第05講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的

數(shù)列解答題綜合訓練

（15類核心考點精講精練）

考情探究?

在新課標、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進。這不僅僅是一

場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。

當前的高考試題設計，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時，提升題目的質(zhì)

量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個方面：

（1）三考

題目設計著重考查學生的知識主干、學習能力和學科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學生的實

際水平。

（2）三重

強調(diào)對學生思維深度、創(chuàng)新精神和實際應用能力的考查，鼓勵學生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個人的獨

特見解和創(chuàng)造力。

（3）三突出

試題特別突出對學生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設計的題目，引導學生深入思

考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。

面對新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點皆充滿變數(shù)，無法提前預知。數(shù)列版塊作

為一個重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適中，

易于學生入手。同樣不能忽視的是，解三角形版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時的分

值將提升至17分，挑戰(zhàn)學生的解題能力和思維深度，難度自然相應加大。

面對如此多變的命題趨勢，教師在教學備考過程中必須與時俱進。不僅要深入掌握不同題目位置可能

涉及的知識點及其命題方式，更要能夠靈活應對，根據(jù)試題的實際情況調(diào)整教學策略。本文基于新高考新

結(jié)構(gòu)試卷的特點，結(jié)合具體的導數(shù)解答題實例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導數(shù)解答題綜合訓練指南,

以期在新高考中取得更好的成績。

考點梳理?

1

考點一、構(gòu)造等差數(shù)列

1.（2024?河北衡水?三模）已知數(shù)列｛%｝的前“項和為S"，|s?=a?-2"-'.

2

(I)證明：［券］是等差數(shù)歹u；

⑵求數(shù)列，詈的前〃項積.

【答案】⑴證明見解析

⑵(〃+2)X2"T

【分析】

(1)根據(jù)5“與巴的關(guān)系化簡，可得紫一券=1,由等差數(shù)列的定義得證;

(2)由(1)求出與，再由累乘法求解.

【詳解】(1)由:得;S用=“用-2".

所以g(S“+「S”)=%+「%-2「

即1??+1=。“+「-2-,整理得。用-2a,=2"，

上式兩邊同時除以2"，得$-券=1?

又萬S”=—2"L所以5%=4—1,即％=2,

所以［今｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(1)矢口，^Y=2+(〃一l)xl=〃+l.

所以%=(〃+1)X2〃T.

a、&%?口(川+2)x2"i

IiZ—x—x—x---x———x—=--------=(〃+2)x2.

a\a2a3an-2an-\%2

2.(2024?全國?模擬預測)已知正項數(shù)列｛%｝滿足q=1,4包=

an\n

(1)求證：數(shù)列｛叫為等差數(shù)列；

(2)設，=-~~,求數(shù)列0｝的前"項和月.

+aa

&%+l?n+l

【答案】⑴證明見解析

【分析】(1)由題冬旦一,利用累乘法即可求解a“=6(〃eN進而可得a；=”("eN*),進而可證

3

等差;

（2）由（1）得由裂項求和即可求解.

7nyjn+1

【詳解】（1）由題可得

所以當時,

"幺馬??…84JlxZx"…xj-

an=ai=y/n，

%%%an-2%V123n-2n-\

易知q=1滿足=〃，所以4〃=

所以=〃+l-〃=1，

所以｛"｝是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.

（2）由（1）可得端=〃，

所以〃Q；a〃+1+a〃a：+iny/n+1+J?（〃+1）

___________1__________11

小幾（n十1）（4n++1）Gy/n+1?

b“i11111i1

所以',=[-忑+忑一忑+…+而下了①一不了.

，\1d—1

3.（2024?陜西西安?模擬預測）已知數(shù)列｛%｝的前〃項的積記為北，且滿足〒=；一?

（1）證明：數(shù)列｛北｝為等差數(shù)列；

（2）設4=??；，求數(shù)列也｝的前〃項和S,.

44+1

【答案】⑴證明見解析

n

⑵S〃=

3(2〃+3)

【分析】（1）分類討論〃=1與〃22兩種情況，利用遞推式求得北與北-北-二2,從而得證;

（2）利用裂項相消法求解即可.

