帽子模型、等邊截等長與等邊內(nèi)接等邊模型2025中考

數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)含答案

帽3演型、等邊表等衣易等邊向接等邊演型

等腰三角形和等邊三角形，作為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要角色，蘊(yùn)含著豐富而獨(dú)特的性質(zhì)與判定定理,是中考

數(shù)學(xué)命題中的常見題型。這些題目形式多樣，內(nèi)容創(chuàng)新，旨在全面考察學(xué)生的理解、分析與應(yīng)用能力。本專題將

深入系統(tǒng)地梳理等腰三角形的三大核心模型，旨在幫助學(xué)生構(gòu)建全面的知識體系，確保他們能夠熟練掌握并靈

活運(yùn)用這些知識。通過本專題的學(xué)習(xí)，學(xué)生將對等腰三角形有更加深入透徹的理解，為應(yīng)對中考數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)奠定

堅實基礎(chǔ)。

（模型歸類）

例題講模型...............................................................................1

模型1.等腰三角形中的重要模型一帽子模型（長短手模型）.....................................1

模型2.等邊截等長模型（定角模型）.........................................................5

模型3.等邊內(nèi)接等邊......................................................................7

習(xí)題練模型...............................................................................9

例題講模型,

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型）

帽子模型，其實是等腰三角形獨(dú)特性質(zhì)的應(yīng)用，因為模型很像帽子，學(xué)習(xí)知識點(diǎn)的同時也增加了趣味性。

模型證明

條件:如圖，已知AB=AC,=CE,OG_LBC于G,結(jié)論:①DF=FE；②RC=2RG。

證明:如圖，過點(diǎn)。作。AC交8C于H,則ABHD=AACB,ADHF=AECF,

■：AB=AC,/.4B=4ACB,AB=ABHD,:.BD^DH,-：CE=BD,:.DH=CE,

(ZDHF=AECF

在ADHF和AECF中,《ZDFH=AEFC,/\DHFRt/^\ECF(AAS),r.DF=EF；

[DH=EC

△DHFWAECF,FH=CF=^-CH,-：BD=DH,DG1.BC,BG=GH=^-BH,

FG=GH+FH=^BH+^CH=^BC,BC=2FG.

///

模型運(yùn)用

1.（23—24八年級上?廣東中山?期末）如圖，△ABC中，AB=AC,BC=10,點(diǎn)P從點(diǎn)口出發(fā)沿線段

R4移動到點(diǎn)/停止，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿/C的延長線移動，并與點(diǎn)P同時停止.已知點(diǎn)P,Q

移動的速度相同，連接PQ與線段8C相交于點(diǎn)。（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)重合時的情況）.

⑴求證：AP+AQ=2AB；（2）求證：PD=DQ；（3）如圖，過點(diǎn)P作FEL3C于點(diǎn)及在點(diǎn)尸，Q移動

的過程中，線段DE的長度是否變化？如果不變，請求出這個長度；如果變化,請說明理由.

2.（24-25九年級上?山西臨汾?階段練習(xí)）綜合與探究???

問題情境：在△ABC中，AB=4。,在射線4B上截取線段,在射線C4上截取線段CE,連結(jié)DE,

I龍所在直線交直線BC于點(diǎn)

猜想判斷：（1）當(dāng)點(diǎn)。在邊AB的延長線上，點(diǎn)E在邊/。上時，過點(diǎn)E作EF〃人B交BC于點(diǎn)斤，如圖

①.若8D=CE,則線段。河、硼1的大小關(guān)系為.

深入探究：（2）當(dāng)點(diǎn)。在邊的延長線上，點(diǎn)E在邊C4的延長線上時，如圖②.若BD=CE,判斷線

段DM、EM的大小關(guān)系，并加以證明.

拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點(diǎn)。在邊上（點(diǎn)。不與A、8重合），點(diǎn)E在邊CA的延長線上時，如圖③.若BD

=1,CE=4,DM=0.7,求5M的長.

3.（2024?貴州銅仁?模擬預(yù)測）如圖,過邊長為6的等邊AABC的邊AB上一點(diǎn)P,作PE_LAC于E,Q為

延長線上一點(diǎn)，連PQ交AC邊于。，當(dāng)弘=。。時，DE的長為（）

A.1B.2C.3D.4???

4.（2024.河南?校考一模）問題背景：已知在△ABC中，邊AB上的動點(diǎn)。由人向口運(yùn)動（與A,B不重

合），同時點(diǎn)E由點(diǎn)。沿的延長線方向運(yùn)動（E不與。重合），連接DE交AC于點(diǎn)尸，點(diǎn)H是線段

上一點(diǎn)，求普的值.

