專題02全等三角形常見七大必考模型專訓(xùn)

旨【模型目錄】

模型一平移模型

模型二軸對(duì)稱模型

模型三旋轉(zhuǎn)模型

模型四一線三等角模型

模型五垂直模型

模型六手拉手模型

模型七半角模型

31經(jīng)典模型一平移模型】

【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線/平行移動(dòng)，所得到ADE尸與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①,

圖②是常見的平移型全等三角線.

【常見模型】

【例1】（2023春?全國(guó)?八年級(jí)期中）如圖所示的是重疊的兩個(gè)直角三角形，將其中一個(gè)直角三角形沿8c方

向平移得到△￡>￡?若AB=10cm,BE=6cm,DH=4cm,則圖中陰影部分面積為（)

A.47cm2B.48cm2C.49cm2D.50cm2

■【變式訓(xùn)練】

1.（2021春.陜西咸陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將AABC沿BC方向平移得到ADEF,使點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰

好落在邊BC的中點(diǎn)上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)廠在BC的延長(zhǎng)線上，連接AD,AC.DE交于點(diǎn)O.下列結(jié)論一定

正確的是（）

A.ZB=ZFB.ACLDEC.BC=DFD.AC.DE互相平分

2.（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A,E,F,C在一條直線上，若將AOEC的邊EC沿AC方向平

移，平移過(guò)程中始終滿足下列條件：AE=CF,DEJ.AC于點(diǎn)E,族人AC于點(diǎn)尸，且他=CD.則當(dāng)點(diǎn)

E,尸不重合時(shí)，3D與所的關(guān)系是.

3.（2023秋?山東聊城?八年級(jí)?？计谀┤鐖D（1）,AB±BD,DE工BD,點(diǎn)、C是BD上一點(diǎn)、,且3c=DE,

AC=CE.

（1）試判斷AC與CE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）如圖（2）,若把ACDE沿直線8。向左平移，使ACDE的頂點(diǎn)C與8重合，此時(shí)第（1）問(wèn)中AC與BE的

位置關(guān)系還成立嗎？說(shuō)明理由.（注意字母的變化）.

J【經(jīng)典模型二軸對(duì)稱模型】

【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱之為軸對(duì)

稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.

【常見模型】

【例2】（2023秋?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知/C=/D,AC=AD,增加下列條件:①=鉆；②=ED；

@Z1=Z2；@NB=NE.其中能使AABC絲IE。的條件有（）

C.2個(gè)D.1個(gè)

■【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋.安徽滁州?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知ZX/RC絲BC與DE交于點(diǎn)O,AC,AE

分別與DE,BC交于點(diǎn)H,G,連接。4,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

AG=AHB.ZOAE=ZDAH

EG=CHD.AOAB=ZOAD

2.（2023秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在①AD=A￡,?ZABE=ZACD,③EB=PC這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)

充在下面的問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答.

問(wèn)題：如圖，在AABC中，AB=AC,點(diǎn)。在邊上，點(diǎn)E在AC邊上，連接BE,CD,破與CD相交于

點(diǎn)尸.若,求證：BE=CD.

3.（2023春?廣東佛山?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，BD、CE分別為—ACB的角平分線,

兩線交于點(diǎn)。.

（1）若ZABC=60°,ZACB=40°,貝l|4OC=°；

⑵若NA=70。，則NBOC=°；

（3）若/A=tz,用a表示的-3OC,寫出詳細(xì)的步驟（不用寫理論依據(jù)）；

（4）ZA=60%BE,CD,8C三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)果，并說(shuō)明理由（不用寫理論依據(jù)）.

J【經(jīng)典模型三旋轉(zhuǎn)模型】

【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋

轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加（減）公共角的條件.

【常見模型】

【例3】（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在RIAASC中，AB=AC,ZABC=NACB=45。，。、E是斜

邊3C上兩點(diǎn)，且NZM￡=45。，若3。=3,CE=4,S^ADE=15,則△ABD與△&￡■（?的面積之和為（）

A.36B.21C.30D.22

產(chǎn)【變式訓(xùn)練】

1.（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在RSABC中，AB^AC,D,E是斜邊8c上兩點(diǎn)，且NZME=45。,

將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到△的,連接所.以下結(jié)論：①△ADC之△AEB；②

△ABE四△ACD；③4AED當(dāng)△AEF；④BE+DC=DE.其中正確的是（）

A

B

A.②④B.①④D.①③

2.（2022秋?浙江.八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，五邊形4BCDE中,

ZABC=ZAED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=1,則這個(gè)五邊形ABCDE的面積等于

3.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45。的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何

模型稱為半角模型.半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：

如圖1,在正方形A3CD中，以A為頂點(diǎn)的㈤F=45。，AE.AF與8C、。邊分別交于E、尸兩點(diǎn).易

證得EF=BE+FD.

