第2課時直角三角形

直角三角形

考試

考試內容

要求

概念有一個角是________________的三角形叫做直角三角形.a

女J圖，在△ABC中，ZC=90°.

A二

b

Ca

1邊與邊的關系（勾股定理）：a2+b2=________________；

2角與角的關系：ZA+ZB=________________；

3邊與角的關系：

性質

）右/人一30,則a—2一b—"c；

a

）若@=/，則NA=30。；

(2

C

）右二人一45,則a—b—'c；

(1）右c,則NA—45；

斜邊上的中線m=[c=R（其中R為三角形外接圓的半徑）.

4

1.有一個角是________________或兩個銳角_________________的三

角形是直角三角形.

判定2.如果三角形一邊上的中線等于這條邊的________________,那么

這個三角形為直角三角形.

3.勾股定理的逆定理：如果三角形的兩邊的________________等于

第三邊的________________，那么這個三角形是直角三角形.

1.Saz^Bc=5ch=%b,其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上

的高；

拓展

2.□ZkABC內切圓半徑r=a+；―%外接圓半徑R=j,即等于斜邊

的一半.

考試

考試內容

要求

面積法：用面積法證題是常用的方法之一，使用這種方法時一般是

基本利用某個圖形的多種面積求法或面積之間的和差關系列出等式，從

C

方法而得到要證明的結論.如ch=ab,其中a、b為兩直角邊，c為斜

邊，h為斜邊上的高；

1.（2017?紹興）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端

到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠

在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）

A.0.7米B.2.2米D.2.4米

2.（2017?溫州）四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD,過各較長直角邊

的中點作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH.已知AM為政aABM較長直角邊,AM=2$EF,

則正方形ABCD的面積為（）

A.12SB.10SC.9SD.8S

第2題圖

3.（2016?柳州模擬）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米,

一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）

第3題圖

48米8.10米C.12米D.14米

4.（2016?大連模擬）如圖，Z^ABC中，AB=AC=8,BC=6,AD平分NBAC交BC于點D,

點E為AC的中點，連結DE,則4CDE的周長為（）

5.（2016?安順模擬）如圖，在7?tAABC中，ZC=90°,AB=13,AC=7,貝Usi品

【問題】如圖，點D是At/XABC斜邊的中點.

⑴你能從圖中得到哪些信息？

⑵若NA=40°，則NDBC=

⑶若BD=5,AB=8,則BC=

【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理直角三角形有關知識.

類型一直角三角形的性質與判定

例1(1)如圖，在及Z^ABC中，ZACB=90°,

①若NA=46°,則NB的度數為；

②若/A=3NB,則NB=；

③若/B=30°,D為線段AB的中點，CD=6,則/ACD=；AB=；BC

(2)如圖，已知NA0D=30°,點C是射線0D上的一個動點.在點C的運動過程中，△

AOC恰好是直角三角形，則此時/A所有可能的度數為.

c/)

【解后感悟】根據直角三角形的性質、以及斜邊上中線性質、含30。角的直角三角形

性質是解此題的關鍵，解題時注意分類討論的運用.

■變式環(huán)式_______________

1.(1)(2016?黑龍江模擬)已知三組數據：①2,3,4；②3,4,5；③1,2.分別

以每組數據中的三個數為三角形的三邊長，構成直角三角形的有()

A.②B.①②C.①③D.②③

(2)(2016?牡丹江模擬)如圖，CD是TFtAABC斜邊AB上的高，將4BCD沿CD折疊，B

點恰好落在AB的中點E處，則NA等于()

ED

B.30°C.45°D.60°

2.(1)(2017?麗水模擬)如圖，在心AABC中，ZA=30°,DE垂直平分斜邊AC,交

AB于D,E為垂足，連結CD,若BD=1,則AC的長是,

第（1）題圖第⑵題圖

⑵（2017?衢州模擬）如圖,Z\ABC中，CDLAB于D,E是AC的中點.若AD=6,DE=5,

則CD的長等于.

⑶（2015?福州）如圖,在7?tAABC中，ZABC=90°,AB=BC=^2,將Z\ABC繞點C

逆時針旋轉60°,得到連結BM,則BM的長是.

類型二直角三角形的分類討論

例2（2016?大連模擬）如圖，在AABC中，AB=BC=4,A0=B0,P是射線CO上的一個

動點，/A0C=60°,則當4PAB為直角三角形時，AP的長為.

【解后感悟】本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質和直角三角形斜邊

的中線，分類討論，數形結合是解答此題的關鍵.

■變式耗式

3.（2016?山西模擬）如圖，在直角坐標系中，拋物線y=x?-x—2過A、B、C三點，

在對稱軸上存在點P,以P、A、C為頂點的三角形為直角三角形.則點P的坐標

是.

