第26章概率初步知識歸納與題型突破(題型清單)

01思維導圖

不可能事件

確定事件

必然事件

確定事件與隨機事件

隨機事件

用頻率估計解

概率初步

物體的視圖

初步認識概率

由視圖到立體圖形

例表法

用列舉法求概率

樹狀圖

02知識速記

一、確定事件與隨機事件

1、確定事件

(1)不可能事件

在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會發(fā)生，這樣的事情是不可能事件.

(2)必然事件

在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會發(fā)生，這樣的事情是必然事件.必然事件和不可能事件

都是確定事件.

2.隨機事件

在一定條件下，很多事情我們事先無法確定它會不會發(fā)生，這樣的事情是隨機事件.

二、用頻率估計概率

通常，在多次重復實驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動，并且隨著試驗次數(shù)

增多，擺動的幅度會減小，這個性質稱為頻率的穩(wěn)定性.

一般地，在一定條件下大量重復進行同一試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率工會在某一個常數(shù)附近擺動.

n

在實際生活中，人們常把試驗次數(shù)很大時，事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計值.

三、初步認識概率

1.概率

1

隨機事件發(fā)生的可能性有大有小.一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值,稱為這個事件的概率（pwbab”辦）.

如果用字母A表示一個事件，那么P（A）表示事件A發(fā)生的概率.

事件A的概率是一個大于等于0,且小于等于1的數(shù)，即OS產（4）二1,其中尸（必然事件）=1,P（不可

能事件）=0,0＜P（隨機事件）＜1.

所以有：P（不可能事件）＜P（隨機事件）＜P（必然事件）.

一個隨機事件發(fā)生的概率是由這個隨機事件自身決定的，并且是客觀存在的.概率是隨機事件自身的屬

性，它反映這個隨機事件發(fā)生的可能性大小.

四、用列舉法求概率

常用的列舉法有兩種：列表法和畫樹狀圖法.

L列表法

當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通

常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和

方式，并求出概率的方法.

2.樹狀圖

當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖，也稱

樹形圖、樹圖.

樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次

數(shù)和方式，并求出概率的方法.

03題型歸納

題型一確定事件和隨機事件

例題：（24-25八年級上?四川成都?開學考試）下列說法中正確的是（）

A.打開電視機，正在播放廣告是隨機事件

B.某種彩票的中獎概率為千分之一，說明每買1000張彩票，一定有1張中獎

C.拋擲1枚質地均勻的硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率為g

D.任意一個三角形，其內角和為360。是必然事件

鞏固訓練

1.（23-24九年級上.浙江杭州?階段練習）下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.小明買彩票中獎

B.任意拋擲一只紙杯，杯口朝下

C.任意三角形的兩邊，其差小于第三邊

D.在一個沒有紅球的盒子里摸球，摸到了紅球

2

2.（24-25九年級上?浙江杭州?期中）下列事件中，屬于隨機事件的是（）

A.明天太陽從西方升起

B.從裝有6個白球的袋中摸出一個紅球

C.奧運射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心

D.擲一次骰子，朝上一面的點數(shù)大于0

3.（2024九年級上.全國?專題練習）下列說法正確的是（）

A.兩個負數(shù)相乘，積是正數(shù)是不可能事件

B.“煮熟的鴨子飛了”是隨機事件

C.射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)是必然事件

D.“擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是2”是隨機事件

題型二用列舉法求概率

例題：（24-25九年級上?全國?單元測試）在1x2的正方形網格格點上放三枚棋子，按如圖所示的位置已放置

了兩枚棋子，若第三枚棋子隨機放在其他格點上，則以這三枚棋子所在的格點為頂點的三角形是直角三角

形的概率為.

鞏固訓練

1.（2024九年級下?遼寧?專題練習）如圖，電路圖上有4個開關A,B,C,。和1個小燈泡，同時閉合開

D都可以使小燈泡發(fā)光.現(xiàn)隨機閉合兩個開關，小燈泡不發(fā)光的概率為.

2.（2023?廣東佛山?模擬預測）從一1,2,3這三個數(shù)中隨機抽取兩個數(shù)分別記為x,?把點M的坐標記為

（x,y）,若點N為（5,0）,則在平面直角坐標系內直線經過第二象限的概率為

3.（23-24九年級上.貴州黔南?開學考試）小麗在學習法制和安全知識時遇到這樣一個題：王某在清明節(jié)祭

祀焚燒紙錢引起周邊草場著火，導致草場燒毀面積達900余畝，王某被依法予以行政拘留.此事件給我們

什么啟示？A春游時可以在野外燒烤；B不在山上玩火、烤火取暖；C不帶火種進入林區(qū)；D不在山上燒黃

蜂、燒山趕野生動物.此題的正確答案為BCD,小麗在四個選項中隨機選擇三個選項，那么答對的概率是一

3

4.（2024.山東濰坊.中考真題）小瑩在做手抄報時，用到了紅色、黃色、藍色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽

和筆芯顏色分別一致.完成手抄報后，她隨機地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色

都不匹配的概率是.

