專(zhuān)題33將軍飲馬模型

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析T典例分析T

【模型1】?jī)牲c(diǎn)一線(xiàn)

1.如圖，在直線(xiàn)/兩側(cè)各有一個(gè)定點(diǎn)，分別是點(diǎn)A、B,怎樣在直線(xiàn)2上找到一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最??？

A

?B

思路：由“兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短”可得當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PA+PB的值最小，即為AB的長(zhǎng)度.

構(gòu)圖：連接AB,AB與/的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,如圖所示：

2.如圖，在直線(xiàn)/同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線(xiàn)/上找到一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最??？

?B

A

構(gòu)圖：作點(diǎn)A關(guān)于/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A"連接A，B,A，B與直線(xiàn)/的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,如圖所示:

B

A

T

T

\_

+

A'

3.如圖，在直線(xiàn)/同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線(xiàn)/上找到一點(diǎn)P,使得|P4—的值最大？

?B

A

構(gòu)圖：連接AB并延長(zhǎng)與/的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,如圖所示:

P

4.如圖，在直線(xiàn)/兩側(cè)各有一個(gè)定點(diǎn)，分別是點(diǎn)A、B,怎樣在直線(xiàn)/上找到一點(diǎn)P,使得|H4—的值

最大?

A

B?

構(gòu)圖：作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接AB，并延長(zhǎng)與/的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,如圖所示:

A

Bi

5.如圖，在直線(xiàn)/同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線(xiàn)/上找到一點(diǎn)P,使得|P4—的值最??？

A

B?

構(gòu)圖：連接AB,作AB的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)/交于點(diǎn)P,此時(shí)為0,如圖所示:

【模型2】一定兩動(dòng)

1.如圖，點(diǎn)P在NAOB的內(nèi)部，怎么樣在OA上找一點(diǎn)C,在OB上找一點(diǎn)D,使4PCD的周長(zhǎng)最小？

構(gòu)圖：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P、P”,連接PT”,交OA、OB于點(diǎn)C、D,此時(shí)4PCD的周長(zhǎng)

最小，PP”即為4PCD的周長(zhǎng)最小值，如圖所示：

A

2.如圖，點(diǎn)P在NAOB的內(nèi)部，怎么樣在OA上找一點(diǎn)C,在0B上找一點(diǎn)D,使PD+CD的值最??？

構(gòu)圖：作點(diǎn)P關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PCLOA交0B于點(diǎn)D,交0A于點(diǎn)C,此時(shí)PD+CD的值

最小，PC即為PD+CD的值最小.

P'

3.如圖，點(diǎn)P在/AOB的內(nèi)部，怎樣在OA、0B上分別取點(diǎn)C、D,使得APCD的周長(zhǎng)最小？

A

構(gòu)圖：分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P，、Q\連接P'Q'分別交OA、OB于點(diǎn)C、D,此時(shí)4PCD

的周長(zhǎng)最小值為PQ+P'Q',如圖所示：

【模型3】?jī)牲c(diǎn)兩線(xiàn)

在直線(xiàn)m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使得PA+PQ+QB的值最小.

l.A、B兩點(diǎn)都在直線(xiàn)的外側(cè)

2.一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)

A

m

A?

*B

--------------------------------------------n

Bf

3.兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)

Ar

A?

|\/

?B.?b"

i/v

--------------------------------------n*

B'

【例1】如圖，正方形4BC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M在。C上,且?！?1,N是NC上一動(dòng)點(diǎn)，則DgMV的最

小值為（）

工j

A.4B.4&C.275D.5

【答案】D

【分析】由正方形的對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)8與。關(guān)于直線(xiàn)/C對(duì)稱(chēng)，連接3M交NC于M,V即為所求在RtASCW

中利用勾股定理即可求出8河的長(zhǎng)即可.

【解析】???四邊形ABCD是正方形，

.??點(diǎn)B與D關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)，

：.DN=BN,

連接3D,BM交AC于N。連接DV,

二當(dāng)2、N、〃共線(xiàn)時(shí)，DN+AW有最小值，則的長(zhǎng)即為的最小值,

.■.AC是線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)，

又???CD=4,DM=\

.-.CM=CD-DM=4-1=3,

在Rt^BCM中，BM=^CM2+BC2=732+42=5

故DN+MN的最小值是5.

故選：D.

【例2】如圖，O為矩形/BCD對(duì)角線(xiàn)NC,8。的交點(diǎn)，AB=8,M,N是直線(xiàn)8C上的動(dòng)點(diǎn)，且MN=2,則

OM+ON的最小值是

【答案】2后

【分析】根據(jù)題意，過(guò)。作出C,且令?！?2,連接NH,作。點(diǎn)關(guān)于3c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K,連接OK,KH,

則OM+ON=NH+ON=NH+NQHK,當(dāng)H、N、K三點(diǎn)共線(xiàn)的時(shí)候，OA什ON有最小值，最小值為的

長(zhǎng).根據(jù)矩形性質(zhì)及圖形的對(duì)稱(chēng)性，易知/KOH=90。，在RtAKOH中,運(yùn)用勾股定理求得的長(zhǎng)即

可.