14—1

【詳解】（1）因為書=丁，

T,2%

11CI.—1c

當〃=1時，—=—=——,即“「=3%,易知4W0,則方=%=3,

?1%2%

1tz-1111T.TT,

「

當“22時，~T=^—所以1=^一號，即ZIT=2,

?2%22ati22Tn22

故數(shù)列｛1｝是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列.

4

(2)由(1)得北=3+(〃—1)x2=2〃+1,

則—1—=ipq,

TT

nn+x(2"+1)(2H+3)2(2〃+l2n+3)

—1/111111If1n

2(35572n+l2n+3)2(32〃+3)3(a+3)

4.(2024?湖南?模擬預測)已知數(shù)列｛%｝滿足q=4,〃a”+i-("+l”"=2，G+l).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

〃+2

(2)設“=后，求數(shù)列也｝的前〃項和卻

【答案】⑴氏=2/+2〃

丁J1

⑵"-2-(n+l)2n+,

【分析】（1）利用構(gòu)造法，先求得外,進而求得與.

n

（2）利用裂項求和法求得

【詳解】(1)由"%"-("+1)”,,=2"("+1)得：4±L_&=2,

〃+1n

??色

=4,所以數(shù)列是首項為4,公差為2的等差數(shù)列,

,T

所以2=4+(〃-1)x2=2〃+2,

n

所以%=2/+2〃；

7〃+2n+211

r9\b=------=----------------=------------------------

),+1

"2"an2"包〃(“+1)n-2"(M+1)2'

所以7；=々+62+63+…+4

J(j1x22xU22J+(P2x223xU23J+UP><234xU24+J…+\_n-_T_(z?+l—)2,,+1

_11

-2-(?+l)2n+1,

5.(2024?新疆?一模)非零數(shù)列｛%｝滿足(%+i-a”)(2《+i-a“+2)=a“(a“+2-a“+J(〃eN*),且％=1,%=2.

⑴設證明：數(shù)列｛，｝是等差數(shù)歹人

an+\~an

（2）設%=」一，求｛g｝的前〃項和（.

anan+\

【答案】（1）證明見解析；

（2）（=號

5

【分析】(1)對已知條件因式分解可得2。向-?！??！?2=0，根據(jù)等差數(shù)列定義可證;

(2)利用累乘法求得見=",然后由裂項相消法可得

【詳解】(1)由(氏+1-*(2/+]-%+2)=%(。"+2-%+1),

得%+i(2?！?]-%-a.)=0對于"eN*恒成立，

所以2an+l-an-4+2=0,即%+2=2an+i-an,

%+l%+l%+1—%=]

所以。+1-2=

an+2~an+\an+\aa

n+X-n4+1一％4+1

a,

而41=1,4=2,故-----=1,

a?一%

所以數(shù)列｛或｝是以1為公差，4=1為首項的等差數(shù)列.

——二〃，

(2)由(1)知，bn=n,即一—

%+lan

a,77+1

整理得」包=

ann

23n

由累乘法得"x2x…x&=—x—X---X------，即”=",

a

%a2n-l12n+1ax

又q=1,所以%

1111

則g二-----

+nn+1

111111=i—Ln

所以看=++???+

1223nn+\n+\n+1

考點二、構(gòu)造等比數(shù)列

1.(2024?四川成都?二模)已知數(shù)列｛%｝的首項為3,且滿足。向+4=3-2".

(1)求證：｛。"-2"｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛%｝的通項公式，并判斷數(shù)列｛%｝是否是等比數(shù)列.

【答案】⑴證明見解析

⑵a“=2”+(-1尸，數(shù)列口｝不是等比數(shù)列

【分析】(1)化簡變形為。向-2"+|=-(2-2"),結(jié)合定義即可證明;

(2)由a；Waxa3即可判斷.

【詳解】(1)由%+%=3?2",%=3.2j,

得??+1-22=3?2"-％-2向=一a-2"),又％-2=1W0,

6

所以缶"-2"｝是以1為首項，T為公比的等比數(shù)列.

(2)由(1)得%_2"=lx(-L)i,%=2"+(-1尸，

所以=3,&=3,。3-9,4W

所以數(shù)列｛?｝不是等比數(shù)列.

