模塊3離散型隨機(jī)變量及其分布

§第1節(jié)條件概率公式、全概率公式

一、內(nèi)容提要

本節(jié)包含條件概率公式、乘法公式、全概率公式三部分內(nèi)容，考試的重點(diǎn)是能夠用它們?nèi)?/p>

求概率，以及證明一些概率恒等式.下面先梳理這些公式及有關(guān)性質(zhì).

1.條件概率公式：在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率P(B|A)=需,計(jì)算條件概率

常用兩種方法.

①基于樣本空間Q,分別計(jì)算P(A)和P(AB),代上述條件概率公式求P(B|A).

②根據(jù)條件概率的直觀意義，以事件A作為新的樣本空間，來(lái)求事件B發(fā)生的概率.如圖1,

P(B|A)即為在A中考慮B發(fā)生的概率，所以P(B|A)等于陰影部分的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)除以事件A的樣

本點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.條件概率的性質(zhì)：

①P(Q|A)=1;②若B,C互斥,則P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A);③P(B|A)=-P(引A).

3.乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A),這一公式就是條件概率公式的變形.實(shí)際上，P(AB)也可寫

成P(B)P(A|B),實(shí)際應(yīng)用時(shí)選擇A還是B作為條件，要看問(wèn)題中P(B|A),P(A|B)哪個(gè)好算，通

常情況下，已知前面的試驗(yàn)結(jié)果，計(jì)算后面試驗(yàn)結(jié)果的概率比較好算，所以我們常選擇以前面

的試驗(yàn)結(jié)果為條件.

4.全概率公式：設(shè)A1，A2,…,An兩兩互斥，AlUA2U…UAn=Q,且P(Aj)>0

(=1，2，…，n),則對(duì)任意的事件B￡Q,有P(B)=E'P(Ai)P(B|A事用全概率公式求概率,其本

質(zhì)是將樣本空間劃分成若干個(gè)部分，如圖2,在每一部分上分別求事件B的概率，再相加，所

以找到合適的劃分樣本空間的方法是解題的關(guān)鍵.若把樣本空間Q按某一事件A是否發(fā)生來(lái)劃

分，如圖3,則可以得出P(B)=P(A)P(B|A)+P(QP(B|Q,這是全概率公式的一種特殊情況.

二、考點(diǎn)題型

類型I:公式計(jì)算、化簡(jiǎn)與判斷

【例1】若P(A)=0.2,P(B|A)=0.15,貝I]P(AB)；P(AB)

【例2】已知P(A)>0,P(B)>0,P(C)>0,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.若事件A,B獨(dú)立，則P(A)=P(A|B)

B.若事件A,B互斥，則P((A+B)|C)=P(A|C)+P(B|C)

C.設(shè)事件B與B互為對(duì)立事件，則P(B|A)+P(B|A)=1

D.若事件A,B互斥,則P(C|(A+B))=P(C|A)+P(C|B)

類型II：計(jì)算條件概率

【例3】設(shè)100件產(chǎn)品中有70件一等品，25件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品，從中任取1

件，在已知取得的是合格品的條件下，它是一等品的概率為.

【變式】從1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，記事件A為“第一次取到的

是奇數(shù)”，事件B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍"，則P(B|A)=.

【總結(jié)】計(jì)算條件概率，常用兩種方法：①套用條件概率公式；②用條件的直觀意義來(lái)縮小樣

本空間，以條件為新的樣本空間，分析事件的概率.

類型m：用乘法公式求P(AB)

【例4】市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%,乙廠產(chǎn)品占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,乙

廠產(chǎn)品的合格率是80%,則從市場(chǎng)上隨機(jī)買一個(gè)燈泡，買到甲廠合格燈泡的概率是()

A.0.665B.0.56C.0.24D.0.285

【總結(jié)】當(dāng)事件A,B不獨(dú)立時(shí)，可用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)來(lái)計(jì)算P(AB);而當(dāng)A,B相

互獨(dú)立時(shí)，由于P(B|A)=P(B),所以P(AB)=P(A)P(B)=P(A)P(B|A),故這一公式其實(shí)是乘法公式

的特例.