4.（2016?安定模擬）如圖，在AABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，點P從點A

出發(fā)，沿AB邊以1厘米/秒的速度向點B勻速移動；點Q從點B出發(fā)，沿BC邊以2厘米/

秒的速度向點C勻速移動.如果P、Q同時出發(fā)，當Q點到達C點時，P點隨之停止運動.用

t（秒）表示移動的時間（0WtW6）.

⑴當PQ〃AC時，求t的值；

（2）當t為何值時，P、B、Q三點構成直角三角形.

類型三勾股定理的應用

例3（2016?孝感）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周脾算經》時給出的“趙爽弦

圖”，圖中的四個直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的

13倍，那么tanZ^E的值為

【解后感悟】此題中沒有具體的數，故先設未知數，根據正方形以及直角三角形的面積

公式求得直角三角形的三邊，進一步運用銳角三角函數的定義求解.

■變式柘展

5.（1）下列長度的三條線段不能組成直角三角形的是（）

A.7,24,25B.4,5,6C.5,12,13D.2,1.5,2.5

（2）（2016?株洲）如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰

直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關系滿足Si+Sz=S3圖形個數有（）

（3）如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直.如果小明

站在南京路與八一街的交叉口，準備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為（）

A.600加B.500以C.400/D.300s

(4)如圖，四個全等的直角三角形紙片既可以拼成(內角不是直角)的菱形ABCD,也可以

拼成正方形EFGH,則菱形ABCD面積和正方形EFGH面積之比為

類型四直角三角形的探究問題

例4(2016?桂林模擬)如圖1,在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=^，點D在AC

上，點E在BC上，且CD=CE,連結DE.

(1)線段BE與AD的數量關系是，位置關系是.

(2)如圖2,當4CDE繞點C順時針旋轉一定角度a后，(1)中的結論是否仍然成立？如

果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由.

⑶繞點C繼續(xù)順時針旋轉ACDE,當90°<a〈180°時，延長DC交AB于點F,請在圖

3中補全圖形，并求出當AF=1+為時，旋轉角a的度數.

【解后感悟】本題主要考查了運用已有的知識和經驗解決問題的能力，通過添加適當的

輔助線，從而能用(1)(2)中積累的經驗去解決第(3)題.它是中考的熱點題型.

■變式拓展

6.(1)(2016?錦州模擬)如圖，兩塊完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A，B，C'

重合在一起，將三角板A'B'。繞其頂點C'按逆時針方向旋轉角a(0°<aW90°),有

以下四個結論:

①當a=30°時，A'C與AB的交點恰好為AB的中點；

②當a=60°時，A'B，恰好經過點B；

③在旋轉過程中，存在某一時刻，使得AA'=BB'；

④在旋轉過程中，始終存在AA'XBB/.

其中結論正確的序號是.

3

(2)(2015?宿遷)如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標為(0,4),直線y=]x—3

與x軸、y軸分別交于點A,B,點M是直線AB上的一個動點，則PM長的最小值

為.

P

O\

類型五直角三角形的綜合運用

例5(2016?吉林)如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AC=8木cm,AD

LBC于點D,點P從點A出發(fā)，沿A-C方向以鏡CR/S的速度運動到點C停止，在運動過程

中，過點P作PQ/7AB交BC于點Q,以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM,且/PQM=90°(點

M,C位于PQ異側).設點P的運動時間為x(s),△PQM與4ADC重疊部分的面積為y(c泊.

(1)當點M落在AB上時，x=；

(2)當點M落在AD上時，x=；

(3)求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

BQD

備用圖

【解后感悟】本題考查等腰直角三角形的性質、分段函數、三角形面積等知識，解題的

關鍵是正確畫出圖象，學會分類討論.

■變式跖展

7.(1)(2016?陜西)如圖，在4ABC中，NABC=90°，AB=8,BC=6.若DE是AABC

的中位線，延長DE交AABC的外角/ACM的平分線于點F,則線段DF的長為（）

A.7B.8C.9D.10

（2）（2016?淄博）如圖，正方形ABCD的邊長為10,AG=CH=8,BG=DH=6,連結GH,

則線段GH的長為（）

AD

4笑B.2y[2D.10-5^2

00

（3）（2016?邵陽模擬）如圖,在等腰雙△OAAi中，Z0AAi=90°,OA=1,以OAi為直角

邊作等腰心△OAiA”以OAz為直角邊作等腰以ZkOA2A3,…則OA.的長度為.

【課本改變題】

教材母題一一浙教版八上第87頁，目標與評定第28題.

小明和同桌小聰在課后復習時，對課本”目標與評定”中的一道思考題進行了認真的探

索.

【思考題】如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時B到墻C的距離

為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點B將向外移動多少米？

(1)請你將小明對“思考題”的解答補充完整：

解：設點B將向外移動x米，即BBi=x,

則BiC=x+0.7,AiC=AC-AAi=^/2.52-0.72-0.4=2.

