重難點(diǎn)04（雙）角平分線模型

【知識(shí)梳理】

（雙）角平分線模型

1.雙內(nèi)角平分線

產(chǎn)-----------

2.雙外角平分線

4A

3.內(nèi)角平分線+外角平分線

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.

【考點(diǎn)剖析】

題型1.雙內(nèi)角平分線

例1.如圖，△ABC中，和NC的平分線交于點(diǎn)O,若NA=70°,貝度.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AO交于BC于點(diǎn)

1.,ZB和/C的平分線交于點(diǎn)O

ZACB=2Z2,ZABC=2Z1,

VZACB+ZABC+ZBAC=180°，

.,.2Z1+2Z2+ZBAC=18O°,

.*.Z1+Z2=(180°-ZBAC)4-2=(180°-70°)+2=55°.

'：ZBOD=Z1+ZBAO,ZDOC=Z2+ZOAC,

又；ZBAO+ZCAO=ZBAC,ZBOD+ZCOD=ZBOC,

：.ZBOC^Z1+Z2+ZBAC^55°+70°=125°.

故答案為：125.

例2.(2022秋?瑤海區(qū)期中)如圖，在△ABC中，NABC與NACB的平分線交于點(diǎn)P,根據(jù)下列條件，求

ZBPC的度數(shù).

(1)若NA=68°,則NBPC=°；

(2)從上述計(jì)算中，我們能發(fā)現(xiàn)：NBPC=(用含/A的式子表示)，并說(shuō)明理由.

【解答】解：⑴1/ZA=68°,

/.ZABC+ZACB=1SO°-68°=112°,

：/ABC與NAC8的平分線交于點(diǎn)P,

：.ZPBC=1-ZABC,ZPCB=^ZACB,

22

AZPBC+ZPCB=^ZABC+^ZACB=^-(ZABC+ZACB)=Axil2°=56°,

2222

AZBPC=180°-56°=124°,

故答案為：124。；

(2)VZABC+ZACB=180°-ZA

由(1)得：NPBC+/PCB=L(ZABC+ZACB)=A(180°-/A)=90°--IzA

222

：.ZBPC=1SO°-CZPBC+ZPCB)=180°-(90°-AZA)=90°+^ZA

22

故答案為：90°+1ZA.

2

例3.如圖，在△4BC中，/ABC與/ACB的平分線交于點(diǎn)/,根據(jù)下列條件求N8/C的度數(shù)，

(1)若/4BC=50°,ZACB=80°,則NB/C=；

(2)^ZABC+ZACB^116°,則N2/C=；

(3)若/A=56°,則/B/C=；

(4)若/B/C=100°,則/A=；

(5)通過(guò)以上計(jì)算，探索出您所發(fā)現(xiàn)規(guī)律：NA與4B/C之間的數(shù)量關(guān)系是

(2)ZICB+ZIBC^A(ZABC+ZACB)=58°,ZCZB=180°-58°=122°；

2

(3)ZABC+ZACB=1800-ZA=112°,ZICB+ZIBC=^-CZABC+ZACB)=56°,ZCZB=180°

2

-56°=118°；

(4)NICB+NIBC=18Q°-ZCIB=80°,ZABC+ZACB=2CZICB+ZIBC)=160°,ZA=180°-

CZABC+ZACB)=20"；

(5)ZB/C=180°-(NICB+NIBC)而NICB+NIBC=!(NABC+NACB)；ZABC+ZACB=ISO-Z

A所以NB/C=180°-A(180-ZA)=90°+^ZA.

22

例4.如圖，在△ABC中，ZABC./ACB的平分線相交于點(diǎn)O.

(1)若NA8C=40°、ZACB=50°,則NBOC=；

(2)若乙4BC+/AC8=116°，則/BOC=；

(3)若NA=76°,則/BOC=；

(4)若/8OC=120°,則NA=；

(5)請(qǐng)寫出/A與N8OC之間的數(shù)量關(guān)系(不必寫出理由).

R

【解答】解：：在△ABC中，ZABC,NACB的平分線相交于點(diǎn)。，

ZOBC+N0C8=上(ZABC+ZACB),

2

(1)當(dāng)NABC=40°、ZACB=50a時(shí)，

ZOBC+ZOCB^^X(400+50°)=45°,

2

.,.在△BOC中，ZB(9C=180°-CZOBC+ZOCB)=135°.

