專題二充分條件、必要條件、全稱量詞、存在量詞知識精講一、知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi)容考點關(guān)注點充分條件、必要條件、全稱量詞、存在量詞充分條件、必要條件誰是條件，誰是結(jié)論充要條件充分性與必要性的證明方向含有一個量詞的命題的否定量詞改變，結(jié)論否定二、學(xué)法指導(dǎo)1.定義法判斷充分條件、必要條件1確定誰是條件，誰是結(jié)論；2嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件；3嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件。2.充要條件的證明策略1要證明一個條件p是否是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個方向進行，即證明兩個命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真.2在證明的過程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來證明，證明p與q的解集是相同的，證明前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論.3．利用充分、必要、充要條件的關(guān)系求參數(shù)范圍1化簡p，q兩命題；2根據(jù)p與q的關(guān)系充分、必要、充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系；3利用集合間的關(guān)系建立不等式；4求解參數(shù)范圍.4.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法：1要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x證明px成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個x，使得px不成立即可這就是通常所說的“舉出一個反例”.2要判定一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個x使px成立即可；否則，這個存在量詞命題就是假命題.5.含有一個量詞的命題的否定的方法(1)一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明確這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到量詞及相應(yīng)結(jié)論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，同時否定結(jié)論．(2)對于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再依據(jù)規(guī)則來寫出命題的否定．三、知識點貫通知識點1充分條件、必要條件的判斷若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件。2.若p?q，但qp，則稱p是q的充分不必要條件．3.若q?p，但pq，則稱p是q的必要不充分條件．4、若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．例1.指出下列各題中p是q的什么條件．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等．(3)p：a＞b，q：ac＞bc.【答案】(1)p是q的充分不必要條件；(2)p是q的必要不充分條件；(3)p是q的既不充分也不必要條件．【解析】(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要條件．(2)兩個三角形相似兩個三角形全等，但兩個三角形全等?兩個三角形相似，故p是q的必要不充分條件．(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要條件．知識點二充分條件、必要條件、充要條件的應(yīng)用1.記集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要條件，則AB，若p是q的必要不充分條件，則BA.2.記集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，則p是q的充分條件，若N?M，則p是q的必要條件，若M＝N，則p是q的充要條件．例題2：已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為________．【答案】{m|m≥9}【解析】：因為p是q的充分不必要條件，所以p?q且qp.即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9.所以實數(shù)m的取值范圍為{m|m≥9}知識點三充要條件的證明1.一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．例題3.求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.【解析】假設(shè)p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1，q：a＋b＋c＝0.①證明p?q，即證明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②證明q?p，即證明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一個根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.知識點四全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷1.全稱量詞與全稱量詞命題(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．(2)含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題，通常將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)．2．存在量詞與存在量詞命題(1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．(2)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”．例題4．指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假．(1)?x∈N,2x＋1是奇數(shù)；(2)存在一個x∈R，使eq\f(1,x－1)＝0；(3)對任意實數(shù)a，|a|＞0；(4)有一個角α，使sinα＝eq\f(1,2).【解析】(1)是全稱量詞命題．因為?x∈N，2x＋1都是奇數(shù)，所以該命題是真命題．(2)是存在量詞命題．因為不存在x∈R，使eq\f(1,x－1)＝0成立，所以該命題是假命題．(3)是全稱量詞命題．因為|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，該命題是假命題．(4)是存在量詞命題．因為當α＝30°時，sinα＝eq\f(1,2)，所以該命題是真命題．知識點五含有一個量詞的命題的否定一般地，對于含有一個量詞的命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；存在量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．例5.(1)設(shè)命題p：?n∈N，n2>2n，則命題p的否定為()A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n(2)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2【答案】(1)C(2)D【解析】(1)因為“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，￢p(x)”，所以命題“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”，故選C.(2)由于存在量詞命題的否定形式是全稱量詞命題，全稱量詞命題的否定形式是存在量詞命題，所以“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式為“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2”．四、易錯點分析易錯一充要條件的證明例題6.試證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac＜0.【解析】①必要性：因為方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝eq\f(c,a)＜0(x1，x2為方程的兩根)，所以ac＜0.②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x