高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省河源市五校2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知命題，，，，則（）A.p和q都是真命題B.p和都是真命題C.和q都是真命題D.和都真命題【答案】B【解析】當x=1時，命題成立，所以命題p是真命題，命題是假命題；當x=0時，命題不成立，所以命題q是真命題，命題是真命題.故選：B.2.已知集合，，若且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為且，所以，解得.故選：A．3.已知點到拋物線的準線的距離為3，則的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的準線方程為，由題意可知，解得，所以的焦點坐標為，故選：B．4.已知，為單位向量，，，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，所以，即，所以與的夾角為，故選：A．5.記為非零數(shù)列的前項和，若，，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】在非零數(shù)列中，，由，，得數(shù)列是等比數(shù)列，，因此，所以.故選：C6.已知過作與圓相切的兩條直線，，切點分別為，，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】圓化為，則圓心，半徑，由題意，知，解得（負值舍去），在中，且，所以，解得，故選：D7.傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，過作于，如圖所示：則由題可得，設(shè)平面截得球的截面圓的半徑為，當EF在底面圓周上運動時，到平面的距離所以所以平面截得球的截面面積最小值為，故D正確；故選：D.8.已知定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對稱，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】由為奇函數(shù)，知的圖像關(guān)于點對稱，則，由，得．由的圖像關(guān)于直線對稱，則的圖像關(guān)于直線對稱，所以，，綜上，，由上，，得，所以，則4為的一個周期，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則的最小值為3D.若且，則，均為純虛數(shù)【答案】AC【解析】對于A，由得，又，，所以，A正確；對于B，當，時，滿足，但，B錯誤；對于C，由，，得，C正確；對于D，當，時，滿足，但，均不為純虛數(shù)，D錯誤．故選：AC10.記為等差數(shù)列的前項和，已知，的公差為，且，則（）A.B.C.D.滿足的的最大值為【答案】ABC【解析】由，得，即①，則，又，所以，又，若，則，，不合題意，所以，則，，A正確；結(jié)合①知，，所以，則，又，所以，B正確；由，得，所以，由，所以，由，所以，所以，C正確；由，得，所以，由C知，，所以的最大值為，D錯誤.故選：ABC11.“”可以看作數(shù)學(xué)上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線．如圖所示的曲線過坐標原點，上的點到兩定點，的距離之積為定值．則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.若，則的方程為B.若上的點到兩定點、的距離之積為16，則點在上C.若，點在上，則D.當時，上第一象限內(nèi)點滿足的面積為，則【答案】ACD【解析】已知原點在上，則，設(shè)為上任意一點，則有，整理得．若，則的方程為，故A正確；若，則，代入方程得，顯然點不在此曲線上，故B錯誤；若，點在上，有，整理得，所以，故C正確；因，，可得，所以點是曲線和以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的交點，聯(lián)立方程，解得，，即，所以，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某中學(xué)舉行數(shù)學(xué)解題比賽，其中7人的比賽成績分別為：70，97，85，90，98，73，95，則這7人成績的上四分位數(shù)與極差之和是________．【答案】125【解析】將7個數(shù)據(jù)從小到大排列為70，73，85，90，95，97，98，因為，所以這7人成績的上四分位數(shù)是97，極差為，故上四分位數(shù)與極差之和是．故答案為：12513.在函數(shù)的圖像與直線的交點中，任取兩點與原點組成三角形，這些三角形的面積的最小值為，則________．【答案】【解析】原點到直線的距離為，設(shè)交點，，且，由，即，點，相鄰，且在的一條對稱軸兩側(cè)時，，此時，，，兩式相減，得，所以．故答案為：14.已知函數(shù)的最小值為0，則________．【答案】【解析】依題意，對于恒成立，且能取得等號，即對于恒成立，且能取得等號，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式為，則，即，因此在上恒成立，且能取得等號，設(shè)，于是是函數(shù)在上的最小值，求導(dǎo)得，當時，，當時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，且．（1）求角；（2）若，，求的面積．解：（1）在中，，又，所以，由余弦定理得，又，則.（2）在中，，，由余弦定理，得，即，解得或．當，，時，可構(gòu)成三角形，此時的面積為；當，，時，可構(gòu)成三角形，此時的面積為．16.如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．(1)證明：因為為等邊三角形，為的中點，所以．過作，垂足為，因為底面為直角梯形，，，，，所以，則，由得，所以因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面．因平面，所以．又，平面，所以平面．（2）解：由（1）可知，，，兩兩垂直，以為原點，過且平行于的直線為軸，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x則，令，則，由（1）可知，軸⊥平面，不妨取平面的法向量為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．17.已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，離心率為2，P是E的右支上一點，且，的面積為3．（1）求E的方程；（2）若E的左、右頂點分別為A，B，過點的直線l與E的右支交于M，N兩點，直線AM和BN的斜率分別即為和，求的最小值．解：（1）設(shè)雙曲線的半焦距為()，，由題可知，，即，又，故E的方程為.（2）如圖，由題可知，且直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，將方程和聯(lián)立，得，，，，,直線與右支有交點，，當時，取得最小值，且最小值為.18.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若的兩個極值點分別，（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）證明：．解：（1）當時，，則，，求導(dǎo)得，則，所以曲線在處的切線方程為.（2）（i），依題意，是方程的兩根，即，，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，則，而當時，，且，方程有兩根，即直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，則，所以實數(shù)的取值范圍為.（ii）由（i）不妨設(shè)，由圖像知，當時，直線恒在曲線的下方．下面證明：令，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)得，當時，φ'x<0，當x∈函數(shù)φx在上遞減，在-1,1上遞增，當時，，且，因此在上恒成立，則函數(shù)hx在上單調(diào)遞減，，于是，設(shè)在切線上，則，，又，則，即，要證，需證，即證，由（i）知，則，又，因此，所以．19.拿破侖排兵布陣是十分厲害的，有一次他讓士兵站成一排，解散以后馬上再重新站成一排，并要求這些士兵不能站在自己原來的位置上．（1）如果只有3個士兵，那么重新站成一排有多少種站法？4個呢？（2）假設(shè)原來有個士兵，解散以后不能站在自己原來位置上的站法為種，寫出和，之間的遞推關(guān)系，并證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）假設(shè)讓站好的一排個士兵解散后立即隨機站成一排，記這些士兵都沒有站到原位的概率為，證明：當無窮大時，趨近于．（參考公式：……）（1）解：當有3個士兵時，重新站成一排有2種站法；當有4個士兵時，假設(shè)先安排甲，有3種站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3種站法，剩下的兩個人都只有1種站法，由分步乘法計數(shù)原理可得有種站法．（2）證明：易知，．如果有個人，解散后都不站原來的位置可以分兩個步驟：第一步：先讓其中一個士兵甲去選位置，有種選法；第二