專題22四邊形

鼠務(wù)復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.掌握平行四邊形、菱形、矩形、梯形的概念和性質(zhì)，了解它們之間的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性.

2.探索并掌握平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是平行四邊形的條件.

3.探索并了解等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是等腰梯形的條件.

，考點(diǎn)梳理

一、四邊形的相關(guān)概念

1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由不在同一直線上的一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

2.多邊形的性質(zhì)：(1)多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2>180。；

(2)推論：多邊形的外角和是360。；

(3)對角線條數(shù)公式：n邊形的對角線有…」條；

(4)正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.

3.四邊形的定義：同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形.

4.四邊形的性質(zhì)：(1)定理：四邊形的內(nèi)角和是360。；(2)推論：四邊形的外角和是360。.

例1.一個(gè)多邊形的外角和是內(nèi)角和的2這個(gè)多邊形的邊數(shù)為()

5

A.5B.6C.7D.8

【答案】C.

【解析】???一個(gè)多邊形的外角和是內(nèi)角和的2,且外角和為360。，

5

.?.這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為900。，即(n-2)?180°=900°,解得：n=7,

則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7,故選C.

二、平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定

1.定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

2.性質(zhì)：

(1)平行四邊形的對邊平行且相等；

(2)平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；

(3)平行四邊形的對角線互相平分；

(4)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)是它的對稱中心.

3.判定：

(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

4.兩條平行線間的距離：

定義：夾在兩條平行線間最短的線段的長度叫做兩條平行線間的距離.

性質(zhì)：夾在兩條平行線間的平行線段相等.

5.平行四邊形的面積：

1.平行四邊形的面積=底、高；

2.同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.

例2.如圖，已知在口ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AE1BD,BM1AC>DN1AC,CF1BD垂

足分別是E、M、N、F,求證：ENIIMF.

【答案】證明：連接ME,FN,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

???OA=OC,OB=OD,

???AE1BD,CF1BD,

在aAOE和△COF中，

'NAEO=NCFO=90°

<ZAOE=ZCOF，

,OA=OC

???△AOEsACOF(AAS),

???OE=OF,

同理△BOM三ZiDON,得到0M=0N,

.??四邊形EMFN為平行四邊形，

???ENIIMF.

D

BT-

三、矩形的定義、性質(zhì)與判定

1.矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2.矩形的性質(zhì)

矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，□還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)：

①邊的性質(zhì)：對邊平行且相等.

②角的性質(zhì)：四個(gè)角都是直角.

③對角線性質(zhì)：對角線互相平分且相等.

?對稱性：矩形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

直角三角形中，角所對的邊等于斜邊的一半.

點(diǎn)評：這兩條直角三角形的性質(zhì)在教材上是應(yīng)用矩形的對角線推得，用三角形知識也可推得.

3.矩形的判定

判定①：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

判定②：對角線相等的平行四邊形是矩形.

判定③：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

四、菱形的定義、性質(zhì)與判定

1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

2.菱形的性質(zhì)

①菱形的四條邊都相等；

②菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

注意：菱形也具有平行四邊形的一切性質(zhì).

3.菱形的判定

①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

②四條邊都相等的四邊形是菱形；

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

④有一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形

⑤對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形

4.菱形的面積

①對角線乘積的一半(只要是對角線互相垂直的四邊形都可用)；

②設(shè)菱形的邊長為a,一個(gè)夾角為x°,則面積公式是:S=a2-sinx

5.菱形的周長

菱形周長=邊長x4用“a”表示菱形的邊長，“C”表示菱形的周長，

則C=4a

例3.如圖，在平行四邊形ABCD中，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G,CE與BF相

交丁點(diǎn)H.

⑴判斷四邊形EHFG的形狀；

(2)在什么情況下，四邊形EHFG為菱形？

【答案】(1)???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AEHCF,AB=CD,

???E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，

??.AE=CF,

???四邊形AECF是平行四邊形，

???AFHCE.

同理可得DEIIBF,

四邊形FGEH是平行四邊形；

(2)當(dāng)平行四邊形ABCD是矩形時(shí)，平行四邊形EHFG是菱形.

?.?四邊形ABCD是矩形

.??ZABC=ZDCB=9O°,

???E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，

???BE=CF,

在4EBC與4FCB中,

BE=CF

ZABC=ZDCB,

BC=BC

???△EBCsAFCB,

???CE=BF,

ZECB=ZFBC,

BH=CH,EH=FH,平行四邊形EHFG是菱形.

五、梯形

1.梯形的定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.

(1)互相平行的兩邊叫做梯形的底；較短的底叫做上底，較長的底叫做下底.

(2)不平行的兩邊叫做梯形的腰.

(3)梯形的四個(gè)角都叫做底角.

2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

3.等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.

4.等腰梯形的性質(zhì)：

(1)等腰梯形的兩腰相等；(2)等腰梯形同一底上的兩個(gè)底角相等.(3)等腰梯形的對角線相等.

5.等腰梯形的判定方法：

(1)兩腰相等的梯形是等腰梯形(定義)；

(2)同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；

(3)對角線相等的梯形是等腰梯形.

6.梯形中位線：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線.

7.面積公式：S=1(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).

2

六、平面圖形

1.平面圖形的鑲嵌的定義用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙，不

重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌，又稱做平面圖形的密鋪.

2.平面圖形鑲嵌的條件：

(1)同種正多邊形鑲嵌成一個(gè)平面的條件：周角是否是這種正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的整倍數(shù).在正多邊形里只有

正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌.