大致證明思路：如圖2,將△ADR繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABH,由NHBE=180?？傻肏、B、E三

點(diǎn)共線，ZHAE=ZEAF=45°,進(jìn)而可證明四AAEF,故EF=BE+DF.

任務(wù):

如圖3,在四邊形A3CD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBAD=120°,以A為頂點(diǎn)的ZE4F=60。，AE.AF

與3C、CD邊分別交于E、尸兩點(diǎn).請(qǐng)參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論EF=5E+Z）尸是否依然成

立，若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

_?！窘?jīng)典模型四一線三等角模型】

【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BDLOE,ABLAC,CELDE,那么一定有NB=NCAE.

【例4】（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AC=CE,ZACE=90°,ABLBD,ED±BD,AB=6cm,DE

)

8cmC.10cmD.4cm

產(chǎn)【變式訓(xùn)練】

1.（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在AABC中，A8=AC=9,點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交5C于

點(diǎn)。，若NADE=/B,CD=3BD,則CE等于（）

n9

A.3B.2D.-

2

2.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，A4BC中，AB=AC,ZBAC=90°.直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)8作

BE_L/于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CT7，/于點(diǎn)?若BE=2,CF=5,則EF=

3.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖1,ZACB=90,AC=BC,ADLCE,BE±CE,垂足分別為。，E.

（2）在其它條件不變的前提下，將CE所在直線變換到"RC的外部（如圖2）,請(qǐng)你猜想AD,DE,BE三者

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）如圖3,將（1）中的條件改為：在AABC中，AC^BC,D,C,E三點(diǎn)在同一條直線上，并且有

NBEC=ZADC=NBCA=a,其中a為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若

不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

J【經(jīng)典模型五垂直模型】

【模型解讀】模型主體為兩個(gè)直角三角形，且兩條斜邊互相垂直.

【常見模型】

【例5】（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如下圖所示，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,BELCE于點(diǎn)E,

AD_LCE于點(diǎn)D,DE=6cm,AD=9cm,則BE的長(zhǎng)是（）

A.6cmB.1.5cmC.3cmD.4.5cm

*【變式訓(xùn)I練】

1.（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，NACB=90。，AC=BC,AELCE于點(diǎn)E,雙〃CD于點(diǎn)。，AE=5cm,

BD=2cm,則￡>E■的長(zhǎng)是（）

C.3cmD.2cm

2.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在44BC中，以AB、AC為腰作等腰直角三角形4近和等腰直角

三角形ACT.連接石尸，AO為邊上的高線，延長(zhǎng)D4交所于點(diǎn)N,下列結(jié)論：（1）ZFAN=ZACD；

（2）4FNA均ADC；（3）EN=FN；（4）S^F=S^ABC,其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）.

3.（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）己知，”LBC中，ABAC=90°,AB=AC,直線加過(guò)點(diǎn)A,且此，利于

D,CE，〃7于E,當(dāng)直線機(jī)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)DE=8D+CE.

（1）當(dāng)直線機(jī)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問(wèn)：BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；

（2）直線機(jī)在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，BD、DE、CE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證

明）

41經(jīng)典模型六手拉手模型】

【模型分析】

將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫

旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等.

【模型圖示】

公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右

手”.對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)2。）,右手拉右手（即連結(jié)CE）,得AABDmAACE.

【常見模型】

k

（等腰）

ft*

（等邊）

二4A二4A

（等腰直角）

【例6】（2023春?上海?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在AE同側(cè)分

別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE,AD與BE交于點(diǎn)0,與BC交于點(diǎn)尸，BE與CD交于點(diǎn)Q,

連結(jié)PQ.以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

1

E

A.ZAOB=60°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

聲【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△0A8和△OCD中，。4=。8,OC=OD,OA>OC,

ZAOB=ZCOD=4Q°,連接AC,BD交于點(diǎn)M,連接。M,下列結(jié)論：

?△AOC^ABOD；②AC=BD；③NAMB=40。；④MO平分/BMC.