2.(2024?安徽合肥?模擬預測)設數(shù)列｛%｝的前〃項和為S",已知兀2+3"=4$川-2%,為=1,々=3.

(1)證明：數(shù)列｛?！?「2%｝是等差數(shù)列；

(2)記(％+1)4=:一,方為數(shù)列也｝的前"項和,求

n+n

【答案】⑴證明見解析

T,1

("=1一小尸

【分析】(Q由%+3(=4%一2%得出4+2=3%-2%,再計算(*-2%)-(％-2%),將

3

為+2=??+1-2%代入，即可證明；

⑵由⑴得%=2%+1,得出口+1｝為公比為1的等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得出%+1=2",

代入a+i)4=字2,再裂項得〃=2一二-7―,即可求得數(shù)列也｝的前〃項和.

n+nn-z\n-\-vyZ

【詳解】(1)因為S?+2+3sti=45?+1-2a“,

所以S〃+2-%=3(S.「S〃)-2a”,即az=3??+1-2a〃

所以(an+212%+1)-4+「2%)

=(3a〃+i-2aH-2??+1)-(tzn+1-2q〃)

=(4+i—2a〃)-(a〃+i-2%)=0(為常數(shù))，

所以數(shù)列｛%+「2%｝是等差數(shù)列.

(2)由(1)知?！?1—2an=a?—2。1—1,即?！?1=+1.

所以a“+i+l=2(a“+l),

所以口+1｝為公比為1的等比數(shù)列，

又%+1=2,

所以?！?1=2-2小=2”，

〃+2

因為應+1)“=方一，

n+n

、n+2n+211

所以“一(丁+祖%+1)—"("+1)2'-(H+1)-2,frl)

7

所以數(shù)列也｝的前〃項和為:

11

-2/廠5+]）2+|1-.-

(“+1)2?

3.（2024?四川綿陽?模擬預測）設數(shù)列｛%｝的前力項和為S",S"=2%+2〃-6（〃eN）

⑴求證數(shù)列｛?！?2｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛aj的通項公式％.

f2〃+i]127

（2）若數(shù)歹!]——的前根項和，=三，求"的值，

1%%+J258

【答案】（1）證明見解析，%,=2"+2

（2）7

【分析】（1）利用數(shù)列中S,與?！暗年P(guān)系，得烏二：=2,可證明數(shù)列｛g-2｝為等比數(shù)列，可求數(shù)列｛4｝的

%_幺

通項公式%.

[2〃+i1127

（2）利用裂項相消求數(shù)列——的前加項和圖，由圖=￡求機的值.

I,????+1J258

【詳解】（1）因為5"=2%+2〃-6,所以當〃=1時，S1=2a「4,解得q=4.

當"N2時,S”-i=2aI+2H—8,則-S“_、=2an—2an）+2,

整理得%=2%―2,故^^=2,at-2=2,

所以數(shù)列｛氏-2｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，所以?！?2=2X2"T=2＜所以見=2"+2

_2m_2用_（11]

（2）b"=%。用=（2"+2乂27+2）=12"+2.2向+2）'

數(shù)列帆｝的前加項和

eJ111111T1111A12

T—2--------1----------1------------FLH------------------------2-------------------------------

(4661010142朋+22w+1+2)(42m+1+2)22w+1+2

212722

貝U------------=—,貝U2。二=’貝!12^1=256,解得加=7,故冽的值為7.

22m+1+22582加+】+2258

4.（2024?全國?模擬預測）記S”為數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知q=l,2c1n—Sn=n.

⑴證明數(shù)列K+1｝是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項公式;

n（n+\\,、

⑵若—―，數(shù)列｛4｝的最大項為4,求人的值.

S+n+Z

【答案】⑴證明見解析,%=2"-1

（2）2或3

8

【分析】（1）由2a"-S"=",2a"+i-S〃+i=〃+1兩式相減可得a.-2%=1,該式可化為%何+1=2（%+1）,

即可證明并求出數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）由（1）求得6“=攻二%=（〃+嗎+2）后,可作差比較大小，或者作商，進一步分析即可.