【解析】解：過(guò)。作?！癐I8C,且令OH=2,連接M/,作。點(diǎn)關(guān)于8c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K,連接OK,KH,

"OHWBC,OH=MN=2,

.?.四邊形OMNH是平行四邊形，

：.OM=NH,

：.OM+ON=NH+ON.

■0點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)K,

：.ON=NK,

■■.OM+ON=NH+ON=NH+NK,

■：NH+NK>HK,

?,當(dāng)H、N、K三點(diǎn)共線(xiàn)的時(shí)候，OM+ON有最小值，最小值為AK的長(zhǎng).

■.■OHWBC,。點(diǎn)關(guān)于3C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)K,

ZKOH=90°.

為矩形/3CD對(duì)角線(xiàn)NC,8。的交點(diǎn)，。點(diǎn)關(guān)于8c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)K,

■.OK=AB=8.

■：OH=2,NKOH=90°,

???HK=yJOH2+OK2=2>/17，

：.OM+ON的最小值是2J萬(wàn).

【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)N2分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于/、8兩點(diǎn)，其中

。4=2,S/8C=12,點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且0c=0反

(1)求直線(xiàn)的解析式；

(2)將直線(xiàn)向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線(xiàn)/”直線(xiàn)乙與y軸交于點(diǎn)E,與直線(xiàn)C2交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)E作

y軸的垂線(xiàn)以若點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，0為直線(xiàn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+PQ+。。的最小值；

(3)若點(diǎn)M為直線(xiàn)N2上的一點(diǎn)，在了軸上是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)/、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊

形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l?=2x+4

(2)4后

(3)存在以點(diǎn)/、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，N的坐標(biāo)為(0,-2)或(0,10)

【分析】(1)設(shè)OB=OC=m,由S/8C=12,可得2(0,4),設(shè)直線(xiàn)解析式為了=h+6,利用待定

系數(shù)法即可求解；

(2)將直線(xiàn)N2向下平移6個(gè)單位，則直線(xiàn)//解析式為y=2x-2,可得￡(0,-2),垂線(xiàn)4的解析式為y=

-2,由8(0,4),C(4,0),得直線(xiàn)8c解析式為y=-x+4,從而可求得。(2,2),作。關(guān)于y軸的對(duì)

稱(chēng)點(diǎn)。'，作。關(guān)于直線(xiàn)》=-2對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。"，連接。,。"交y軸于P,交直線(xiàn)丁=-2于Q,此時(shí)尸D+P0+O0

的最小，根據(jù)。(-2,2),D''(2,-6),得直線(xiàn)解析式為夕=-2%-2,從而P(0,-2),Q(0,

-2),故此時(shí)尸。=226，尸。=0,DQ=2出,PD+PQ+D0的最小值為46.

(3)設(shè)尸(p,2。+4),N(0,q),而/(-2,0),D(2,2),①以40、為對(duì)角線(xiàn)，此時(shí)4。中點(diǎn)即

為中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)公式得N(0,-2)；②以/"、ON為對(duì)角線(xiàn)，同理可得N(0,10)；③以/N、DM

為對(duì)角線(xiàn)，同理可得N(0,-2).

【解析】(1)解：(1)設(shè)OB=OC=m,

■.■OA=2,

.??4C=加+2,A(-2,0),

-SAABC=n,

GOB=12,即(m+2)=12,

解得加=4或加=-6(舍去)，

???。8=。。=4,

：.B(0,4),

設(shè)直線(xiàn)AB解析式為

f0=-2k+b

A|4=6'

k=2

解得

6=4'

二直線(xiàn)AB解析式為y=2x+4；

(2)將直線(xiàn)N%=2x+4向下平移6個(gè)單位，則直線(xiàn)(解析式為y=2x-2,

令x=0得了=-2,

.■.E(0,-2),垂線(xiàn)力的解析式為夕=",

■：B(0,4),C(4,0),

設(shè)直線(xiàn)3c解析式為〉="+?,

[0=4p+q

[4=4

P=T

解得

q=4

??.直線(xiàn)BC解析式為了=-x+4,

y=-x+4x=2

由”27得:

>=2

???￡)(2,2),

作。關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。'，作。關(guān)于直線(xiàn)y=-2對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。"，連接。D"交y軸于尸，交直線(xiàn)y=-2于0,

此時(shí)PD+PQ+DQ的最小，如圖:

(-2,2),D"(2,-6),

設(shè)直線(xiàn)ZXD"解析式為y=sx+t,

2=—2s+1s=-2

則,解得

-6=2s+ft=-2

直線(xiàn)D77解析式為》=-2x-2,

令x=0得y=-2,即尸(0,-2),

令夕=-2得x=0,即0(0,-2),

.?.此時(shí)尸。=2有，PQ=0,DQ=2y[5,

.■.PD+PQ+DQ的最小值為475.