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

2.（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，BD=CD,ZBDC=120°.E、F

分別在A3、AC上，且N￡DF=60。，則三角形AEF的周長(zhǎng)為

3.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AABC是一個(gè)銳角三角形，分別以AB、AC為邊向外作等邊三角形

△ABD、AACE,連接BE、CD交于點(diǎn)/，連接AF.

(1)求證：AABEAADC；

⑵求NEfC的度數(shù)；

(3)求證：AF平分/DFE.

J【經(jīng)典模型七半角模型】

【模型分析】過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半

角模型.

【常見模型】

常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一

邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線

段之間的數(shù)量關(guān)系.半角模型(題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系)利用旋轉(zhuǎn)一證全等一得到相關(guān)結(jié)論.

【例7】(2023秋?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)?？计谀?綜合與實(shí)踐

(1)如圖1,在正方形A8CD中，點(diǎn)M、N分別在A。、CD上,若/MBN=45。,則MN,AM,CN的數(shù)量

關(guān)系為

N

BCB

圖2圖3

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，BC//AD,AB=BC,ZA+ZC=180°,點(diǎn)M、N分別在A。、CD上，若

/MBN=g/ABC,試探索線段MN、AM,CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明.

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，AB=BC,/ABC+/AOC=180。，點(diǎn)M、N分別在D4、C￡)的延長(zhǎng)線上，

若試探究線段MN、AM,CN的數(shù)量關(guān)系為.

■【變式訓(xùn)練】

1.(2023春?上海?七年級(jí)專題練習(xí))(1)如圖1,在四邊形A8C。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、尸分

別是邊2C、CD上的點(diǎn)，且NE4F=；NBA￡>.求證：EF=BE+FD-,

(2)如圖2,在四邊形ABC￡>中，AB=AD,/3+/。=180。，￡、廠分別是邊2。、。上的點(diǎn)，且“4尸=上8肛

請(qǐng)直接寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,在四邊形A8CQ中，AB=AD,ZB+ZA￡?C=180°,E、尸分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，

S.ZEAF=^BAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，

并證明.

圖1圖2圖3

2.（2023春?廣東佛山?八年級(jí)?？计谥校┮阎哼呴L(zhǎng)為4的正方形ABC，/EAF的兩邊分別與射線CB、

。。相交于點(diǎn)￡、F,且NEAP=45。，連接EF.求證:EF=BE+DF.

圖1圖2圖3

思路分析:

⑴如圖1,,正方形ABC。中，AB^AD,/BAD=NB=/ADC=90°,

...把AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至則R。、E在一條直線上,

ZE'AF.度，

根據(jù)定理，可證：

：.EF=BE+DF.

類比探究:

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段C8的延長(zhǎng)線上，探究所、BE、之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過(guò)程；

拓展應(yīng)用：

(3)如圖3,在AABC中，AB^AC,D、E在BC上，ZBAC=2ZDAE.若SAABC=14,S^ADE=6,求線段

BD、DE、EC圍成的三角形的面積.

3.(2023春?重慶南岸?八年級(jí)重慶市南坪中學(xué)校校考階段練習(xí))(1)如圖1,在四邊形A5CD中，AB^AD,

ZB=ZD=90°,E、/分別是邊8C、8上的點(diǎn)，^ZEAF=^ZBAD,可求得E尸、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)

系為.(只思考解題思路，完成填空即可，不必書寫證明過(guò)程)

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZAZX?=18O°,E、/分別是邊BC、8延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，

若NEAF=；NBAD,判斷針、BE、ED之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎，若成立，請(qǐng)完成證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

圖1圖2

【重難點(diǎn)訓(xùn)練】

1.(2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè))如圖，在AABC中，AD為8C邊上的中線.

(1)按要求作圖：延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使DE=AD；連接BE.

(2)求證：AACD咨AEBD.

(3)求證：AB+AC>2AD.

(4)若A3=5,AC=3,求AD的取值范圍.

2.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))(1)方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問(wèn)題：如圖1,

在AABC中，AB=12,AC=8,求BC邊上的中線的取值范圍.

圖1

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法(如圖2),

M

圖2

①延長(zhǎng)AD到使得DM=AD

②連接通過(guò)三角形全等把A3、AC,2Ao轉(zhuǎn)化在△ABN中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得A"的取值范圍為AB-從而得到AD的取值范圍

是;

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”.“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系.

