浙江省金華十校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)——四總分

評(píng)分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.sin-^=（）

A.B.1C.一字D.印

2.已知集合4={1,2,3},B={2,a,4},若AnB={2},則實(shí)數(shù)a可以為（）

A.1B.3C.4D.7

3.若對(duì)于任意2],不等式m+2-/W0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.m<—1B.m<0C.m<1D.m<2V2

4.哥哥和弟弟一起拎一重量為G的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力為Fi，弟弟用力為尸2,若

|Ft|=\F2\,且FI，F(xiàn)2的夾角為120。時(shí)，保持平衡狀態(tài)，則此時(shí)Fi與重物重力G之間的夾角為（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

t42

5.-4<a<4”是“函數(shù)/（x）=log2（x-ax+4）的定義域?yàn)镽”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知函數(shù)/（久）=/一（a+b）久+16,a,b是正實(shí)數(shù).若存在唯一的實(shí)數(shù)無(wú)，滿足/'（%）W0,則a2+3￡>2的

最小值為（）

A.46B.48C.52D.64

7.某種廢氣需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的過(guò)濾程序，使污染物含量不超過(guò)20%后才能排放.過(guò)濾過(guò)程中廢棄的污染物含量Q

kt

（單位：mg/L）與時(shí)間r（單位：/i）之間的關(guān)系為Q=Qoe-,其中Qo是原有廢氣的污染物含量（單位：mg/D,

k是正常數(shù).若在前4%消除了20%的污染物，那么要達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)至少經(jīng)過(guò)（答案取整數(shù)）（）

參考數(shù)據(jù):ln0.21.609,ln0.80.223,0.84=0.4096,0.860.26

A.19hB.29hC.39hD.49h

8.若實(shí)數(shù)x,—*）,滿足xsin工=/+2ysin2y,則（）

A.x>2yB.x<2yC.\x\>\2y\D.|%|<\2y\

二'選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.在△ABC中（）

1

A.若/之B,則cosi4<cosBB.若4之8,貝！JtanA＞tanB

n.4+BC

C.sin{A+B)=sinCD?sin~cos2

10.已知/(%)二久］(aG7?)()

A.當(dāng)a=-1時(shí),/(%)的值域?yàn)镽B.當(dāng)a=3時(shí),f（7r）＞/（3）

c.當(dāng)&=9寸，/(/)是偶函數(shù)D.當(dāng)戊=9寸，/'2。）是奇函數(shù)

11.已知函數(shù)/(%)=2cos2a)x+V3sin2tox1（0）＞0）的最小正周期為兀，則（）

A.3=2

B.函數(shù)/（%）在（0,給上為增函數(shù)

C.T，。）是/（＞）的一個(gè)對(duì)稱中心

D.函數(shù)/（%+韻的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

COS］兀(%—；)］

12.已知函數(shù)/（久）=,則（）

(2團(tuán)+1)⑵久TI+1)

A.函數(shù)〃龍）是周期函數(shù)

B.函數(shù)/（%）有最大值和最小值

C.函數(shù)f（x）有對(duì)稱軸

D.對(duì)于1],函數(shù)/（久）單調(diào)遞增

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.sin20（填＞或〈）.

14.函數(shù)/'（＞）=200cos（/+竽）+300（ziC{1,2,3,…，12}為月份），近似表示某地每年各個(gè)月份從事

旅游服務(wù)工作的人數(shù)，游客流量越大所需服務(wù)工作的人數(shù)越多，則可以推斷，當(dāng)幾=時(shí)，游客流量最

大.

_丫2_OvyV0

'-'則方程f(/(%))=2的所有根之積為_(kāi)________

|log2%bx>0,

16.若函數(shù)/（久）=（%+第+2+/0?伍（％+1）的值域?yàn)椋?,+oo）,則實(shí)數(shù)k的最小值為

四'解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明'證明過(guò)程或演算步驟.