故答案是：135°；

(2)若/ABC+/ACB=116°,則N02C+/0CB=」X116°=58°,

2

.,.在△20C中，ZBOC=180°-CZOBC+ZOCB)=122°.

故答案是：122°；

(3)在△ABC中，ZA=76°,貝l|NABC+NACB=180°-76°=104°.

?.,在△ABC中，ZABC.NACB的平分線相交于點(diǎn)O,

：.ZOBC+ZOCB=-^-CZABC+ZACB)=52°,

2

...在△20C中，ZBOC=180°-(NOBC+/OCB)=128°.

故答案是：128°；

(4)若/BOC=120。，則/OBC+NOCB=60°,

?.?在△ABC中，NABC、NACB的平分線相交于點(diǎn)O,

ZABC+ZACB^2CZOBC+ZOCB)=120°,

.,.在△ABC中，ZA=180°-120°=60°.

故填：60°；

(5)設(shè)/80C=a,

：.ZOBC+OCB=180°-a,

'：ZOBC^^ZABC,ZOCB^^-ZACB,

22

AZABC+ZACB=2(NOBC+OCB)=2(180°-a)=360°-2a,

ZA=180°-(ABC+NACB)=180°-(360°-2a)=2a-180°,

故/BOC與/A之間的數(shù)量關(guān)系是：ZA=2ZBOC-180°.

故答案是：ZA=2ZBOC-180°.

題型2.雙外角平分線

例5.(1)如圖(1),在△ABC中，ZABC./ACB的平分線相交于點(diǎn)。，ZA=4Q°求/BOC的度數(shù).

(2)如圖(2),△4'B'C外角的平分線相交于點(diǎn)O',ZAZ=40°,求O'C的度數(shù).

(3)由(1)、(2)可以發(fā)現(xiàn)NBOC與O'C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？設(shè)/A=/A'=n°,/BOC與

ZB'O'C是否還具有這樣的數(shù)量關(guān)系？這個(gè)結(jié)論你是怎樣得到的？

【解答】解：(1)在△ABC中，/ABC、/4CB的平分線相交于點(diǎn)O,貝!I

Z1+Z2=AZABC+^ZACB=A(ZABC+ZACB)

222

=A(180°-NA)=Ax(180°-40°)=70°.

22

故N8OC=180°-70°=110°；

(2)因?yàn)镹A的外角等于180°-40°=140°,

△A'B'C另外的兩外角平分線相交于點(diǎn)O',

根據(jù)三角形的外角和等于360。，

所以N1+N2=2X(360°-140°)=110°,

2

ZB'O'C=180°-110°=70°；

(3)(1)(2)中/20C+/B'O'C=110°+70°=180°,；./BOC與/B'O'C互補(bǔ);

證明：當(dāng)時(shí)，ZBOC=180°-[(180°-n)+2]=90°+工”。，

2

VZAZ=n,ZB'O'C=180°-[360°-(180°-n)]4-2=90°-^-n,

2

/.ZA+ZA7=90°+^-n+90°--1°=180°,NBOC與O'C互補(bǔ)，

22

.,.當(dāng)NA=NA'="°,NBOC與NB'O'C還具有互補(bǔ)的關(guān)系.

例6.（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1,△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F.

（1）若/A=40。，則/F的度數(shù)為；

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)F作直線MN〃BC,交AB,AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,N,若設(shè)/MFB=a,ZNFC=3，則/A

與a+B的數(shù)量關(guān)系是；

（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng).

①如圖3,當(dāng)直線MN與線段BC沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，試探索/A與a,0之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中NA與a,B之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由；若不成立，請(qǐng)給出三者之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