題型三幾何求概率

例題：（24-25九年級上?江蘇南京?期中）如圖，正方形內接于O。，隨機向該圓形區(qū)域投擲飛鏢1次，假設

飛鏢投中圓形區(qū)域中的每一點是等可能的（若投中邊界或沒有投中，則重投1次），則飛鏢恰好投中在正方

形區(qū)域內的概率是.

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?江蘇宿遷?期中）如圖，將一個飛鏢隨機投擲到3x3的方格紙中，則飛鏢落在陰影部分

2.（2024九年級上.全國.專題練習）如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機停留在某塊方磚上,

那么小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是.

3.（24-25九年級上?四川成都?階段練習）如圖，在RSABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,WAABC

繞點8按逆時針方向旋轉30。后得到VABG，現(xiàn)隨機地向該圖形內擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率

為.

4

B

4.（24-25九年級上?四川成都?階段練習）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正

方形，這個圖形是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接

大、小正方形的四組頂點得到圖2的“風車”圖案（陰影部分），若圖1中的四個直角三角形的較長直角邊為

現(xiàn)隨機向圖2大正方形內擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為

題型四列表法或樹狀圖法求概率

例題：（24-25九年級上?河北保定?期中）如圖1,一枚質地均勻的正四面體骰子，它有四個面并分別標有數(shù)

字1,2,3,4.如圖2,正方形A3。頂點處各有一個圈.跳圈游戲的規(guī)則為：游戲者每擲一次骰子，骰

子著地一面上的數(shù)字是幾，就沿正方形的邊順時針方向連續(xù)跳幾個邊長.

如：若從圈A起跳，第一次擲得3,就順時針連續(xù)跳3個邊長，落到圈。；若第二次擲得2,就從。開始順

時針連續(xù)跳2個邊長，落到圈8；…

設游戲者從圈A起跳.

（1）嘉嘉隨機擲一次骰子，落回到圈A的概率為；

（2）淇淇隨機擲兩次骰子，用列表法求最后落回到圖A的概率.

5

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?浙江杭州?期中）下圖是用幾個電子元件組成的一個電路系統(tǒng)，當且僅當從A到8的電

路為通路狀態(tài)時，系統(tǒng)正常工作，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠，每個元件正常工作的概率均為:，

當某元件不能正常工作時，該元件在電路中將形成斷路.

-EQZ_?B[WI-四

圖1圖2

（1）如圖1,只用1個電子元件①，該電路為斷路的概率為；

（2）如圖2,用2個電子元件①、②組成一個電路系統(tǒng)，求系統(tǒng)正常工作的概率.（用畫樹狀圖或列表方法求

解）

2.（24-25九年級上?山東青島?期中）某?？茖W社團開展“我愛科學，強基有我”的分享活動，先將“A燃料燃

燒”“8電池充電”“C鏡花水月”“。冰雪消融”的圖案制成顏色、質地、大小都相同的4張卡片（其中A、8主

要為化學變化，C、。主要為物理現(xiàn)象）.活動時學生根據所抽取的卡片分享相關科學知識.

A燃料燃燒B電池充電C鏡花水月D冰雪消融

抽取規(guī)則如下：4張卡片背面朝上洗勻，小云先從中隨機抽取一張，記錄下抽取的卡片，放回洗勻，小南再

從中隨機抽取一張.若他們抽取的兩張卡片上都是化學變化，則由小云分享；若他們取出的兩張卡片上都

是物理現(xiàn)象，則由小南分享；其他情況重抽.這個規(guī)則對小云和小南公平嗎？請用列表或畫樹狀圖法說明

理由.

3.（24-25九年級上?浙江湖州?階段練習）一起感悟讀書之美，推廣全民閱讀，建設“書香中國”，不負韶華

夢，讀書正當時！我校對《三國演義》、B.《紅樓夢》、C.《西游記》、D.《水滸傳》四大名著開展“傳統(tǒng)

文化經典著作”推薦閱讀活動.

（1）小胡從這4部名著中，隨機選擇1部閱讀，他選中《紅樓夢》的概率為.

（2）我校計劃從這4部名著中，選擇2部作為課外閱讀書籍，求《紅樓夢》被選中的概率.（請用畫樹狀圖或

列表等方法說明理由）

4.（24-25九年級上?山東青島?期中）某省運動會如期舉行，其中第二個比賽日包含排球、足球、體操以及

藝術體操4個項目.

現(xiàn)有四張關于運動項目的門票，門票的正面分別印有的圖案為A.“排球”、反“足球”、C.“體操”和D“藝

術體操”.將這四張卡片背面朝上（這四種門票的背面完全相同，A、B、C、。作為代號），洗勻：

6

⑴從中隨機抽取一張門票，抽到C的概率為；

(2)從中隨機抽取兩張，請你利用畫樹狀圖或列表格的方法，求兩張門票恰好是B和。的概率.

