,Xi),(x2，+°°)上單調遞增，在(石/2)上單調遞減，d=/(0)<0,排除A；

[f,(-2)=12a-4b+c<0,,

由—2￡(占,馬),26(%,+8),得則八，86=八2)—/'(—2)〉0,得6〉0,

[/(2)=12a+4b+c>0

排除C；

由不等式3辦2+2fox+c>0的解集為(一8,%)U(%2，+8),得3〃>0,即。>0,排除B；

又為戶2是方程3ax?+26x+c=0的二根，尤/,=三<0,貝！Jc<0,選項D符合題意.

故選：D

8.A

【分析】利用圓臺的體積公式得到容器內的雨水體積，然后求降雨厚度判斷降雨等級即可.

【詳解】作圓臺的軸截面如圖，

答案第2頁，共10頁

=200mm,CD=40mm,EF="+200=120mm,

520000K

-----------mm3,

3

故選：A.

9.ACD

【分析】利用等差數(shù)列前〃項和公式，結合定義判斷A；利用等差數(shù)列片斷和性質計算判斷

B；利用等比數(shù)列定義及前〃項和計算判斷CD.

【詳解】對于A,令等差數(shù)列｛4｝公差為d,則邑=叫+硬工=%+?4,

2n2

辿-2=-=g為常數(shù)，數(shù)列｛區(qū)｝為等差數(shù)列，A正確;

〃+1n222n

對于B，等差數(shù)列｛叫中，§2,見一星,5-S,成等差數(shù)列，則2⑸-2）=2+12-,解得$4=6,

B錯誤；

1

對于C,令等比數(shù)列也｝的公比為4,則6,=%q"T,號=｝=工為常數(shù),數(shù)列｛'｝為等

比數(shù)列，C正確；

對于D,等比數(shù)列也｝的公比為4,由北=9乙，得4+%+/+為+%+%>=9（%+出+。3），

則q、％+%+%）=8（。］+%+%），而為+&+%=%（1+q+q°，解得4=2,D正確.

故選：ACD

10.BD

【分析】根據圖象得至IJ〃x）=2si“2x-￡|,然后代入的方法判斷ABC選項，將的圖

象與直線v=1的交點個數(shù)轉化為方程/'（x）=1的根的個數(shù)，然后解方程判斷D選項.

【詳解】由圖象可知，最小正周期7=、2=兀=@,

3\6）co

答案第3頁，共10頁

所以0=2,

4sin

卜21弋入/(x)中得,

)

'4sin=-2

A=2

結合同<3，解得兀，

29=——

所以/(尤)=2sin12x-J

i-n

貝！|2x-%e因為y=2sinx在上不單調,

故A錯;

x/乂,2n…-n

貝！|2式一片

I6

因為y=2sinx在［*，￥］］］，書上單調遞增，在上單調遞減，

所以/'3在傳號］］牛,20上單調遞增，在序簾上單調遞減，

所以〃x)在［工,2口1有兩個極值點，故B正確；

lln2.詈-,2s吟=一2,所以(芥,0)不是“X)的對稱中心,故C錯;

2sin'

I兀|jrjr

令f(x)=2sin2x—=1,解得x=—+kii,k=—+kn,keZ,

因為xe［，粵，所以尤=?或所以/(x)的圖象與直線y=l在］獸上有兩個公

_z12J62212_

共點，故D正確.

故選：BD.

11.ABD

【分析】求出拋物線的焦點坐標及準線方程，設出直線/的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，借

助韋達定理求出關系式，利用拋物線定義結合基本不等式求解判斷AB；利用導數(shù)求出切線

斜率求解判斷C；求出直線/N的斜率范圍判斷D.

【詳解】拋物線C:/=4y的焦點廠(0,1),準線方程為y=-l,N(0,-l),

顯然直線/的斜率存在，設其方程為>=丘+1,/區(qū),必),862，%),

答案第4頁，共10頁

[y=kx+1,,,

由<2A消去V得一一4b一4=0，顯然A>°,x+x=4k,xx=-4,

[x=4yx212

對于A,\AB\=\AF\+\BF\=y+1+為+1=2=4,

x占；%+2+

當且僅當王=-%時取等號，A正確；

對于B,由選項A知，14^1=1571=2,]fn|NF|=2,因此B正確；

對于C,由>求導得/=則左]=；再，左2=；工2，

由左i+左2=4,得再+%=8,貝"4左=8,解得左=2,直線45的方程為2x—y+1=0,C錯

誤；

對于D,直線/N的斜率后.=『==￡,親寧=1,當且僅當|"=2時

取等號,

則心一或LN1,因此直線3的傾斜角a弋卞%,，

7T

直線3的傾斜角a的最小值為rDM.

【分析】利用復數(shù)的除法法則計算得到z,然后求三即可.

【詳解^^=尚比=『一

所以z=-i

故答案為：-i

13.60.

【分析】求得二項展開式的通項，結合通項確定廠的值，代入即可求解.

答案第5頁，共10頁

【詳解】由題意二項式(6+多］展開式的通項為7^=偌(4)~.(3，=2，C"中，

VX)X

令r=2,可得展開式的常數(shù)項為4=22.2=60.

故答案為：60.

14.71

【分析】根據題意，分析可得對于”的最小值，要盡可能讓每一項/取較大值，對于〃的最

大值，要盡可能讓每一項/取較小值，結合等差數(shù)列的求和公式代入計算，分別求得〃的最

小值以及最大值，即可得到結果.