【答案】（1）70。（2）a+^-1zA=90°（3）①見(jiàn)解析②不成立；夕一a-g/A=90?；?/p>

a-^-1zA=90°

【詳解】解：（1）如圖1,：NA=40。，

AZABC+ZACB=140",

ZDBC+ZECB=360°-140°=220°,

又二.△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F,

/.ZFBC+ZFCB=y（ZDBC+ZECB）=J乂220。=110。，

.?.△BCF中,ZF—180°-110°=70°,

故答案為：70。；

⑵如圖2,VZABC+ZACB=180°-ZA,

.".ZDBC+ZECB=360°-(180°-/A)=180°+ZA,

又「△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F,

；.NFBC+NFCB=；(ZDBC+ZECB)(180°+ZA)=90°+；NA,

.?.△BCF中，ZBFC=180°-(90°+；NA)=90°-；NA,

又：NMFB=a,ZNFC=P，MN〃BC,

/FBC=a,NFCB=B，

「△BCF中，ZFBC+ZFCB+ZBFC=180°,

.,.a+P+90°-1/A=180°,

即a+P-|NA=90。，

(3)①a+0-4NA=90。，理由如下：

如圖3,由(2)可得，ZBFC=90°-1-ZA,

圖3

,/ZMFB+ZNFC+ZBFC=180°,

；.a+B+90°-《ZA=180°,

即a+p-|NA=90。，

②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，①中NA與a,B之間的數(shù)量關(guān)系不成立.

分兩種情況：

圖4

由(2)可得，/BFC=90。-J/A,

VZBFC-ZMFB+ZNFC=180°,

Z.90°-yZA-a+B=180°,

即B-a-yZA=90°；

圖5

由(2)可得，ZBFC=90°-1ZA,

VZBFC-ZNFC+ZMFB=180°,

.*.90°-1ZA-P+a=180",

即a-0-：NA=90。；

綜上所述，/A與a,B之間的數(shù)量關(guān)系為0-a-：NA=90。或a-B-：/A=90。.

題型3.內(nèi)角平分線+外角平分線

例7.如圖，在△ABC中，NA=a,NABC的平分線與NAC￡）的平分線交于點(diǎn)4,得NAi,N4BC的平

分線與N4CZ）的平分線交于點(diǎn)A2,得NA2,…，/A2013BC的平分線與NA2013C。的平分線交于點(diǎn)&2014,

得NA2014CD,則/A2014=.

AZAiBC=^ZABC,ZAiCA=^ZACD,

22

,/ZAiCD=ZAi+ZAiBC,

即』NACD=ZAi+^ZABC,

22

ZAi=-l(ZACD-/ABC),

2

ZA+ZABC=ZACD,

：.ZA=ZACD-ZABC,

ZAi=—ZA,

2

ZA2=—ZAi=-^-ZA,

222

以此類推可知42。「揄4_a_

22014

。

故答案為:a

22014

例8.（2021秋?利辛縣月考）（1）如圖1,在△A8C中，平分/ABC,C尸平分/AC8,求證：ZP=90°

+1ZA；

2

（2）如圖2,在△A8C中，8P平分/ABC,CP平分外角/ACE,猜想/P和/A有何數(shù)量關(guān)系，并證

明你的結(jié)論.

AA

，P

圖1圖2

【解答】(1)證明：ABC+NACB=180°,

ZABC+ZACB^180°-ZA,

：BP平分/ABC,CP平分/ACB,

：.ZPCB=^-/ACB,ZPBC=^/ABC,

22

.*.ZP=180°-(NPCB+NPBC)

二180。-A(ZACB+ZABC)

2

=180°-A(180°-ZA)

2

=90°+—/A-,

2

(2)猜想：ZP-|ZA

證明：VZACE=ZA+ZABC,

：.ZA=ZACE-ZABC,

'：ZPCE=ZP+ZPBC,

：.ZP=ZPCE-NPBC,

又"P平分/ABC,C尸平分NACE,

???ZPBC=yZABC,ZPCE-|ZACE-

：.ZACE-/ABC

22

=A(ZACE-/ABC)

2

=L/A.

2

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一.選擇題（共8小題）

1.（2022春?振興區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC的三邊AB,BC,CA的長(zhǎng)分別為15,20,25,點(diǎn)。是△ABC

三條角平分線的交點(diǎn)，則S^ABO：SABCO：SAGA。等于()

【分析】過(guò)。點(diǎn)作0￡＞，A8于。，OEL8C于E,。尸_LC4于尸，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到。。=

OE=OF,然后根據(jù)三角形面積公式得到S?BO：SABCO：SACAO^AB：BC-.AC.

【解答】解：過(guò)。點(diǎn)作OD_LAB于。，OE_LBC于E,OF_LCA于R如圖，

?..點(diǎn)。是AABC三條角平分線的交點(diǎn)，

：.OD=OE=OF,

：.S^ABO：SABCO：SACAO=(—AB-OD)：(^OE-BC)：(^OF-AC)=AB：BC：AC=15：20：25=3：

222

4：5.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也考查了三角形的面

積公式.