(3)存在，理由如下：

設(shè)尸(p,2p+4),N(0,q),而/(-2,0),D(2,2),

①以為對(duì)角線(xiàn)，如圖：

此時(shí)中點(diǎn)即為中點(diǎn),

,1(I)+—22+=22〃=p++4+0展解得p=0

q=—2’

-.N(0,-2)；

②以4M、ZW為對(duì)角線(xiàn)，如圖:

同理可得:1fo+—22+,p4==2+2+0/解得［］g夕=o4,

-.N(0,10)；

③以/N、?！閷?duì)角線(xiàn)，如圖：

綜上所述，以點(diǎn)4、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，N的坐標(biāo)為（0,-2）或（0,10）.

一、單選題

1.如圖，點(diǎn)〃是菱形ABCD的邊5c的中點(diǎn)，尸為對(duì)角線(xiàn)2。上的動(dòng)點(diǎn)，若48=2,乙4=120。，則PM+

PC的最小值為（）

A.2B.V3C.V2D.1

【答案】B

【分析】連接/〃、AC,AM交BD于P,此時(shí)尸兒什尸C最小，連接CP,由菱形的性質(zhì)可知C和N關(guān)于8。

對(duì)稱(chēng)，AP=CP,由條件易證&48C是等邊三角形，根據(jù)三線(xiàn)合一可知再根據(jù)勾股定理可求的

值，即可求解.

【解析】解:連接4拉、AC,AM交BD于P,

此時(shí)尸M+PC最小，連接CP,

???四邊形/BCD是菱形,

：.OA=OC,AC1BD,

??.C和/關(guān)于A(yíng)D對(duì)稱(chēng)，

：.AP=PC,

???A4=120°,

.-.zJ5C=60°,

??.A4BC是等邊三角形，

:?AC=AB=2,

是8c的中點(diǎn)，

.■.^BAM=30°,

■■AM=y/AB2-BM2=V3，

：.PM+PC=AM=^>.

故選B.

2.已知線(xiàn)段45及直線(xiàn)/,在直線(xiàn)/上確定一點(diǎn)P,使尸N+P8最小，則下圖中哪一種作圖方法滿(mǎn)足條件

().

C.

【答案】c

【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短即可解決問(wèn)題.

【解析】解：?.?點(diǎn)43在直線(xiàn)/的同側(cè)，

.??作8點(diǎn)關(guān)于/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)夕，連接/g與/的交點(diǎn)為尸，由對(duì)稱(chēng)性可知8P=〃P,

；.PA+PB=PB%P4=4B為最小

故選：C.

3.如圖1,在菱形NBCD中，AB=6,4民4。=120。，點(diǎn)E是8C邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是對(duì)角線(xiàn)8。上一動(dòng)

點(diǎn)，設(shè)尸。的長(zhǎng)度為x,尸￡與尸C的長(zhǎng)度和為外圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中b)是圖象上的

最低點(diǎn)，則a+b的值為()

【答案】A

【分析】從圖2知，。是>=PE+PC的最小值，從圖|作輔助線(xiàn)知a=C0,Cg<PE1+PC=PE+PC；接下來(lái)

求出”（7當(dāng)=36，設(shè)與AD交于點(diǎn)￡，則求出EB=26,BD=643,最后得6=5。=4百，所以

a+6=3g+4后=7百，選A.

【解析】解：如下圖，在N2邊上取點(diǎn)耳，使得8E和2&關(guān)于對(duì)稱(chēng),

連接尸耳,得PC+PE=PC+P%,

連接C6,作C芻L/B，垂足為4，

由三角形三邊關(guān)系和垂線(xiàn)段最短知，

PE+PC=Pg+PC...CEr.CE2,

即尸E+PC有最小值CE?，

菱形/BCD中，AB=6,ZBAD=120°,

在RaBE2c中，NE/C=60°,

解得C4=36，

??,a（a,b）是圖象上的最低點(diǎn)

：.b=y=PE+PC=CE2=3y/3,

此時(shí)令C&與8。交于點(diǎn)Q,

由于BE2=3,在尺必瓦泥中,

BP—拒,又2。=6百，

P[D=4^3，

又PD的長(zhǎng)度為x,圖2中石（。,6）是圖象上的最低點(diǎn),

a=P,D=4A/3,

又b=3出,

:.a+b=7G，

故選：A.

4.如圖，等邊A42C的邊長(zhǎng)為6,4D是2C邊上的中線(xiàn)，M是40上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊/C上一點(diǎn)，若/￡=

2,則EM+CM的最小值為（）

A

A.V26B.3V3

【答案】C

【分析】連接8E,交/。于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)￡作M18C交于點(diǎn)尸，此時(shí)EM+CM的值最小，求出8E即可.

【解析】解：連接BE,交/。于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)E作EFLBC交于點(diǎn)F,

?.?/M8C是等邊三角形，是8C邊上的中線(xiàn),

??.5點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于40對(duì)稱(chēng),

：.BM=CM,

：.EM+CM=EM+BM=BE,此時(shí)EM+CM的值最小,

"AC—6,AE—2,

：.EC=4,

在RtAEFC中,乙ECF=60°,

:.FC=2,EF=26,

在RfABEF中,BF=4,

''BE—2.y/j,

故選：C.