而AB=2.5,在股△ABC中，由BIC2+A￡2=AIB；得方程,

解方程得Xl=,x2=,

，點B將向外移動米.

(2)解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個問題：

【問題一】在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案

會是0.9米嗎？為什么？

【問題二】在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的

距離有可能相等嗎？為什么？請你解答小聰提出的這兩個問題.

【方法與對策】這題是探究性問題，通過課本中作業(yè)完成后，進行引申，用方程的思想

繼續(xù)分析、探究，解決提出的猜想.導向性：一方面要求同學們作業(yè)之后要反思，另一方面

要求老師進行變式教學，這是中考熱點題型.

【忽視直角三角形中直角邊不明確】

(2016?包頭模擬)已知直角三角形的兩邊的長分別是3和4,則第三邊長為—

參考答案

第2課時直角三角形

【考點概要】

直角c290°直角互余一半平方和平方

【考題體驗】

7

1.C2.C3.B4.B5.—

￡O

【知識引擎】

【解析】(1)如：AB2+BC2=AC2,BD=|AC,/A=/ABD等；(2)50；(3)6.

【例題精析】

例1⑴①44°②22.5°③60°126?、?0°或90°

例2當NABP=90°時(如圖1),：/A0C=NB0P=60°，；.NBP0=30°，；.BP=

OB"2小，在直角三角形ABP中，AP=N(2/)旺42=2巾.當/APB=90°時,

tariiQ°

3

分兩種情況討論：情況一，如圖2,VA0=B0,.*.PO=BO,VZA0C=60；°,AZB0P=60",

.二△BOP為等邊三角形，：AB=BC=4,；.AP=AB?S/A60°=4X曰=2小;情況二：如圖

3,：A0=B0,NAPB=90°,；.PO=AO,VZA0C=60°,：.AAOP為等邊三角形，；.AP=

A0=2,故答案為：2/或2小或2.

例3設小正方形EFGH面積是a2,則大正方形ABCD的面積是13a\.?.小正方形EFGH

邊長是a,則大正方形ABCD的面積是JMa,:圖中的四個直角三角形是全等的，；.AE=DH,

222222

設AE=DH=x,在A方AAED中，AD—AE+DE,即13a=x+(x+a),解得：xi=2a,x2

AE2a22

—3a(舍去)，.?.AE=2a,DE=3a,/.^ZADE=-=-=--故答案為：?

例4(1)VAC=BC=A/2,CD=CE,.*.BE=AD,VZACB=90°,AACXBC,ABEXAD.

(2)仍然成立.如圖2,延長BE交AD于點M.在4BCE和4ACD中，BC=AC,ZBCE=ZACD

=a,CE=CD,.'.△BCE^AACD..\BE=AD,VZ1=Z2,ZCAD=ZCBE,；.NAMB=/ACB

=90°.即BE_LAD.⑶如圖3,過點C作CN_LAB于點N,：AC=BC=/,NACB=90

.?.CN=AN=|AB=1,ZBCN=45°.VAF=1；.FN=AF—AN=、與耳在7?tACNF中，tan

O

FN\[3

ZFCN=—=4-,???NFCN=30°.ZBCF=ZBCN-ZFCN=15°Q.VZFCE=90°,ZBCE

U1NO

ZBCF+ZFCE=105°..?.當AF=1,旋轉角a為105°.

圖2圖3

例5(1)當點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，AP=CP

=4巾,所以x=%=4.故答案為4.(2)如圖1中，當點M落在AD上時，作PELQC

-FE.VAMQP,APQE,/XPEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC,.*.DQ=QE=EC,：PE〃AD,

"AC=DC=3,，；AC=8地,；.PA=號&；.x=號但+鏡=竽故答案為學⑶①當

0<xW4時，如圖2中，設PMPQ分別交AD于點E、F,則重疊部分為△PEF,：AP=/x,

[1]6

PE2

；.EF=PE=x,.-.y=SApEF=2"-EF=-x.②當4〈xWg時，如圖3中，設PM、MQ分別交

AD于E、G,則重疊部分為四邊形PEGQ.VPQ=PC=8^2—^x,；.PM=16-2x,/.ME=PM

[1716

—PE=16—3x,/.y=SAPMQ-SAMEG=o(8^/2—A^2X)2—~(16—3x)2=-9x2+32x—64.③當丁

乙乙乙<J

〈x〈8時，如圖4中，則重合部分為△PMQ,.?.y=SAP1B=；PQ2=；(8$—Mx)2=x?—16x+64.

ri2

-x,(0<xW4)

綜上所述，y=<—^x2+32x—64,(4〈xW竽

x2—16x+64.f-<x<8j

【變式拓展】

1.(1)2(2)82.(1)2#(2)8(3)/+l

/\BPBQ10—t2t.15/i、

(1)?.?PQ〃AC,.?.△APBQs/^ABC,???右=