專題20共定點等邊三角形的六大結(jié)論及應(yīng)用

六大結(jié)論基本模型：如圖，A45C和是共頂點(C)三角形，則有以下六大結(jié)論.

結(jié)論1：^ACD^/\BCE(.SAS),：.AD=BE結(jié)論2：ZAOB=60°

結(jié)論3：AACP^/\BCQ(ASA),：.AP=BQ,PC=QC結(jié)論4：APC。是等邊三角形

結(jié)論5：.?.尸0〃/E結(jié)論6：點C在/NOE的平分線上

1.如圖，C為線段NE上一動點(不與點A、E重合)，在NE同側(cè)分別作正三角形N8C和正三角

形CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點、P,BE與CD交于點Q,連接P。，以下七個結(jié)論:

①AD=BE；②PQUAE；③/P=30；@DE=DP；⑤408=60°；

⑥APC0是等邊三角形；⑦點C在/NOE的平分線上，其中正確的有()

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】D

【解析】

【分析】

由A48C和△")￡是正三角形,其性質(zhì)得三邊相等，三個角為60°,平角的定義和角的和差得N4C￡>=

ZBCE,邊角邊證明A4CD四△8CE,其性質(zhì)得結(jié)論①正確；由△ZCDg/XBCE,可得/C/P=/

CBQ,可得￡MO8=￡)/C8=60°,故⑤正確，角邊角證明A4CP名△BC。得NP=20,其結(jié)論③正確

等邊三角形的判定得△PC0是等邊三角形，結(jié)論⑥正確；/"2=//。8=60。判定兩線尸?！?￡,

結(jié)論②正確；反證法證明命題。母/?，結(jié)論④錯誤；利用全等三角形的對應(yīng)高相等，可證明點C

在的平分線上，結(jié)論⑦正確；即正確結(jié)論共6個.

【詳解】

解：如圖1所示:

B

LABC和△(?￡)￡是正三角形，

：.AC=BC,DC=EC,ZACB=ZECD=60°,

XVZACD=ZACB+ZBCD,ZBCE=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

AC=BC

在ZUCD和△8CE中，ZCD=NBCE,

CD=CE

:.△ACDm4BCE(S4S),

：.AD=BE,結(jié)論①正確；

4ACDq4BCE,：.ZCAP=ZCBQ,

QBBPO=DAPC,

\QAOB=GACB=60°,故⑤正確，

又：ZACB+ZBCD+ZDCE=180°,；.NBCD=60。,

).DCAP=DCBQ

在ZUC尸和△8C0中，｝,AC=BC,

\QACP=QBCQ

：./\ACP^J\BCQ(ASA),

：.AP=BQ,PC=QC,故③正確，

...△PC。是等邊三角形，故⑥正確

ZCPQ=ZCQP=60°,

：.NCPQ=/ACB=60。,

：.PQ//AE,故②正確，

若DE=DP,

\'DC=DE,：.DP=DC,：.ZPCD=ZDPC,

又,:ZPCD=60°,

.?./。尸。=60。與△PC0是等邊三角形相矛盾，假設(shè)不成立，???結(jié)論④錯誤;

過點C分別作CNLBE于點、M、N兩點，如圖2所示：

'：CM±AD,CN±BE,YACD勢BCE,

：.CM=CN,

又：OC在//OE的內(nèi)部，

...點C在NZOE的平分線上，

結(jié)論⑦正確：

綜合所述共有6個結(jié)論正確.

故選：D.

【點睛】

本題綜合考查了全等三角的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線

的判定，角平分線性質(zhì)定理的逆定理和假設(shè)法證明命題等相關(guān)知識，重點掌握全等三角形的判定與

性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，難點是用角平分線性質(zhì)定理的逆定理作輔助線證明一點已知角的

角平分線上.

2.已知如圖是銳角三角形，分別以邊為邊向外作和“CE,△48D和ANCE

均為等邊三角形，且BE和CD交于點/，連接/足

(1)求證：AACD*AEB；

(2)求出/CPE的度數(shù)；

(3)求證：/AFB=ZBFC=/AFC.

