第05章生活中的軸對稱章節(jié)復習卷（11個知識點

+50題練習）

知識點

知識點1.角平分線的性質

角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段

相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角

平分線的性質語言：如圖，在的平分線上，CD±OA,CE±OB：.CD=CE

知識點2.線段垂直平分線的性質

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平

分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”.

（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，

到線段兩端點的距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外

心，并且這一點到三個頂點的距離相等.

知識點3.等腰三角形的性質

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從

中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論.

知識點4.等邊三角形的性質

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形

中，腰和底、頂角和底角是相對而言的.

（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊

的垂直平分線是對稱軸.

知識點5.生活中的軸對稱現(xiàn)象

（1）軸對稱的概念：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另?個圖形重合，那么

就說這兩個圖形關于這條直線對稱，也稱軸對稱；這條直線叫做對稱軸.

（2）軸對稱包含兩層含義：

①有兩個圖形，且這兩個圖形能夠完全重合，即形狀大小完全相同；

②對重合的方式有限制，只能是把它們沿一條直線對折后能夠重合.

知識點6.軸對稱的性質

（1）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分

線.

由軸對稱的性質得到一下結論：

①如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對

稱；

②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線,

就可以得到這兩個圖形的對稱軸.

（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

知識點7.軸對稱圖形

（1）軸對稱圖形的概念：

如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形,

這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱.

（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質圖形，被一條直線分割成的

兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至

無數(shù)條.

（3）常見的軸對稱圖形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等.

知識點8.作圖-軸對稱變換

幾何圖形都可看做是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊

的對稱點開始的，一般的方法是：

①由已知點出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；

②直線的另一側，以垂足為一端點，作一條線段使之等于已知點和垂足之間的線段的長，

得到線段的另一端點，即為對稱點；

③連接這些對稱點，就得到原圖形的軸對稱圖形.

知識點9.利用軸對稱設計圖案

利用軸對稱設計圖案關鍵是要熟悉軸對稱的性質，利用軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換

對稱軸來得到不同的圖案.

知識點10.軸對稱-最短路線問題

1、最短路線問題

在直線乙上的同側有兩個點/、B,在直線工上有到工、2的距離之和最短的點存在，可以

通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線￡的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線4

的交點就是所要找的點.

2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合本節(jié)所學軸對稱變換來解

決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點.

知識點11.翻折變換（折疊問題）

1、翻折變換（折疊問題）實質上就是軸對稱變換.

2、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對應邊和對應角相等.

3、在解決實際問題時，對于折疊較為復雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到

圖形間的關系.

首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時，我們常常設要求

的線段長為X,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質用含X的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適

當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案.我們運用方程解決時，應認真審題，設

出正確的未知數(shù).

練習卷

一.角平分線的性質（共5小題）

1.（2023?思明區(qū)校級模擬）如圖，點E在/80/的平分線上，EC±OB,垂足為C,點尸

在。/上，若//在=30。，EC=l,則EF=2.

【分析】作EG±AO于點G,根據(jù)角平分線的性質求得EG的長,然后利用直角三角形中30。

角所對的直角邊等于斜邊的一半求解即可.

【解答】解：如圖，作于點G,

?.?點E在N8O4的平分線上，ECYOB,EC=\,

EG=EC=1,

VZAFE=30°,

二.￡尸=2EG=2xl=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查了角平分線的性質及直角三角形的性質，解題的關鍵是根據(jù)角平分線的性

質求得EG的長，難度不大.

2.（2023春?東營區(qū)校級期中）如圖，在AA8C中，入1=90。，8。平分乙48c交/C于點

D,AB=4,BD=5,40=3,若點尸是3c上的動點，則線段。尸的最小值是（）

BD

A.3B.2.4C.4D.5

【分析】由垂線段最短可知當。尸，BC時，DP最短,根據(jù)角平分線的性質即可得出結

論.

【解答】解：當。P_L3c時，DP的值最小，

:BD平分ZABC,乙4=90。

當DP_LBC時，

DP=AD,

■：AD=3,

.〔DP的最小值是3,

故選：A.

【點評】本題考查的是角平分線的性質，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解

答此題的關鍵.

3.（2023春?偃師市期末）如圖，在直角三角形4BC中，4D為斜邊上的高，/￡是角平分

線，“廠是中線，則下列說法中錯誤的是（）

A.BF=CFB.NC=NBADC.ZBAE=ZCAED.=S^CF

【分析】根據(jù)中線的定義得到2尸=。尸，則可對/選項進行判斷；根據(jù)三角形高的定義和

等角的余角相等可對8選項進行判斷；根據(jù)角平分線的定義可對。選項進行判斷；根據(jù)三

角形的面積公式可對。選項進行判斷.