類型IV：用全概率公式計(jì)算概率

【例5】甲、乙為完全相同的兩個(gè)不透明袋子，袋內(nèi)均裝有除顏色外完全相同的球.甲袋中裝有

5個(gè)白球，7個(gè)紅球，乙袋中裝有4個(gè)白球，2個(gè)紅球，從兩個(gè)袋中隨機(jī)抽取一袋，再?gòu)脑摯?/p>

隨機(jī)摸出1個(gè)球，則摸出的球是紅球的概率為（）

DI

B戰(zhàn)

【反思】用全概率公式求事件B的概率，關(guān)鍵是選擇合適的方法將樣本空間。劃分成A「A2,

An,在各部分上分別計(jì)算事件B的概率，再相加.例如，本題將樣本空間劃分成了摸出

的球來(lái)自甲袋和摸出的球來(lái)自乙袋兩種情況，這樣一劃分，分別計(jì)算摸到紅球的概率就簡(jiǎn)單了.

【變式1】某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5mm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有25塊該規(guī)格的

芯片，其中甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為5塊、10塊、10塊，若甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次品

率分別為0.1,0.2,0.3,則從這25塊芯片中任取一塊芯片，取到正品的概率為（）

A.0.78B.0.64C.0.58D.0.48

【變式2］某人連續(xù)兩次對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，若第一次擊中目標(biāo),則第二次也擊中目標(biāo)的概率

為0.7,若第一次未擊中目標(biāo)，則第二次擊中目標(biāo)的概率為0.5,已知第一次擊中目標(biāo)的概率

是0.8,則在第二次擊中目標(biāo)的條件下，第一次也擊中目標(biāo)的概率為（）

.1414

A.—B.—

2533噫

【反思】本題的流程其實(shí)是求包含條件概率問(wèn)題的通法，分三步：①先設(shè)出涉及的事件；②將

題目的條件用概率符號(hào)羅列出來(lái)；③對(duì)比條件概率公式與全概率公式，選擇合適的公式套用已

知的數(shù)據(jù).

【例6】有研究顯示，人體內(nèi)某部位的直徑約10mm的結(jié)節(jié)約有0.2%的可能性會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為

惡性腫瘤，某醫(yī)院引進(jìn)一臺(tái)檢測(cè)設(shè)備，可以通過(guò)無(wú)創(chuàng)的血液檢測(cè)，估計(jì)患者體內(nèi)直徑約10mm的

結(jié)節(jié)是否會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤，若檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則提示該結(jié)節(jié)會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性

腫瘤，若檢測(cè)結(jié)果為陰性，則提示該結(jié)節(jié)不會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤.這種檢測(cè)的準(zhǔn)確率為8

5%,即一個(gè)會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的患者有85%的可能性被檢測(cè)出陽(yáng)性，一個(gè)不會(huì)在1年內(nèi)

發(fā)展為惡性腫瘤的患者有85%的可能性被檢測(cè)出陰性.患者甲被檢查出體內(nèi)長(zhǎng)了一個(gè)直徑約10m

m的結(jié)節(jié)，他做了該項(xiàng)無(wú)創(chuàng)血液檢測(cè).

（1）求患者甲檢測(cè)結(jié)果為陰性的概率；

⑵若患者甲的檢測(cè)結(jié)果為陰性，求他的這個(gè)結(jié)節(jié)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的概率.（保留5位小

數(shù)）

【總結(jié)】從上述幾題可以看出，問(wèn)題的情境可能簡(jiǎn)單，可能復(fù)雜，用全概率公式求概率的關(guān)鍵都

是結(jié)合所給信息劃分樣本空間，可能劃分成兩部分（如例5等），也可能劃分成三部分（如變式1

等），甚至更多.

類型V：條件概率、全概率公式綜合題

【例7】在某地區(qū)進(jìn)行某種疾病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位這種疾病患者的年齡，得到如下樣本

數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于［40,50）的人口數(shù)占該地區(qū)總?cè)丝?/p>

數(shù)的16%,從該地區(qū)選出1人，若此人的年齡位于［40,50）,求此人患這種疾病的概率.（精確到

0.0001）

【例8】某種電子玩具按下按鈕后，會(huì)出現(xiàn)亮紅燈或綠燈.已知按鈕第一次按下后，出現(xiàn)紅燈與

綠燈的概率都是|,從第二次按下按鈕起，若前一次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率為*若

前一次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率為|,記第n(n€N*)次按下按鈕后出現(xiàn)紅燈的概率

為Pn-

(1)求Pz的值；(2)證明：｛Pn—3為等比數(shù)列，并求Pn.