(2)n種正多邊形組合起來鑲嵌成一個(gè)平面的條件：

①n個(gè)正多邊形中的一個(gè)內(nèi)角的和的倍數(shù)是360°；

②n個(gè)正多邊形的邊長相等，或其中一個(gè)或n個(gè)正多邊形的邊長是另一個(gè)或n個(gè)正多邊形的邊長的整數(shù)倍.

同綜合訓(xùn)練

1.（2021?泉州市東海中學(xué)）在四邊形488中，E,F,G,"■分別為各邊的中點(diǎn)，順次連結(jié)E,F,G,

H,得到中點(diǎn)四邊形EFG”.當(dāng)時(shí)，則四邊形瓦“汨是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】C

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理，可判斷四邊形EFGH四邊相等,根據(jù)菱形的判定可得答案.

【詳解】

如圖,

EH=FG=-AC,EF=HG=-BD,

22

當(dāng)時(shí)，EF=FG=GH=HE,

則四邊形EFG〃是菱形.

故選C.

2.（2021?黑龍江九年級期末）如圖，矩形中/2=8把矩形沿直線NC折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，AE

交。于點(diǎn)尸.若的了，則功的長為（）

A.4B.5D.7

【答案】C

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)和翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到陽=FE,=根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】

解：???DCHAB,

:.NFCA=NC4B,又NE4C=NCAB,

NFAC=NFCA,

:.FA=FC=—,

4

FD=FE,

25

?:DC=AB=8,4F=——，

4

257

:.FD=FE=8——=-,

44

AD=BC=EC=y/FC2-FE2=6，

故選：C.

3.（2021?重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校九年級月考）下列命題中，真命題是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形

B.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

C.四條邊相等的四邊形是矩形

D.有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

【答案】D

【分析】

根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，A是假命題；

對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，B是假命題；

對角線相等且平分的四邊形是矩形，C是假命題；

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是真命題，

故選：D.

4.（2021?深圳市羅湖區(qū)翠園初級中學(xué)）如圖，平行四邊形48co中，對角線/C、2D相交于點(diǎn)。，則下

列結(jié)論中不正確的是（）

AD

A.當(dāng)時(shí)，它是菱形

B.當(dāng)時(shí)，它是菱形

C.當(dāng)時(shí)，它是矩形

D.當(dāng)/C垂直平分2。時(shí)，它是正方形

【答案】D

【分析】

根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定逐個(gè)判斷即可.

【詳解】

解：A、???四邊形是平行四邊形，AB=BC,

???四邊形/BCD是菱形，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、???四邊形N5CD是平行四邊形，ACLBD,

???四邊形/BCD是菱形，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、???四邊形N8CD是平行四邊形，AC=BD,

???四邊形/BCD是矩形，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、???四邊形/BCD是平行四邊形，/C垂直平分5D,

???四邊形/BCD是菱形，但不一定是正方形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D.

5.（2021?沙坪壩?重慶八中九年級月考）如圖，四邊形/BCD是菱形，點(diǎn)￡,廠分別在3C,DC邊上，添

加以下條件不能判定&A/D尸的是（）

A

C

A.BE=DFB.NBAF=NDAEC.4E=4FD.ZAEB=ZAFD

【答案】C

【分析】

由四邊形/BCD是菱形可得N8=ND,NB=ND,再根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)添加的條件逐一判斷.

【詳解】

解：由四邊形/BCD是菱形可得：AB=AD,Z.B=Z,D,

A、添加尸，可用S4S證明A/AE1義A4D尸，故不符合題意；

B、添加NBAF=ND4E可轉(zhuǎn)化為NB4E=ND4F,可用/S4證明A/8E之A/OP,故不符合題意；

C、添力口4E=4尸，不能證明會(huì)A4DP,故符合題意；

D、添加N4E5=N4FD,可用44s證明名尸，故不符合題意；

故選：C.

6.（2021?重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校九年級開學(xué)考試）下列說法不正確的是（）

A.平行四邊形兩組對邊分別平行

B.平行四邊形的對角線互相平分

C.平行四邊形的對角互補(bǔ)，鄰角相等

D.平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等

【答案】C

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】

A,平行四邊形兩組對邊分別平行，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

B,平行四邊形的對角線互相平分，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

C,平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；

D,平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等，故該選項(xiàng)正確，不符合題意.

故選C.

7.（2020?浙江杭州市?九年級）若一個(gè)梯形的中位線長為15,一條對角線把中位線分成兩條線段.這兩條

線段的比是3:2,則梯形的上、下底長分別.

【答案】12,18

【分析】

首先根據(jù)梯形的中位線定理，得到梯形的上、下底的和；再根據(jù)三角形的中位線定理得到梯形的上、下底

的比，最后分別求得梯形的上、下底的長.

【詳解】

解：???梯形的中位線長為15,

???梯形的上底與下底的和為30.

又???一條對角線把中位線分成兩條線段比是3：2,

???根據(jù)三角形的中位線定理，得下底：上底=3：2.

???梯形的上、下底分別是12,18.

故答案為：12,18.

8.（2021?沈陽市第四十三中學(xué)九年級月考）如圖，在中，乙4=50。，點(diǎn)。在NC邊上,

以C2、CD為邊作平行四邊形8CDE,貝此￡的度數(shù)為.

【答案】65°

【分析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求4C,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求

【詳解】

解：在A48。中，乙4=50。，AB=AC,

??,ZC=（180°-50°）+2=65°,

???四邊形BCDE是平行四邊形，

.?"=NC=65°.

故答案為：65°.

9.（2021?濟(jì)南市章丘區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級月考）已知：如圖，平行四邊形/BCD中，AC,5D交于點(diǎn)O,

AELBD于點(diǎn),E,CF1.BD于點(diǎn)、F.

求證：OE=OF.

【答案】見解析.

【分析】

根據(jù)平行