(2)請(qǐng)你寫出圖2中AC與敏的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

(3)深入思考：如圖3,AD是AABC的中線，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF^90°,請(qǐng)直接利用

(2)的結(jié)論，試判斷線段AD與政的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖3

3.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))在ZABC中,^BAC=90°,AC=AB,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,>CDLMN

圖1圖2

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，ZEAB+ZDAC=_^

(2)求證：DE=CD+BE；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問(wèn)。瓜8、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系,

并加以證明.

4.（2022秋?陜西延安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題提出】

（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD,4="=90。，￡、產(chǎn)分另1」是邊8C、C￡）上的點(diǎn)，且4A尸=

求證：EF=BE+FD；

【問(wèn)題探究】

（2）如圖②，在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、尸分別是邊8C、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，

且N￡AF=eNBAD,（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量

關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖①圖②

5.（2022秋?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,小8和△OCE均為等腰直角三角形，ZACB二=ZDCE=90°,連接AD,BE,點(diǎn)A、D、E在同

一條直線上，則NA￡B的度數(shù)為_________,線段A。、BE之間的數(shù)量關(guān)系__________；

（2）拓展探究：

如圖2,△ACB和△￡＞（7_￡均為等腰直角三角形，ZACB=NDCE=90°,連接AD,BE,點(diǎn)A、D、E不在

一條直線上，請(qǐng)判斷線段A。、BE之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）解決問(wèn)題：

如圖3,小圓和△DCE均為等腰三角形，ZACB=ZDCE=a,則直線AD和8E的夾角為.（請(qǐng)

用含夕的式子表示）

6.（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）（1）如圖1,已知"EC中，ZB4C=90。，AB^AC,直線加經(jīng)過(guò)點(diǎn)4網(wǎng)＞，

直線機(jī)，CEL直線機(jī)，垂足分別為點(diǎn)2E.求證：DE=BD+CE.

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在AABC中，AB=AC,RA,E三點(diǎn)都在直線加上，并且有

々%=/4￡。=/區(qū)4。.請(qǐng)寫出?！?8。,以三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

7.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,已知AABC中，ABAC=90°,AB=AC,是過(guò)A的一條直

線，且8,C在。，E的同側(cè)，于O,CE工AE于E（BD＜CE）.

ED

圖2圖3

(1)證明：AABD^CAE；

(2)試說(shuō)明：BD=DE—CE；

若直線DE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置（此時(shí)2,C在O,E的異側(cè)）時(shí)，其余條件不變，問(wèn)3。與QE,

CE的關(guān)系如何？請(qǐng)證明;

（4）若直線DE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3位置（此時(shí)5,C在D,E的同側(cè)）時(shí)仍。＞CE）其余條件不變，問(wèn)

與DE,CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需說(shuō)明理由.

8.（2020秋?福建三明?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1,△ABC和△A3。中，NBAC=/ABO=90。，點(diǎn)C和點(diǎn)。

在的異側(cè)，點(diǎn)E為邊上的一點(diǎn)，SLAC=AE,連接CE交直線A8于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)A作AFLAD交直線

CE于點(diǎn)E

（I）求證：AAGE^AAFC；

（II）若A8=AC,求證：AD^AF+BD；

（III）如圖2,若AB=AC,點(diǎn)C和點(diǎn)。在AB的同側(cè)，題目其他條件不變，直接寫出線段AD,AF,2。的

數(shù)量關(guān)系

圖1圖2

9.（2023春?陜西西安?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）問(wèn)題解決：如圖，在四邊形中，NBAD=a,ZBCD

=180。-%平分/ABC.

①如圖1,若a=90。，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得AZ）=C，這個(gè)性質(zhì)是一；

②在圖2中，求證：AD^CD；

（2）拓展探究：根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)解決如下問(wèn)題：如圖3,在等腰AABC中，ZBAC=100°,BD平

分NABC,求證BD+A￡）=BC.

10.（2021秋?山東德州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）某中學(xué)八年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)知識(shí)時(shí)時(shí)，經(jīng)歷了以

下學(xué)習(xí)過(guò)程：

（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,在AABC中，若AD平分NBAC,AD/BC時(shí)，可以得出AB=AC,。為BC中

點(diǎn)，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)證明此結(jié)論.