A

5.如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)是4,點(diǎn)E是。C上一個(gè)點(diǎn)，且DE=1,尸點(diǎn)在NC上移動(dòng)，則PE+尸。的

最小值是（）

A.4B.4.5C.5.5D.5

【答案】D

【分析】連接3E,交AC于點(diǎn)、N,連接?！凹礊樗蟮狞c(diǎn)，則8E的長(zhǎng)即為。P+PE的最小值，利用勾

股定理求出8E的長(zhǎng)即可.

【解析】解：如圖，

???四邊形/BCD是正方形,

.??點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng),

連接2E,交/C于點(diǎn)N,連接ZW,

：.DN=BN,

DN+EN=BN+EN2BD,

則BE的長(zhǎng)即為。尸+PE的最小值,

.2C是線(xiàn)段8。的垂直平分線(xiàn)，

又,:CE=CD-DE=A八=3,

在RtABCE中，

BE2=CE2+BC2=25,

■：BE>Q,

；.BE=5,

即DP+PE的最小值為5,

故選：D.

6.如圖，在用A48C中，ZC=9O°,AC=6,8C=8,點(diǎn)/在邊NC上，并且C尸=2,點(diǎn)E為邊3c上的動(dòng)

點(diǎn)，將沿直線(xiàn)時(shí)翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)尸到邊距離的最小值是（）

A.1.5B.1.2C.2.4D.以上都不對(duì)

【答案】B

【解析】思路引領(lǐng)：先依據(jù)勾股定理求得N8的長(zhǎng)，然后依據(jù)翻折的性質(zhì)可知PF=FC,故此點(diǎn)尸在以尸為

圓心，以2為半徑的圓上，依據(jù)垂線(xiàn)段最短可知當(dāng)EP1N3時(shí)，點(diǎn)尸到48的距離最短，然后依據(jù)題意畫(huà)出

圖形，最后，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

在RtzMBC中，?2C=90。，AC=6,8c=8,

?t?AB-^62+82=10，

由翻折的性質(zhì)可知：PF=FC=2,乙FPE=LC=90°.

-PE\\ABf

.-.ZPD5=9O°.

由垂線(xiàn)段最短可知此時(shí)也有最小值.

又”尸為定值,

有最小值.

又???44=乙4,Z.ACB=Z.ADF,

-.AAFD-AABC.

AFDF4DF

即右=丁，解得：DF=3.2.

.?萬(wàn)一旅10o

:,PD=DF-FP=32-2=1.2.

故選：B.

7.如圖，矩形N8CD中，AB=4,8C=6,點(diǎn)尸是矩形A8CD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且&?則尸C+PD的最

小值是（）

A.473B.46

C.2V13D.2^/29

【答案】B

［分析】作PM1AD于M,作點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)PM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接PE,EC.設(shè)AM=x.由PM垂直平分線(xiàn)

段。E,推出PD=P￡,推出尸C+PD=PC+*EC,利用勾股定理求出EC的值即可.

【解析】解：如圖，作尸于M,作點(diǎn)。關(guān)于直線(xiàn)尸河的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接尸￡,EC.設(shè)NM=x.

???四邊形/8C都是矩形,

：.AB^CD,AB=CD=4,BC=AD=6,

■■SAPAB=^SAPCD,

—x4x=—x—x4x(6-X),

2X22

???x=2,

：.AM=2,DM=EM=A,

在無(wú)△ECD中，EC=^CD2+DE2=475,

?.PM垂直平分線(xiàn)段DE,

■■.PD=PE,

：.PC+PD=PC+PE>EC,

:.PD+PS4M,

.MD+PC的最小值為4VL

故選：B.

8.如圖，在A(yíng)48C中，AB=2,28c=60。，乙4cB=45°,。是8c的中點(diǎn)，直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，AE11,

BFLI,垂足分別為E,F,則/￡+8尸的最大值為（）

:'

A.*>B.2亞C.2百D.3亞

【答案】A

【分析】把要求的最大值的兩條線(xiàn)段經(jīng)過(guò)平移后形成一條線(xiàn)段，然后再根據(jù)垂線(xiàn)段最短來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CK11于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)A作AH1BC于點(diǎn)H,

在RtAAHB中，

???ZABC=6O°,AB=2,

AH=5

在RtAAHC中，ZACB=45。,

-,-AC=^AH2+CH2=J（百￥+（揚(yáng)2=a,

,?,點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，

.-.BD=CD,

^EABFD與△CKD中,

4BFD=ZCKD=90°

<NBDF=ZCDK

BD=CD

??.△BFD=ACKD(AAS),

.?.BF=CK,

延長(zhǎng)AE,過(guò)點(diǎn)C作CN1AE于點(diǎn)N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中，AN<AC,

當(dāng)直線(xiàn)11AC時(shí)，最大值為

綜上所述，AE+BF的最大值為6.