【反思】這種概率遞推問(wèn)題較新穎，但只要分析清第n次和第n-1次的事件聯(lián)系，即可建立遞推

公式.

【例9】某大學(xué)有A,B兩個(gè)餐廳為學(xué)生提供午餐與晚餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晚餐

都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐的情況統(tǒng)計(jì)如下：

選擇餐廳情況(午餐，晚餐)(A,A)(A,B)(B,A)(B,B)

30天20天40天

20天25天40天

假設(shè)甲、乙選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

(1)分別估計(jì)一天中甲午餐和晚餐都選擇餐廳A就餐的概率，乙午餐和晚餐都選擇餐廳B就餐的

概率；

(2)假設(shè)E表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，F(xiàn)表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，P(E)>0,一

般來(lái)說(shuō)在推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐

廳就餐的概率要大，證明：P(E|F)>P(E|F).

§第2節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征

一、內(nèi)容提要

離散型隨機(jī)變量是概率統(tǒng)計(jì)部分的重要內(nèi)容，相關(guān)考題很常見(jiàn)，下面先梳理本節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí).

1.離散型隨機(jī)變量

①分布列：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為Xi，X2，,Xn，我們稱取每一個(gè)值Xi的概率.P(X

=Xj)=Pi(i=1，2,…，n)為X的分布列，分布列也可用如下的表格表示:

X???

XiX2Xn

???

PPiP2Pn

②均值：我們稱E(X)=X1P1+X2P2+-+XnPn=￡[LiXiPi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)

稱期望)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

2222

③方差：稱D(X)=-E(X)]pi+[x2-E(X)]p2+?-?+[xn-E(X)]pn=XiLJXi-E(X)]pj

為隨機(jī)變量X的方差，方差有時(shí)也記作Var(X),并稱，函為X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為"(X).方差和

標(biāo)準(zhǔn)差都能反映隨機(jī)變量取值的離散程度，方差越大，隨機(jī)變量取值的離散程度越大，越不穩(wěn)

定.

2.均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)：設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，a,b為常數(shù)，則

①D(X)=E(X2)-[E(X)]2=XiLiX?Pj-[E(X)]2,這是方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式；

@E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X),cy(aX+b)=|a|c(X)這是期望和方差的性質(zhì).

二、考點(diǎn)題型

類型I：含參分布列的期望和方差有關(guān)小題

【例1】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下:

X-1012

1

pabc

12

若E(X)=O,D(X)=1,則P(X<1)=()

【變式1】設(shè)?！碼Wb,隨機(jī)變量X的分布列為

X124

Paba+b

則X的期望E(aX+b)的取值范圍是

【變式2】已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

X012

b

Pab2

則當(dāng)D(X)取得最大值時(shí)，a的值為()

【總結(jié)】①E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X);；②給出離散型隨機(jī)變量X的分布列，分析

期望E(X)或方差D(X)的最值，常由隱含條件概率和為1建立變量間的關(guān)系，用于對(duì)E(X)或D(X)

消元化單變量函數(shù)再分析最值.

類型II:選取類大題

【例2】某地開(kāi)展生態(tài)環(huán)境保護(hù)主題的知識(shí)競(jìng)賽，滿分為100分，現(xiàn)從參賽者的答卷中隨機(jī)抽取

100份作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下成績(jī)分布表：

競(jìng)賽分?jǐn)?shù)(60,70](70,80](80,90](90,100]

份數(shù)8324020

若對(duì)競(jìng)賽的得分類別作如下規(guī)定：得分大于90分的為“優(yōu)秀”，得分大于80分不大于90分的

為“良好”.

(1)估計(jì)所有參賽者的得分的平均數(shù)；

(2)從獲得“良好”和“優(yōu)秀”等級(jí)的樣本試卷中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取6份，再

從中隨機(jī)抽取3份，這3份中獲“優(yōu)秀”者獎(jiǎng)勵(lì)200元購(gòu)書券，獲“良好”者獎(jiǎng)勵(lì)100元購(gòu)書券,

記購(gòu)書券總金額為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【總結(jié)】求選取類離散型隨機(jī)變量的分布列問(wèn)題，關(guān)鍵是把不同的選取方法和隨機(jī)變量的取值對(duì)

應(yīng)起來(lái)，用古典概率公式求概率分布.