【解答】解：/為斜邊8c的中線，

.-,BF=CF=AF,所以N選項不符合題意；

AD為斜邊上的高，

2ADB=90°,

;NBAD+NB=9Q°,ZC+Z5=90°,

ZC=ABAD,所以8選項不符合題意；

?;4E是AABC的角平分線，

ZBAE=ZCAE,所以C選項不符合題意；

BF=CF,

SMBF=S^CF'所以0選項符合題意?

故選：D.

【點評】本題考查了角平分線的性質角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.也考查了

三角形的平分線、中線和高線.

4.（2023春?城關區(qū)校級期末）已知：在A48C中，BD平分NABC,CD平分NACB.

（1）如圖1,ZABC=60°,ZACB=40°,求NADC的度數(shù).

（2）如圖2,連接ND,作Z）E_L4B,DE=1,AC=4,求A4OC的面積.

【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義得到NZMC=30。，ZDCB=20°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角

和計算NBOC的度數(shù)；

（2）作〃尸，/C于尸，DH工BC于H,如圖2,根據(jù)角平分線的性質得到

DH=DE=DF=\,然后根據(jù)三角形面積公式計算\ADC的面積.

【解答】解：（1）???8。平分乙48C,

ZDBC=-ZABC=-x60°=30°,

22

???CD平分NACB,

NDCB=-ZACB=-x40°=20°,

22

ZBDC=180°-ZDBC-NDCB

=180°-30°-20°

=130°；

(2)作。尸_L/C于尸，DH工BC于H,如圖2,

?;BD平分NABC,DE1AB,DHYBC,

DH=DE=\,

;CD平分NACB,DF1AC,DH1BC,

DF=DH=],

.?.AADC的面積=』Z)F./C=Lxlx4=2.

22

【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

5.（2023春?埔橋區(qū)期末）把兩個同樣大小的含30。角的三角尺按照如圖1所示方式疊合放

置，得到如圖2的RtAABC和RtAABD,設河是4D與的交點，則這時MC的長度就等

于點新到的距離，你知道這是為什么嗎？請說明理由.

【分析】過M點作必于X,如圖，先計算出NC4M=30。，則可判斷平分

ZBAC,然后根據(jù)角平分線的性質得到九以=MC,于是可判斷MC的長度就等于點〃到

AB的距離.

【解答】解：過M點作■，/8于〃，如圖，

ABAD=30°,ABAC=60°,

/CAM=ABAC-ABAD=60°-30°=30°,

平分NR4C,

■.■MCI.AC,MHVAB,

即MC的長度就等于點M到AB的距離.

【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

二.線段垂直平分線的性質（共4小題）

6.（2023?武安市二模）如圖，在AA8C中，41平分/B4C,BI平分ZABC,點。是AC、

2C的垂直平分線的交點，連接/。、BO,若乙iOB=a,則NAffi的大小為（）

422

【分析】連接CO并延長至。，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到。/=OB=OC,根據(jù)

等腰三角形的性質得到ZOCA=/O4C,ZOCB=ZOBC,根據(jù)三角形的外角性質計算，得

到ZAOB=^（ZOCA+NOCB）=a.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NL4B+AIBA=180°-AAIB,

根據(jù)角平分線的定義得到/IAB+AIBA=90°--,求出NAIB,

4

【解答】解：連接CO并延長至。，

?.?點。是/C、5c的垂直平分線的交點，

OA=OC,OB=OC,

AOCA=NOAC,ZOCB=ZOBC,

???ZAOD是\AOC的一個外角,

AAOD=/OCA+ZOAC=2ZOCA,

同理，ZBOD=2ZOCB,

AAOB=ZAOD+/BOD=2/OCA+2ZOCB=a,

a

AOCA+ZOCB=—,

2

Of

:.ZACB=—,

2

???4/平分NA4C,BI平分/ABC,

ZIAB=-ZCAB,AIBA=-ZCBA,

22

NL4B+AIBA=^(ZCAB+NCBA)=1(180°-ZACB)=90°-^-,

ZAIB=180°-(ZZ45+=90°+j

故選：B.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌

握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵.

7.（2023春?丹東期末）如圖，DE是MBC的邊3c的垂直平分線，若4c=8,AB=6,

BC=4,則A4O8的周長為（）

4

A.14B.13C.12D.10

【分析】根據(jù)線段垂直平分線定理求出。=加>,代入NADB的周長公式

(BD+AD+AB=AC+AB),求出即可.