【答案】(1)見解析；(2)60°；(3)見解析.

【解析】

【分析】

(1)由和A4CE均為等邊三角形，可得邊角關(guān)系，由S/S即可證明A/CD之A/防；(2)由

A/C。0A/胡可得點/、F、C、K四點共圓，再由圓的性質(zhì)即可求解;

(3)由點4、F、C、E四點共圓，可得NF4C=/FEC,再由入4網(wǎng)內(nèi)角和為180。可得

NAFE=60。,由點4、F、B、。四點共圓，同理可得NZFD=60。，從而可得

ZAFB=120°,ZAFC=120°,ABFC=120°,故可得/AFB=4BFC=/AFC.

【詳解】

解：(1)和A4"均為等邊三角形，

:?/DAB=NEAC=6。。,AE=AC,AB=AD,

：./BAC+NDAB=ABAC+/EAC,即ZDAC=/EAB,

???在三角形LABD和MCE中，

AE=AC

<ADAC=/EAB

AB=AD

：.AACD?AAEBlSAS)；

(2)?："CD知AEB,

：.ZDAC=/EAB,

???點4、F、C、E四點共圓，

ZCFE=/CAE,

???A4C￡均為等邊三角形，

ZCAE=60°,

.??ZCFE=60°；

(3)由(2)點/、F、C、E四點共圓，點4、F、B、。四點共圓，

Z.ZFAC=ZFEC,

在\AFE中，

ZAEF+/CAE+NFAC+ZAFE=180。，

JZAEF+ZCAE+ZFEC+ZAFE=180。，

即ZAEC+/CAE+ZAFE=180。，

?：NAEC=NCAE=60。,

：.NAFE=180。一60°-60°=60°,

同理可得N/FD=60。，

ZEFC=ZBFD,ZEFC=60°,

ZBFD=60°,

ZAFD+NBFD=60°+60°=120°,

NAFE+/EFC=60°+60°=120°,

ZBFC=360°-120°-120°-120°,

/.ZAFB=ZBFC=ZAFC.

【點睛】

本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，四點共圓的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì),

解題的關(guān)鍵是熟練掌握各知識點，利用好數(shù)形結(jié)合的思想.

3.已知：如圖，△4BC、都是等邊三角形，40、2E相交于點。，點”、N分別是線段40、

的中點.

(1)求的度數(shù)；

(2)試判斷△"NC的形狀，并說明理由；

(3)連接。C,求證：OC是240E的平分線.

【答案】(D/DOE的度數(shù)是60。

(2)2\MNC是等邊三角形，理由見解析

(3)見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角的和差關(guān)系可得利用SAS可證明

BCE,可得AD=8￡,ZADC=ZBEC,利用角的和差關(guān)系及外角性質(zhì)可得N/OE=120。，根據(jù)平角

定義即可得答案；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NC4D=NCBE,AD=BE,AC=BC,根據(jù)中點的定義可得4河=

BN,利用SAS可證明△/CA/g/XBCN,可得CM=CN,NACM=NBCN,利用角的和差關(guān)系可得

/MCN=60。,即可證明△A/NC是等邊三角形；

(3)連接OC,過C作CG，/。，垂足為G；過C作垂足為〃，根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)可得4D=BE,S^ACD=SABCE,即可得出CG=C〃，根據(jù)角平分線的判定定理即可得出結(jié)論.

(1)

■:叢ABC、△")后都是等邊三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

：.NACD=NBCE,

AC=BC

在A4CD^QABCE中，,N/CD=ZBCE,

CD=CE

:.△ACD/ABCE,

：.AD=BE,ZADC=ZBEC,

?.?等邊三角形DCE,

二ZCED=NCZ)E=60。，

二ZADE+ZBED=ZADC+ZCDE+ABED,

=NBEC+60°+ZBED,

=ZCED+60°,

=60°+60°,

=120°,

二ZAOE=120°,

：.ADOE=180°-ZAOE=60°.