2.(2022秋?黃岡期中)如圖，△ABC中，BO,CO分別是/ABC,/ACB的平分線，ZA=50°,貝!J/80C

等于()

A.110°B.115°C.120°D.130°

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出N02C+N0CB的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角

和等于180°即可求出N80C的度數(shù).

【解答】解：；14=50",

AZABC+ZACB=180°-ZA=180°-50°=130°,

'：BO,CO分另I」是/ABC,NACB的平分線，

J.ZOBC^-^ZABC,ZOCB^^ZACB,

22

：.ZOBC+ZOCB=^-（ZABC+ZACB）=Ax130°=65°,

22

.,.ZBOC=180°-（NOBC+NOCB）=180°-65°=115°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義，熟練掌握定理和概念是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?上杭縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BF平分/ABC,CF平分/ACB,125°,則/

A的度數(shù)為（）

A.60°B.80°C.70°D.45°

【分析】根據(jù)8尸平分/4BC可得，ZFBC=1ZABC,同理NFCB=//ACB，然后根據(jù)/8FC=125°,

利用三角形內(nèi)角和可得N/P2C+NPCB=55°,從而得到NABC+NACB=110°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和

得到NA=70°.

【解答】解：在△FBC中，/BFC=125；

：.ZFBC+ZFCB=180°-ZBFC=55°.

VBF^^ZABC,CF平分/ACB.

/ABC=2/FBC,/ACB=2NFCB.

：.ZABC+ZACB=2（ZFBC+ZFCB）=110°.

.,.在△ABC中，ZA=180°-CZABC+ZACB）=70°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理與角平分線的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?西陵區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC的三邊A8、BC、AC的長(zhǎng)分別是9、12、15.其三條角平分線

交于點(diǎn)。，將△ABC分為三個(gè)三角形，則S“BO：SABCO：S^CA。等于（）

B

C.3：4：5D.2：3：4

【分析】過(guò)。點(diǎn)作OOLAB,OELBC,OFLAC,垂足分別為D,E,F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：OD

=OE=OF,利用三角形的面積公式計(jì)算可求解.

【解答】解：過(guò)。點(diǎn)作OE±BC,OFA.AC,垂足分別為。，E,F,

'：AABC的三條角平分線交于點(diǎn)。，

：.OD=OE=OF,

在△ABC中，A3=9,BC=12,AC=15,

/.SAABO：SABCO：S^CAO——AB,DO：—BC'EO：—AC*OF=AB：BC：AC—9：12：15=3：4：5,

222

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理，三角形的面積，角平分線的性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)求得OO=OE

=。/是解題的關(guān)鍵.

5.（2021秋?冷水灘區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，/ABC與/ACB的平分線交于點(diǎn)。，ZA=40°,則

/BOC的度數(shù)是（）

C.130°D.140°第6題圖

【分析】在△ABC中，求得NABC+/ACB=180°-ZA=180°-40°=140°,根據(jù)NABC、NACB的

平分線交于點(diǎn)D，求得/OBC+NOCB=2(/43C+NACB)=1x140°=70°,在△DBC中根據(jù)三角

22

形內(nèi)角和定理求解即可.

【解答】解：在△ABC中，

VZA=40°,/A+NA8C+/ACB=180°,

?.ZABC+ZACB=180°-ZA=180°-40°=140°,

*.?ZABC.ZACB的平分線交于點(diǎn)D,

：.ZDBC=-^ZABC,NDCB=L/ACB,

22

/.ZDBC+ZDCB^^-CZABC+ZACB）=Ax140°=70°,

22

在△OBC中，

VZDBC+ZDCB+ZBDC=180°,

.*.ZBDC=180°-（NDBC+/DCB）=180°-70°=110°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

6.（2021秋?新興縣期中）如圖所示，在△A3C中，NA5C和NAC8的角平分線相交于點(diǎn)O,若NBOC=

140°,則NA的度數(shù)是（）

A.40°B.90°C.100°D.140°

【分析】先根據(jù)80平分NA3C,CO平分NAC5,可得NA3C=2N1,ZACB=2Z2,再根據(jù)三角形內(nèi)

角和定理計(jì)算出N1+N2的度數(shù)，進(jìn)而得至（JNA8C+NAC8,即可算出NA的度數(shù).

【解答】解：?.?5。平分NA5C,CO平分NACB,

AZABC=2Z1,ZACB=2Z2,

VZBOC=140°,

.?.Zl+Z2=180°-140°=40°,

AZABC+ZACB=2X40°=80°,

AZA=180°-80°=100°,

故選：C.