故選：A.

二、填空題

9.在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會(huì)看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、N4的打印紙等，其實(shí)這些矩形

的長(zhǎng)與寬之比都為亞:1，我們不妨就把這樣的矩形稱(chēng)為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，在“標(biāo)準(zhǔn)矩形中，如圖所示,

點(diǎn)。在DC上，且若G為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△NG0的周長(zhǎng)最小時(shí)，則磬的值為

【答案］"立

【分析】先設(shè)出矩形的邊長(zhǎng)，將N0和C。表示出來(lái)，再通過(guò)作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)確定ZUGQ的周長(zhǎng)最小時(shí)的G點(diǎn)位

置后，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的基本事實(shí)的推論建立等式求解即可.

【解析】解：設(shè)DC="DQ=AD=x,

?.C2=(V2-l)x

???矩形ABCD,

/-D=/-DCB=Z-B=90°,AB—DC—V2x,BC—AD—x;

■-AQ=y1AD2+DQ2=缶，

如圖，作0點(diǎn)關(guān)于8C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接/E交2C于點(diǎn)

：.GQ=GE,CQ=C￡=(V2-l)x

■■■AQ+QG+AG=42X+AG+EG>42X+AE，

???當(dāng)/、G、E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，A4G。的周長(zhǎng)最小，

此時(shí)G點(diǎn)應(yīng)位于圖中的M點(diǎn)處；

?.?矩形/BCD中，N0CG=9O。，

■■E點(diǎn)位于QC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，

.-■CEWAB,

,CMCE(V2-l)x2-V2

y/2x~2

即空二U

GB2

故答案為：”正

10.如圖，點(diǎn)尸是N/O8內(nèi)任意一點(diǎn)，。尸=3cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線(xiàn)04和射線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),

4408=30。，貝。APAW周長(zhǎng)的最小值是.

【答案】3

【分析】根據(jù)'將軍飲馬”模型將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識(shí)'兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”可找到APMN周長(zhǎng)的最小

的位置，作出圖示，充分利用對(duì)稱(chēng)性以及4408=30。，對(duì)線(xiàn)段長(zhǎng)度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化即可.

B

解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸分別作尸點(diǎn)關(guān)于。8、0/邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P、P",連接尸尸"、PP'、PP"、OP'、

OP",其中PP"分別交0B、0A于點(diǎn)N、M,根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”可知，此時(shí)點(diǎn)朋;N的位置是使得APW

周長(zhǎng)的最小的位置.

由對(duì)稱(chēng)性可知：PN=P'N,PM=P"M,ZP'OB=ZPOB,ZPOA=ZP"OA

OP'=OP"=OP=3,

■：APOA+APOB=ZAOB=30°

:.ZP"OA+ZP'OB=30°

ZPOA+ZPOB+ZP"OA+ZP'OB=ZP'OP"=60°

:./\P'OP"為等邊三角形

P'P"=OP'=OP"=3

：.“PMN的周長(zhǎng)=PN+PM+=P'N+P"M+MN=P'P"=3

故答案為：3

11.如圖，菱形/BCD的邊長(zhǎng)為6,乙43c=120。，”是8c邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，P是對(duì)角線(xiàn)/C上的動(dòng)點(diǎn),

當(dāng)PB+PM的值最小時(shí)，的長(zhǎng)是.

【答案】立

2

【分析】如圖，連接DP,BD,作。Hl3c于當(dāng)。、P、〃■共線(xiàn)時(shí)，尸6+尸歸加值最小，利用勾股定

理求出。再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

【解析】解：如圖，連接。P,BD,作DH上BC于H.

???四邊形是菱形，

.'.AC1BD,B、Z）關(guān)于力。對(duì)稱(chēng)，

；.PB+PM=PD+PM

當(dāng)。、尸、〃共線(xiàn)時(shí)，尸6+尸林功的值最小,

-CM=-BC=2

3

"5c=120。，

；/DBC=ABD=60。

???△05。是等邊三角形，

?；BC=6,

:CM=2,HM=1,DH=36,

在RtADMH中,

Z7k力以+力3v+f=2行

-CMWAD

PM_CM_2_\

?萬(wàn)一布藍(lán)飛

'PM=-CM=—

42

故答案為：叵.

2

12.如圖，等邊AA8C的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)￡是NC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AA8C的中線(xiàn)4D上的動(dòng)點(diǎn)，則EP+CP的

最小值是

A

【答案】273

【分析】當(dāng)連接BE,交/。于點(diǎn)尸時(shí)，￡P(guān)+CP=EP+PB=￡8取得最小值.

【解析】解：連接3E

A

???A42c是等邊三角形，4D是BC邊上的中線(xiàn),

■■.AD1BC,

以。是BC的垂直平分線(xiàn)，

???點(diǎn)C關(guān)于40的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B,

■??BE就是EP+CP的最小值.