(2)

△兒WC是等邊三角形，理由如下：

,?4ACD咨ABCE,

：.ZCAD=ZCBE,AD=BE,AC=BC

:點”、N分別是線段4D、8E的中點，

：.AM^--AD,BN=yBE,

:.AM=BN,

AC=BC

在]ZCAM=ZCBN,

AM=BN

：.AACM小ABCN,

：.CM=CN,ZACM=ZBCN,

ZACB=60°,

：.ZACM+ZMCB=NBCN+NMCB=NACB=60。,

：.ZMCN=60°,

：.△兒WC是等邊三角形.

(3)

連接OC,過C作CGL4D,垂足為G；過C作CH_L8E,垂足為H.

?:△ACD<ABCE,

:.AD=BE,S^ACAS^BCE,

：.-ADCG=l-BECH,

22

:.CG=CH,

'JCGLAD,CHLBE,

；.OC是//OE的平分線.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形外角性質(zhì)及角平分線

的判定定理，能夠熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定條件是解題關(guān)鍵.

4.如圖，已知與△CE3都是等邊三角形，BD、E4的延長線相交于點尸.

E

(1)求證：AACE^ADCB.

(2)求/尸的度數(shù).

(3)若請直接寫出線段所與線段8。、。尸之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)見解析；(2)60°；(3)EF=BD+2DF.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CB=CE,CD=CA,ZBCE=ZDCA=60°,由全等三角形的判定定

理即可得到結(jié)論；

(2)設(shè)BC與EF相交于G,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到Nl=/2,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到

結(jié)論；

(3)根據(jù)垂直的定義得到/ADF=90。，求得/DAF=30。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AF=2DF,根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD,于是得到結(jié)論.

【詳解】

(1):△CAD與4CEB都是等邊三角形，

；.CB=CE,CD=CA,/BCE=/DCA=60。，

.".ZBCD=ZECA,

/.△ACE^ADCB(SAS)；

(2)設(shè)BC與EF相交于G,

由(1)可知4ACEqZ\DCB,

：.Z1=Z2,

'：Z1+ZBGF+ZF=Z2+ZAGC+ZBCE=180°,

而/BGF=NAGC,

/.ZF=ZBCE=60°；

(3)EF=BD+2DF,理由如下：

VADXBD,

ZADF=90°,

NF=60。，

.?./DAF=30。，

；.AF=2DF,

AACE^ADCB,

；.AE=BD,

:.EF=AE+AF=BD+2DF

E

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是

解題的關(guān)鍵.

5.已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作4ACD和aBCE,且

CA=CD,CB=CE,NACD=/BCE,直線AE與BD交于點F.

(1)如圖1,證明：ZiACE絲ZkDCB；

(2)①如圖1,若/ACD=60°,則/AFB=；

②如圖2,若/ACD=a,則/AFB=；(用含a的式子表示)

(3)將圖2中的4ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度(交點F至少在BD、AE中的一條線段上)，

如圖3,試探究/A7咕與a的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

【答案】(1)證明見解析；(2)120°,180°-p；(3)ZAFB=180°-a,證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)求出NACE=NDCB,根據(jù)SAS證出兩三角形全等即可；

(2)根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出NAEC=NDBC,ZCDB=ZCAE,求出/EAB+/DBA=/ACD,Z

AFB=180°-(ZEAB+ZDBC),代入求出即可得出①②的結(jié)論；

(3)由“SAS”可證4ACE絲ADCB,可得NAEC=NDBC,由三角形內(nèi)角和定理可求解.

【詳解】

解：(1)證明：VZACD=ZBCE,

JNACD+NDCE=NBCE+NDCE,

???ZACE=ZDCB,

^△ACE和4DCB中

AC=CD

?：［/ACE=NDCB,

CE=CB

：.AACE^ADCB；

(2)?VZACD=60°,

???NCDB+NDBC=NACD=60。，

AACE^ADCB,

AZAEC=ZDBC,ZCDB=ZCAE,

ZCAE+ZDBC=60°,

JZAFB=180°-60°=120°

故答案為：120；

②當(dāng)NACD=p時，ZAFB=180°-P，理由是：

ZACD=p,

???ZCDB+ZDBC=ZACD=p,

AACE^ADCB,

AZAEC=ZDBC,ZCDB=ZCAE,

,NCAE+NDBC邛，

.\ZAFB=180°-(ZCAE+ZDBC)=180°-P；

故答案為：180°-p.