A

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?峨邊縣模擬）如圖，△ABC中，AB=6,AC=8,ZABC.NAC3的平分線5。、CD交于點(diǎn)D.過(guò)

點(diǎn)。作斯〃8C,分別交A3、AC于點(diǎn)E、F,則△AEb的周長(zhǎng)為（）

A.12B.13C.14D.15

【分析】根據(jù)角平分線與平行這兩個(gè)條件可證明等腰三角形，即可解答.

【解答】解：?.?5。平分NA5C,CD平分NAC5,

ZABD=ZDBC,ZACD=/DCB,

,:EF〃BC,

:?NEDB=/DBC,/FDC=/DCB,

:?/ABD=/EDB,ZACD=ZFDC,

：?EB=ED,FD=FC,

VAB=6,AC=8,

???AAEF的周長(zhǎng)=AE+EF+AF

=AE+ED+DF+AF

=AE+EB+AF+FC

=AB+AC

=14,

???△AEF的周長(zhǎng)為：14,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)角平分線與平行這兩個(gè)條

件可證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

8.（2022秋?東光縣校級(jí)月考）如圖，。是AABC的角平分線5。和CZ）的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作△BCD的高,

交5C于點(diǎn)E.若NA=70°,ZCDE=65°,則NOBE的度數(shù)為（)

【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理先求出N8CD,再求出NA8C,通過(guò)角平分線的定義得結(jié)論.

【解答】解：???DEJ_3C

：.ZCED=90°.

：.ZDCB+ZCDE=90°.

VZCZ）E=65°,

：.ZBCD=25°

?；BD、CD分別是NCSA、N3CA的平分線，

：?/CBA=2/CBD,ZBCA=2ZBCD=50°.

*：ZA+ZCBA+ZBCA=180°,ZA=70°,

：.ZCBA+ZBCA=1W°.

AZCBA=110°-50°=60°.

：.ZDBE=ZDBC=30°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，掌握“三角形的內(nèi)角和是180。”及角

平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題）

9.（2021秋?岷縣期中）如圖，在△A3C中，NB,NC的平分線交于。點(diǎn)，過(guò)。點(diǎn)作EF〃BC交AB,AC

于點(diǎn)E,F.當(dāng)E尸=6,。尸=4時(shí)，BE的長(zhǎng)為2.

【分析】利用平行和角平分線得到3E=0E,OF=CF,可得出結(jié)論跖=3E+CR由此即可求得5石的

長(zhǎng).

【解答】解：如圖，平分/A8C,

ZABO=ZCBO；

'：EF//BC,

：.ZEOB=ZOBC,

:./EOB=NEBO,

:.BE=OE；

同理可證CF=OF,

；.EF=BE+CF,

,:EF=6,CF=4,

：.OE=EF-OF=EF-C=2,

:.BE=0E=2,

故答案為2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，結(jié)合平行得到8E=E0,5=0尸是解題的關(guān)鍵.

10.(2022秋?安陸市期中)如圖△ABC中，/4BC與NAC2的平分線相交于X,過(guò)點(diǎn)X作E歹〃2C交AB

于￡,交AC于RHO_LAC于。，以下四個(gè)結(jié)論①NBHC=90°+ZA；②EF-BE=CF；③點(diǎn)”到^

ABC各點(diǎn)的距離相等；④若8,H,。三點(diǎn)共線時(shí)，△ABC一定為等腰三角形.其中正確結(jié)論的序號(hào)為

②③④.

【分析】①先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出(ZABC+ZACB),再由三角形內(nèi)角和定理即

2

可得出結(jié)論；

②根據(jù)NABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)H可得出ZBCH^ZFCH,再由￡F〃8C可

知/CBH=NEHB,ZBCH^ZCHF,故可得出BE=EW,HF=CF,由此可得出結(jié)論;

③根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

④根據(jù)已知條件可以得到AABDmMBD,利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

【解答】解，①???/48C和/AC8的平分線相交于點(diǎn)

/./HBC+/HCB=L(ZABC+ZACB)

2

=2(180。-ZA),

2

.?.N8HC=180°-(/HBC+NHCB)

=180°-A(180°-NA)

2

=90°+1ZA,故①錯(cuò)誤；

2

②：/ABC和/ACB的平分線相交于點(diǎn)H,

ZEBH=ZCBH,/BCH=/FCH.