【解答】解：???斯是線段的垂直平分線，

CD=BD,

AADB的周長是：BD+AD+AB=CD+AD+AB=AC+AB=6+S=14,

故選：A.

【點評】本題考查了線段的垂直平分線定理的應用，關鍵是根據(jù)定理推出\ADB的周長等于

AC+AB,題型較好，難度不大.

8.（2023春?龍口市期末）如圖，AA8C中邊的垂直平分線分別交BC、N8于點。、

E,AE=3cm,NADC的周長為9cm,則NABC的周長是_15cm

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質得到/5=6c%,根據(jù)三角形的周長公式計

算，得到答案.

【解答】解：?.?￡>￡是線段的垂直平分線，AE=3cm,

DA=DB,AB=6cm,

VAADC的周長為，

AC+CD+AD=AC+CD+DB=AC+BC=9cm,

根5。的周長=/8+/。+5。=15匕%）,

故答案為：15cm.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩

個端點的距離相等是解題的關鍵.

9.（2023春?峽江縣期末）如圖，在A42c中，45邊的垂直平分線4交2。于點。，AC邊

的垂直平分線交于點￡，4與4相交于點。，連接。/，OB,OC.

（1）若NADE的周長為8cm,\OBC的周長為20cm.

①求線段5c的長；

②求線段。/的長.

（2）若4c=120°,求NEUE的度數(shù).

【分析】（1）①根據(jù)線段垂直平分線的性質得到=E4=EC,根據(jù)三角形的周長

公式計算即可；

②根據(jù)線段垂直平分線的性質和三角形的周長公式計算即可；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質進行計算.

【解答】解：（1）①?.，是邊的垂直平分線，

/.DA=DB,

?.4是邊的垂直平分線，

EA=EC,

BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8cm；

②???4是45邊的垂直平分線，

OA=OB,

???4是/。邊的垂直平分線，

...OA=OC,

OB+OC+BC=20cm,

OA=OB=OC=6cm；

（2）vZBAC=120°,

:.ZABC+ZACB=60°,

?;DA=DB,EA=EC,

/BAD=/ABC,AEAC=ZACB,

/DAE=ABAC-ABAD-NEAC=120°-60°=60°.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質等幾何知識.線段的垂直平分線上的點到線

段的兩個端點的距離相等.

三.等腰三角形的性質（共4小題）

10.（2024春?銀川期中）一個等腰三角形的一邊長3CM,一邊長7c加，則這個三角形的周

長是（）

A.13cmB.17cmC.13c%或17cznD.無法確定

【分析】分3c加是腰長和底邊兩種情況討論求解.

【解答】解：3c機是腰長時，三角形的三邊分別為3cm、3cm、1cm,

3+3<7,

不能組成三角形，

3cm是底邊時，三角形的三邊分別為7cm、1cm、3cm,

能組成三角形，

周長為7+7+3=17（c"）,

綜上所述，此三角形的周長是17cM.

故選：B.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，關鍵是要分情況討論.

11.（2023春?西安期末）如圖，ZBOC=60°,/是20的延長線上一點，04=12cm,動

點尸從點/出發(fā)，沿N8以2a"/s的速度移動，動點。從點O出發(fā)沿OC以1c機/s的速度

移動，若點尸、0同時出發(fā)，當AOPQ是等腰三角形時，移動的時間是_4s或12s_.

【分析】根據(jù)AOP。是等腰三角形，分兩種情況進行討論：點尸在/O上，或點尸在50

上.

【解答】解：當尸。=。。時，AP。。是等腰三角形；

如圖1所示：

圖1

VPO=AO-AP=l2-2t,OQ=lt

.?.當PO=0O時，

U-2t=t

解得f=4；

當尸。=。（9時，是等腰三角形;

如圖2所示：

圖2

■：PO=AP-AO=2t-12,OQ=t

.?.當P0=。。時，2-12=/；

解得f=12；

故答案為：4s或12s.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質；由等腰三角形的性質得出方程是解決問題的關

鍵，注意分類討論.

12.(2023春?青原區(qū)期末)等腰三角形的兩邊長分別為4和9,該三角形的周長為

22.

【分析】分類討論：9為腰長，9為底邊長，根據(jù)三角形的周長公式，可得答案.

【解答】解：分兩種情況：

①當4為底邊長，9為腰長時，4+9>9,

三角形的周長=4+9+9=22；

②當9為底邊長，4為腰長時，

1.-4+4<9,

.?.不能構成三角形；

二.這個三角形的周長是22.