【詳解】（1）因為24-S,=〃，①

所以2a=〃+1,②

②-①，得=即--2*=1,

所以?！爸?1=2（%+1）,

又生+1=2片0,所以4哼=2,所以數(shù)歹|｛%+1｝是首項為2、公比為2的等比數(shù)列.

所以氏+1=2〃，所以%=2〃一1.

⑵由⑴知，5,=2%-“=2向-”2,所以￡=咚口，%=（"+:『）.

解法一%也=（"+?￡一"），

當”=1時，bn+x-bn>0,即4<方2；當〃=2時，bn+l-bn=0,即3二4；

當〃23時，bn+i-bn<0,即所以6I<62=&,且白〉“〉…〉"，

所以數(shù)列｛〃｝的最大項為打=包=（,故左的值為2或3.

n+2

解法r二-^=—,

b"2n

令臥>1,解得”2；令2=1，解得〃=2;令紈<1,解得〃>2.

b“bnbn

因為“〉0,所以4<a=4，且…

所以數(shù)列色｝的最大項為4=4=，故左的值為2或3.

5.（2024?全國?模擬預測）數(shù)列｛%｝的前〃項和S“滿足2s“=34-2".

⑴令，=%+1，求出｝的通項公式；

21ogjdf+1）+3,、

（2）令6=6V,設｛c“｝的前"項和為1,求證：Tn<｝.

【答案】⑴々=3"

⑵證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，當〃=1時，解得q=2,當〃22時，2a“=2S"-2%=3a”-3aM-2,可得a“=3aM+2,

當〃22時，a,+l=3（a._]+l）,即當〃22時，4=3，_],即可得解；

9

210g3(%+1)+3_2〃+3__J.________]、

（）由（）知，2l

21cnbn(n3〃僅之+〃)n.y-(H+1)-3"求和即可.

【詳解】（1）因為2s〃=34—2〃，所以當〃=1時，2S]=2q=3q—2,解得％=2；

當〃22時，2sl=3Q〃T一2（〃一1）,

兩式相減得=3%—3aLi—2,即。般=3Q“_]+2.

所以當〃22時，an+1=3（%T+1）,

即當〃22時，bn=3bn_1,且4=3,

所以｛〃｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，

所以〃=3義31=3〃.

(2)由(1)知“=%+1=3〃，

二21og3(%+l)+3=2-+3一1________1

21

刑〃bn(n+n)3"("+幾)n-V(川+1＞3〃，

所以北=+。2+。3+L+g

=---1--------1------1--------1-----------1-...------1-------------1------=]1---------1------

1x3°2x3*2x313x32("+1)3(?+1)-3"

因為廠卜審＞0,所以《＜1.

(77+1)-3

考點三、等差數(shù)列前n頂和

1.（23-24高三上?陜西咸陽?階段練習）等差數(shù)列｛g｝中，已知S”是其前〃項和，％=-9,*=2求?！芭c

S[0

【答案】a?=2n-U,Slo=O.

【分析】先利用等差數(shù)列的前〃項和公式求出公差d;再利用等差數(shù)列的通項公式求出。“，利用等差數(shù)列的

前"項和公式求出品）.

【詳解】設等差數(shù)列｛與｝的公差為d

-1）

S?=na,H——------d

"12

9（9

S9=9%+-~^d,S[=7%+7"”d.

??邑_邑_2

97一’

...9%+7%+7*Dd=2,即=解得[=2.

97-22

%—-9

10

a?=-9+（?-1）X2=2?-11,幾=10%+吁：。=]0x㈠＞叫）x2=0.

即510=0.

2.（23-24高三上?遼寧?階段練習）記S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知。3=78,S2=5a6.

⑴求｛0“｝的通項公式；

（2）求S.的最小值.

【答案】⑴風=3"-27

（2）-108

【分析】（1）設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)題意，列出方程組，求得％=-24,d=3,進而得到數(shù)列的

通項公式；

（2）由（1）得到數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，且劣=0,得到〃=8或9時，S”取得最小值，結(jié)合等差數(shù)列的求和

公式，即可求解.