（1）初步嘗試:如圖①，若△ABC是等邊三角形，DHLAC,且點(diǎn)O、E的運(yùn)動速度相等,小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)

可以過點(diǎn)。作。G〃BC交AC于點(diǎn)G,先證GH=AH,再證GF=C尸，從而求得雜的值為；

（2）類比探究:如圖②，若△ABC中,AABC=90°,/ADH=ZBAC=30°,且點(diǎn)。，石的運(yùn)動速度之比

是A/3:1,求gg的值；

rir

（3）延伸拓展:如圖③，若在△ABC中，AB=4。，/4。笈=/血。=36°,記等=M,且點(diǎn)。、石的運(yùn)

A。

動速度相等，試用含小的代數(shù)式表示系的值（直接寫出結(jié)果,不必寫解答過程）.

/F\

ECBECEC

圖①圖②圖③

???

模型2.等邊段等長模型（定角模型）

條件:如圖,在等邊△ABC中，點(diǎn)。，后分別在邊8C,AC上，且與AD相交于點(diǎn)P,BQ_L

AD于點(diǎn)Q.結(jié)論:①△ABE*ACAD；②AD=BE；③/8PD=60°；④8=2PQ。

模型證明

證明:在等邊三角形ABC中，AB=AC,NBAE=ZC=60°,

(AB=AC

在△ABE和△CAD中，(NBAE=AC,：.AABE學(xué)^CAD(SAS),AD=BE,ACAD=NABE；

[AE=CD

：.ABPQ=/ABE+ABAP=ACAD+ABAP=ZBAE=60°.

?/BQ±AD,：.APBQ=30°,:.BQ=2PQ.

模型運(yùn)用

5.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，點(diǎn)O、E分別是等邊三角形ABC邊及7、AC上的點(diǎn)，且BD=CE,

BE與AD交于點(diǎn)、F.求證：AD=BE.

???

6.（2024八年級?重慶?培優(yōu)）如圖，ZVIBC為等邊三角形，且=CN,AM與BN相交于點(diǎn)P,則AAPN

A.等于70°B.等于6于C.等于5于D.大小不確定

7.（23-24八年級?廣東中山?期中）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)。、后分別在邊8。、AC上，且AE=CD,

BE與AD相交于點(diǎn)P,BQ，AO于點(diǎn)Q.（1）求證:BE=AD；（2）若PQ=4,求BP的長.

8.（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，在等邊三角形ABC的AC,8。邊上各取一點(diǎn)P,Q（均不與端點(diǎn)重

合），且AP=CQ,相交于點(diǎn)O,下列結(jié)論不正確的是（）

A.ZAOB=120°B.AP2=PO-PB

C.若48=8,瓦3=7,則上4=3D.若PC=mAP,BO=nOP,則ri=?m?+?m?

模型3.等邊內(nèi)接等邊

圖1圖2

1）等邊內(nèi)接等邊（蠢取型）

條件:如圖1,等邊三角形ABC中，點(diǎn)分別在邊CA上運(yùn)動，且滿足AD=B?=CF;

結(jié)論:三角形ZIEF也是等邊三角形。

證明：?.?△ABC是等邊三角形，/A=/8=/。=60°,AB=BC=AC.

■：AD=BE=CF,AF=BD=CE.

（AF=BD,

在AADF和"ED中，（/A=,r.△AD尸學(xué)4BED（SAS）,

[AD=BE,

:.DF=DE.同理DF=EF,DF=DE=EF,&DEF是等邊三角形.

2）等邊內(nèi)接等邊（垂線型）

條件:如圖，點(diǎn)P、M、N分別在等邊△ABC的各邊上，且上Z尸，于點(diǎn)P,7W，8C于點(diǎn)M,PN_LAC

于點(diǎn)N,結(jié)論:三角形ZEF也是等邊三角形.

證明：；△ABC是等邊三角形，.?.NA=/JB=NC=60°,

?/MP±AB,NM±BC,PN±AC,AAMPB=ANMC=NPNA=90°,

/.4PMB=4MNC=4APN=30°,/.ANPM=APMN=AMNP=6Q°,：.AFTW是等邊三角形，

模型運(yùn)用

9.（2024七年級下城都.專題練習(xí)）如圖，過等邊三角形△ABC的頂點(diǎn)4B、C依次作AC的垂

線加0、跖7、松,三條垂線圍成471亞0,若411=2,則4肱7（7的周長為（）

???

M

C.20D.24

10.（24-25九年級上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，已知等邊三角形ABC,點(diǎn)B，為鳥分別為邊AB,BC,

CA上的黃金分割點(diǎn)（AB<BP1,BP2<CP2,CP3<AP3）,連接PR，P2P3，P￡，我們稱△EBE為

△ABC的“內(nèi)含黃金三角形"，若在△ABC中任意取點(diǎn)，則該點(diǎn)落在“內(nèi)含黃金三角形”中的概率是

11.（23—24八年級下?廣東云浮?期中）如圖，點(diǎn)P,河，N分別在等邊三角形ABC的各邊上，且乂

于點(diǎn)P,NM_LBC于點(diǎn)、M,PN_LAC于點(diǎn)、N.（1）求證：△口所是等邊三角形；（2）若AB=15cm,

求BP的長.