'：EF//BC,

：.ZCBH=ZEHB,/BCH=/CHF,

：.ZEBH=ZEHB,ZFCH=ZCHF,

:.BE=EH,HF=CF,

：.EF=EH+HF=BE+CF,

：.EF-BE=CF,故②正確；

③：/ABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)H,

.?.點(diǎn)”是△ABC的內(nèi)心，

.?.點(diǎn)〃到aABC各邊的距離相等，故③正確；

④若2,H,。三點(diǎn)共線時(shí)，貝UBOLAC,且2。平分NA3C,

.'.△ABD咨ACBD(SAS),

：.AB=AC,

...△ABC一定為等腰三角形，故④正確.

故答案為：②③④；

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與

性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及三角形內(nèi)心的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

11.(2022秋?武昌區(qū)校級(jí)期中)如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,NA8C和N54C的平分線相交于點(diǎn)。,

OZ)_LOA交AC于。，OELOB交BC于E,BC=4,AC=3,AB=5,則△(7￡)￡1的周長(zhǎng)為2

【分析】延長(zhǎng)。。交AB于點(diǎn)M,延長(zhǎng)EO交AB于點(diǎn)N,根據(jù)ASA定理可得△BOEgZXBON,△AO。也

△AOM,再由SAS定理得出△E。。g△NOM,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出結(jié)論.

【解答】解：延長(zhǎng)。。交AB于點(diǎn)延長(zhǎng)E。交48于點(diǎn)N

是NABC的平分線，

；./OBE=NOBN.

"：OE±OB,

：.ZBOE=ZBON=90°.

在△BOE與△BON中，

，Z0BE=Z0BN

-OB=OB，

ZB0E=ZB0N

.?.△BOE沿ABON(ASA).

同理可得，△AOOg/XA。/,

：.OE=ON,OD=OM,BE=BN,AD=AM.

在△EOO與△NOM中,

rOE=ON

?ZD0E=ZM0D，

OD=OM

:.AEOD經(jīng)ANOM(SAS),

：.DE=MN.

：.CE+CD+DE

=BC-BE+AC-AD+MN

=BC-(BM+MN)+AC-(AN+MN)+MN

=BC-BM-MN+AC-AN-MN+MN

=BC-BM-MN+AC-AN

=BC-QBM+MN+AN)+AC

=BC+AC-AB

=4+3-5

=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

12.（2021秋?道里區(qū)期末）如圖，在△A3C中，5。和8分別是NABC和NAC3的平分線，■過(guò)點(diǎn)

S.EF//BC,若BE=3,。尸=4,則EF的長(zhǎng)為7.

【分析】根據(jù)角平分線與平行兩個(gè)條件，可證出等腰三角下即可解答.

【解答】解：?.?8。和CD分別是NA8C和NAC8的平分線，

JZABD=NDBC,ZACD=NDCB,

,:EF〃BC,

：.ZEDB=ZDBC,/FDC=/DCB,

：.ZABD=ZEDB,ZACD=ZFDC,

:.EB=ED=3,FD=FC=4,

：.EF=ED+DF=3+4=7,

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線與平行兩個(gè)條件，可

以證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

13.（2022秋?長(zhǎng)興縣月考）如圖，在△ABC中，ZA=64°,和OC分另ij平分/ABC和/ACB,則NBOC

=122°.

【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出NA8C與/AC8的和，再利用角平分線的定義求出/O8C與/

OCB的和，最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出/O.

【解答】解：'：ZA+ZABC+ZACB=180°,NA=64°,

/.ZABC+ZACB=116°.

'：OB和OC分別平分/ABC和/AC8,

：.ZOBC=^-/ABC,ZOCB=^-/ACB.

22

/.ZOBC+ZOCB^^-/ABC+^~/ACB

22

=▲（ZABC+ZACB）

2

=58°.

'：ZO+ZOBC+ZOCB^1SQ0,

AZO=180°-58°=122°.

故答案為：122°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理，掌握“三角形的內(nèi)角和是180。”及角平分

線的定義是解決本題的關(guān)鍵.

14.（2021秋?天山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在AABC中，ZA=a,NA8C的平分線與NACD的平分線交于點(diǎn)4

得N4,N4BC的平分線與NA1CO的平分線交于點(diǎn)A2,得NA2,…，NA20083C的平分線與NA2008C。

的平分線交于點(diǎn)A2009,得NA2009,則NA2009=―-—.