類型皿：計(jì)分類大題

【例3】甲、乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班選出3人組成甲、乙兩支代表隊(duì)，每隊(duì)初始分

均為4分，首輪比賽每人回答一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得2分，答錯(cuò)或不答扣1分.已知甲隊(duì)

3人每人答對(duì)的概率分別是p,乙隊(duì)3人答對(duì)的概率分別是設(shè)每人回答正確與否相互

324332

之間沒(méi)有影響，用X表示首輪結(jié)束后甲隊(duì)的總分.

(1)求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)總分之和為14的條件下，甲隊(duì)與乙隊(duì)得分相同的概率.

【例4】某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類問(wèn)題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類

問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則

從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中

的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0

分.已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6,且能正確

回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

(1)若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

【總結(jié)】求計(jì)分類離散型隨機(jī)變量的分布列問(wèn)題，關(guān)鍵是理清每種試驗(yàn)結(jié)果下的得分，需注意的

是有時(shí)相同的得分可能對(duì)應(yīng)不同的試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)應(yīng)分別計(jì)算再相加.這類題在求概率分布時(shí)

常綜合運(yùn)用獨(dú)立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式.

類型IV：比賽類大題

【例5】甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,

則判定勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為|,乙獲勝的概率為各局比賽結(jié)果相互

獨(dú)立.

(1)求乙只贏1局且甲贏得比賽的概率；

(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和期望.

【例6】中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽(簡(jiǎn)稱CBA)半決賽采用五局三勝制，具體規(guī)則為比賽最多進(jìn)行五

場(chǎng)，當(dāng)參賽的雙方有一方先贏得三場(chǎng)比賽，就由該方獲勝而比賽結(jié)束，每場(chǎng)比賽都需分出勝負(fù).

同時(shí)比賽采用主客場(chǎng)制，比賽先在A隊(duì)的主場(chǎng)進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，再移師B隊(duì)主場(chǎng)進(jìn)行兩場(chǎng)比賽(有

必要才進(jìn)行第二場(chǎng))，如果需要第五場(chǎng)比賽，則回到A隊(duì)的主場(chǎng)進(jìn)行，已知A隊(duì)在主場(chǎng)獲勝的概

率在客場(chǎng)獲勝的概率假設(shè)每場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立

(1)第一場(chǎng)比賽B隊(duì)在客場(chǎng)通過(guò)全隊(duì)的努力先贏了一場(chǎng)，賽后B隊(duì)的教練鼓勵(lì)自己的隊(duì)員說(shuō)“勝

利的天平已經(jīng)向我們傾斜”，試從概率大小的角度判斷B隊(duì)教練的話是否客觀正確；

(2)每一場(chǎng)比賽，會(huì)給主辦方在門票、飲食、紀(jì)念品銷售等方面帶來(lái)綜合收益300萬(wàn)元，設(shè)整

個(gè)半決賽主辦方綜合收益為"求S的分布列與期望.

【總結(jié)】比賽類離散型隨機(jī)變量問(wèn)題解題的核心是將隨機(jī)變量的各種取值與各局比賽的勝負(fù)情況

對(duì)應(yīng)起來(lái)，若有主客場(chǎng)之分，還需注意主客場(chǎng)獲勝的概率不同.

類型V：其它綜合類

【例7】有3臺(tái)機(jī)床加工同一型號(hào)的零件,第1臺(tái)加工的次品率為6%,第2,3臺(tái)加工的次品率均為

5%,加工出來(lái)的零件混放在一起，已知第1,2,3臺(tái)機(jī)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,

45%.

⑴任取一個(gè)零件，求取到的是次品的概率；

(2)任取一個(gè)零件，在取到的零件是次品的條件下，零件來(lái)自第一臺(tái)機(jī)床將損失1萬(wàn)元，來(lái)自第

二臺(tái)機(jī)床將損失2萬(wàn)元，來(lái)自第三臺(tái)機(jī)床將損失3萬(wàn)元.設(shè)該工廠的損失為X萬(wàn)元，求X的分布

列與數(shù)學(xué)期望.

【例8】某一部件由4個(gè)電子元件按如圖所示的方式連接而成，4個(gè)元件同時(shí)正常工作時(shí)，該部

件正常工作，若有元件損壞，則部件不能正常工作，每個(gè)元件損壞的概率為p(0<p<l),且各元

件能否正常工作相互獨(dú)立.