R

???

12.（2023?廣西?中考真題）如圖，ZVIBC是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)。，E,尸分別在邊AB,BC,CA上運(yùn)

動,滿足AD=BE=CF.（1）求證：4ADF"BED；（2）設(shè)AD的長為多，/\DEF的面積為y,求g關(guān)

于x的函數(shù)解析式；（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述△DEF的面積隨AD的增大如何變化.

.二?一■.二—習(xí)題練模型近二二——

13.（23—24九年級上.山西晉中.階段練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)。，石分別在BC,AC上，且

BD：DC=2:1,CE：AE=2:1,BE與AD相交于點(diǎn)F,則下列結(jié)論:①NAFE=60°,②無2=。?.04,

③AF-BE=AE-AC.其中正確的有（）

A.3個B.2個C.1個D.0個

14.（2024廣東九年級二模）如圖,在等邊三角形4BC中，點(diǎn)P,Q分別是AC,邊上的動點(diǎn)（都不與線段

端點(diǎn)重合），且4P=CQ,AQ、8P相交于點(diǎn)O.下列四個結(jié)論:①若PC=2AP,則BO=6OP；②若

則狗；④若則的最小值為，,其中正確的是

BC=8,8P=7,PC=5；③AP2=op?24B=3,OC

（）

A

/\\P

O

Boc???

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③

15.（2024.廣西.一模）如圖，在等邊△ABC中，AB=3,點(diǎn)。，E分別在邊BC,AC上，且BD=CE,連接

4D,跳;交于點(diǎn)尸，在點(diǎn)。從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)。的過程中，圖中陰影部分的面積的最小值為（）

A

BDC

16.（23—24八年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，乙4cB=90°,AC=BC,點(diǎn)F在邊AB

上，點(diǎn)。在邊AC上，連接。尸并延長OF交CB的延長線于點(diǎn)E,連接CR,且CF=FD，過點(diǎn)A作AG

，。尸于點(diǎn)G,AG交FD于點(diǎn)K,過點(diǎn)B作，CF交CF的延長線于點(diǎn)H,以下四個結(jié)論中：

①AG=CH；②AD=BE；③當(dāng)4BGH=45°時，2BH—EF=FG；@ACAG=ACEF.正確的有

（）個.

17.（2023?福建莆田?一模）如圖，△4BC和4BDE都是等邊三角形,將4BDE先向右平移得到△GFH,再

繞頂點(diǎn)G逆時針旋轉(zhuǎn)使得點(diǎn)尸，H分別在邊和AC上.現(xiàn)給出以下兩個結(jié)論:①僅已知△ABC的

周長，就可求五邊形DECHF的周長;②僅已知的面積，就可求五邊形的面積.下列說法正確的

是（）

A.①正確，②錯誤B.①錯誤，②正確C.①②均正確D.①②均錯誤???

18.（23—24九年級上.北京昌平.期末）如圖，△ABC是等邊三角形，。，E分別是AC,口。邊上的點(diǎn)，且

AL>=CE,連接B。，AE相交于點(diǎn)尸，則下列說法正確的是（）

①△AB?？铡鰿AB；②/口助=60°：③AAFB?△AD尸;④若歙=4■，則萼=《

AG3Dr2

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

19.（23—24九年級上.四川達(dá)州.期末）如圖，A4BC是等邊三角形，點(diǎn)RE分別在邊BC,AC±.,且BO=

CE,4D與8E相交于點(diǎn)若入斤=7,。斤=1,則ZL4BC的邊長等于（）

A.V57-V2B.V58-V2C.V58+V2D.V57+V2

20.（23—24八年級上.湖南長沙.階段練習(xí)）如圖所示,過等邊△ABC的頂點(diǎn)。依次作CA

的垂線MG,MN,NG,三條垂線圍成AMNG，已知CG=4cm,則4MNG的周長是cm.

21.（23-24天津九年級上期中）如圖，點(diǎn)RE,尸分別在正三角形ABC的三邊上，且ADE尸也是正三角形.

若的邊長為a,AOE尸的邊長為b,則△人即的內(nèi)切圓半徑為

A

22.（2024.甘肅金昌?模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角4ABC中，NA=90°,AB=AC=4V2,E為AB的中點(diǎn),

F為AC上一點(diǎn)，連接石尸并延長，交BC的延長線于點(diǎn)。，若FC=土,則的長為.