【詳解】（1）解：設等差數(shù)列｛?！埃墓顬閐,

%+2d=—18

由。3=T8,S?=5〃6，可得解得。i二一24,"=3,

2〃1+d=5(q+5d)

所以數(shù)列｛?！埃耐椆綖?q+（〃-1）"=3〃-27.

（2）解：由（1）知1=3,可得數(shù)列｛%,｝為遞增數(shù)列，且09=3x9-27=0,

所以當14〃EN*時，。〃＜0;當〃=9時，佝=0；當〃210/EN*時，＞0,

所以，當〃=8或9時，與取得最小值，即$8=邑=式'也=-108,

所以S“2-108,故，的最小值為-108.

3.（23-24高二上?甘肅金昌?階段練習）己知等差數(shù)列｛0“｝的前〃項和為S“，%=-2,岳。=25.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）求S”的最小值及取得最小值時?的值.

【答案】⑴。"=3”-14

（2）當〃=4時，月最小，最小值為-26

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式列方程，解方程得到%=-□,d=3,然后寫通項即可;

（2）方法一：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求最小值即可；

方法二：根據(jù)前〃項和的函數(shù)性質(zhì)求最小值.

【詳解】（1）設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

1。％+必"

由為=—2,S]o=25,彳導4+3<7=—2,=25,解得q=-11,d=3,

2

11

所以%=41+（〃-1）4=3〃-14.

（2）方法一：由d=3知｛〃〃｝是遞增數(shù)列,

當時，氏<0；當〃之5時，%>0.

所以耳>星>53>邑<55<…,

4x3

所以當〃=4時，S“最小，最小值為邑=4q+；-乂4=—26.

2

3-Y25625

方法二：Sn=nax+

2222IT

又”eN*,所以當"=4時，，最小，最小值為-26.

4.（23-24高三上?遼寧朝陽?階段練習）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S"，/-3%=18,54=S5.

（1）求｛&｝的通項公式；

s

（2）求使j<1成立的n的取值集合.

a”

【答案】⑴%=2"-10

（2）｛6,7,8,9｝

【分析】（1）利用公式法列方程組求得等差數(shù)列的首項和公差，從而得到數(shù)列｛%｝的通項公式；（2）代入

等差數(shù)列前〃項和公式，列出關(guān)于”的不等式，解出〃的取值范圍，又因為〃為正整數(shù)，從而得到〃的取

值集合.

【詳解】（1）設等差數(shù)列｛%｝的公差為d.

因為$4=$5，所以。5=0，貝!①

又因為。8—3%=18,所以q+7<7—3（。］+2d）=18,得—2%+4=18,包）

聯(lián)立①②，解得q=-8,d=2,

即數(shù)列｛凡｝的通項公式為%=-8+（〃-l）x2=2"-l。

（2）由（1）知S,=_8"+"（""2=〃2_切,所以&<1,即為^^<1,

“2a?2”-10

當〃<5時，ri1-9n>2H-10,解得〃>10（舍）或〃<1（舍）；

當〃>5時，“2-9〃<2〃-10,解得所以5<“<10,

所以滿足條件的〃的取值集合為｛6,7,8,9｝.

5.（2023?山西模擬預測）已知等差數(shù)列｛。"｝滿足％=3多=2&-5.

（1）求｛%｝的通項公式；

⑵設數(shù)列也｝的前〃項和為雹,且〃=*-*若圖>360,求名的最小值.

【答案】⑴2〃-1

12

(2)10

【分析】（1）設等差數(shù)列｛%,｝的公差為d,然后利用公式構(gòu)建基本量q,4的方程求解即可.

（2）先將等差數(shù)列｛g｝的通項代入”=%+「片，得到數(shù)列出｝的通項，再求和，解不等式即可.

【詳解】（1）設等差數(shù)列｛4｝的公差為

[I+d=3

則;4+8/=2（%+5＜）-5解得…d=2,

cin=%+（〃—l）d=2rl—1,

（2）由（1）可得%+i=2〃+l,貝！|4=（2八+仔一（2〃_尸=8〃,

所以“-如=8（n＞2）,則數(shù)列出｝是是等差數(shù)列，

（8十8〃）〃o

故-----二=47+4〃.