（2）【學(xué)以致用】如果RtABEF和等腰RtAABC有一個(gè)公共的頂點(diǎn)8,如圖2,若頂點(diǎn)C與頂點(diǎn)廠也重合，

且=試探究線段BE和ED的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（3）【拓展應(yīng)用】如圖3,在（2）的前提下，若頂點(diǎn)C與頂點(diǎn)產(chǎn)不重合，/BFE=；ZACB,（2）中的結(jié)論

還成立嗎？證明你的結(jié)論

11.（2020秋?貴州遵義?八年級(jí)統(tǒng)考期末）過(guò)正方形ABCD（四邊都相等，四個(gè)角都是直角）的頂點(diǎn)A作一

條直線MN.

（1）當(dāng)不與正方形任何一邊相交時(shí)，過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作”，肱V于點(diǎn)尸如圖（1）,

請(qǐng)寫出斯，BE,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)若改變直線MN的位置，使MN與CD邊相交如圖(2),其它條件不變，EF,BE,O尸的關(guān)系會(huì)發(fā)

生變化，請(qǐng)直接寫出Er，BE,。尸的數(shù)量關(guān)系，不必證明；

(3)若繼續(xù)改變直線的位置，使與8C邊相交如圖(3),其它條件不變，EF,BE,。尸的關(guān)系

又會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫出所，BE,。尸的數(shù)量關(guān)系，不必證明.

12.(2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè))探究：如圖①，在AABC中，ZS4C=90°,AB^AC,直線加經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

利于點(diǎn)￡),CE_L〃z于點(diǎn)E,求證：AAB。絲ACAE.

應(yīng)用：如圖②，在AABC中，AB^AC,三點(diǎn)都在直線"2上，并且有NBD4=NAEC=N3AC.求出

。瓦3。和CE的關(guān)系.

拓展：如圖①中，若DE=10,梯形3CED的面積

圖①

13.(2023春?上海?七年級(jí)專題練習(xí))通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列

問(wèn)題：

證：BC=AE.

［模型應(yīng)用］如圖2,/運(yùn)1.至且的=口，3CLCD且3C=CD,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所

圍成的圖形的面積為.

［深入探究］如圖3,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接3C,DE,且3CLAF于點(diǎn)EDE

與直線AF交于點(diǎn)G.若BC=21,AF=U,則△ADG的面積為.

14.(2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè))(1)如圖1,己知：在中，NB4c=90。，AB=AC,直線加經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A,BD上直線m,CEL直線機(jī)，垂足分別為點(diǎn)。、E.證明：DE=BD+CE.

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在AABC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線山上，并且有

NBDA=ZAEC=NBAC=a,其中夕為任意鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論。E=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證

明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

專題02全等三角形常見七大必考模型專訓(xùn)

旨【模型目錄】

模型一平移模型

模型二軸對(duì)稱模型

模型三旋轉(zhuǎn)模型

模型四一線三等角模型

模型五垂直模型

模型六手拉手模型

模型七半角模型

41經(jīng)典模型一平移模型】

【模型解讀】把AABC沿著某一條直線/平行移動(dòng)，所得到與AABC稱為平移型全等三角形，圖①,

圖②是常見的平移型全等三角線.

[例1]（2023春?全國(guó)?八年級(jí)期中）如圖所示的是重疊的兩個(gè)直角三角形，將其中一個(gè)直角三角形沿2C方

向平移得到△OER若Afi=10cm,BE=6cm,DH=4cm,則圖中陰影部分面積為（）

A.47cm2B.48cm2C.49cm2D.50cm2

【答案】B

【分析】先根據(jù)平移的性質(zhì)得到r>E=M=10cm,qBCmADEF,則=S/匹，HE=6cm,求出

S陰影=降形4喇，然后根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：；AABC沿BC方向平移得到QEF，

二￡)E=AB=10cm,叢BCmM)EF,

=S.DEF，HE=DE—DH=10一4—6(cm),

S梯形ABEH+S.CEH=SACEH+S陰影，

2

S陰影=5榜眼1s即=gx(6+10)x6=48(cm),故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平移的基本性質(zhì)：平移不改變圖形的形狀和大小；經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平

行（或共線）且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021春?陜西咸陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將AABC沿BC方向平移得到ADEF,使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰

好落在邊3c的中點(diǎn)上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸在BC的延長(zhǎng)線上，連接AD,AC、DE交于點(diǎn)O.下列結(jié)論一定