—22009-

【分析】讀懂題意，根據(jù)角平分線的定義找規(guī)律，按規(guī)律作答.利用外角的平分線表示NACA1,再根據(jù)

角平分線和三角形內(nèi)角和定理求出N4等于/A的一半，同理，可以此類推，后一個(gè)是前一個(gè)的一半，

而2的次數(shù)與腳碼相同.

【解答】解：VZACAI=ZAICD=AZACD=A(ZA+ZABC),

22

又,/ZABAi=ZA\BD=^ZABD,

2

ZAiCD^ZAiBD+ZAi,

ZAi=—ZA=—a.

22

同理NA2=2N4,

2

即每次作圖后，角度變?yōu)樵瓉?lái)的工.

2

_a_

故/&2009=

22009

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部

分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.

三.解答題（共8小題）

15.（2021秋?呼和浩特期中）（1）如圖1,在△ABC中B。、C。分別平分/ABC、ZACB,過(guò)點(diǎn)。作直線

EF〃BC交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸，直接寫出EF和BE、CF的數(shù)量關(guān)系EF=BE+CF.

（2）如圖2,若將（1）中的“BO、C。分別平分/ABC、ZACB,,改為“BO、C。分別平分NABC和/

AC8的外角”，其他條件不變，則EF與BE、CF的關(guān)系又如何？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）等腰三角形有△BE。和△<?尸。，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)推出/防。=/￡。3,Z

/OC=N"。，根據(jù)等角對(duì)等邊推出即可；根據(jù)BE=OE,CF=OF即可得出EF與BE、CF之間的關(guān)系；

（2）等腰三角形有△BE。和△CF。，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)推出/防。=/￡。2,NFOC=N

FCO,根據(jù)等角對(duì)等邊推出即可；根據(jù)BE=OE,CF=OF即可得出EF與BE、CR之間的關(guān)系.

【解答】解：（1）EF^BE+CF.

理由：:BO平分NA8C,CO平分NAC3,

：.ZEBO=ZOBC,ZFCO=ZOCB,

，：EF〃BC,

：.ZEOB=/OBC,ZFOC=/OCB,

：./EBO=ZEOB,ZFOC=/FCO,

:.BE=OE,CF=OF,

:?EF=BE+CF.

(2)EF=BE-CF,

理由：?.?BO平分NA3C,CO平分NACD,

:?/EBO=/OBC,/FCO=/OCD,

,:EF〃BC,

：./EOB=/OBC,/FOC=/OCD,

：./EBO=/EOB,ZFOC=/FCO,

：.BE=OE,CF=OF,

：.EF=BE-CF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是推出38=05

CF=OF.

16.(2022秋?新鄉(xiāng)期末)如圖1,在AABC中，NABC和NAC3的平分線交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作匹〃5C,

交A3于E,交AC于足

(1)當(dāng)BE=5,CF=3,則EC=8；

(2)當(dāng)/時(shí)，若。。是NAC5的外角平分線，如圖2,它仍然和NA3C的角平分線相交于點(diǎn)O,

過(guò)點(diǎn)。作班W3C,交A3于交AC于R試判斷ERBE,之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證BE=OE=5,0F=CF=3,即可得出答案;

(2)與(1)同理可證.

【解答】解：⑴'.,EF//BC,

：.ZEOB=ZOBC,ZFOC=ZOCB,

：NABC和NACB的平分線交于點(diǎn)。

ZEBO=ZOBC,ZFCO=ZBCO,

：./EBO=ZEOB,ZFOC=ZFCO,

:.BE=0E=5,0F=CF=3,

：.EF=EO+FO=8,

故答案為：8；

(2)EF=BE-CF,理由如下：

：8。平分/ABC,

ZABO^ZOBC,

'：EO//BC,

：.ZEOB=ZOBC,

：.NABO=/EOB,

:.EB=EO,

同理可得FO=FC,

：.EF=EO-FO=EB-FC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，利用角平

分線和平行線證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

17.(2022秋?瑤海區(qū)期中)如圖，在△A8C中，NABC與/ACB的平分線交于點(diǎn)尸，根據(jù)下列條件，求/

BPC的度數(shù).

(1)若NA=68°,則124°；

(2)從上述計(jì)算中，我們能發(fā)現(xiàn)：NBPC=90。+工乙4(用含NA的式子表示),并說(shuō)明理由.