23.（23-24八年級上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）如圖，過邊長為a的等邊△ABC的邊48上一點(diǎn)P,作PE_L

AC于E,Q為延長線上一點(diǎn)，當(dāng)W=CQ時，連PQ交/C邊于。，則DE的長為.

24.（2023浙江中考一模）如圖，在等邊三角形ABC的AC,BC邊上各取一點(diǎn)P,Q,使AP=CQ,AQ,

BP相交于點(diǎn)O.若BO=6,PO=2,則AP的長，AO的長分別為.

25.（23-24八年級上?上海浦東新?期末）如圖,在等邊^(qū)ABC^iAC,上各取一點(diǎn)。，E,使AD=CE,

AE,相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作直線AE的垂線,垂足為若BE=2EC=4,則Affi■的長為

???

A

26.（2023?遼寧鞍山?一模）如圖，在三角形ABC中，AB=AC,ABAC=60°,AD=CE,AE與RD相交于

點(diǎn)F,若EF=4,則右到BF的距離為.

27.（23—24九年級下.河南商丘.階段練習(xí)）【問題提出】

數(shù)學(xué)課上，老師給出了這樣一道題目：如圖1,在等邊三角形入口。中，點(diǎn)。，E分別在AC,邊上，

AB,交于點(diǎn)F,且AD=CE.

（1）線段AE,的數(shù)量關(guān)系為,乙BFE的度數(shù)為.

【類比探究】老師繼續(xù)提出問題,若改變△ABC的形狀，（1）中的結(jié)論是否仍然成立呢？

同學(xué)們根據(jù)老師的提問畫出圖形，如圖2,△ABC是等腰直角三角形，AABC=90°,點(diǎn)。，E分別在

AC,B。邊上,交于點(diǎn)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，想要類比⑴中的探究過程得出結(jié)論，還需要確定線段

49,CE的數(shù)量關(guān)系.

（2）請先將條件補(bǔ)充完整:線段人。，CE的數(shù)量關(guān)系為；再根據(jù)圖2寫出線段4及RD的數(shù)量關(guān)

系和NBFE的度數(shù)，并說明理由.

【拓展探究】（3）如圖3,A4BC是等腰直角三角形，AB=4,若點(diǎn)。沿47邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)E是射線CB

上一動點(diǎn)，直線4瓦BD交于點(diǎn)尸，在⑵的條件下，當(dāng)動點(diǎn)D沿AC邊從點(diǎn)A移動到點(diǎn)。（與點(diǎn)。重

合）時，請直接寫出運(yùn)動過程中CF長的最大值和最小值.

圖3???

28.（2023?浙江杭州二模）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)。，E分別是邊,CA上的點(diǎn)，且,

連結(jié)AD,BE交于點(diǎn)尸.⑴求證：△ABE經(jīng)△CAD；（2）連接CP,若CP，AP時,①求AE-.CE的值；

②設(shè)△4BC的面積為Si,四邊形CDPE的面積為S2,求叁的值.

29.（23-24九年級下.上海寶山?階段練習(xí)）如圖⑴，已知AABC是等邊三角形，點(diǎn)。、E、尸分別在邊AB、

BC、CA上，且Nl=N2=Z3.

（1）試說明△OEF是等邊三角形的理由.

⑵分別連接跳\DC,口尸與。。相交于。點(diǎn)（如圖（2））,求N8O。的大小.

（3）將八0即繞F點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到圖（3）,AP與平行嗎？說明理由.

???

30.（23-24八年級下?遼寧沈陽?開學(xué)考試）△ABC中（AB>AC），點(diǎn)。是BC邊中點(diǎn),過點(diǎn)D的直線交AB

邊于點(diǎn)M,交AC邊的延長線于點(diǎn)N,且⑷W=AN.⑴如圖①，當(dāng)NBAC=60°時，求證：DN-DM

=CN；

（2）如圖②，當(dāng)乙民4。=90°時，請直接寫出線段。N,DM,CN的數(shù)量關(guān)系.

31.（2024.廣西南寧.模擬預(yù)測）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)。，E,尸分別在邊48,BC,CA

上運(yùn)動,滿足AD=BE=CF.（1）求證：4ADF陞4BED；（2）設(shè)AD的長為非，ADEF的面積為y,求

夕關(guān)于c的函數(shù)解析式；（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù),描述4DEF的面積隨AD的增大如何變化.

???

32.（23—24山東八年級上期中）問題背景:課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個命題:

（4）

①如圖（1）,在正△ABC中，M、N分別是AC.AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O,若NBON=60°,則

?W=CN；②如圖⑵，在正方形ABC?中，M、N分別是CD、AD上的點(diǎn)，與C7V相交于點(diǎn)O,若

4BON=90°,則BM=CN.