"2

因為騫＞360,所以4/+4用＞360,所以4（加+10）（加-9）＞0,

所以機＞9或機＜-10.

因為加eN+，所以加的最小值是10.

考點四、等比數(shù)列前n項和

1.（23-24高三上?河南?階段練習）已知數(shù)列｛?！埃堑炔顢?shù)列，其前〃項和為J,且2出+%=13,S7=49.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）設，=a?+2"，,求數(shù)列也“｝的前”項和T?.

【答案】⑴?=21

Q2?+1G

（2）＜=^^+后

【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式和前"項和公式求解；

（2）分組求和方法求解.

【詳解】（1）設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,又2%+%=13,$7=49,

2（%+＜/）+/+3d=13

所以|7x6（7，解得q=1，1=2,

7%+—-—=49

所以｛應｝的通項公式+=1+=

（2）由（1）知6“=。“+2%=2〃-1+22”—,

1

所以q=4+6?+仇---bn=（1+2）+（3+2,）+（5+2,）H------）■（2〃—1+2~"）

13

2rt+1

/\/35?1\幾(1+2〃-1)2x(l-4〃)2-22

=(1+3+5+…+2〃-1)+(2+23+2§+…+22"△--——4—；4乙—-~n2.

2.(23-24高三上?河南?階段練習)已知等比數(shù)列｛?！埃墓?=2,記其前“項和為S"，且a?,%+3,%成等

差數(shù)列.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵求｛Sj的前〃項和卻

【答案】(l)a“=3x2"T

⑵7；=3X2,,+1-6-3M

【分析】(1)根據(jù)等差中項，結(jié)合等比數(shù)列基本量計算可得%=12,進而可求解通項，

(2)根據(jù)等比求和公式得S.=3x2"-3,即可由分組求和求解

【詳解】(1)因為。2,%+3,%成等差數(shù)列，所以2(%+3)=%+%,

得2%+6=生+%?,即2%+6=2+2%,解得?！?12,

q2

3

所以a“=a3q"-=12x27=3x2"，

(2)由(1)知％=3x2i=3,

而z3x(1-2")

所以S=—----^=3x2”-3，

"1-2

?6x(l-2")

貝n=—；2，_3"=3x2"+i_6_3〃.

3.(23-24高三上?湖南長沙■階段練習)在數(shù)列｛%｝中q=1,且滿足a“=24—+”-2(“eN*且"22).

(1)證明：數(shù)列｛5+〃｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的前〃項和S“.

【答案】⑴證明見解析

(2)S?=2?+1-^-|-2

【分析】(1)變形得到。"+”=2[01+("7)],得到結(jié)論；

(2)在(1)的基礎上得到%=2"-〃，進而利用分組求和可得.

【詳解】(1)<。"=2a"i+"-2(”eN*且"22),

an+n=2[a”_[+(〃-1)](“eN*且”22),

<生+1=2,

所以｛%+〃｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.

14

(2)?.?{%+〃}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

n

an+n=2,故。〃=2〃,

/,\、2-2〃-2(l+n\n

...S〃=(2+229+23+…+2"卜(z1+2+3+…+幾片—12

22

4.（20-21高一下?貴州黔東南?階段練習）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，且%=5,&=9.

（1）求｛4｝的通項公式；

⑵若但｝是等比數(shù)列，且&=%,b3=a5,求數(shù)列低｝的前"項和1.

【答案】（1）。"=2"-1

【分析】（1）求出等差數(shù)列｛%｝的公差，利用等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列｛%｝的通項公式;

（2）求出等比數(shù)列也“｝的首項和公比，利用等比數(shù)列的求和公式可求得

【詳解】（1）解：設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則邑=3（%；a3）=3（a；+5）=9,可得％=1,

所以，=2,所以，a?=al+（n-l）t/=l+2（n-l）=2M-l.

3—12

（2）解：設等比數(shù)列帆｝的公比為9,則4=%=3,"=%=9,

所以‘4V

a(iw)1—3〃3〃—1

因此，Tn=

i—q1-32

5.（23-24高二上?北京?期中）已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，滿足弓=3,&=24,數(shù)列出｝滿足a=4,b、=22,

設4,且｛?！埃堑炔顢?shù)列.