17.計(jì)算下列各式的值：

log23

(I)log32+log35—21og3V10+2;

2

/TT、1—A4—Xx_x

(11)\+S-x+(1-2*)(1+2X+4X)+(82+8-2)o2.

18.已知向量五=（1,2）,\b\=2V5.

（I）若一||T求石的坐標(biāo)；

（II）若（一5五+2至）10+二）,求五與萬(wàn)的夾角.

19.已知函數(shù)/'（X）=cos2*—sin2/+sins:.

（I）求函數(shù)/（%）的最小正周期與對(duì)稱軸方程；

（II）當(dāng)%oC（O,兀）且/（K0）=挈時(shí),求fg+看）的值.

20.如圖，在扇形。PQ中，半徑OP=1,圓心角NPOQ=條4是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)4作。P的平行線交。Q

于B.記乙4OP=

OP

3

(I)求ZB的長(zhǎng)(用a表示)；

(II)求AO/B面積的最大值，并求此時(shí)角a的大小.

21.已知函數(shù)/(%)=a(ex—1)+e~x.

(I)當(dāng)Q=-1時(shí)，討論f(%)的單調(diào)性(不必給出證明)；

(II)當(dāng)Q=1時(shí)，求/(%)的值域；

(III)若存在%1，冷6(-8,0)，使得/(%1)=/(%2)=0,求+。2%2的取值范圍.

22.二次函數(shù)/(%)的最大值為1且滿足/(2—%)=/(%—2),/(I)=-1,函數(shù)g(x)=((摟0).

(I)求函數(shù)/(%)的解析式;

(II)若存在久oe[-1,1],使得f(%0)=9(￡0)，且/(%)-9(久)的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為M,證明：Mu[-

1,1].

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：sin畀空

故答案為：C.

【分析】本題考查特殊角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，可直接得出結(jié)果.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：由3={2,見(jiàn)4},知a。4,C不可能；

由2CB={2},知a。1且a。3,否則AClB中有元素1或者3,矛盾，即AB不可能；

當(dāng)a=7時(shí)，ACB={2},符合題意，因此實(shí)數(shù)a可以為7.

故答案為：D.

【分析】本題考查集合的交集運(yùn)算，根據(jù)集合元素的互異性可得：a。4,根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得：awl且

a73,據(jù)此可選項(xiàng)正確答案.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：令函數(shù)fO)=m+2-久2,顯然/'(久)在[1,2]上單調(diào)遞減，/(x)max=/(I)=m+l,

因?yàn)槿我廪蘣[1,2],不等式m+2-/W0恒成立，于是m+lWO,

所以m<-1.

故答案為：A.

【分析】本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題.不等式小+2-/<0恒成立，可轉(zhuǎn)化為：(小+2-/)?1以<0,應(yīng)用二

次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：根據(jù)力的平衡，瓦,瓦的合力為刀，如圖所示：

由于瓦|=瓦|,且Fi，尸2的夾角為120。,

則AACB為等邊三角形，則乙4cB=60。，

則Fl與重物重力G之間的夾角為180°-60°=120°.

故答案為：C.

【分析】本題考查向量的平行四邊形法則.結(jié)合物理相關(guān)知識(shí)，作出圖形，根據(jù)圖形可得可，反的合力為刀，利

用三角形和向量夾角的知識(shí)可推出△4CB為等邊三角形，結(jié)合圖形可求出Fi與重物重力G之間的夾角.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：函數(shù)外嗎=/。92(/—。％+4)的定義域?yàn)??

則—。久+4>0恒成立，即a2-4x4<0,解得—4<a<4,

故―4<a<4”是，函數(shù)f(x)=log2y-ax+4)的定義域?yàn)镽”的必要不充分條件.

故答案為：B.