然后運(yùn)用類似的思想提出了如下命題：③如圖（3）,在正五邊形ABCDE中，V、N分別是CD、/加上的

點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O,若ABON=108°,則BM=CN.

任務(wù)要求：（1）請你從①②③三個命題中選擇一個進(jìn)行證明；（2）請你繼續(xù)完成下面的探索；

①在正n（n>3）邊形ABCDEF…中，M、N分別是CD、上的點(diǎn)，與GV相交于點(diǎn)O,試問當(dāng)

/BON等于多少度時，結(jié)論8四=小成立（不要求證明）；

②如圖（4）,在正五邊形4BCDE中，河、N分別是L?、4E上的點(diǎn)，8河與CN相交于點(diǎn)O,ABON=

108°時,試問結(jié)論BM=CN是否成立.若成立,請給予證明；若不成立，請說明理由.

???

33.（23—24九年級?四川綿陽?期末）小明在學(xué)習(xí)過程中，對教材的一個習(xí)題做如下探究：

【習(xí)題回顧】:如圖，在等邊三角形ABC的AC.邊上各取一點(diǎn)尸，Q使AP=CQ,AQ,相交于

點(diǎn)。，求Z.BOQ的度數(shù).請你解答該習(xí)題.

【拓展延伸】：（1）如圖1,在等腰Rt/\ABC的AC,邊上各取一點(diǎn)P,Q,使AP=CQ,平分

NABC,AQ=2,乙BAC=90°,求的長.小明的思路:過點(diǎn)A作AG〃B。交BP延長線于點(diǎn)G,

證明△AQC空???

（2）如圖2,在Rt/\ABC的AC,邊上各取一點(diǎn)P、Q,使CQ=2AP,BP平分ZABC,差=。，

ABAC=90°,求/Q,23P的數(shù)量關(guān)系,請你解答小明提出的問題.

34.（23-24八年級上?福建福州?階段練習(xí)）如圖：△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是力。邊上一動點(diǎn)，

由點(diǎn)A向點(diǎn)。運(yùn)動（P與點(diǎn)人、C不重合），點(diǎn)Q同時以點(diǎn)P相同的速度，由點(diǎn)口向CB延長線方向運(yùn)動

（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作。E，AB于點(diǎn)E,連接PQ交4B于點(diǎn)D

（1）若設(shè)AP的長為力,則PC=,QC=；

（2）當(dāng)ZBQD=30°時，求AP的長；（3）點(diǎn)P,Q在運(yùn)動過程中，線段即的長是否發(fā)生變化？請說明理

由.

???

35.（2023?河南開封?一模）教材呈現(xiàn):如下為華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第65頁的部分類容.

做一做:如圖，已知兩條線段和一個角，以長的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對邊，畫一個

三角形.把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進(jìn)行比較，所畫的三角形都全等嗎？此時，符合條件的

角形有多少種？

（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1,通過作圖我們可以發(fā)現(xiàn),此時（即“邊邊角”對應(yīng)相等）的兩個三角形全

等.（填''一定”或“不一定”）

圖1

⑵【探究證明】已知：如圖2,在△ABC和ADEF中，=ZC+ZF=

180°（ZC<ZF）.

求證：=證明：在口。上取一點(diǎn)G,使AG=AC.請補(bǔ)全完整證明過程：

⑶【拓展應(yīng)用】在△ABC中，=點(diǎn)。在射線上，點(diǎn)E在人。的延長線上，且=連

接。E,D叼與邊所在的直線交于點(diǎn)尸.過點(diǎn)。作。交直線于點(diǎn)若BC=4,CF=

1,則.（直接寫出答案）

???

36.（2023九年級上?江蘇?專題練習(xí)）已知，如圖1,在等腰△ABC中，AB=AC=6,BC=10,點(diǎn)E是射線

BA上的動點(diǎn)，點(diǎn)D是邊上的動點(diǎn)，且BD=OE,射線Z2E交射線CA于點(diǎn)F.

（1）求證：AABC?ADBE；

（2）連接AD,如果AAED是以AE為腰的等腰三角形,求線段的長；

（3）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上時,連接BF,CE,若ABFD=4ACE，線段的長為

37.（2024?陜西渭南?一模）【問題提出】（1）如圖1,?！ù蛉恕?。在。上，口、。在4上，48〃。。，若48=5,

則CD的長為；

【問題探究】（2）如圖2,已知A4BC是等邊三角形，D、E分別為BC、人。上的點(diǎn)，且CD=AE,連接

AD、BE.求證：跳;=40；

【問題解決】（3）如圖3是某公園一塊四邊形空地ABCD,其中AD〃8C,BC=400米，CD=390米，

tanC=2.4,P、Q分別在AB、CD上，且。P=AD,PQ是平行于BC的一條綠化帶，E、F是線段PQ

上的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），EF=100米，河在線段DP上運(yùn)動（不含端點(diǎn)）,且保持DM=PF,

管理人員計劃沿BE、鋪設(shè)兩條筆直的水管，為了節(jié)省費(fèi)用，公園負(fù)責(zé)人要求這兩條水管的長度之

和（即BE+AM的值）最小，求這兩條水管的長度之和的最小值.（綠化帶、水管寬度均忽略不計）

???