—元件1—元件2—元件3—元件4—

(1)當(dāng)p=0.2時(shí)，求該部件正常工作的概率；

(2)使用該部件之前需要對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)，有以下兩種檢測(cè)方案.

方案甲：將每個(gè)元件拆下來(lái)，逐個(gè)檢測(cè)其是否損壞，即需要檢測(cè)4次；

方案乙：先將該部件進(jìn)行一次檢測(cè)，如果正常工作則檢測(cè)停止，若該部件不能正常工作則

需逐個(gè)檢測(cè)每個(gè)元件.

若每進(jìn)行一次檢測(cè)需要花費(fèi)a元，且選擇方案乙檢測(cè)的平均費(fèi)用更低，求p的取值范圍.

§第3節(jié)二項(xiàng)分布與超幾何分布

一、內(nèi)容提要

二項(xiàng)分布與超幾何分布是兩個(gè)容易混淆的概念，本節(jié)歸納與之相關(guān)的一些常見(jiàn)題型，下面

先梳理二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念.

1.二項(xiàng)分布：在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(O<p<l),用X表

示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=CM/i_p)n-k,其中k=0,1,2，…,n,稱隨

機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X?B(n,p).

2.期望和方差：若X?B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(l-p).

3.超幾何分布：設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中次品M件,其余為合格品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n

件,記取到次品的件數(shù)為隨機(jī)變量X,貝I]P(X=k)=嗎產(chǎn)，其中卜=m,m+1,m+2，…,r,且m

=max{0,n-N+M),r=min{n,M}.具有上述概率分布的隨機(jī)變量X即為服從超幾何分布的

隨機(jī)變量，其均值E(X)=n?%=!!□其中p=￡表示抽取一件產(chǎn)品取到次品的概率.上面的表

述較為抽象，可結(jié)合例4的幾道題來(lái)理解.

4.二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系：對(duì)于不放回的抽取，當(dāng)n遠(yuǎn)小于N時(shí)，每抽取一次后，對(duì)N

的影響很小，此時(shí)，超幾何分布可用二項(xiàng)分布近似.

二、考點(diǎn)題型

類型I:二項(xiàng)分布概念題

【例1】假設(shè)蘇州肯帝亞球隊(duì)在某賽季的任一場(chǎng)比賽中輸球的概率都等于p(0<p<l),且各場(chǎng)

比賽互不影響.令X表示連續(xù)9場(chǎng)比賽中輸球的場(chǎng)數(shù)，且P(X=5)=P(X=6),則球隊(duì)在這連續(xù)

9場(chǎng)比賽中輸球場(chǎng)數(shù)的期望為.

【變式1】甲與乙進(jìn)行投籃游戲，在每局游戲中兩人分別投籃兩次，每局投進(jìn)的次數(shù)之和不小于

3則該局游戲勝利，已知甲、乙兩名隊(duì)員投籃相互獨(dú)立且投進(jìn)的概率均為|,現(xiàn)進(jìn)行27局游戲，

設(shè)X為甲、乙兩名隊(duì)員勝利的局?jǐn)?shù)，則X的期望為.

【反思】在分析n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，一定要先弄清楚一次試驗(yàn)中的成功概率，一次試驗(yàn)不一定

是投一次籃，或拋一枚硬幣，也可能是投多次籃，或拋幾次硬幣，要看題干如何規(guī)定.

【變式2】已知隨機(jī)變量3的金迪恒F：______________________

012

22

P(1-P1)2p1(l-p1)P

其中i=l,2,若T<P1<P2<L貝|J()

A.E(無(wú))<E(&),D(3?I+1)<D(3七+1)B.E&)<E&),D⑶i+1)>D⑶2+1)

C.E&)>E&),D⑶i+1)<D陽(yáng)2+1)D.E(ti)>E(Q),D(3基+1)>D(3七+D

【反思】這類由含參分布列比較期望、方差大小的題，都可用特值法求解.例如，本題可取

P1=|,p2=*代入分布列求出心和3的期望和方差再比較?