故答案為：22.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質、三角形的三邊關系；熟練掌握等腰三角形的性質,

通過進行分類討論得出結果是解決問題的關鍵.

13.(2023春?乳山市期中)已知：在AABC中，AB=AC,NA4c=45。.

(1)如圖，點。在邊上，點￡■在/C邊上，BD=CE,BE與CD交于點F.求證:

BF=CF

(2)若點。是48邊上的一個動點，點E是/C邊上的一個動點，且=,BE與CD

交于點尸.當A5ED是等腰三角形時，求/五2。的度數(shù).

【分析】(1)\BCD=ACBE(SAS),得出NFBC=NFCB,根據(jù)等腰三角形判定即可

得出答案；

(2)先求出由(1)得出/DBF=NECF,設

ZFBD=ZECF=x,貝UN尸8C==(67.5°-x),ZBDF=ZECF+ABAC=x+45°,

ZDFB=2ZFBC=2(67.5°-x)=135-2x,分三種情況①當8。=3尸時，②當BD=DF

時，③當2尸=D尸時，求解即可.

【解答】(1)證明：?.?/3=/C,

/ABC=ZACB，

在NBCD與\CBE中

BC=BC

-AACB=NABC,

BD=CE

\BCD=ACBE(SAS),

ZFBC=ZFCB,

BF=CF

(2)解：?1-AB=AC,ABAC=45°,

AABC=ZACB=1(180-ABAC}=67.5°,

由(1)知，AFBC=AFCB,

/DBF=ZECF,

設NFBD=NECF=x,

貝IZFBC=NFCB=(67.5°-x),NBDF=NECF+ABAC=x+45°,

NDFB=2ZFBC=2(67.5°-x)=135°-2x,

???ABED是等腰三角形，故分三種情況討論：

①.當80=8尸時，1th0^ZBDF=ZDFB,

.?.x+45°=135°-2x,得x=30°,

即ZFBD=30°；

②當=D尸時，此時NFBD=,

.-.x=135°-2x,得x=45°,

即ZFBD=45°；

③當8尸=。尸時，此時=

x=x+45°,不符題意，舍去；

綜上所述，N尸AD=30?；?5。.

【點評】本題考查等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形內(nèi)角和

定理，正確理解題意是解題的關鍵.

四.等邊三角形的性質（共4小題）

14.（2023春?洪洞縣期末）如圖，在正AA8C中，點。是3c邊上任意一點，過點。作

DF工4C于E,DELBC交AB于點、E,則/￡￡戶的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.65°D.75°

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質得出NC=60。，根據(jù)直角三角形的性質求出

NCDF=90°-60°=30°,再根據(jù)平角定義求解即可.

【解答】解：???A43C是等邊三角形，

.-.ZC=60°,

?:DELBC交4B于E,DF上AC于F,

ZBDE=ZCFD=90°,

ZCDF=90°-60°=30°,

AEDF=180°-90°-30°=60°,

故選：B.

【點評】本題考查的是等邊三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵.

15.（2022?沸河區(qū)期末）如圖2是從圖1的時鐘抽象出來的圖形，已知二角形/8C是等邊

三角形，//=60。，當時針OP正對點N時恰好是12:00.若時針O尸與三角形4BC一邊平

行時，時針所指的時間不可能是（）

圖1

A.1:00B.3:00C.5:00D.8:00

【分析】根據(jù)題意可知，需要分三種情況，分別畫出圖形，可根據(jù)時鐘得出結論.

【解答】解：根據(jù)題意可知，需要分三種情況，如圖所示：

當。尸//NC時,如圖2(2),此時對應的時間為5:00或11:00；

當OP//2C時,如圖2(3),此時對應的時間為3:00或9:00；

故選：D.

【點評】本題主要考查分類討論思想，對于時鐘的認識，找到每種情況是解題關鍵.

16.(2023春?大埔縣校級期中)如圖，等邊三角形的一個頂點在長方形的一條邊上，如果

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質和平行線的性質解答即可.

【解答】解：如圖:

???長方形ABCD,

AB//CD,

Z2=ZFED,

?.?三角形EFG是等邊三角形,

ZFEG=60°,

Zl+ZFEG+ZFED=180°,

???Z2=2Z1,

N1+60°+2/1=180°,

解得：Z1=40°,

故答案為：40°.

【點評】此題考查等邊三角形的性質，解題關鍵是根據(jù)矩形的性質和等邊三角形的性質解

答.