5.(24-25九年級上?陜西咸陽?期中)置換反應是一種單質與一種化合物反應，生成另一種單質和另一種化

合物的反應，包括金屬與金屬鹽的反應，金屬與酸的反應等.某次化學實驗課上，老師帶來了Al,Zn,Cu,Ag

四種金屬.這四種金屬分別用四個相同的不透明的容器裝著，讓同學們隨機選擇一種金屬與鹽酸反應來制

取氫氣.(根據金屬活動順序可知，Al，Zn可以置換出氫氣，而Cu,Ag不能置換出氫氣)

(1)若從四種金屬中隨機選擇一種，選到Zn的概率是「

(2)甲同學從四種金屬中隨機選擇一種金屬進行實驗，將四個容器的順序打亂，然后乙同學從四種金屬中再

隨機選擇一種金屬進行實驗，請用畫樹狀圖法或列表法，求兩人所選金屬均能置換出氫氣的概率.

題型五利用概率判定游戲的公平性

例題：(24-25九年級上?云南文山?期中)為了舉薦九年級一班的小明和小亮代表班級在周一升旗時致辭，老

師準備了如圖所示的兩個可以自由轉動的轉盤A、B,每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形，并在每一個

扇形內標上數(shù)字.規(guī)定：同時轉動兩個轉盤，但轉盤停止后，兩個指針所指區(qū)域的數(shù)字之和為奇數(shù)時，小

明致辭；數(shù)字之和為偶數(shù)時，小亮致辭，如果指針恰好停在分割線上，那么重轉一次，直到指針指向某一

(1)用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結果；

(2)這個規(guī)則公平嗎？請說明理由.

鞏固訓練

1.(24-25九年級上?河北保定?期中)4張相同的卡片分別寫有數(shù)字1,2,3,4,將卡片的背面朝上，洗勻

后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)；一只不透明的袋子中裝有標號為1,2,3的3個小球，

這些球除標號外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，將摸到的球的標號作為減數(shù).

(1)求這兩個數(shù)的差為。的概率；(用列表法或樹狀圖說明)

(2)如果游戲規(guī)則規(guī)定：當抽到的這兩個數(shù)的差為非負數(shù)時，則甲獲勝；否則，乙獲勝.你認為這樣的規(guī)則

公平嗎？請說明理由.

7

1234

10123

2-1012

3-2-101

2.(24-25九年級上?山西運城?期中)游戲是生活中有趣味的社交活動，是人類終身不可缺少的伴侶，更是

家庭歡樂的源泉.小剛父親和小剛二叔玩一種游戲，游戲規(guī)則：兩人只可以說出“木棒”、“老虎”、“公雞”、

，，小蟲，，中的任何一個，同時各說出一個后定勝負，其中“木棒”勝“老虎”、“老虎”勝“公雞”、“公雞”勝“小蟲”、

“小蟲”勝“木棒”.其它情況，則為平局.例如，小剛父親說“老虎”，小剛二叔說“公雞”,則小剛父親勝；又

如，兩人同時說“蟲子”，則為平局；再如，一人說“公雞”，一人說“木棒”，則為平局.

(1)每一次小剛父親說出“老虎”的概率是；

(2)如果用A,B,C,。分別表示小剛父親說的“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲”；用A，耳，G，2分

別表示小剛二叔說的“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲”，那么某一次說出時小剛父親勝小剛二叔的概率是多

少？用列表法或畫樹狀圖法加以說明；

(3)你認為這個游戲對小剛父親和小剛二叔公平嗎？為什么？

3.(24-25九年級上?陜西咸陽?期中)如圖是一個轉盤，轉盤被等分成三等份，分別標注數(shù)字轉

動轉盤，待轉盤自動停止后，指針指向一個扇形的內部，則該扇形內的數(shù)字即為轉出的數(shù)字，此時稱為轉

動轉盤一次(若指針指向兩個扇形的交線，則不計轉動的次數(shù)，重新轉動轉盤，直到指針指向一個扇形的

內部為止).

(1)轉動轉盤一次，轉盤停止后，指針指向奇數(shù)的概率是;

(2)嘉嘉和淇淇一起玩轉盤游戲，規(guī)則如下：兩人各轉一次轉盤，若兩次轉出的數(shù)字均為奇數(shù)，則嘉嘉獲勝；

若兩次轉出的數(shù)字為一個奇數(shù)一個偶數(shù)(不分先后)，則淇淇獲勝.請通過畫樹形圖或列表的方法說明該游

戲規(guī)則對雙方是否公平.