(3)ZAFB=180°-a；

證明：VZACD=ZBCE=a,貝|NACD+NDCE=NBCE+NDCE,

即NACE=NDCB.

在4ACE和4DCB中，

AC=DC

?.?{NACE=ZDCB,

CE=CB

.'.△ACE^ADCB(SAS).

則NCBD=NCEA,

如下圖,

VZFGE=ZCGB,

ZEFB=ZECB=a.

ZAFB=18O°-ZEFB=18O°-a.

【點睛】

本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，本題還綜合

了旋轉(zhuǎn)的知識點，是一道綜合性比較強的題.要熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理.

6.如圖①，在等邊AABC中，線段AM為BC邊上的中線.動點D在直線AM上時，以CD為一

邊在CD的下方作等邊aCDE,連結(jié)BE.

(1)當(dāng)點D在線段AM上時(如圖①)，則ADBE(填“>”“〈”或“=")，ZCAM=_____度；

(2)當(dāng)點D在線段AM的延長線上時(如圖②)，直線BE與直線AM的交點為0,求/AOB的

度數(shù)；

(3)當(dāng)動點D在線段AM的反向延長線上時，直線BE與直線AM的交點為0,試判斷/A0B的

度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請求出/AOB的度數(shù)，若不變，請說明理由.

【答案】(1)=;30；(2)60°；(3)不變，見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)SAS就可以得出aADCg/kBEC,貝ijAD=BE；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出N

CAM的度數(shù)；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=BC,DC=EC,NACB=NDCE=60。，由等式的性質(zhì)就

可以NBCE=NACD,根據(jù)SAS就可以得出aADC2△BEC,進而得到NAOB的度數(shù)；

(3)當(dāng)點D在線段MA的延長線上時，如圖3,通過得出4ACD之ABCE就可以得出結(jié)論.

【詳解】

(1)???AABC與4DEC都是等邊三角形，

.\AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

???ZACD+ZDCB=ZDCB+ZBCE,

ZACD=ZBCE.

'AC=BC

在AADC^OABEC中，＜^ACD=/BCE,

CD=CE

：.AACD^ABCE(SAS),

???AD=BE；

AABC是等邊三角形，

???ZBAC=60°.

???線段AM為BC邊上的中線，

???ZCAM=-ZBAC,

2

AZCAM=3O°,

故答案為：=,30；

(2):△ABC和ACDE都是等邊三角形，

AAC=BC,DC=EC,ZACB=ZDCE=60°,

ZACD=ZACB+ZDCB,ZBCE=ZDCE+ZDCB,

???NACD=NBCE,

AAACD^ABCE(SAS)

AZCAD=ZCBE,

ZAMC=ZBMO,

???ZAOB=ZACB=60°；

(3)不變，理由如下：

??,點D在線段MA的延長線上,

AAC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

???NACD+NACE=NBCE+NACE=60。，

???ZACD=ZBCE,

'AC=BC

^△ACD和ABCE中，＜/4CD=/BCE,

CD=CE

：.AACD^ABCE(SAS),

.\ZCBE=ZCAD,

同理可得：ZCAM=30°,

.,.ZCBE=ZCAD=150°,

AZCBO=30°,ZBAM=30°,

???ZBOA=90°-30°=60°.

【點睛】

本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的

判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵.

7.已知點。為線段48上一點，分別以4C、3。為邊在線段48同側(cè)作△ZCZ)和△3CE,且

AC=DC,CB=CE,ZACD=ABCE,直線與交于點尸.