精5蟆??、??邊武??長5??邊的廉備邊膜型

等腰三角形和等邊三角形，作為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要角色，蘊(yùn)含著豐富而獨(dú)特的性質(zhì)與判定定理,是中考

數(shù)學(xué)命題中的常見題型。這些題目形式多樣，內(nèi)容創(chuàng)新，旨在全面考察學(xué)生的理解、分析與應(yīng)用能力。本專題將

深入系統(tǒng)地梳理等腰三角形的三大核心模型，旨在幫助學(xué)生構(gòu)建全面的知識體系，確保他們能夠熟練掌握并靈

活運(yùn)用這些知識。通過本專題的學(xué)習(xí)，學(xué)生將對等腰三角形有更加深入透徹的理解，為應(yīng)對中考數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)奠定

堅實基礎(chǔ)。

（模型歸類）

例題講模型...............................................................................1

模型1.等腰三角形中的童裳模型-懵子模型（長短手模型）.....................................1

模型2.等邊桃等長模型（定角模型）.........................................................6

模型3.等邊內(nèi)接等邊......................................................................9

習(xí)題練模型..............................................................................14

■o（例題講模型］O--------------------------------------------------------------

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型）

帽子模型,其實是等腰三角形獨(dú)特性質(zhì)的應(yīng)用，因為模型很像帽子，學(xué)習(xí)知識點(diǎn)的同時也增加了趣味性。

模型證明

條件:如圖，已知AB=AC,aD=CE,。G，B。于G,結(jié)論：①。F=FE；②BC=2斤G。

證明:如圖，過點(diǎn)。作。AC交8C于H,則/BHD=/ACB,NDHF=AECF,

■：AB=AC,/.AB=AACB,AB=ABHD,:.BD=DH,-：CE=BD,:.DH=CE,

(ZDHF=AECF

在4DHF和^ECF中,《ZDFH=AEFC,/\DHFRt/^\ECF(AAS)，,DF=EF-,

[DH=EC

■：/^DHF^/\ECF,:.FH=CF=^CH,-：BD=DH,DG±BC,:.BG=GH=^-BH,

FG=GH+FH=^BH+3cH=^BC,BC=2FG.

///

模型運(yùn)用

1.（23—24八年級上?廣東中山?期末）如圖，△ABC中，AB=AC,BC=10,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段

A4移動到點(diǎn)A停止，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)沿AC的延長線移動，并與點(diǎn)P同時停止.已知點(diǎn)P,Q

移動的速度相同,連接尸Q與線段BC相交于點(diǎn)。（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)48重合時的情況）.

⑴求證：AP+AQ=2AB；（2）求證：PD=DQ；（3）如圖，過點(diǎn)P作PEL8C于點(diǎn)E,在點(diǎn)P,Q移動

的過程中，線段DE的長度是否變化？如果不變，請求出這個長度；如果變化,請說明理由.

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）ED為定值5,理由見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段的和差，準(zhǔn)確

作出輔助線找出全等三角形是解題關(guān)鍵.

（1）利用P、Q的移動速度相同，得到CQ=PB,利用線段間的關(guān)系即可推出AP+AQ=2AB;（2）過點(diǎn)P

作PFIIAC,交BC于點(diǎn)F,利用等邊對等角結(jié)合已知可證APFD篤△QCD0L4S）,即可得出結(jié)論；

⑶過點(diǎn)P作PFUAC,交于點(diǎn)F,由⑵得PB=PF,可知△PBF為等腰三角形，結(jié)合FD=CD,可得

出ED=^-BC即可得出即為定值.

【詳解】（1）證明：:P、。的移動速度相同，.,.CQ=PB,

?/AB=AC,：.AP+AQ=AB-PB+AC+CQ=2A8;

（2）如圖，過點(diǎn)P作PF〃A。，交于點(diǎn)F,

?/PFUAC,：.NPFB=NACBZDPF=ADQC,

?：AB=AC,AZB=ZAC?,NB=/PFB,；.BP=PF,由Q)得BP=CQ,：.PF=CQ,

(ZPDF=ZQDC

在NPFD與△QCD中，(NDPF=ADQC,：.&PFD名AQCD(AAS)，,PD=DQ;

[PF=CQ

⑶解：ED為定值5,理由如下：如圖，過點(diǎn)P作PF〃人。，交8。于點(diǎn)F,???