17.（2023春?肥城市期末）附加題（供有興趣的同學選擇使用）

如圖，。是等邊三角形/2C內(nèi)一點，S.DB=DA,BP=AB,ZDBP=ZDAC.求/尸的

度數(shù).

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質就可以得出NADC=NBDC,就可以求出

ZACD=ZBCD=30°,再證明A5DP=AADC就可以得出/尸=，從而得出結論.

【解答】解：?.?A43C是等邊三角形，

:.AC=BC,AACB=60°.

在AADC和NBDC中，

AC=BC

<AD—BD,

CD=CD

\ADC=ABDC(SSS),

,ZACD=/BCD.

???AACD+/BCD=/ACB=60°,

/ACD=/BCD=30°.

BP=AB,

:.BP=AC.

在ASDP和A4OC中,

BP=AC,NDBP=NDAC,BD=AD,

NBDP=AADC(SAS),

ZP=ZACD,

:.ZP=30°.

答：N尸=30°.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證

明三角形全等是關鍵.

五.生活中的軸對稱現(xiàn)象（共5小題）

18.（2021?遠安縣二模）如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示

四個入球孔.若一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），則該球最后將落

入的球袋是（）

1號袋2號袋

4號袋3號袋

A.1號袋B.2號袋C.3號袋D.4號袋

【分析】根據(jù)網(wǎng)格結構利用軸對稱的性質作出球的運動路線，即可進行判斷.

1號袋2號袋

【解答】4號袋3號袋解：如圖所示，該球最后落入2號袋.

故選：B.

【點評】本題考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，根據(jù)網(wǎng)格結構作出球的運動路線是解題的關

鍵.

19.（2021春?威寧縣校級期末）在漢字“生活中的日常用品”中，成軸對稱的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)軸對稱的定義，找出成軸對稱的字，即可解答.

【解答】解：根據(jù)軸對稱的定義，

在漢字”生活中的日常用品”中，成軸對稱的字有“中、日、品”3個;

故選：B.

【點評】本題考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另

一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱.

20.如圖所示，臺球桌面上，/球要撞擊桌邊上點。再反彈撞到3球，若乙402=50。，則

/球撞擊點O時與桌邊所成銳角為多少度?

【分析】根據(jù)生活中的軸對稱，結合反射規(guī)律得出=再根據(jù)平角的定義進

行計算即可.

【解答】解：如圖，根據(jù)反射的規(guī)律可得，ZAOM=ZBON,

ZAOM+ZAOB+ZBON=180°,ZAOB=50°,

1OQO_50。

ZAOM=ZBON=-------------=65°,

2

答：4球撞擊點。時與桌邊所成銳角為65。.

【點評】本題考查生活中的軸對稱，理解生活中的軸對稱的性質是解決問題的前提，得出

乙40M=ZBON是解決問題的關鍵.

21.觀察下圖中各組圖形，其中成軸對稱的為①②④（只寫序號1,2

0c個個堂立

等）.①②③④

【分析】認真觀察所給的圖形，按照直線兩旁的部分是否能夠互相重合來判斷是否符合要

求.

【解答】解：3中的傘把不對稱，故填①②④

故填①②④

【點評】本題考查了生活中的軸對稱問題軸對稱的關鍵是尋找對稱軸，觀察直線兩邊圖象

折疊后可重合是正確解答本題的關鍵.

22.如圖，由4個大小相等的正方形組成的Z形圖案，

（1）請你改變1個正方形的位置，使它變成軸對稱圖形;

（2）請你再添加一個小正方形，使它變成軸對稱圖形.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，把圖形沿一條直線對折，直線兩側的部分能夠互相重合,

這樣的直線就是圖形的對稱軸，據(jù)此即可作出.

【點評】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，正確理解軸對稱圖形的定義是解決本題的關

鍵.

六.軸對稱的性質（共5小題）

23.（2023春?鄲城縣期末）如圖，四邊形48c沿直線/對折后互相重合，如果4D//8C,

有下列結論①4B//CD;②AB=CD；③4B工BC；?AO=OC.其中正確的結論是①

②④.（把你認為正確的結論的序號都填上）

【分析】四邊形沿直線/對折后互相重合，即A48C與A4OC關于/對稱，又有

AD//BC,則有四邊形/BCD為平行四邊形.根據(jù)軸對稱的性質可知.

【解答】解：因為/是四邊形的對稱軸，AD//BC,

所以①/8//C。，正確；

②AB=BC,正確：

?ACLBD,錯誤；

?AO=OC,正確.

故正確的有①、②、④.

【點評】本題考查軸對稱的性質，對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所

連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、

線段都相等.