(1)如圖①，試說明：^ACE^DCB；

(2)如圖①，若N/C￡>=60。，則/47必=°；如圖②，若N/C￡>=90。，則乙4FB:

°；如圖③，若N/CD=120。，則/47必=°；

(3)如圖④，若N/CO=a,求乙小B的值(用含々的代數(shù)式表示)；

(4)若/、B、C三點不在同一直線上，線段NC與線段3c交于點C(交點廠至少在3。、4E中

的一條線)，如圖⑤，若乙4C￡>=a,試判斷N4EB與1的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)120,90,60；(3)180°-a；(4)ZAFB=l80°-a,見解析

【解析】

【分析】

(1)求出N/CE=/Z)C8,根據(jù)MS證出兩三角形全等即可；

(2)根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出N/EC=NZ)8C,ZCDB=ZCAE,求出/EAB+NDBA=N/CD,Z

AFB=lS0°-(NEAB+/DBC),代入求出即可；

(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和與三角形的外角性質(zhì)求出即可.

(4)知道=得至Ij//CE=/DCS,證明MCE=ADCB(S/S)即可求解.

【詳解】

解：⑴ZACD=ZBCE,

ZACD+ZDCE=ZBCE+ZDCE,

NACE=ZDCB,

在A4CE■和ADC3中，

AC=DC

<ZACE=NDCB,

CE=CB

AACE=NDCB{SAS),

⑵解：VZACD=60°,

：.ZCDB+ZDBC=ZACD=60°,

■:AACE/ADCB,

：.ZAEC=ZDBC,ZCDB=ZCAE,

：.ZCAE+ZDBC=60°,

：.//尸8=180°-60°=120°；

當(dāng)//CD=90。時，

ZACD=90°,

：.ZCDB+ZDBC=ZA0)=90°,

■:4ACE/LDCB,

：.ZAEC=ZDBC,NCDB=NCAE,

：.ZCAE+ZDBC=90°,

：.Z^FB=180o-90°=90°；

同理：N/CD=120。時

ZAFB=60°

故答案為：120,90,60

(3)由(1)可知A4CE三ADCS,

NCAE=NCDB,

NAFB=ZCDB+ZCDA+ZDAE=ZCDA+NDAE+NBAE=ZCDA+ZDAC=180。-N4CZ>=180°-a

故答案為：180。-。

(4)ZAFB=lS00-a,

理由如下：ZACD=ZBCE,

NACD+NDCE=NBCE+NDCE,

NACE=ZDCB,

在A4CE1和ADC2中，

ZC=DC

<ZACE=ZDCB,

CE=CB

NACE=NDCB(SAS),

NAEC=ZDBC,

ZAFB=ZAEC+ZCEB+ZEBD=ZDBC+ZDBE+ZEBC=ZCEB+NEBC=180°-NECB=180°-?

即180°-a.

【點睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解此題的關(guān)鍵是

找出已知量和未知量之間的關(guān)系.

8.(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1,點/為線段2C外一動點，且2C=a,AB=b.當(dāng)點/位于時，線段

NC的長取得最大值，最大值為.(用含a,6的式子表示)

(2)應(yīng)用點/為線段2C外一動點，且BC=3,AB=\.如圖2所示，分別以48,/C為邊，作等

邊人43。和等邊A4CE,連接CD,BE.

①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

②直接寫出BE長的最大值.

圖1圖2

【答案】(1)C2的延長線，a+b；(2)①DC=BE,理由見解析；②4；

(1)根據(jù)點/位于C8的延長線上時，線段NC的長取得最大值，即可得到結(jié)論；

(2)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,推出△C4D絲△E48,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=3E;②由于線段2E長的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)(1)中

的結(jié)論即可得到結(jié)果；

【詳解】

解：⑴由題意可知，當(dāng)點/位于C8的延長線上時，線段4c的長取得最大值，且最大值為

AB+BC,即a+b,

故答案為：C2的延長線，a+b；

(2)①DC=BE,理由如下：

AABD與AACE都是等邊三角形，

：.AD=AB,AC=AE,NBAD=/CAE=6Q°,

：.ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即

在4C4D與AE4B中，

AD=AB

<ADAC=/.BAE,

AC=AE

:ACADqAEAB(SAS),

：.DC=BE-,

②線段長的最大值是4,

由(1)得，點。在C5的延長線上時，C。最大，最大值為。8+5C=48+8C=4,

,:△CADEAEAB,

：.DC=BE,

線段BE長的最大值為4.