???A48C是等邊三角形，￡是NC邊的中點(diǎn)，

???BE是徵臺(tái)。的中線(xiàn)，

.?.CE=，C=2,

莊力―-0=273

即EP+CP的最小值為2百，

故答案為：2vL

13.如圖，等邊三角形28c的邊2c上的高為6,4D是8C邊上的中線(xiàn)，M是線(xiàn)段ND上的-一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E

是NC中點(diǎn)，則EM+CM的最小值為

【答案】6

【分析】連接3E交N。于河，則8E就是EA/+CM的最小值，通過(guò)等腰三角形的“三線(xiàn)合一”，可得BE=AD

即可得出結(jié)論.

【解析】解：連接2E,與4D交于點(diǎn)

D

■：AB=AC,4D是3c邊上的中線(xiàn)，

:.B、C關(guān)于/。對(duì)稱(chēng)，貝ij￡M+CM=EW+8M,

則BE就是EM+CM的最小值.

??,E是等邊A45c的邊/C的中點(diǎn)，40是中線(xiàn)

'-BE=AD=69

■■.EM+CM的最小值為6,

故答案為：6.

14.如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)M在。。上且。M=2,N是/C上的一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小

值是.

wB'---------

【答案】10

【分析】要求DN+MV的最小值，DN,不能直接求，可考慮通過(guò)作輔助線(xiàn)轉(zhuǎn)化ZW,的值，從而找

出其最小值求解.

【解析】解：???正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)3與點(diǎn)D是關(guān)于直線(xiàn)/C為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

???連接8N,BD,

：.BN=ND,

■.DN+MN=BN+MN,

連接陽(yáng)/交NC于點(diǎn)尸，

■.?點(diǎn)N為/C上的動(dòng)點(diǎn)，

由三角形兩邊和大于第三邊，

知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸時(shí)，BN+MN=BP+PM=BM,

BN+MN的最小值為BM的長(zhǎng)度，

???四邊形為正方形，

:.BC=CD=8,CM=8-2=6,乙BCM=90°,

：.BM=762+82=10,

.?.DN+九加的最小值是10.

故答案為：10.

三、解答題

15.如圖，在一條東西向的馬路上有廣場(chǎng)/和醫(yī)院C,在各自正北方向上分別有汽車(chē)站3和汽車(chē)站D,已

知/C=14km,48=4km,CD=8km,市政府打算在馬路/C段之間建造一個(gè)加油站尸.

（1）若要使得加油站P到兩汽車(chē)站的距離之和最小，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖1中作出加油站尸的位置，并直接

寫(xiě)出此時(shí)的最小值.（作圖請(qǐng)保留痕跡，結(jié)果可以保留根號(hào)）

（2）若要使得加油站到兩汽車(chē)站的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出加油站尸的位置，并求出此時(shí)

PA的距離.（作圖請(qǐng)保留痕跡）

5方

cC

圖1-------------------圖2

【答案】（1）圖見(jiàn)解析，2府km；（2）圖見(jiàn)解析，ykm.

【分析】（1）作點(diǎn)2關(guān)于ZC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)2'，連接。夕交/C于點(diǎn)尸，連接尸2,此時(shí)尸2+尸。的值最小，利用

勾股定理求出最小值；

（2）連接2D,作線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)交ZC于點(diǎn)P,連接P2,PD,點(diǎn)尸即為所求，設(shè)P/=xkm,利用

勾股定理求解即可.

【解析】解：（1）如圖1中，點(diǎn)尸即為所求.

B'

過(guò)點(diǎn)D作DELAB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.則四邊形ACDE是矩形,

：.AC=DE=14(km),CD=AE=8(km),

,.\45=45'=4km,

；.EB'=AE+AB'=12(km),

；?PB+PD的最小值=。夕=NDE?+EB，—V142+122=A/340=2785(km).

(2)如圖2中，點(diǎn)P即為所求，

設(shè)PZ=xkm,CP=(14-x)km,

???ZL4=NC=90°,

在RtAABP和RtAPCD中，PB=PD,

/.42+x2=82+(14-%)2,

解得X=?

■■.AP=—(km).

7

16.如圖，一個(gè)牧童在小河的南4華里(長(zhǎng)度單位)的/處牧馬，而他正位于他的小屋8的西8華里北7

華里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

小河

8小屋

【答案】"華里

【分析】作出/點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接H8交于點(diǎn)P,則48就是最短路線(xiàn)，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的

性質(zhì)，得出4P=/尸，根據(jù)勾股定理得出03=17,即可求出最短路徑.

【解析】解：作出/點(diǎn)關(guān)于九/N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接H8交于點(diǎn)尸，則H8就是最短路線(xiàn)，如圖所示：

，’小河

....................-i

5小屋

A'M=AM=4,4/=8,4￡>=15,

,?,MN垂直平分//,

A'P=AP,

???在RtAl'BD中,A'B2=A'D2+5D2=152+82=172?

:.A'B=\1,

；.AP+BP=A'B=17(華里).

答：牧童所走的最短里程是17華里.

17.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)42,5),5(2,1),C(6,l).