題型六概率在轉盤抽獎中的應用

8

例題：（24-25九年級上?河北滄州?期末）為了回饋顧客，某商場在“五一”期間對一次購物超過200元的顧客

進行抽獎返券活動.活動方案有二：

方案一：顧客分別轉動甲、乙兩個轉盤各一次（甲盤的白色區(qū)域占;，乙盤的白色區(qū)域占;，其余均為黑色

區(qū)域），若轉盤停止時指針的指向為下表中的組合，則可按下表獲得贈券.

兩轉盤顏色（甲，乙）（\里八、、，里八、、/）（黑，白）（白，黑）（白，白）

中獎券金額0元10元20元50元

方案二：尊重顧客意愿，可以不經過抽獎，直接領取10元贈券.

問題：

（1）方案一中，顧客獲得10元和50元贈券的概率分別是多少？

（2）如果你是顧客，你會選擇兩種方案中的哪一種？試通過計算給出合理理由.

鞏固訓練

1.（2024七年級下.全國?專題練習）一次抽獎活動設置如下的翻獎牌，翻獎牌的正面、背面如下，如果你只

能在9個數(shù)字中選擇一個數(shù)字翻牌，請解決下面的問題:

翻獎牌正面翻獎牌反面翻獎牌反面（備用圖）

⑴直接寫出翻牌得到“手機”獎品的可能性的大小；

（2）請你根據題意設計翻獎牌反面的獎品，包含（手機、微波爐、球拍、電影票，謝謝參與）使得最后抽到“球

拍”的可能性大小是已.

2.（24-25九年級上?遼寧錦州?期中）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎.抽

獎規(guī)則如下：

1.抽獎方案有以下兩種：

方案A,從裝有1個紅球、2個白球（僅顏色不同）的甲袋中隨機摸出1個球，若是紅球，則獲得獎金15

元，否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；

方案8,從裝有2個紅、1個白球（僅顏色不同）的乙袋中隨機摸出1個球，若是紅球，則獲得獎金10元，

否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回乙袋中.

9

2.抽獎條件是：

顧客購買商品的金額每滿100元，可根據方案A抽獎一次：每滿足200元，可根據方案2抽獎一次（例如

某顧客購買商品的金額為310元,則該顧客采用的抽獎方式可以有以下三種，根據方案A抽獎三次或方案A,

B各抽獎一次）.

已知某顧客在該商場購買商品的金額為230元.若該顧客只選擇根據方案A進行抽獎，求其所獲獎金為15

元的概率；

3.（22-23九年級上?河南平頂山?期末）某商場，為了吸引顧客，在“元旦”當天舉辦了商品有獎酬賓活動，

凡購物滿200元者，有兩種獎勵方案供選擇：

方案一：是直接獲得20元的禮金卷；

方案二：是得到一次播獎的機會.規(guī)則如下：已知如圖是由轉盤和箭頭組成的兩個轉盤A、B,這兩個轉盤

除了顏色不同外，其它構造完全相同，搖獎者同時轉動兩個轉盤，指針分別指向一個區(qū)域（指針落在分割

線上時重新轉動轉盤），根據指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少.

指針指向兩紅一紅一藍兩藍

禮金券（元）27927

A款B款

（1）請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的概率.

（2）如果一名顧客當天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為

實惠.

題型七用頻率估計概率

例題：（24-25九年級上?浙江衢州?期中）下表記錄了某種蘋果樹苗在一定條件下移植成活的情況：由此估計

這種蘋果樹苗的移植成活的概率為.

移植的棵數(shù)10020050010002000

成活的棵數(shù)811563958001600

10

成活的頻率0.810.780.790.800.80

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?江西景德鎮(zhèn)?期中）對一批燈泡進行抽檢，統(tǒng)計合格燈泡的只數(shù)，得到合格燈泡的頻率

見下表：

抽取只數(shù)/只501001505001000200010000

合格頻率0.820.830.820.840.840.840.84

估計從該批次燈泡中任抽一只燈泡是合格品的概率為.

2.（24-25九年級上?福建漳州?期中）在不透明袋子中有1個黃球、2個白球和7個紅球，這些球除顏色外無

3.（24-25九年級上?陜西商洛?期中）興趣學習小組對某品種的小麥在相同條件下進行發(fā)芽試驗，結果如表

所示：

試驗的麥粒數(shù)〃10020050010002000

發(fā)芽的麥粒數(shù)加911784509001820

發(fā)芽的頻率絲0.910.890.900.900.91

n

通過試驗，估計在這批麥粒中任取1粒能發(fā)芽的概率為.（精確到0.1）

題型八已知概率求數(shù)量

例題：（24-25九年級上?廣東珠海?期中）袋子里裝有紅、黃兩種顏色的小球，除了顏色之外小球的形狀、大

小、材質完全相同，攪拌均勻后從袋中隨機摸出一個球是紅球的概率為也如果袋中有紅球有3個，則袋中

的黃球有個.

鞏固訓練

1.（2023?湖南岳陽?模擬預測）一個紙箱中混裝有75顆白棋子和若干顆黑棋子，現(xiàn)將紙箱中棋子攪勻，并

11

從中取出36顆棋子，數(shù)得黑棋子有9顆，據此估計該紙箱裝有黑棋子約有顆.