A.ZB=ZFB.AC±DEC.BC=DFD.AC、DE互相平分

【答案】D

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到BE=CF=CE=AD,AD//BC,DF=AC,由于只有當(dāng)/BAC=90。時(shí),

ACLDE；只有當(dāng)BC=2AC時(shí)，DF=AC=BE,則可對(duì)4B、C選項(xiàng)的進(jìn)行判斷；AC交DE于。點(diǎn),如圖,

證明△A。。絲/XCOE得到?！?gt;=OE,OA=OC,則可對(duì)。選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】解：??.△ABC沿3C方向平移得到△。所，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC的中點(diǎn)上，

/.ZB=ZDEF,BE=CF=CE=AD,AD//BC,DF=AC,

只有當(dāng)N8AC=90。時(shí)，AC±DE；

只有當(dāng)8C=2AC時(shí)，DF=AC=BE,所以A、B、C選項(xiàng)的結(jié)論不一定正確；

'：AD//BC,

：.ZOAD=ZOCE,ZODA=ZOEC,

而AD=CE,

A/\AOD^/\COE(ASA),

：.OD=OE,OA=OC

即AC、DE互相平分，所以。選項(xiàng)的結(jié)論正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與

原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是

對(duì)應(yīng)點(diǎn).連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或共線）且相等.

2.（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A,E,F,C在一條直線上，若將ADEC的邊EC沿AC方向平

移，平移過(guò)程中始終滿足下列條件：AE=CF,DE義AC于點(diǎn)E,班'/AC于點(diǎn)F，且AB=CD.則當(dāng)點(diǎn)

E,尸不重合時(shí)，3D與EF的關(guān)系是.

【答案】8。與EF互相平分

【分析】先根據(jù)。E，AC,BFLAC,AE=CF,求證△ABE名△CDE,再求證△AEGg△8FG,即可.

【詳解】'.'DELAC,BFLAC,

ZAFB=ZCED=9Q°

"：AE=CF,

：.AE+EF=CF+EF,

即AF=CE,

(AF^CE

在RtAAB尸和RtACOE中，\AB_CD，

.*.RtACED(HL),

:.ED=BF.

設(shè)Eb與BO交于點(diǎn)G,

由ZAFB^ZCED=90°^DE//BF,

：.NEDG=NGBF,

VZEGD=ZFGB,ED=BF,

：.ADEG沿ABFG,

：.EG=FG,DG=BG,

...8。與砂互相平分.

【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題難度并不大，但是需要證明多

次全等，步驟繁瑣，是一道綜合性較強(qiáng)的中檔題.

3.（2023秋?山東聊城?八年級(jí)?？计谀┤鐖D（1）,AB±BD,DE工BD,點(diǎn)C是BD上一點(diǎn),S.BC=DE,

AC=CE.

（1）試判斷AC與CE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）如圖（2）,若把ACDE沿直線向左平移，使ACDE的頂點(diǎn)C與8重合，此時(shí)第（1）問(wèn)中AC與BE的

位置關(guān)系還成立嗎？說(shuō)明理由.（注意字母的變化）.

【答案】(1)ZC±CE,理由見解析

(2)力?！例埑闪?，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)條件證明RSABC的△CDE(HL)就得出NACE=90。，就可以得出然±CE；

(2)根據(jù)RtZVRC^RtZkE)石可以得出N跳C=90。，從而得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：AC±CE,理由如下，

理由：VABA.BD,DE工BD,

：.ZB=ZD=90°.

在RtAABC和RtACPE中，

[BC=DE

[AC=CE"

：.RtAABC爾gCDE(HL),

:.ZA=ZDCE.

VZA+ZACB=90°,

???ZDCE+ZACB=90°.

NDCE+NACB+NACE=180。，

??.NACE=90。，

AAC1CE；

(2)解：ACLCE,理由如下,

,/RtZXABC^RtABDE,

/.ZA=NDBE,

；ZA+ZACB=90°,

：.ZDBE+ZACB^9Q°,

：.NBFC=90°,

：.ACVCE.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，平移的性質(zhì)的運(yùn)用，垂直的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解

答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.

41經(jīng)典模型二軸對(duì)稱模型】

【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱之為軸對(duì)

稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.

【常見模型】

【例2】（2023秋?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知/C=/D,AC=AD,增加下列條件:①AB=AE；②BC=ED；

@Z1=Z2；?ZB=ZE.其中能使AABC絲AAED的條件有（)

n

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【詳解】根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一判斷即可解答.