JA

⑴畫(huà)出“BC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△4gG；

（2）在X軸上找一點(diǎn)尸，使尸8+PC的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡），并寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）見(jiàn)解析,P的坐標(biāo)為（4,0）.

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)結(jié)合坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)4B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4、B1、C”即可作

出與G；

（2）作出點(diǎn)3關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)巳，連接&C,交x軸于尸，點(diǎn)P即為所求做的點(diǎn).

【解析】（1）解：解：（1）如圖所示，即為A/BC關(guān)于〉軸對(duì)稱(chēng)的三角形.

（2）解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求做的點(diǎn)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4，°）.

A

X

18.如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)N,B,C都是格點(diǎn).

(1)畫(huà)出A48C關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的△4&G.

(2)若8為坐標(biāo)原點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出4、4、G的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度..

(3)如圖2,A,C是直線(xiàn)同側(cè)固定的點(diǎn)，。是直線(xiàn)九W上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線(xiàn)VN上畫(huà)出點(diǎn)。，使NO+ZX?

最小.(保留作圖痕跡)

圖1圖2

【答案】⑴畫(huà)圖見(jiàn)解析；⑵4(5,-1),4(0,0)6(2,2),皿=10；(3)畫(huà)圖見(jiàn)解析

【分析】(1)分別確定4瓦。關(guān)于兒w對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4,練G，再順次連接4,4，G，從而可得答案；

(2)根據(jù)4,練G在坐標(biāo)系內(nèi)的位置直接寫(xiě)其坐標(biāo)與N4的長(zhǎng)度即可；

(3)先確定C關(guān)于血W的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，再連接/C”交MN于D,則NO+CD=/O+GO=/￡,從而可得答

案.

【解析】解：(1)如圖1,△48?是所求作的三角形,

A,||OA\X

N

圖1

(2)如圖1,B為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則4(5,-1),4(0,0),G(2,2).

AAX=10.

(3)如圖2,點(diǎn)。即為所求作的點(diǎn).

慳

!!1i51L!

|……|

:i:±

]0

N

圖2

19.如圖，一次函數(shù)7=履-6過(guò)點(diǎn)/(-；2,-2),與y軸交于點(diǎn)反

4

(1)求一次函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)B坐標(biāo);

(2)在無(wú)軸上找一點(diǎn)C,連接5C,AC.當(dāng)2C+/C最小時(shí)，

①請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

②請(qǐng)直接寫(xiě)出直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式為；

③在坐標(biāo)軸上找點(diǎn)。，連接8。，CD,使S/3C=S43C。，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

【答案】(l?=-2x-6,B(0,-6)

351

(2)①(--，0)；@y=-4x-6；③(-30)或(-5,0)或(0,-2)或(0,-10)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解式，進(jìn)入求得8的坐標(biāo)；

(2)①作8關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)2'為(0,6),連/夕，交x軸于點(diǎn)C,此時(shí)8C+/C最小，用待定系數(shù)法求

出/9，進(jìn)一步求出。點(diǎn)坐標(biāo)；②利用待定系數(shù)法即可求得直線(xiàn)3c的解析式；③求得的面積，然

后根據(jù)三角形面積公式得CD和BD的長(zhǎng)度進(jìn)而即可求得D的坐標(biāo).

【解析】(1)解：???一次函數(shù)y=Ax-6過(guò)點(diǎn)/(-2,-2)

■■--2=-2k-6,解得卜-2

?'?y=-2x-6

：.B(0,-6)

(2)①3點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是4(°，6),連接8〃交x軸于點(diǎn)C,此時(shí)/C+8C最小,

設(shè)直線(xiàn)的解析式為》=辦+6,則

b=6。=4

解得

-2=-2a+bb=6

?,少=4x+6

3

???當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，x=--,

3

?,?點(diǎn)C0)

2

3

故答案為：(-；,0)

2

②設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=mx+n,則

n=-6

；3，

。=——m+n

[2

fm=-4

解得於

[n=-6

：,y=-4x-6

故答案為：y=-4x-6

3

③以(-2,-2),B(0,-6)5(0,6),C(--,0)

i13

SMBC~S^~SNEBC=-><12X2--X12X-=3

1

當(dāng)。在x軸時(shí)，國(guó)即=界0行3,,

即10X6=3

2

.-.CD=1

.?.點(diǎn)。為(―g,0)或(一；,0)

1

當(dāng)。在y軸上時(shí)，^ra=-xBDxO>3,

i3

即」比x己二3

22

???3D=4

???點(diǎn)。為(0,-2)或(0,-10)

故答案為：(-1,0)或(-g,0)或(0,-2)或(0,-10)

(1)問(wèn)題解決：請(qǐng)結(jié)合圖①，寫(xiě)出例1的完整解答過(guò)程.

(2)問(wèn)題探究：在菱形/BCD中，對(duì)角線(xiàn)/C、8。相交于點(diǎn)O,AB=4,4BAD=2乙4BC.過(guò)點(diǎn)。作。E///C

交3c的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)￡.如圖②，連結(jié)則的長(zhǎng)為.