24.（2023春?開化縣期中）如圖，把長方形/8C。沿￡尸對折后使兩部分重合，若

Z1=40°，則ZAEF=（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

【分析】根據(jù)折疊性質得到N2=/3,再根據(jù)Zl=40。，求出N3=70。，最后根據(jù)平行線性

質即可得到//￡/的度數(shù).

【解答】解：?.?長方形/8CD沿成對折，

Z2=Z3,

VZl+Z2+Z3=180°,Z1=40°,

Z3=70°,

■：四邊形/BCD是矩形，

AD!/BC,

AAEF=NEFC=Z3+Z1=11O°,

故選8.

【點評】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，平行線的性質，利用折疊前后的圖形全等,

找到圖中相等的角是解題關鍵.

25.2023春?洛寧縣期末）如圖，AX8C與△HQC'關于直線/對稱，則N8的度數(shù)為（）

B.50°C.90°D.100°

【分析】根據(jù)A43c與關于直線/對稱，即可求出N2的度數(shù).

【解答】解：與關于直線/對稱,

ZC=ZC'=30°,

???ZA=60°,

ZB=1800-ZA-ZC=90°.

則48的度數(shù)為90。.

故選：C.

【點評】本題考查了軸對稱的性質，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質.

26.（2023春?龍崗區(qū)校級期中）如圖，把一張長方形紙片42C。的一角沿NE折疊，點。

的對應點。'落在/A4C的內(nèi)部，若NCAE=2/BAD',且NC4D，=〃，則ND/E的度數(shù)為

36°+—.（用含"的式子表示）

【分析】由折疊的性質得到NDAE=NEAD,由長方形的性質得到

ZDAE+ZEAD'+ZBAD'=90°,根據(jù)角的和差倍分得到2ZEAD'+ABAD'=90°,整理得

2(ZCAE+ACAD')+ABAD'=90°,由此求解即可.

【解答】解：由折疊的性質可知=，由長方形的性質可知NA4Z）=90。,

ZDAE+ZEAD'+ZBAD'=90°,

2ZEAD'+ZBAD'=90°,

2(NCAE+ACAD'}+ABAD'=90°,

NCAE=2ZBAD',ACAD'=n,

2Q/BAD'+n)+ABAD'=90°,

2n+5ABAD'=90°,

2〃

/BAD=18?！?/p>

5

Yl

ZDAE=ZEAD'=ZCAE+ACAD'=2ZBAD'+ACAD'=360+-,

5

故答案為：360+-.

5

【點評】本題主要考查了軸對稱的性質，折疊性質，幾何中角度的計算，長方形的性質，掌

握相關知識是解題關鍵.

27.（2023春?工業(yè)園區(qū)期中）在我們蘇科版義務教育教科書數(shù)學七下第42頁曾經(jīng)研究過雙

內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題.聰聰在研究完上面的問題后，對這類問題進行

了深入的研究，他的研究過程如下：

（1）【問題再現(xiàn)】

如圖1,在A42c中，NABC、N/C2的角平分線交于點尸，若NN=50。.則/P=_115。_；

（2）【問題推廣】

如圖2,在A42C中，NA4c的角平分線與A43c的外角NC氏W的角平分線交于點尸，過

點B作BH工4P于點、H,若44c8=80。，求NP8”的度數(shù).

（3）如圖3,在AABC中，NABC、N/C2的角平分線交于點尸，將A48c沿DE折疊使

得點/與點P重合，若4+/2=100。，貝；

（4）【拓展提升】

在四邊形5CDE中，E3//CD,點尸在直線ED上運動（點產(chǎn)不與￡,。兩點重合），連接

BF,CF,NEBF、ZDC/的角平分線交于點。，若NEBF=a,ZDCF=/3,直接寫出

和a,刀之間的數(shù)量關系.

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可;

（2）先由角平分線的定義得到/A4c=2NA4P,ZLCBM=2ACBP,再由三角形外角的性

質得到ZCBP=ZBAP+40°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出ZP=180°-ZBAP-ZABP=40°,

再由垂線的定義得到/BHP=90°,則ZPBH=180。-N尸-/BHP=50°；

(3)先由折疊的性質和平角的定義得到N4ED+N4QE=130。，進而求出//=50。，同

(1)即可得到答案；

(4)分點尸在點E左側，點尸在。、E之間，點尸在點。右側三種情況討論求解即可.