【分析】解：①?.?NC=ND,AC=AD,AB=AE,

.△ABC和AAED不一定全等，

故①不符合題意；

?-.-ZC=ZD,AC=AD,BC=DE,

.1△ABC四AAED（SAS）,

故②符合題意；

③?.?N1=N2,

ZL+ZEAB=Z2+ZEAB,

:.ZCAB=ZDAE,

?.?NC=/。，AC=AD,

.".△ABC^AAED(ASA),

故③符合題意；

?-.-ZB=ZE,NC=/D,AC=AD,

.".AABC^AAED(AAS),

故④符合題意；

所以，增加上列條件，其中能使AABC絲AAED的條件有3個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

■【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?安徽滁州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知A4BC2BC與DE交于點(diǎn)O,AC,AE

分別與DE,BC交于點(diǎn)H,G,連接OA,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（)

A.AG=AHB.ZOAE=ZDAH

C.EG=CHD.ZOAB=ZOAD

【答案】B

【分析】先證明ABAG空△ZMH(ASA),推出AG=A",則EG=C〃，可判斷選項(xiàng)A、C；再證明

AEOG^ACOH(AAS),推出OG=O"，則03=8,利用SSS證明△AOBZ^AOD,即可判斷選項(xiàng)D,

沒(méi)有理由證明Z.OAE=ZDAH.

【詳解】解：:AABC^AADE,

ZB=ZD,NC=NE,ZBAC=ZDAE,AB=AD,AC=AE,

：.ABAC-ZEAC=ZDAE-ZEAC,即/BAG=ZDAH,

ABAG^AZMH(ASA),

/.AG=AH,則EG=C”,故選項(xiàng)A、C正確；

ZEOG=ZCOH,

：.AEOG^ACOH(AAS),

：.OG=OH,則OB=OD,

/.AAOB^AAOD(SSS),

AZOAB=ZOAD,故選項(xiàng)D正確；

/Q4E=/O4〃與皿田不一定相等，故選項(xiàng)B不正確；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活利用全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

2.(2023秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))在①AD=AE,②ZABE二ZACD,③FB=PC這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)

充在下面的問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答.

問(wèn)題：如圖，在AABC中，AB=AC,點(diǎn)。在A2邊上，點(diǎn)E在AC邊上，連接BE,CD,班與。相交于

點(diǎn)尸.若,求證：BE=CD.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)全等三角形的判定條件進(jìn)行證明即可.

【詳解】解：選擇條件①的證明:

在AAB石和△ACD中，

AE=AD

<ZA=ZA,

AB=AC

:.^ABE^ACD(SAS),

:.BE=CD；

選擇條件②的證明：

在&ABE和AACD中，

ZA=ZA

<AB=AC,

ZABE=ZACD

.^ABE^ACD(ASA),

:.BE=CD；

選擇條件③的證明：連接AF,

在AAB/和△ACF,

BF=CF

<AB=AC,

AF=AF

/.△ABF^AACF(SSS),

:.ZABE=ZACD,

在△ABE和△ACZ)中，

ZA=ZA

<AB=AC,

NABE=ZACD

:.AABE^ACD(ASA),

:.BE=CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角

相等的重要工具，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

3.(2023春?廣東佛山?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示，BD、CE分別為NABC,NACB的角平分線,

兩線交于點(diǎn)O.

(1)^ZABC=6O°,ZACB=40°,則ZBOC=°；

⑵若NA=70。，貝!|/3OC=°；

(3)若NA=c,用。表示的/30C,寫出詳細(xì)的步驟(不用寫理論依據(jù))；

(4)ZA=60°,BE,CD,3C三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)果，并說(shuō)明理由(不用寫理論依據(jù)).

【答案】(1)130

(2)125

(3)ZBOC=90°+1a,步驟見解析

⑼BC=BE+CD,理由見解析

【分析】(1)先根據(jù)角平分線的定義得出/OBC與NOCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

(2)先根據(jù)44=70。求出NABC+NACB的度數(shù)，再由角平分線的定義得出/OBC+/OCB的度數(shù)，根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)NA=媛求出NABC+NACB的度數(shù)，再由角平分線的定義得出/O3C+/OCB的度數(shù)，根據(jù)三角

形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

(4)在邊3C上截取班'=連接OF,只要證明/30E=/30E=60。，可得NCOD=NCO尸=60。即可

證明.