2.（24-25九年級上?浙江金華?階段練習）在一個不透明的箱子里裝有m個球，其中紅球4個，這些球除顏

色外都相同，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球

的頻率在0.2,那么可以估算出m的值為.

3.（24-25九年級上?陜西咸陽?階段練習）在一個不透明的袋子里裝有3個黑球和若干個白球，它們除顏色

不同外其余都相同.若每次搖勻后，從中隨機摸出一球，記下顏色后放回袋中，大量重復上述實驗后，發(fā)

現(xiàn)摸到黑球的頻率穩(wěn)定在20%,則袋子中白球有個.

4.（23-24九年級上?陜西渭南?階段練習）一個盒子中裝有20顆藍色幸運星，若干顆紅色幸運星和15顆黃

色幸運星，這些幸運星除顏色外都相同.小明從中隨機摸出一顆幸運星記下顏色并放回，發(fā)現(xiàn)摸到紅色幸

運星的頻率穩(wěn)定在0.5,則可估計盒中紅色幸運星的顆數(shù)為顆.

題型九頻率和概率的綜合應用

例題：（24-25九年級上?陜西咸陽?期中）下表是某校生物興趣小組在相同的實驗條作下，對某植物種子發(fā)芽

率進行研究時所得到的數(shù)據：

試驗的種子數(shù)〃100200500100020005000

發(fā)芽的粒數(shù)加94a47595419064748

發(fā)芽頻率”0.940.9550.95b0.9530.9496

n

（1）上表中的。=,b=.

（2）任取一粒這種植物種子，估計它能發(fā)芽的概率是.（結果精確到0.01）

（3）若該校勞動基地需要這種植物幼苗9500棵，試估計需要準備多少粒種子進行發(fā)芽培育？

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）某射擊運動員在同一條件下進行練習，結果如下表所示:

射擊次數(shù)”10205010020050010002000

擊中10環(huán)次數(shù)m81944931784538991802

擊中10環(huán)頻率一

n

（1）計算表中擊中10環(huán)的各個頻率;

12

(2)這名運動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率約為多少？

2.(24-25九年級上?陜西西安?階段練習)在一個不透明的口袋里裝有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共5

個，這些球除顏色不同外，其他均相同.某學習小組做摸球試驗，將球攪勻后，從中隨機摸出一個球記下

顏色，再把它放回袋中，不斷重復.下表是活動中的統(tǒng)計數(shù)據.

摸球的次數(shù)n1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)機5896116295484601

摸到白球的頻率絲0.580.640.580.590.6050.601

n

(1)請估計：當〃很大時，摸到白球的頻率將會接近(精確到0.1).

⑵試估算口袋中白球的個數(shù).

3.(24-25九年級上?貴州貴陽?階段練習)閱讀下列材料：模擬試驗是利用替代物模擬實際事物而進行的試

驗.例如我們在估計6個人中有2個人生肖相同的概率時，可以用12個編有號碼、大小相同的球代替12

種不同的生肖，這樣每個人的生肖都對應著一個球，6個人中有2個人生肖相同，就意味著6個球中有2個

球的號碼相同.因此可在口袋中放入這樣的12個球，從中摸出1個球，記下它的號碼，放回去；再從中摸

出1個球，記下它的號碼，放回去，……，直至摸到第6個球，記下第6個號碼，到此為一次模擬試驗.重

復多次這樣的試驗，即可估計6人中2人生肖相同的概率……；

小明所在的數(shù)學興趣小組按照材料中所述的方法進行了模擬試驗，他們重復了多次這樣的模擬實驗，根據

實驗結果制成的統(tǒng)計表如下：

實驗總次數(shù)5010020030050010001500

“有2個小球號碼相同”的次數(shù)38751602343958101185

“有2個小球號碼相同”的頻率00.750.800.780.79k

(1)表格中上的值為.

(2)根據表格中的數(shù)據可估算6個人中有2個人生肖相同的概率大約是.(精確到0.1)

(3)若要估計“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模擬試驗方法，則需要準備個球，一

次模擬試驗需要記錄個號碼.

4.(24-25九年級上?江蘇南通?開學考試)在一個不透明的口袋里裝有顏色不同的黃、白兩種顏色的球共5

只，某學習小組做摸球實驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復.下

13

表是活動中的一組統(tǒng)計數(shù)據:

摸球的次數(shù)n1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)相5896116295484601

摸到白球的頻率絲0.580.640.580.590.6050.601

n

(I)請估計：當〃很大時，摸到白球的頻率將會接近；(精確到0.1)

(2)試估算口袋中白球有多少只？

(3)請你設計一個增(減)袋中白球或黃球球個數(shù)的方案，使得從袋中摸出一個球，這只球是黃球的概率大

于是白球的概率.