【分析】(1)先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出/4BC+NACB=112°,再由角平分線定義得：ZPBC+ZPCB

=56°,從而得出/8PC的度數(shù)；

(2)與(1)同理可得：NBPC=90°+AZA.

2

【解答】解：(1)VZA=68O,

AZABC+ZACB=180°-68°=112°,

,/ZABC與ZACB的平分線交于點(diǎn)P,

：.ZPBC^^ZABC,NPCB=I/ACB,

22

ZPBC+ZPCB=^ZABC+^ZACB=^-(ZABC+ZACB)=Axil2°=56°,

2222

.,.ZBPC=180°-56°=124°,

故答案為：124°；

(2)VZABC+ZACB=180°-ZA

由(1)得：/PBC+/PCB=LCZABC+ZACB)=上(180°-NA)=90°-AZA

222

.,.ZBPC=180°-(NPBC+/PCB)=180°-(90°-=90°+工/A

22

故答案為：90°+1ZA.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了內(nèi)角平分線和外角平分線的定義，與三角形內(nèi)角和相結(jié)合，得出內(nèi)角平分線的

夾角和外角平角線的夾角與第三個(gè)角的關(guān)系.

18.(2021秋?雙臺(tái)子區(qū)校級(jí)期中)(1)如圖1,在△ABC中，ZABC,NACB的平分線交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。

作E尸〃BC分別交AB,AC于點(diǎn)E,F.直接寫出線段EF與BE,Cb之間的數(shù)量關(guān)系：EF=BE+CF.

(2)如圖2,若△ABC中/ABC的平分線8。與三角形外角平分線C。交于點(diǎn)。，過(guò)。點(diǎn)作OE〃8C交

A2于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)足則所與BE,B之間的數(shù)量關(guān)系又如何？說(shuō)明你的理由.

【分析】(1)利用角平分線與平行線證明△BE。和是等腰三角形即可;

(2)利用角平分線與平行線證明和是等腰三角形即可.

【解答】解：（1）〈BO平分NA8C,CO平分NAC8,

JZABO=/OBC,ZACO=ZOCB,

，：EF〃BC,

：.ZEOB=/OBC,ZFOC=/OCB,

：./EBO=ZEOB,ZFOC=/FCO,

:,EB=EO,FC=FO,

":EF=EO+FO,

：.EF=EB+FC,

故答案為：EF=EB+FC；

（2）EF=BE-CF,

理由是：?.?5。平分NABC,

ZABO=ZOBCf

,:EF〃BC,

：.ZEOB=ZOBC9

：,/EBO=NEOB,

:,EB=EO,

同理可得：FO=CF,

?；EF=EO-FO,

：.EF=BE-CF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，結(jié)合圖形找到角與邊的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

19.（2023春?永春縣期末）在△ABC中，CQ平分NAC3交A8于點(diǎn)。，點(diǎn)石是射線A8上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)

。重合），過(guò)點(diǎn)E作成〃5C交直線CD于點(diǎn)RN3跖的角平分線所在的直線與直線CD交于點(diǎn)G（不

與點(diǎn)C重合）.

（1）如圖，點(diǎn)E在線段AO上運(yùn)動(dòng)，若N8=50°,ZACB=30°,求NEGC的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)E在線段。3的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)NA=a,求NEGC的度數(shù)（答案可用含a的代數(shù)式表示）.

AA

備用圖

【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得：/FEG=NDEG=L/FED=25。,ZBCD^Z

2

ACD=^ZACB=ZEFD=15°,再利用三角形的外角可得結(jié)果；

2

（2）先求得/EGZ）=90°--i-a,再由平角可得NEGC.

2

【解答】解：（1）EF//BC,

：.ZB=ZFEB=5Q°,ZEFD^ZBCD,

：C尸是/ACB的平分線，EG是/EEO的平分線，

:.NFEG=/DEG=L/FED=25。,ZBCD=ZACD=^-ZACB=ZEFD=15°,

22

ZEGC=ZFEG+ZEFG=45°,

(2)當(dāng)點(diǎn)E在射線08上時(shí)，如圖，

,/ZEGD=ZFEG+ZEFG

=』CZFED+ZACB)

2

=△(ZACB+ZB)

2

=△(180°-NA)

2

=90°--la,

2

.，.NEGC=180°-ZEGD

=180°-90°+2/a

2

=90°+Aza.

2

A

備用圖

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性