【詳解】由題意可得，4={123，…用，左eN*,且B>.=60,

k=\

對于”的最小值，要盡可能讓每一項々取最大值；

對于〃的最大值，要盡可能讓每一項X*取最小值；

當4盡可能取大的值時，〃會取到最小值，

當V4=1時，〃取到最大值，最大值為60；

1011

當/=后時，因為X斤=55<60,X斤=66>60,

k=lk=\

所以取為=左(左=1,2,…,10),而［=5時,=60,

t=i

此時"恰好取到最小值，

綜上〃的最大值為60,〃的最小值為11,

則”的最大值與最小值之和為71.

故答案為：71

【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了集合定義的理解以及數(shù)列求和的內容，難度較大，解答

本題的關鍵在于分析出對于〃的最小值，要盡可能讓每一項/取較大值，對于〃的最大值，

要盡可能讓每一項/取較小值，即可得到結果.

15.(l)^=y,C=5

【分析】(1)弦化切求出A,再利用余弦定理求出C.

答案第6頁，共10頁

(2)由(1)的結論，利用三角形面積公式列式求出ND.

【詳解】(1)在VABC中，由sinA+s/^cosA=0，得tan/=-百，而0<4<兀，則/=$,

由余弦定理，Ma2=b2+c2-2bccosA,即49=9+c?+3c,即c2+3c-40=0,

而c>0,所以c=5.

27r

(2)由(1)知，A=—,由/。平分/R4C,得凡的+反皿=S"c，

1TT1TT127r

即一b,4Z)sin—+—c?/Z)sin—=—6csin——,則(6+c)/D=bc,即841)=15,

232323

所以

o

16.(1)答案見解析.

(2)0<a<e-2

【分析】(1)求出函數(shù)/(x)的導數(shù)，再按。<0,。>0分類討論導數(shù)值正負即可.

(2)由(1)可得“X)的最小值，再結合函數(shù)值的變化情況求出最小值小于0的。的范圍.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=ae*-x+1的定義域為R,求導得—(x)=一1,

當aV0時，/'(x)<0,函數(shù)〃尤)在R上單調遞減；

當a>0時，由/'(x)<0,得x<-lna；由/'(x)>0,得x>-lna,

即函數(shù)/(x)在(-甩-足/上單調遞減，在(-Ina,+co)上單調遞增，

所以當aW0時，函數(shù)〃x)的單調遞減區(qū)間是(一冬+動；

當。>0時，函數(shù)/(x)的單調遞減區(qū)間是(-叫-Ina),單調遞增區(qū)間是(-Ina,舟).

(2)由(1)矢口，當。>0時，/(x)min=/(-Ina)=2+In<2,

當Xf-co時，f(x)—>+co.當Xf+CO時，/(X)—>+8,

要函數(shù)/(X)有兩個不同的零點，當且僅當2+lna<0,解得?！?。〈片?，

所以實數(shù)。的取值范圍0<a<e-2.

17.(1)證明見解析；

(2)|.

【分析】(1)利用線面垂直的性質、判定，面面垂直的判定推理得證.

(2)過B作直線&//E4,以點B為原點建立空間直角坐標系，求出平面尸8D與平面PDC

的法向量，再利用面面角的向量求法求解.

【詳解】(1)在四棱錐尸中，由尸/，底面4BCD,BDu底面4BCD,得R4_LBD,

答案第7頁，共10頁

由DN8Z>=90°,得AB上BD,而尸/c/B=u平面PAS,

則AD1平面尸48,又3￡>u平面PAD,

所以平面PAB±平面PBD.

(2)過B作直線&//尸/,由尸底面N5CD,得&，底面/8C。，直線8D,84&兩兩

垂直，

以點B為原點，直線BD,BA,Bz分別為x/,z軸建立空間直角坐標系，

令/8=1,又/BCD為平行四邊形，則B(O,O,O),Z)(l,O,O),C(l,-l,O),P(O,l,l),

BD=(1,0,0),CO=(0,1,0),麗=(-1,1,1),

一m?BD=a=0一

設平面尸AD的法向量為加=(〃,ac),貝叫一.,取。=1,得加=(0,-1,1),

m^DP=-a+b+c=0

一n-CD=y=0一

設平面尸DC的法向量為〃=(x,y,z),貝—?，取z=l,得〃=(1,0,1),

n-DP=—x+y+z=0

——lm.nlI1

所以平面尸2。與平面尸。C的夾角的余弦值為|cos〈肛“〉|=.

\m\\n\V2-V22

18.(吁+/=1；

⑵"4.

【分析】(1)利用橢圓的定義求出。，進而求出。得C的標準方程.

(2)根據已知可得直線不垂直于坐標軸，設其方程并與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理

求出直線N3與x軸交點的橫坐標即可.

221

【詳解】(I)橢圓C：3+==1的二焦點為片(-6,0),胤(6,0),點在橢圓C上,

ab2

則2。=|?！﹟+|。用|=J-2⑻2+(3?+；=4,解得。=2,貝Ub=j22-(G)2=1，

2

所以橢圓c的標準方程為上+V=1.

4

(2)依題意，點42不在x軸上，即直線4W不垂直于>軸，且直線不垂直于x軸，

答案第8頁，共10頁

否則45重合，

設直線AM方程為x=ky+\,左w0,

[x=ky+l