14

第26章概率初步知識歸納與題型突破(題型清單)

01思維導圖

不可能事件

確定事件

必然事件

確定事件與隨機事件

隨機事件

用頻率估計解

概率初步

物體的視圖

初步認識概率

由視圖到立體圖形

例表法

用列舉法求概率

樹狀圖

02知識速記

一、確定事件與隨機事件

1、確定事件

(1)不可能事件

在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會發(fā)生，這樣的事情是不可能事件.

(2)必然事件

在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會發(fā)生，這樣的事情是必然事件.必然事件和不可能事件

都是確定事件.

2.隨機事件

在一定條件下，很多事情我們事先無法確定它會不會發(fā)生，這樣的事情是隨機事件.

二、用頻率估計概率

通常，在多次重復實驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動，并且隨著試驗次數(shù)

增多，擺動的幅度會減小，這個性質稱為頻率的穩(wěn)定性.

一般地，在一定條件下大量重復進行同一試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率里會在某一個常數(shù)附近擺動.

n

在實際生活中，人們常把試驗次數(shù)很大時，事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計值.

三、初步認識概率

1.概率

15

隨機事件發(fā)生的可能性有大有小.一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值,稱為這個事件的概率（pwbab”辦）.

如果用字母A表示一個事件，那么P（A）表示事件A發(fā)生的概率.

事件A的概率是一個大于等于0,且小于等于1的數(shù)，即OS產（4）二1,其中尸（必然事件）=1,P（不可

能事件）=0,0＜P（隨機事件）＜1.

所以有：P（不可能事件）＜P（隨機事件）＜P（必然事件）.

一個隨機事件發(fā)生的概率是由這個隨機事件自身決定的，并且是客觀存在的.概率是隨機事件自身的屬

性，它反映這個隨機事件發(fā)生的可能性大小.

四、用列舉法求概率

常用的列舉法有兩種：列表法和畫樹狀圖法.

L列表法

當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通

常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和

方式，并求出概率的方法.

2.樹狀圖

當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖，也稱

樹形圖、樹圖.

樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次

數(shù)和方式，并求出概率的方法.

03題型歸納

題型一確定事件和隨機事件

例題：（24-25八年級上?四川成都?開學考試）下列說法中正確的是（）

A.打開電視機，正在播放廣告是隨機事件

B.某種彩票的中獎概率為千分之一，說明每買1000張彩票，一定有1張中獎

C.拋擲1枚質地均勻的硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率為g

D.任意一個三角形，其內角和為360。是必然事件

【答案】A

【知識點】事件的分類

【分析】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不

可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也

可能不發(fā)生的事件.據此對各選項分析判斷求解.

【詳解】解：A、打開電視機，正在播放廣告是隨機事件，故本選項符合題意；

16

B、某種彩票的中獎概率為千分之一，說明每買1000張彩票不一定會中獎，故本選項不符合題意；

c、拋擲1枚質地均勻的硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率為:，故本選項不符合題意；

D、任意一個三角形，其內角和為360。是不可能事件，故本選項不符合題意；

故選：A.

鞏固訓練

1.（23-24九年級上?浙江杭州?階段練習）下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.小明買彩票中獎

B.任意拋擲一只紙杯，杯口朝下

C.任意三角形的兩邊，其差小于第三邊

D.在一個沒有紅球的盒子里摸球，摸到了紅球

【答案】C

【知識點】事件的分類

【分析】本題考查了隨機事件，理解事件的分類是解題的關鍵.根據隨機事件，必然事件，不可能事件的

概念求解.

【詳解】解：A：小明買彩票中獎屬于隨機事件；

B：任意拋擲一只紙杯，杯口朝下屬于隨機事件；

C：任意三角形的兩邊之差都小于第三邊，是必然事件；

D：在一個沒有紅球的盒子里摸到紅球是不可能事件.

故選：C.

2.（24-25九年級上?浙江杭州?期中）下列事件中，屬于隨機事件的是（）

A.明天太陽從西方升起

B.從裝有6個白球的袋中摸出一個紅球

C.奧運射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心

D.擲一次骰子，朝上一面的點數(shù)大于0

【答案】C

【知識點】事件的分類

【分析】本題考查的是隨機事件的分類，掌握必然事件、不可能事件、隨機事件的概念是解題的關鍵，必

然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事

件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；根據事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事

17

件的類型即可.

【詳解】解：A、明天太陽從西方升起是不可能事件，不符合題意；

B、從裝有6個白球的袋中摸出一個紅球是不可能事件，不符合題意；

C、奧運射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心是隨機事件，符合題意；

D、擲一次骰子，朝上一面的點數(shù)大于0是必然事件，不符合題意；

故選：C.