22

【分析】根據(jù)函數(shù)/(%)=log2(x-ax+4)的定義域?yàn)镽可得/一。久+4>0恒成立，根據(jù)△-b-4ac<0

可求出a的取值范圍，再利用充分條件和必要條件的定義可判斷出答案.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：根據(jù)函數(shù)/(%)=/—(a+b)x+16,a力是正數(shù)，且存在唯一的實(shí)數(shù)久，滿足/(%)40,

可得挾—4ac=0,即(a+6)2=64,由(a2+抉)?2+d?)—(ac+bd)2=(ac—bd)220,則(&2+扭)?2+

d2)>(ac+bd)2,

所以④+3b2)(1+1)>(a+狀故a2+3b2>48,

故答案為：B.

【分析】本題考查利用不等式的性質(zhì)求最值.已知函數(shù)/(%)=/一b)x+16,a,b是正數(shù)，且存在唯一的實(shí)

數(shù)%,滿足f(x)<0,結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得A=b2-4ac=0,據(jù)此可求出(a+b)2=64,利用(a?+h2)(c2+

d2)>(ac+bd)2,變形可得：(a2+3b2)(l+^)>(a+fo)2,進(jìn)而求出a2+3爐的最小值.

7.【答案】B

4k

【解析】【解答】解：由題有(1-20%)Q0=Q0e-,設(shè)t小時(shí)后污染物含量不超過(guò)20%,

則Qoe-kt42O%Qo，解得028.8,即至少經(jīng)過(guò)29小時(shí)能達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn).

故答案為：B.

【分析】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，指數(shù)式的與對(duì)數(shù)式的互化.將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，可求出t的范圍，進(jìn)而

求出答案.

8.【答案】C

6

【解析】【解答】解：設(shè)/(x)=xsinx,久C(一★,打則/(久)為偶函數(shù)，

設(shè)。<右<%2<*，則因?yàn)閥=久,y=sin久在e(0,*)上均為增函數(shù)，

snx

故0<sin%i<sin%2V1，故/Qi)=%isin%i<%2ii<12sin%2=/(%2)，

故;?(嗎在[0g)上為增函數(shù)，且f(x)為偶函數(shù).

又xsinx=x2+2ysin2y,貝！Jxsinx—2ysin2y=%2>0,

即f(x)—/(2y)>0,當(dāng)且僅當(dāng)久=y=0時(shí)取等號(hào).

故/㈤2f(2y),故因212yl.

故答案為：C.

【分析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性.先構(gòu)造函數(shù)f(x)=xsin比,久6根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得：/(%)在

[0,左)上為增函數(shù)，且為偶函數(shù).又知久sin久=/+2ysin2y,可變形為：xsinx—2ysin2y=%2>0,進(jìn)而可轉(zhuǎn)化

為：/(%)-/(2y)>0,結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)可得出答案?

9.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、在△ABC中?！?之B>0,由余弦函數(shù)單調(diào)性可得cosAWcosB,A正確；

B、若4為鈍角，B為銳角，則tam4<0<tanB,B錯(cuò)誤；

C、sin(A+B)=sin(n—C)=sinC,C正確；

D、=sin(S_4)=cos',D正確.

故答案為：ACD.

【分析】本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.對(duì)A,大前提在中，所以兀>42B>0,

根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷；對(duì)B,舉反例力為鈍角，B為銳角，判斷正切值得符號(hào)可判斷；對(duì)CD,根據(jù)三

角形內(nèi)角和為?？杀硎境觯篈+B=n-C,竽=*_苧，再結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可判斷.

10.【答案】B,C

【解析】【解答】解：A、當(dāng)a=—l時(shí)，f(x)=J，止匕時(shí)/(%)的值域?yàn)椋鹹|y。0｝，故A錯(cuò)誤，

B、當(dāng)a=3時(shí)，/(%)=/在R上單調(diào)遞增，所以/(兀)>/(3),B正確，

C、當(dāng)戊=/時(shí)，X/xER,/(%2)=/((-%)2)=/(%2),所以/(必)是偶函數(shù)，c正確，

D、當(dāng)a另時(shí)，〃嗎=:(x>0),則/(%)=H(%>0),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)，D

錯(cuò)誤，

故答案為：BC.