(3)如圖③，若點(diǎn)尸是對(duì)角線(xiàn)AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)尸C、PE,則PC+PE的最小值為.

【答案］(1)見(jiàn)解析；(2心正；(3產(chǎn)若

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)先得出48=60。，進(jìn)而證明A/BC是等邊三角形.

（2）先證明四邊形ZCED是菱形，再求出N8E=90。，用勾股定理即可求出?！甑拈L(zhǎng).

（3）先找出點(diǎn)4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到PC+PE的最小值為/￡的長(zhǎng)，利用勾股定理求出NE的長(zhǎng)即

可.

【解析】（1）???四邊形N5CD是菱形，

：.ADHBC,

/B4D+/B=180°.

ABAD=2Z5,

/B=60°.

???四邊形/BCD是菱形，

AB=BC.

.?.△/8C是等邊三角形.

（2）?四邊形/8C。是菱形，

：.ADHBC,

又?:DEI〕AC,

四邊形/CED是平行四邊形，

由（1）可得，AB=AC=AD

故四邊形/CED是菱形；

貝I/ADE=120°,DE=AD=4,4BDC=30。,OA=2,

:.OD=yjAD2-OA2="2-2?=2A/3

/ODE=120°-30°=90°

貝UOE=yJOD2+DE2=7（273）2+42=277?

（3）如圖所示，過(guò)N作8E的垂線(xiàn)交BE于點(diǎn)R連接/E,

A點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C,

則PC+PE的最小值為NE；

?.?△NBC為等邊三角形，

NBAF=30°>

:.AF=2拒,CF=2,EF=6

AE=yjAF2+EF2=7（273）2+62=473

貝UPC+PE的最小值為.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo);

（2）點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形POC3的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形尸。C8的面積;

（3）把直線(xiàn)《沿y軸向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新直線(xiàn)4與直線(xiàn)4交于點(diǎn)E,試探究在x軸上是否存在點(diǎn)Q,

在平面內(nèi)存在點(diǎn)尸使得以點(diǎn)。，Q,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形是菱形（含正方形）？若存在，直接寫(xiě)出符合條

件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,-1）

（2）S四邊形上℃B=9

（3）存在,點(diǎn)0的坐標(biāo)為:（L0）,（3-272,0）,（3+272,0）,（-1,0）

【分析】（1）由待定系數(shù)法求出直線(xiàn)4的解析式為y=2x-9,然后聯(lián)立直線(xiàn)4與直線(xiàn)4,即可求出點(diǎn)c的坐

標(biāo)；

（2）如圖，作點(diǎn)。關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。燈連接5。交y軸于點(diǎn)尸，連接。P,當(dāng)尸、B、。，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，

四邊形尸DC5的周長(zhǎng)最小，求出直線(xiàn)5。的解析式為歹=f-3,則可求尸（0,-3）,進(jìn)而由

S四邊形DPC3=S△ABD，-S&PDU-^^ACD求解即可;

(3)由題意可知直線(xiàn)4的解析式為y=2x,聯(lián)立線(xiàn)4與直線(xiàn)3求出后(1,2),設(shè)0(加,0),分三種情況，①

當(dāng)ED為菱形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，利用=8可得點(diǎn)0坐標(biāo)；②當(dāng)為菱形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，利用。E=。?？傻命c(diǎn)。

坐標(biāo)；③當(dāng)小為菱形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，利用E0=ED可得點(diǎn)。坐標(biāo).

【解析】(1)解：設(shè)直線(xiàn)4的解析式為y=h+J由直線(xiàn)4經(jīng)過(guò)"卜'°18(2,3)兩點(diǎn)可得：

—k+b=0\k=2

2，解得-9，

2k+b=-5〔"一

；?直線(xiàn)乙的解析式為V=2x-9,

又；直線(xiàn)/2：y=r+3與直線(xiàn)4交于點(diǎn)c,

-x+3=2x-9,解得x=4,

當(dāng)x=4時(shí)，則y=-l,

.??點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,-1)；

(2)解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。外連接8。交y軸于點(diǎn)尸，連接。尸，根據(jù)兩點(diǎn)之間“線(xiàn)段最短”可

知，當(dāng)尸、B、。，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，

直線(xiàn)小V=r+3與x軸的交點(diǎn)為。(3,0),

又；點(diǎn)D和點(diǎn)。，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

；?點(diǎn)。'(TO),

DD'=\-3-3\=6,

-3k+b=0

設(shè)直線(xiàn)5。的解析式為N=h+可得

2k+b=—5

，直線(xiàn)8。的解析式為y=-x-3,

令x=0,則y=-3,得點(diǎn)尸(0,—3),

|詞=；

-DD'-x6x3=9,

??PDD'=2

15一_3

又???ADr=-3-2=—,AD=32

222~2,

x

^|=1xy-.=75

??JS'=-AD'?

△AADRUN2

,15??13,3

-ScAACD=5X5X1=a,