類型II:二項(xiàng)分布綜合題

【例2】某學(xué)校高三年級(jí)學(xué)生參加某項(xiàng)體育測(cè)試，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法

從中抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：［30,40),［40,50),…，［90,10

0］,整理得到如下的頻率分布直方圖：

(1)若規(guī)定小于60分為“不及格”，從該學(xué)校高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生不及

格的概率；

⑵若規(guī)定分?jǐn)?shù)在［80,90)為“良好”，［90,100］為“優(yōu)秀”，用頻率估計(jì)概率，從該校高三年

級(jí)(總?cè)藬?shù)較多)隨機(jī)抽取3人，記該項(xiàng)測(cè)試分?jǐn)?shù)為“良好”或“優(yōu)秀”的人數(shù)為X,求X的分布

列，期望和方差.

【反思】像這種從某處取幾個(gè)人，求取到某類個(gè)體的個(gè)數(shù)的分布列這種題，一定要注意是從總體

中取，還是從個(gè)體數(shù)較少的樣本中取.若是前者，由于抽取的人數(shù)往往遠(yuǎn)小于總?cè)藬?shù)，所以常

按二項(xiàng)分布處理；而后者，則按超幾何分布來(lái)求分布列.

【例3】某芯片研發(fā)團(tuán)隊(duì)表示已自主研發(fā)成功多維先進(jìn)封裝技術(shù)XDFOI,可以實(shí)現(xiàn)4nm手機(jī)SOC

芯片的封裝，這是中國(guó)芯片技術(shù)的又一個(gè)重大突破，對(duì)中國(guó)芯片的發(fā)展具有極為重要的意義.

可以說(shuō)國(guó)產(chǎn)4nm先進(jìn)封裝技術(shù)的突破，激發(fā)了中國(guó)芯片的潛力，證明了知名院士倪光南所說(shuō)的

先進(jìn)的技術(shù)是買不來(lái)的，求不來(lái)的，自主研發(fā)才是最終的出路.研發(fā)團(tuán)隊(duì)準(zhǔn)備在國(guó)內(nèi)某著名大

學(xué)招募人才，準(zhǔn)備了3道測(cè)試題，答對(duì)其中任意2道就可以被錄用，甲、乙兩人報(bào)名參加測(cè)試，

假設(shè)他們答對(duì)每道題的概率均為p(0<p<1),且每人是否答對(duì)每道題相互獨(dú)立，若甲3道試題

均作答，乙隨機(jī)選擇了2道題作答.

(1)分別求甲和乙被錄用的概率；

(2)設(shè)甲和乙中被錄用的人數(shù)為&請(qǐng)判斷是否存在唯一的p,使E?=1.5?并說(shuō)明理由.

【總結(jié)】在概率統(tǒng)計(jì)綜合大題中，二項(xiàng)分布常作為其中的一部分出現(xiàn)，這類題的難點(diǎn)是融入了陌

生的實(shí)際情境中，且綜合性強(qiáng)，所以熟悉各種基本概念是解決這類題的前提.

類型m：超幾何分布概念題

【例4】現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中有2件次品，其余為合格品，從中任取2件，記抽到次品的件數(shù)

為X,則E(X)=

【反思】若熟悉超幾何分布的期望公式E(X)=!!?3,也可速求期望，本題中，n=2,M=2,N=10.

【變式1】現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中有1件次品，其余為合格品，從中任取2件，記抽到次品的件

數(shù)為X,則E(X)=.

【反思】也可由E(X)=n,￡求期望，本題n=2,M=l,N=10.

【變式2】現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中有1件合格品，其余為次品，從中任取2件，記抽到次品的件

數(shù)為X,則E(X)=.

【反思】也可由E(X)=n4求期望，本題n=2,M=9,N=10.

【變式3】現(xiàn)有6件產(chǎn)品，其中有3件次品，其余為合格品，從中任取4件，記抽到次品的件數(shù)

為X,則E(X)=.

【總結(jié)】變式3也可用E(X)=n??求期望，所以從上面幾道題可以看出，無(wú)論次品件數(shù)、合格

品件數(shù)與抽取件數(shù)的大小關(guān)系如何，超幾何分布的分布列都按古典概率計(jì)算，且?guī)追N情況的期

望公式都是E(X)=n噂.