⑴求數(shù)列｛〃〃｝和｛?！ǎ耐椆?；

（2）求｛bn｝的通項公式和前〃項和Tn.

【答案】⑴氏=3-2〃T,cn=n-2

,1,23

⑵4=3.2"T+2-〃，Tn=3-2"--H+|H-3

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列定義求解；

（2）先寫出數(shù)列｛"｝的通項公式，再分組求和即可求解.

【詳解】（1）設等比數(shù)列｛4｝的公比為以

15

3

因為q=3,a4=a[q=24,所以夕=2,即Q〃=3-2〃T,

設等差數(shù)列｛?！ǎ顬閐,

因為％=%-4=-1,Q=%—"=q+31=2,所以d=l,即c〃=〃—2.

（2）因為C"=%-a，所以a=。“一g,

由(1)可得a=3?2i+2—

設也｝前〃項和為小

7；=3.(1+2+4+...+2〃T)+2〃-(1+2+...+〃

為曰2,j

1-22

=3?2〃——n1+—n—3.

22

考點五、裂項相消求和

1.（2024?全國?模擬預測）已知數(shù)列｛4｝的各項均不小于1,前〃項和為￥嗎=1,｛25,-明是公差為1的等

差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛與｝的通項公式.

°2”+1

⑵求數(shù)列的前”項和北.

S；

【答案】(1)?！?〃；

4n2+8〃

⑵北:7~~

("+1)

【分析】（1）利用前〃項和與通項公式之間的關(guān)系判定｛0"｝是等差數(shù)列，再求通項公式即可.

（2）對需要求和的數(shù)列先進行化簡，再利用裂項相消法求和即可.

【詳解】（]）由q=l,得2S]-a；=l.

因為｛2S“-4｝是公差為1的等差數(shù)列，所以2s“一片=1+（〃-1）=〃.

當時，2S“T-UT=W-1.兩式相減，得2%-端+端7=1,

所以（a“一1『=碇1，又%21,所以。,-l=a,,T，則

所以｛%｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，所以%=1+（"-1）=〃.

(〃

⑵由⑴可知，S”用%+1=42+1)11__

S；“2(〃+1)2「2(〃+])2

1]

所以數(shù)列，出1~1,的前〃項和4=4<[1—"一…+

/5+1)2

16

一11111

--=

（n+1）2（"+1）2

2.（2024?山西臨汾?二模）己知數(shù)列｛%｝,｛2｝滿足q=l也=2%,她&??也=（如向

⑴計算外,外，并求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）設數(shù)列｛'｝滿足C"=，求數(shù)列｛g｝的前n項和T?.

an'an+\*么

【答案】（1）%=2,%=3,?！?》一9年工,,22）

僅）1—（〃+]）?2"

【分析】⑴由4=2%抱她…”=（如向可得—…+或等，可得見=等一駕%，（"22）,

法一：可得為常數(shù)列，可求數(shù)列｛%｝的通項公式；法二：可得號a=7，（〃22）,利用累乘法可求數(shù)

列｛%｝的通項公式；

（2）由（1）可得?！?—二一;一進而由裂項相消法可求｛%｝的前"項和

【詳解】（1）由題可知，=2"",b1b2b3…b"=（b*｝，

令〃=1,4=2i=（2"2）5,得a?=2；

2

令〃=2°也=2技22=（2%）5,得。3=3.

由已知"=2%,…圖/，

nJ4]+&+4+?,,+。〃=—，

?1+a2+a3H----Fan_x=（"（n>2）.

兩式相減得與=爹-駕包,H22）.

解法一：

整理得：阻=%,（〃22）.又去=?=1滿足上式.從而覬=冬對"N*均成立.

因此為常數(shù)列，即有3=i,故%=〃.

In\n

17

解法二:

a〃+1/-、&2

整理得：但=——又二=；滿足上式.

annax1

,a.a,a,a?234n

故—X—X—X---X—―=—X—X—X---X---,(77>2).

axa2a3an_x123n-\

即4〃=〃,(〃22).當〃=1時符合上式，故

乙〃+2-11

（2）由（1）可知,"二而談'所以'”二三一詢，.