3.（2024九年級上.全國.專題練習）下列說法正確的是（）

A.兩個負數(shù)相乘，積是正數(shù)是不可能事件

B.“煮熟的鴨子飛了”是隨機事件

C.射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)是必然事件

D.“擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是2”是隨機事件

【答案】D

【知識點】事件的分類

【分析】本題考查了不可能事件、隨機事件和必然事件，根據事件發(fā)生的可能性大小判斷即可求解，掌握

不可能事件、隨機事件和必然事件的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：A、兩個負數(shù)相乘，積是正數(shù)是必然事件，故本選項說法錯誤，不符合題意；

B、“煮熟的鴨子飛了”是不可能事件，故本選項說法錯誤，不符合題意；

C、射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)是隨機事件，故本選項說法錯誤，不符合題意；

D、“擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是2”是隨機事件，說法正確，符合題意；

故選：D.

題型二用列舉法求概率

例題：（24-25九年級上?全國?單元測試）在1x2的正方形網格格點上放三枚棋子，按如圖所示的位置已放置

了兩枚棋子，若第三枚棋子隨機放在其他格點上，則以這三枚棋子所在的格點為頂點的三角形是直角三角

形的概率為

3

【答案】-/0.75

【知識點】列舉法求概率

18

【分析】本題主要考查了幾何概率，勾股定理的逆定理，先將第三枚棋子可能落在其余四個位置的格點位

置找到.再找出與已知格點構成直角三角形的3種情況，然后根據概率計算公式求解即可.

【詳解】解：如圖所示，第三枚棋子一共有A,B,C,。四個位置可以放置，其中能與已知兩枚棋子構成

直角三角形的點是2、C、。三個點，

以這三枚棋子所在的格點為頂點的三角形是直角三角形的概率為3:，

4

3

故答案為：—.

4

Ai------------------\D

鞏固訓練

1.（2024九年級下.遼寧.專題練習）如圖，電路圖上有4個開關A,B,C,。和1個小燈泡，同時閉合開

關48或同時閉合開關C,。都可以使小燈泡發(fā)光.現(xiàn)隨機閉合兩個開關，小燈泡不發(fā)光的概率為

【知識點】列舉法求概率

【分析】本題考查列舉法求概率，根據題意，隨機閉合兩個開關共有6種情況，

其中小燈泡不發(fā)光的情況有AC,4）,3C,3。共4種情況，進行計算即可.

【詳解】解：隨機閉合兩個開關共有AB,AC,A。,3cmeD,6種情況，其中小燈泡不發(fā)光的情況有

AC,AD,3C,3。共4種情況，

63

2

故答案為：—.

2.（2023?廣東佛山?模擬預測）從-1,2,3這三個數(shù)中隨機抽取兩個數(shù)分別記為x,y,把點M的坐標記為

（x,y）,若點N為（5,0）,則在平面直角坐標系內直線經過第二象限的概率為.

【答案】|

【知識點】判斷一次函數(shù)的圖象、列舉法求概率

19

【分析】本題考查了求概率、一次函數(shù)的圖像，正確找出當直線MN經過第二象限時，點M的所有符合條

件的坐標是解題關鍵.

【詳解】解：由題意得：點"的坐標共有6種：（T2）,（-1,3）,（2,-1）,（3,-1）,（3,2）,（2,3）,

點N為（5,0）,

直線經過第二象限，點M的坐標有（-1,2）,（-1,3）,（3,2）,（2,3）,共四種情況；

42

在平面直角坐標系內直線經過第二象限的概率為

63

2

故答案為：—■

3.（23-24九年級上.貴州黔南.開學考試）小麗在學習法制和安全知識時遇到這樣一個題：王某在清明節(jié)祭

祀焚燒紙錢引起周邊草場著火，導致草場燒毀面積達900余畝，王某被依法予以行政拘留.此事件給我們

什么啟示？A春游時可以在野外燒烤；B不在山上玩火、烤火取暖；C不帶火種進入林區(qū)；D不在山上燒黃

蜂、燒山趕野生動物.此題的正確答案為BCD,小麗在四個選項中隨機選擇三個選項，那么答對的概率是一

【答案】y/0.25

【知識點】根據概率公式計算概率、列舉法求概率

【分析】此題考查了概率，寫出所以等可能結果，根據概率公式進行解答即可.

【詳解】解：由題意可得，共有ABC、ABD.ACD,3。這4種等可能的結果，其中符合條件的結果只

有BCD1種，

答對的概率是:，

故答案為：；

4.（2024.山東濰坊.中考真題）小瑩在做手抄報時，用到了紅色、黃色、藍色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽

和筆芯顏色分別一致.完成手抄報后，她隨機地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色

都不匹配的概率是.