【解答】解：?.?//=50。，

ZABC+ZACB=lS0°-ZA=130°,

?：BP平分/ABC,CP平分NACB,

/ABC=2ZPBC,ZACB=2ZPCB,

/.2ZPBC+2ZPCB=130。，即ZPBC+ZPCB=65°,

/P=180?！?PBC-/PCB=115。，

故答案為：115。；

(2)???Z尸平分NA4C,BP平分/CBM,

ABAC=2ZBAP,/CBM=2ZCBP,

???/CBM=ABAC+ZACB,

:.ZCBP=ZBAP+40°,

???ZABC=180?！猌ACB-ABAC,

:.N4BC=1000—2NBAP,

ZP=180。—/BAP-/ABP=40°,

vBHLAP,BPZBHP=90°,

/PBH=180。一N尸一ZBHP=50°；

(3)由折疊的性質可得=/尸切，ZADE=ZPDE,

???N1+N4E尸=180。，/2+/4。尸=180。，Zl+Z2=100°,

2/AED+2/ADE=260°,

:.ZAED+ZADE=130°,

ZA=180?！猌AED-/ADE=50°,

.,.同(1)原理可得NP=115。，

故答案為：115。；

(4)當點尸在點￡左側時，如圖4-1所示，

BE//CD,

NCBE+/BCD=180。,

;BQ平分NEBF,C。平分/DCF,

NEBQ=|ZEBF=y,ZQCF=|NDCF=g,

???ZEBC+NFCB=180°-NDCF=180°-6,

ZQ=180°-ZQBC-ZQCB=180°-4QBE-NEBC-ZFCB-ZQCF=；

當尸在。、￡■之間時，如圖4-2所示：

同理可得ZFBQ=^ZEBF=^-,ZQCF=^ZDCF=,

ZFBC+NFCB=180°-ZDCF-NEBF=18O°-?-/7,

ZQ=180°-ZQBC-ZQCB=180°-ZQBF-ZFBC-ZFCB-ZQCF=；

當點尸在。點右側時，如圖4-3所示：

同理可得4=聞0一色=180°-〃時一〃如一〃W一=f；

綜上所述，尸在E左側/。=與4；/在瓦9中間/。=4芋；尸在。右側/。=49.

B

C

圖4-2

，七

?I

【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質，平行線

的性質，垂線的定義，熟知相關知識是解題的關鍵.

七.軸對稱圖形（共5小題）

28.（2024?德陽模擬）在神奇的自然界中，平衡與和諧是永恒的主題，許多自然界的事物都

展現(xiàn)出了對稱之美.漢字，作為中華文化的瑰寶，其中有些字也巧妙地融入了這種對稱特

性.下列漢字是軸對稱圖形的是（）

A.如B.意C.吉D.祥

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做

軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

【解答】解：A.B,。選項中的漢字都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直

線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

C選項中的漢字能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,

所以是軸對稱圖形.

故選：C.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊

后可重合.

29.（2023春?宣漢縣期末）如圖，OE是的平分線，BDLOA于點D,4cl.30于

點C,則關于直線OE對稱的三角形共有4對.

【分析】關于直線OE對稱的三角形就是全等的三角形，據(jù)此即可判斷.

【解答】解：NODE和\OCE,NOAE和KOBE,\ADE和ABCE,AOCA和KODB共4

對.

故答案為：4.

【點評】能夠理解對稱的意義，把找對稱三角形的問題轉化為找全等三角形的問題，是解決

本題的關鍵.

30.（2023春?成縣期末）我們知道圓、線段都是軸對稱圖形，請再寫出一個是軸對稱圖形

的幾何圖形名稱正方形（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.

【解答】解：寫出一個是軸對稱圖形的幾何圖形，正方形（答案不唯一）.

故答案為：正方形（答案不唯一）.

【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩

部分折疊后可重合.

31.將一張紙對折后，用筆尖在紙上扎出如圖所示的圖形，將紙打開后鋪平，觀察所得的圖

【分析】根據(jù)軸對稱的概念得出結論即可.

【解答】解：由題意知，兩圖形折疊后完全重合，

故打開后的圖形是軸對稱圖形.

【點評】本題主要考查軸對稱的知識，熟練掌握軸對稱的知識是解題的關鍵.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義一一判斷即可（答案不唯一）.

【解答】解①點8與點C,N8與/C,ZABC與ZACB；

②點。與點G,DE與GF,ZGDE與NDGF；

③點/與點K,HI與HK,ZHU與NHKJ；

④點工與點M，OL與OM,NOLM與/OML.

【點評】本題考查軸對稱圖形，解題的關鍵是掌握軸對稱圖形的性質，屬于中考?？碱}

型.