由（2）得：PB=PF,.?.△PBF為等腰三角形,

,:PE工BC,；.BE=EF,由（2）得&PFD星4QCD,:.FD=CD,

:.ED=EF+FD=^BF+三CF=g（BF+CF）=±BC=5,：.ED為超值5.

2.（24-25九年級上?山西臨汾?階段練習(xí)）綜合與探究

問題情境：在△ABC中，48=AC,在射線AB上截取線段,在射線C4上截取線段CE,連結(jié)DE,

Z陽所在直線交直線BC于點(diǎn)

猜想判斷：（1）當(dāng)點(diǎn)。在邊AB的延長線上,點(diǎn)E在邊AC上時，過點(diǎn)E作EF〃交BC于點(diǎn)斤，如圖

①.若BD=CE,則線段DM.EM的大小關(guān)系為.

深入探究：（2）當(dāng)點(diǎn)。在邊的延長線上，點(diǎn)E在邊C4的延長線上時，如圖②.若8D=CE,判斷線

段DM、EM的大小關(guān)系,并加以證明.

拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點(diǎn)。在邊上（點(diǎn)。不與4、B重合），點(diǎn)E在邊C4的延長線上時，如圖③.若BD

=1,CE=4,DM=0.7,求EM的長.

【答案】⑴（2）_DA/=EM,理由見解析；（3）EM=2.8

［分析］⑴過點(diǎn)E作EF//48交BC于點(diǎn)F,證明4BDM衛(wèi)AFEM（44S）即可得解；

⑵過點(diǎn)E作EF〃AB交CB的延長線于點(diǎn)F,證明4BDM宴AFEM（AAS）即可得解；

（3）過點(diǎn)E作EF//交CB的延長線于點(diǎn)F,證明AFEM，由相似三角形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】（1）解：DM=EM,理由如下：過點(diǎn)E作EF〃4B交8C于點(diǎn)F,

圖①

?/AB=AC,：.NABC=ZC,VEFIIAB,：.AEFC=ZABC,：.NEFC=ZC,EF=CE

?：BD=CE：.BD=EF,?：EFIIAB,：.AMEF=AD,

14D=4MEF

在4BDM和/\FEM中,《NBMD=NFME,：./XBDM名/\FEM{AAS）,：.DM=EM;

\BD=EM

（2）解：DM=EM

理由如下：如圖，過點(diǎn)E作EF//AB交CB的延長線于點(diǎn)F,

???

?/EFIIAB,：.ZEFC=/ABC,4EFM=/DBM,

???AB=AC：./ABC=AC：./.EFC=ZC：.EF=CE-：BD=CE：.BD=EF

\4EFM=4DBM

在ABDM如4FEM中，〈/BMD=/FME,：?/\BDMWLFEM(AAS),：,DM=EM;

[BD=EF

(3)解:如圖，過點(diǎn)石作跳V/AB交C8的延長線于點(diǎn)F

?：EF//AB,：./F=/ABCVAB=AC：.AABC=AC：./F=/C

?；CE=4：,EF=CE=4TBD〃EF：.叢BDM?/\FEM：.=粵

MEFE

n71

?：DM=0.7,EF=4,BD=l,=4:.EM=2.8.

ME4

3.（2024?貴州銅仁?模擬預(yù)測）如圖,過邊長為6的等邊AABC的邊上一點(diǎn)P,作PE，于E,Q為

8c延長線上一點(diǎn)，連PQ交47邊于。，當(dāng)上4=CQ時，DE的長為（）

C.3D.4

【答案】。

【分析】根據(jù)題意過P作BC的平行線，交AC于M;則△AFW也是等邊三角形，在等邊三角形APM中,PE

是AM■上的高，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)知AE=百；易證得APMD星△QCD,則DM=CD;此時

發(fā)現(xiàn)Z2E的長正好是AC的一半，由此得解.

【詳解】解:過P作PMH80,交AC于_M,

△ABC是等邊三角形，且PMHBC,：.△APW是等邊三角形;

又AW,：.AE^EM^^-AM\（等邊三角形三線合一）

?/PM//CQ,：.APMD=ZQCD,4MPD=ZQ;???

(ZPDM=ZQDC

又B4=PM=CQ,在4PMD和△QCD中,《2PMD=4QCD,

[PM=QC

：.^PMDnAQCD(AAS)■,：.CD=DM=JCM-,

：.DE=DM+ME=^-(AM+MC)=^-AC=3.故選：C.

4.（2024.河南??？家荒＃﹩栴}背景：已知在△4BC中，邊AB上的動點(diǎn)。由A向B運(yùn)動（與A,8不重

合），同時點(diǎn)E由點(diǎn)。沿的延長線方向運(yùn)動（E不與。重合），連接Le交/。于點(diǎn)斤,點(diǎn)H是線段

A尸上一點(diǎn)，求備的值.