類型IV：超幾何分布與條件概率結(jié)合

【例5】在某校舉辦“青春獻(xiàn)禮二十大，強(qiáng)國(guó)有我新征程”的知識(shí)能力測(cè)評(píng)中，隨機(jī)抽查了100

名學(xué)生，其中共有4名女生和3名男生的成績(jī)?cè)?0分以上，從這7名同學(xué)中每次隨機(jī)抽取1人

在全校做經(jīng)驗(yàn)分享，每人最多分享一次，記第一次抽到女生為事件A,第二次抽到男生為事件

B.

⑴求P(B|A),P(B);

(2)若把抽取學(xué)生的方式更改為：從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)分享，記被抽取的3

人中女生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【反思】服從超幾何分布的隨機(jī)變量，求期望也可直接套用公式E(X)=n-￡,當(dāng)然，也可用此公

式驗(yàn)證上述結(jié)果是否正確.

§第4節(jié)正態(tài)分布

一、內(nèi)容提要

本節(jié)歸納正態(tài)分布有關(guān)題型，先梳理會(huì)用到的一些基礎(chǔ)知識(shí).

1.正態(tài)分布的概念：設(shè)函數(shù)f(x)=^e-k(xeR),其中neR,Q>0為參數(shù).若隨機(jī)變

量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱X服從正態(tài)分布，記作X?N(RO2),其中口和十分別

是X的均值和方差.特別地，當(dāng)u=0,0=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.我們稱函數(shù)f(x)

為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線，如圖1.

2.取值概率：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量取任何一個(gè)值的概率均為0,我們更關(guān)注它在某區(qū)間內(nèi)

取值的概率，如上圖1,若X?N(w?2),則P(a<X<b)等于區(qū)域A的面積P(X>c)等于區(qū)

域B的面積；由于正態(tài)曲線關(guān)于x=以對(duì)稱，所以P(X>^=0.5.

3.調(diào)整參數(shù)對(duì)正態(tài)曲線的影響：

①取定0,調(diào)整山則正態(tài)曲線的形狀不變，但會(huì)沿x軸方向平移；

②取定山調(diào)整。，則正態(tài)曲線的位置不變，但形狀會(huì)發(fā)生變化.若。增大，則峰值焉減小，

結(jié)合正態(tài)曲線與x軸圍成的面積始終為1可知曲線會(huì)變得“矮胖”，X的取值變得更分散，如上

圖2中黑色曲線；反之，若o減小，則曲線會(huì)變得"瘦高”，X的取值變得更集中，如上圖2中

藍(lán)色曲線.

4.3?原則：若*~町內(nèi)02),則對(duì)給定的卜€(wěn)2產(chǎn)3-1<0<*<口+1<0)是一個(gè)只與女有關(guān)的定值.

特別地，當(dāng)k取1,2,3時(shí)的情況在統(tǒng)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用，尤其重要：

P(|i—a<X<|i+cy)?0.6827,

P(|i-2a<X<|i+2a)?0.9545,

P(|i-3a<X<|i+3a)?0.9973.

可以看到，X在仙-30,u+3o］外取值的概率只有0.0027,在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從

正態(tài)分布N(“,的隨機(jī)變量只?。鬯?3CT,n+3CT］內(nèi)的值.

二、考點(diǎn)題型

類型I:用正態(tài)曲線求概率

【例11隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,Q2),若P(2<X<2.5)=0.36,則P(X>2.5)=.

【變式1](多選)已知某批零件的質(zhì)量指標(biāo)(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(25.4，。2),且

25.45)=0.1,現(xiàn)從該批零件中隨機(jī)取3件，用X表示這3件零件中質(zhì)量指標(biāo)值&落在區(qū)間(25.3

5,25.45)外的件數(shù)，則()

A.P(25.35〈&〈25.45)=0.8B.E(X)=2.4

C.D(X)=0.48D.P(XN1)=0.488

【變式2】對(duì)一個(gè)物理量做n次測(cè)量，并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果.已知最

后結(jié)果的誤差￡n~N(0，。，為使誤差跖在(-。-5，0.5)的概率不低于0.9545,至少要測(cè)量—

_次.(若X?N(n，cy2),則p(|X-n|<2?)=0.9545)

【變式3]某省2021年開(kāi)始將全面實(shí)施新高考方案，在6門選擇性考試科目中，物理、歷史這

兩門科目采用原始分計(jì)分；政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分，將每科考

生的原始分從高到低劃分為A,B,C,D,E共5個(gè)等級(jí)，各