八.作圖-軸對稱變換（共4小題）

33.（2023春?本溪縣期末）如圖，在正方形網(wǎng)格上有一個AA8C.

（1）畫出A43C關于直線的對稱圖形（不寫畫法）；

（2）若網(wǎng)格上的每個小正方形的邊長為1,則A45c的面積為—.

—2—

（分析】Q）先利用網(wǎng)格確定KABC關于直線MN對稱的點，再順次連接各點即可得到\ABC

關于直線MN的對稱圖形；

（2）根據(jù)割補法進行計算，即可得到A48c的面積.也可以根據(jù)A45C是等腰直角三角形,

由勾股定理可知腰長為即可得到A45c的面積.

【解答】解：（1）如圖所示，AZ）跖即為所求；

(2)法一：KABCWffi^=4x5--xlx4--x3x5--xlx4=—；

2222

法二：由勾股定理可得N8=8C=萬，故AX8C的面積=！xJFFxJF7=U.

22

故答案為：--

2

【點評】本題主要考查了利用軸對稱變換進行作圖，畫一個圖形的軸對稱圖形時，是先從確

定一些特殊的對稱點開始的.

34.（2022春?龍崗區(qū)期末）如圖，分別以A48C的邊N5,/C所在直線為對稱軸作A48c

的對稱圖形A48D和A4CE,ZBAC=150°,線段2。與CE相交于點O,連接BE、ED、

DC、O/.有如下結論①NE4D=90°；②NBOE=60°；③CM平分N3OC；?EA=-ED；

2

⑤BP=EQ.其中正確的結論個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】根據(jù)軸對稱的性質可得/84D=/C/E=/8/C,再根據(jù)周角等于360。列式計算即

可求出NEAD=90°,判斷出①正確；再求出ZBAE=ACAD=60°,根據(jù)翻折可得

AAEC=AABD=ZABC,利用三角形的內(nèi)角和定理可得,判斷出②正確；

根據(jù)全等三角形的對應邊上的高相等，即可判斷出③正確無法求出N/DE=30。，判斷出④

錯誤；判斷出尸和A4E0不全等，從而得到8尸大￡。，判斷出⑤錯誤.

【解答】解：和A4CE是AA8C的軸對稱圖形，

NBAD=ZCAE=ABAC,AB=AE,AC=AD,

ZEAD=3NBAC-360°=3x150°-360°=90°,故①正確；

/BAE=ZCAD=）（360。-90°-150°）=60°,

由翻折的性質得，NAEC=ZABD=ZABC,

又?：NEPO=NBPA,

NBOE=NBAE=60°,故②正確；

??-\ACE=\ADB,

^&ACE=,BD=CE,

BD邊上的高與CE邊上的高相等，

即點A到ABOC兩邊的距離相等，

.?.CM平分ZBOC,故③正確；

只有當=時，ZADE=30°,才有切故④錯誤；

2

在ZU8P和zUEQ中，ZABD=ZAEC,AB=AE,ZBAE=60°,ZEAQ=90°,

:.BP<EQ,故⑤錯誤;

綜上所述，結論正確的是①②③共3個.

故選：B.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，軸對稱的性質的綜合運用，熟記各性質并準

確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵.

35.已知直線和ADE尸，作AZ)所關于直線N2的對稱圖形，將作圖步驟補充完整(如

圖所示)

(1)分別過點。，E,尸作直線的垂線，垂足分別是點―“一尸一N_；

(2)分別延長DM,EP,FN至____,使=,=,=；

(3)順次連接,,,得AZJE尸關于直線N8的對稱圖形AGXZ.

【分析】作軸對稱圖形就是從圖形的各頂點向軸引垂線并延長相同長度找對應點，順次連接

所成的圖形.根據(jù)這個做法填空.

【解答】解：依據(jù)軸對稱的性質得:

(1)M,P,N；

(2)點G,H,L

MG=DMPH=EPNL=FN；

(3)GH,HL,LG.

【點評】考查的是作簡單平面圖形軸對稱后的圖形，其依據(jù)是軸對稱的性質，基本作法①

先確定圖形的關鍵點；②利用軸對稱性質作出關鍵點的對稱點；③按原圖形中的方式順

次連接對稱點.

36.（2023春?南關區(qū)校級期中）圖1、圖2、圖3均是3x3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的

頂點稱為格點，A48C的頂點均在格點上，稱為格點三角形.請在如圖1?3中分別按下列要

求畫出一個不同于AA8C的格點三角形.

圖2圖3

（1）在圖1中找出格點。，畫出格點A4