(77+1)-X'

1

3.（2024?四川?模擬預測）已知5”為正項數(shù)列｛aJ的前〃項和，%=3且，+5用=豆端+「廣

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式;

（2）若，=（一1）用舟J，求帆｝的前10項和九?

【答案】⑴。.=2〃+1

【分析】（1）已知S"與為的關(guān)系求通項公式，用退位作差，再利用平方差公式進行化簡，最后對〃=1時進

行檢驗，得到數(shù)列｛g｝是等差數(shù)列，從而寫出通項公式；

（2）根據(jù)%得到或，觀察數(shù)列通項公式特點，裂項，進而得到前10項和北。.

1Q

【詳解】（1）由題意知：Sn+Sn+l=-a^--,即2（S“+S“+J=心-3,

當心2時,2（Si+S.）=a：-3,

兩式相減,可得（??+1+%）（%+產(chǎn)4-2）=0,

因為?！?gt;0，可得=2（〃22）.

又因為q=3,當為=1時，2（凡+邑）=a；-3,即a”2%-15=0,

解得%=5或%=-3（舍去），所以4-%=2（符合），

從而?！?「%=2,所以數(shù)列｛%｝表示首項為3,公差為2的等差數(shù)列.

所以數(shù)列｛?！埃耐椆綖閍n=2n+l.

由題意得a=1嚴/T㈠嚴”

(2)

18

所以北o=4+仇+AH--+69+40

14)+14)

所以幾=?

4.（2024?河北邯鄲?二模）已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為篦，出=3,且西=卮+點.

（1）求｛。”｝的通項公式;

4s

⑵若a=-匚，求數(shù)列｛4｝的前〃項和q.

anan+\

【答案】（1）??=2?-1

n

(2)(=〃+

2幾+1

【分析】（1）首先求出％=1,可證明數(shù)列｛瘋｝為首項為1,公差為1的等差數(shù)列，得到S“=/,利用

%=S「S“_\得到｛??）的通項公式；

4S〃4?2化簡可得，=1+2[丁二-h]],利用分組求和以及裂項

（2）由（1）知，bn=

《A+i(2?-l)(2z?+l)2\2n-\2〃+1）

相消即可求出數(shù)列出｝的前〃項和Z,.

【詳解】（1）當〃=1時，由#7=后+6~,即,%+g=2而，解得：q=1,

所以瓦-向=指=1，則數(shù)歹“向｝為首項為1，公差為1的等差數(shù)歹！1;

所以47="，則5"=〃2，

當〃22時，an=Sn-S“_]=“2__ip=2n-1,

當〃=1時，為=2x1-1=1滿足條件，

所以｛??｝的通項公式為%,=2n-l（HGN*）

4S“4后

（2）由（1）知,

a?a?+l(2〃-1)(2〃+1)

_____I_|__J_|________I________I_|_____1

4?2-1-4?2-1-(2〃-1)(2〃+1)—2(212〃+1

故北二〃+；（1-；+L11

--F,??+-1」=〃+—

352〃一12w+lJ212?+lJ2〃+1

n

即（=n+

2n+\

2A

5.(23-24高二下?四川成都?期中)已知數(shù)列｛%｝滿足：at+5a2+5a3H--1-5"an=---(?eN*).

⑴求數(shù)列｛與｝的通項公式;

19

173

⑵設”=研方―5-----T(”eN*),數(shù)列也}前“項和為試比較，與急的大小并證明.

[a{a

〉\-n)\-n+\)288

’21

一,n=l

5

【答案】⑴％=<,(wGN*)

—,n>2

23

⑵工<中，證明見解析

【分析】(1)結(jié)合前〃項和與通項公式的關(guān)系分〃=1和〃>2兩種情況求解即可;

5231(1\]

(2)先驗證4=而〈3，再討論〃22時，,進而根據(jù)裂項求和法得

722884\5—15—1/

SJ23

〃28845n+1-l288

1

2

【詳解1(1)%+5%+5i73H-----F5〃14〃=--—(1),