（1）初步嘗試:如圖①，若AABC是等邊三角形，，AC,且點(diǎn)0、E的運(yùn)動速度相等,小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)

可以過點(diǎn)。作L>G〃BC交AC于點(diǎn)G,先證再證GF=CF,從而求得禁的值為；

⑵類比探究:如圖②，若△ABC中，乙4BC=90°,4LDH=NA4C=30°,且點(diǎn)DE的運(yùn)動速度之比

是V3:1,求的值；

rLr

⑶延伸拓展:如圖③,若在LABC中，AB=AC,AADH=NBAC=36°,記第=小，且點(diǎn)。、石的運(yùn)

動速度相等，試用含館的代數(shù)式表示的值（直接寫出結(jié)果,不必寫解答過程）.

rLr

圖②

【答案】（1）2;（2）2;（3）221+1

m

【詳解】解：（1）2;

【解法提示】如解圖①，過點(diǎn)。作。G//BC交AC于點(diǎn)G,

圖②

?.?△ABC是等邊三角形，.?.△AGO是等邊三角形，

AD=GD,由題意知CE=AD,.?.CE=GD,

DG//BC,：.AGDF=ACEF,

\ZGDF=4CEF

在/\GDF與△CEF中，<]4GFD=NEFC,/.△GDF空△CEF(>L4S),CF=GF,

(CE^GD???

-.■DH±AG,：.AH=GH,：.AC=AG+CG=2GH+2GF=2(GH+GF),HF=GH+GF,.?.備■=2;

Hr

(2)如解圖②，過點(diǎn)。作。G〃B。交AC于點(diǎn)G,則AADG=/ABC=90°,

ZBAC=NADH=30°,AH=DH,AGHD=ABAC+NADH=60°,

/HDG=/ADG—/ADH=60°,.?.△DG〃為等邊三角形，.?.GD=GH=DH=AH,AD=GDtan60°=

V3GD.

由題意可知，AD=，ijCE.：.GD=CE.,:DG//BC,：.4GDF=4CEF.

[ZGDF=/CEF

在/\GDF與△CEF中，?]NGFD=NEFC,：.4GDFW△CEF(AAS)，,GF=CF.

[CE^GD

G//+GF=4H+CF,即防=48+3,.?._??=《4。=2,即馨=2;

2Hr

(3)條="土工.如解圖③，過點(diǎn)。作DG〃B。交AC于點(diǎn)G,

HEm

易得AD=AG,AD=EC,Z.AGD=AACB.

在4ABe中，:NBAC=/ADH=36°,AB=AC,

:,AH=DH,4ACB=4B=72°,AGHD=AHAD+AADH=72°,AAAGD=ZGHD=72°,

???4GHD==4HGD=4ACB,：,/\ABC\DGH.

.BCGH.c口n口人口由八八產(chǎn)GOBCBC

-77==m-GH=mDH=mAH.由XADG~/\ABC可付=——-==m.

ACDJdAJJAJDAC

?.?DG〃BC,.?.鑫=祟=察：.FG=mFC.

rC±J/CA.D

.4。_771+1

??.GH+FG=m(AH+FC)=m(AC-HF)，即HF=m(AC-HF).；

HFm

模型2.等邊樣等長模型（定角模型）

條件:如圖,在等邊△48。中，點(diǎn)DE分別在邊8aA。上，且AE=CD,BE與AD相交于點(diǎn)P,BQ，

AD于點(diǎn)Q.結(jié)論:①△ABE名△CAD；②Q=班;③/8PD=60°；④BQ=2PQ。

證明:在等邊三角形ABC中，AB=A。，NBAE=ZC=60°,???

(AB=AC

在△ABS和△CAD中，.?.△ABE名△CAD(SAS),.?.i4D=BE,ACAD=AABE；

[AE=CD

：.ABPQ=/ABE+ABAP=ACAD+ABAP=Z.BAE=60°.

?/BQ±AD,：.APBQ=30°,:.BQ=2PQ.

5.(2024.四川宜賓.中考真題)如圖，點(diǎn)。、E分別是等邊三角形43C邊BC、AC上的點(diǎn)，且AD=CE,

BE與AD交于點(diǎn)F.求證：AD=BE.

【答案】見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC,

AABD=2BCE=60°,然后根據(jù)SAS證明4ABD篤ABCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】證明：???△ABC是等邊三角形，AB=BC,NABD=NBCE=60°,

又BD=CE,；./XABD咨ABGE(SAS),：.AD=BE.

6.(2024八年級?重慶?培優(yōu))如圖，ZVIBC為等邊三角形，且=CN,AM與BN相交于點(diǎn)P,則AAPN

()?

A.等于70°B.等于60°C.等于50°D.大小不確定

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外南性質(zhì)的應(yīng)用，先