9.如圖所示，已知3(-2,0),C(2,0),/為y軸正半軸上的一點，點。為第二象限一動點,

點￡在的延長線上，CD交AB于點、F,且NBDC=NB4C.

(1)求證：ZABD^ZACD；

(2)求證：4D平分NCDE；

(3)若在。點運動的過程中，始終有DC=D4+DB,在此過程中，/B/C的度數(shù)是否發(fā)生變化？如

果變化，請說明理由；如果不變，請求出/A4c的度數(shù).

【答案】(1)證明過程見解析

(2)證明過程見解析

(3)ZBAC=60°,理由見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)/3。。=/5/。，ZDFB=ZAFC,再結(jié)合

/FC=180。，即可得出結(jié)論.

(2)過點4作⑷/_LCD于點跖作ANLBE于點、N.運用“44S，證明△/CM0A48N得根

據(jù)“到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上”得證；

(3)運用截長法在CD上截取CP=8O,連接/P.證明得A4DP為等邊三角形，從而求

/A4c的度數(shù).

(1)

證明：ZBDC=ZBAC,ZDFB=ZAFC,

又ZABD+ZBDC+ZDFB=/BAC+//CD+ZAFC=180°,

ZABD=ZACD；

⑵

證明：過點/作/〃_1。。于點211,作4'/_13￡1于點乂如下圖所示:

,?OB=OC,OA±BC,

：.AB=AC,

由(1)可知：ZABD=ZACD,

：.△/CM/小ABN(AAS)

：.AM=AN.

:.DA平分NCDE.(角的兩邊距離相等的點在角的平分線上);

(3)

解：NH4C的度數(shù)為60。，理由如下：

在CD上截取CP=AD,連接4P,如下圖所示：

：.AD=PD.

'：AB=AC,ZABD=ZACD,BD=CP,

：.AABD^AACP(SAS),

：.AD=AP,ZBAD=ZCAP,

：.AD=AP=PD,即A4DP是等邊三角形，

/.ZDAP=60°.

：.ZBAC=ZBAP+ZCAP=ZBAP+ZBAD=60°.

【點睛】

此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，運用了角平分線的判定定理和“截長補短”的數(shù)學(xué)思想方法，綜

合性較強.

10.如圖1,點M為銳角三角形NBC內(nèi)任意一點，連接以為一邊向外作等邊三

角形△N8E,將現(xiàn)/繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到8N,連接EN.

（1）求證：AAMBdENB；

（2）若/M+?0+CW的值最小，則稱點M為A48c的費馬點.若點M為A/BC的費馬點，求此

時ZAMB,NBMC/CMA的度數(shù)；

（3）受以上啟發(fā)，你能想出作銳角三角形的費馬點的一個方法嗎？請利用圖2畫出草圖，并說明

作法以及理由.

【答案】（1）見解析；（2）NBMC=120。：N/MS=120。；Z^MC=120°；（3）見解析

【解析】

【分析】

（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)&4s可證△NMBgZXENB

（2）連接MN,由（1）的結(jié)論證明A8MN為等邊三角形，所以BM=MN,即

AM+BM+CM=EN+MN+CM,所以當(dāng)￡、N、M、C四點共線時，/M+8M+CM的值最小，從而可求

此時N/M5、/BMC、NCMA的度數(shù)；

（3）根據(jù)（2）中費馬點的定義，又的費馬點在線段EC上，同理也在線段3尸上，因此線

段EC和BF的交點即為MBC的費馬點.

【詳解】

解：（1）證明：’.?△/BE為等邊三角形，

AB=BE,NABE=60°.