【答案】|

【知識點】列舉法求概率

【分析】本題考查了用列舉法求概率，列出所有可能出現(xiàn)的結果，再找出每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配

的結果，利用概率公式計算即可求解，正確列出所有可能出現(xiàn)的結果是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意可得，共有6種結果：紅紅，黃黃，藍藍；紅紅，藍黃，黃藍；黃紅，紅黃，藍藍；黃

紅，藍黃，紅藍；藍紅，紅黃，黃藍；藍紅，黃黃，紅藍；

20

其中每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的有2種結果,

21

，每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是

63

故答案為：

題型三幾何求概率

例題：（24-25九年級上?江蘇南京?期中）如圖，正方形內接于。。，隨機向該圓形區(qū)域投擲飛鏢1次，假設

飛鏢投中圓形區(qū)域中的每一點是等可能的（若投中邊界或沒有投中，則重投1次），則飛鏢恰好投中在正方

形區(qū)域內的概率是.

■2_

【答案】-

71

【知識點】幾何概率

【分析】本題考查了幾何概率.設正方形的邊長為〃，則圓的直徑為必二7二億，求出正方形的面積為

（歷'2

a2,圓的面積為萬*號a=不，然后用正方形的面積除以圓的面積即可求解.

I2J2

【詳解】解：設正方形的邊長為則圓的直徑為行二7二億，

（萬Y2

...正方形的面積為圓的面積為;rx咚a=怨-,

I2J2

a22

飛鏢恰好投中在正方形區(qū)域內的概率是五二5.

2

故答案為：一.

71

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?江蘇宿遷?期中）如圖，將一個飛鏢隨機投擲到3x3的方格紙中，則飛鏢落在陰影部分

的概率為一.

21

【答案】|4

【知識點】幾何概率

【分析】本題主要考查了幾何概率，確定陰影部分的面積在整個圖形中占的比例成為解題的關鍵.

用陰影部分的面積除以總面積即可解答.

【詳解】解：：3x3的方格紙的面積為=3x3=9,陰影部分面積為4xgx2xl=4,

???飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是4:.

4

故答案為：—.

2.（2024九年級上.全國.專題練習）如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機停留在某塊方磚上,

那么小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是.

【答案】I

【知識點】幾何概率

【分析】本題考查的是幾何概率.先求出黑色方磚在整個地板中所占的比值，再根據其比值即可得出結論.

【詳解】解：：由圖可知，黑色方磚可拼成3塊，共有9塊方磚，

???黑色方磚在整個地板中所占的比值;=；,

.??小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是g,

故答案為：—.

3.（24-25九年級上?四川成都?階段練習）如圖，在RSABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,將AABC

繞點2按逆時針方向旋轉30。后得到,現(xiàn)隨機地向該圖形內擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率

為.

22

B

25

【答案】而

【知識點】用勾股定理解三角形、幾何概率

【分析】本題考查幾何概率，勾股定理，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.證明陰影

部分的面積=三角形ABA的面積，求出三角形AB4的面積，可得結論.

【詳解】解：如圖，過點4作于點

ZACB=90°,AC=8,BC=6,

AB=7AC2+BC2=A/82+62=10，

由旋轉變換的性質可知BAi=BA=W,=30°,

=5,

??^=1-AB-4H=1X10X5=25,

=

:S陰-S&A%+~^^ABCSAA%=25,SAABC=—?AC-BC=5x8x6=24,

「?現(xiàn)隨機地向該圖形內擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率為=看75==今75.

25+2449

25

故答案為：--.

49

4.（24-25九年級上?四川成都?階段練習）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正

方形，這個圖形是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接

大、小正方形的四組頂點得到圖2的“風車”圖案（陰影部分），若圖1中的四個直角三角形的較長直角邊為

7,較短直角邊為4,現(xiàn)隨機向圖2大正方形內擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為；

23

【知識點】以弦圖為背景的計算題、幾何概率

【分析】此題主要考查了幾何概率及勾股定理，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比.根據題

意易得30=3,則圖中陰影部分是由中間的小正方形和四個全等三角形組成的，利用三角形和正方形的面

積公式計算即可.

【詳解】解：如圖，

:.BD=BC—CD=3,

S大正方形=AC2=AB2+BC-=65,

則中間小正方形的面積為3x3=9,

小正方形的外陰影部分的4S：=4xg4B.8。=24,

陰影部分的面積為9+24=33,

???針尖落在陰影區(qū)域的概率為尸=233.

65

故答案為：名33.

題型四列表法或樹狀圖法求概率

例題：（24-25九年級上?河北保定?期中）如圖I,一枚質地均勻的正四面體骰子，它有四個面并分別標有數(shù)

字1,2,3,4.如圖2,正方形ABCD頂點處各有一個圈.跳圈游戲的規(guī)則為：游戲者每擲一次骰子，骰

24

子著地一面上的數(shù)字是幾，就沿正方形的邊順時針方向連續(xù)跳幾個邊長.

如：若從圈A起跳，第一次擲得3,就順時針連續(xù)跳3個邊長，落到圈。；若第二次擲得2,就從。開始順

時針連續(xù)跳2個邊長，落到圈8；…

設游戲者從圈A起跳.

A

(1)嘉嘉隨機擲一次骰子，落回到圈A