【詳解】(1),/BD,CE分別為ZABC,ZACB角平分線，ZABC=60°,ZACB=40°,

ZOBC=-ZABC=-x60°=30°,NOCB=-ZACB=-x40°=20°,

2222

NBOC=180°-ZOBC-ZOCB=180°-30°-20°=130°,

故答案為：130；

(2)VZA=70°,

ZABC+ZACB=180°-ZA=180-70°=110°,

,：BD,CE分別為/ABC,NACB角平分線，

/.NOBC+NOCB=gx(ZABC+ZAC2)=gxllOo=55。，

ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-55°=125°；

故答案為：125；

(3)VBO,CO分別為/ABC,—ACB的角平分線，

ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

Z.ZBOC=180。-；ZABC-gNAC8=180。-g(ZABC+ZACB),

ZA=e,

???ZABC+ZACB=180°-,

ZBOC=180°-1(180°-a)=90°+-cr；

2

(4)BC=BE+CD理由如下:

A

BAFC

在邊8C上截取斯=BE,連接OF,

由（3）的結(jié)論得N30C=90o+ga=120。，

???ZEOB=ZDOC=180°-ZBOC=60°,

在ABEO與VBFO中,

BE=BF

<ZEBO=ZFBO,

BO=BO

：.ABEO-BFO（SAS）；

:?NEOB=/FOB=60。,

：.ZBOC=120°,

???ZF（9C=60°,

：.^DOC=^FOC=6Q°,

在△DOC與△尸OC中，

/DOC=ZFOC

<oc=oc,

ZDCO=ZFCO

：.△Z）OC=AFOC（ASA）；

???DC=FC,

：.BC=BF+FC=BE+CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，第（1）至

（2）有具體的數(shù)，不要求學(xué)生書寫步驟，可以多角度下手解決問(wèn)題，第（3）問(wèn)思維的遷移，從（1）（2）

特殊到第（3）的一般化，字母具有代表性；第（4）問(wèn)梯度增加上升難度，在尋找全等三角形全等的條件，

需要添加輔助線，屬于中考常考題型.

41經(jīng)典模型三旋轉(zhuǎn)模型】

【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋

轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加（減）公共角的條件.

【常見模型】

【例3】（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在RJASC中，AB=AC,ZABC=ZACB=45°,D、E是斜

邊8C上兩點(diǎn)，且NZME=45。，若3。=3,CE=4S,ADE=15,則△ASD與△AEC的面積之和為（

A.36B.21C.30D.22

【答案】B

【分析】將VADE關(guān)于AE對(duì)稱得到AA/話，從而可得八4/話的面積為15,再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得

AF=AD,ZEAF=45°,然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出“l(fā)b三AA?。，從而可得

CF=BD=3,ZACF=ZABD=45°,SACf=S^ABD,最后根據(jù)AABD與△AEC的面積之和等于AAFE與△CEF

的面積之和即可得.

【詳解】解：如圖，將VADE關(guān)于AE對(duì)稱得到ZX4花，

則A尸=A￡>,NE4尸=45°,SAAFE=SAADE=15,

ZCAF+ACAD=ZDAE+ZEAF=450+45°=90°,

?/ABAD+ACAD=ABAC=180°-ZABC-ZACB=90°,

Z.CAF=/BAD,

AC^AB

在AACF和△ABD中，|/CAF=/BAD,

AF=AD

:.^ACF=AABD(SAS),

7

CF=BD=3,ZACF=ZABD=45°,7S△ACFS^AD.nL)n,

.-.ZECF=ZACB+ZACF=90°,即4CEF是直角三角形,

SrFP=-CE-CF=-x4x3=6,

KEF22

一S^ABD+S^AEC=S^ACF+1^AAEC=^AFE+^CEF=15+6=21,

即△ABD與△AEC的面積之和為21,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三

角形和直角三角形是解題關(guān)鍵.

■【變式訓(xùn)練】

1.（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，AB=AC,。、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且=45。，

將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到△AFB,連接以下結(jié)論：①△ADCdAFB；②

△ABE絲△ACD；③△AED四△AEF；?BE+DC=DE.其中正確的是（）

A.②④B.①④C.②③D.①③

【答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)判斷①；根據(jù)全等三角形的判定定理判斷②；根據(jù)SAS定理判斷③；根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系判斷④.

【詳