而44BSV=60°,

二NABM=ZEBN.

在AAMB與AENB中,

E

A

B

01

AB=BE

</ABM=ZEBN

BM=BN

:.AAMB”AENB%AS）.

（2）連接M2V.由（1）知，AM=EN.

,/ZMBN=60°,BM=BN,

△HVW為等邊三角形.

：.BM=MN.

：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

...當(dāng)E、N、M、C四點共線時，NM+BM+CM的值最小.

此時，ZBMC=180°-ZNMB=120°：ZAMB=ZENB=180°-ZBNM=120°；

ZAMC=360°-/BMC-NAMB=120°.

（3）如圖2,分別以的42,4C為一邊向外作等邊和等邊A/C尸，連接CE,AF,相

交于M則點M即為A48C的費馬點，由（2）知，“BC的費馬點在線段EC上，同理也在線段時

上.因此線段EC與3尸的交點即為A/8C的費馬點.

（方法不唯一，正確即可）

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

11.已知：A43C與都是等腰三角形.BA=BC,BD=BE(AB>BD)且有N/BC=N

DBE.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,如果/、B、。在一直線上，且N/8C=60。，求證：是等邊三角形；

(2)在第(1)問的情況下，直線/￡和C。的夾角是°；

(3)如圖2,若N、B、。不在一直線上，但N/8C=60。的條件不變則直線/￡和CD的夾角

是°;

(4)如圖3,若N/C2=60。，直線/E和CD的夾角是°.

【答案】(1)證明見解析；(2)60；(3)60；(4)60；

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，得/ABC=NDBE=60。,從而得N4BE=NDBC；通過證明A/BEGACB。，得

ZBAE=ZBCD；通過證明AA4M^ABCN,得BM=BN,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)分析，即可完成

證明；

(2)結(jié)合題意，通過證明A48c為等邊三角形，得NB4C=NBQ4=6Q°；結(jié)合(1)的結(jié)論，根據(jù)

三角形外角性質(zhì)，推導(dǎo)得4OD=120。，從而完成求解；

(3)同理，通過證明為等邊三角形，得NB4C=NBC4=6Q。；通過證明，得

ZBAE=ZBCD；根據(jù)三角形外角性質(zhì)，推導(dǎo)得乙400=120。，從而完成求解；

(4)根據(jù)題意，通過證明A/8C為等邊三角形，推導(dǎo)得ZABE=/CBD,通過證明A/BEGACB。，

得NBAE=NBCD,結(jié)合三角形外角的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】

(1)?:/ABC=/DBE=60。

：.AMBN=180O-ZABC-ADBE=60°,ZABE=ZABC+ZMBN,ZDBC=ZDBE+AMBN

：.ZABE=ZDBC

?：BA=BC,BD=BE

△/BE和△CBD中

'BA=BC

<NABE=NDBC

BE=BD

：.小ABE為CBD

：./BAE=/BCD

△BAM和ABCN中

'NBAE=/BCD

<AB=BC

/ABC=NMBN=60。

：.小BAM咨小BCN

：.BM=BN

???△的W為等邊三角形；

(2)VZABC=ZDBE=60°,BA=BC

???為等邊三角形；

??.ABAC=ABCA=60°

根據(jù)題意，AE和CD相交于點O

??,/BAE=/BCD

：.ZAOD=ZOAC+ZACO=ZOAC+ZBCA+/BCD=ZOAC+ZBCA+/BAE

,：/OAC+/BAE=/BAC

：.ZAOD=NBAC+NBCA=120°

???ZAOC=180°-ZAOD=60°,即直線和CO的夾角是60°

故答案為：60；

(3)VZABC=ZDBE=60°,BA=BC

???△/BC為等邊三角形；

ZBAC=ZBCA=60°

,:/ABE=/ABC+/MBN,ZDBC=ZDBE+AMBN,/ABC=NDBE=60。

：.ZABE=ZDBC

?:BA=BC,BD=BE

KABE和KBD中

BA=BC

<