7

【分析】本題考查幕函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性.將a=-1代入解析式，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可求出值域；

將a=3代入解析式，根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性可判斷出/(%)=/在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a=*時(shí),先求出/(/)和產(chǎn)⑺

的解析式，再結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可進(jìn)行判斷.

11.【答案】B,D

【解析】【解答】解：A、/(%)=V3sin2tox+cos2wx=2sin(2<z)x+^),又/(%)最小正周期為兀，故■篇=兀,

則3=1,A錯(cuò)誤；

B、f(x)=2sin(2x+^),當(dāng)久€(04)時(shí),2久+1€%*),為正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，B正確；

C、/(T)=2sin(—*)=—2。0,故(—半0)不是外支)的一個(gè)對(duì)稱中心，C錯(cuò)誤；

D、/(久+看)=2sin［2(久+看)+看］=2cos2久為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，D正確.

故答案為：BD.

【分析】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì).先利用降幕升角公式和輔助角公式將解析式化為：/(%)=2sin(2a尤+

Q利用最小正周期公式7=薔可求出3;對(duì)B,由久6(0*)可得：2久+看6管,引，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性

可進(jìn)行判斷；對(duì)C,根據(jù)6-引=-2即可進(jìn)行判斷；對(duì)D,求出/'(>+由的解析式，再利用函數(shù)的奇偶性即

可進(jìn)行判斷.

12.【答案】B,C

【解析】【解答】解：因?yàn)榧有桦x而=印局器許,

-E、r、sinFTrfl—%)1sin/rx//、

C、因?yàn)?(一久)一(2|1一久1+1)⑵ITTI+2)-(2。-1+1)⑵加+1)―/")'

所以，函數(shù)/(久)的圖象關(guān)于直線％=，(寸稱，C正確;

D、因?yàn)?(—1)=0,f(0)=0,故函數(shù)/(久)在［一1,芻上不單調(diào)，D錯(cuò)誤；

B、因?yàn)楹瘮?shù)/(%)的圖象關(guān)于直線久=去對(duì)稱，

要求函數(shù)/(%)的最大值和最小值，只需求出函數(shù)/(%)在以,+8)上的最大值和最小值即可，

設(shè)g(x)=(2印+1)(2吐4+1),

當(dāng)④WxW1時(shí)，g(>)=(2X+l)(2.x+1)=3+2方+,，

令t=2，e［VXl］，因?yàn)楹瘮?shù)t=2,在怎,1］上單調(diào)遞增，函數(shù)y=3+t+例［加,1］上單調(diào)遞增,

所以，函數(shù)久支)在8,1］上單調(diào)遞增，

8

當(dāng)x之1時(shí)，gQ)=(2X+1)(2X-1+1)=22xT+|.2久+1,

因?yàn)楹瘮?shù)y=22XT、y=|.2工+1在［1,+8)上均為增函數(shù)，

所以，函數(shù)g(x)=22xT+|-2工+1在［1,+8)上為增函數(shù)，

所以，函數(shù)g(X>=(2閉+1)(211+1)在白+8)上為增函數(shù)，

由對(duì)稱性可知，函數(shù)以久)在(-8,勺上為減函數(shù)，

故函數(shù)9(久)在X—■處取得最大值，且g(久)max=g(4)—(V2+l)2,

故函數(shù)需在%=物取得最小值，且最小值為陣；1)2=(a-1)2,

當(dāng)打狎，則今<nx<等則函數(shù)h(x)=sinTrx在［*,省上為減函數(shù)，

對(duì)任意的%1、%2G［4，!■］，且％1<%2，則%(%1)>做%2)，g(%2)>g(%l)>。，

則忌5>忌7>°，由不等式的基本性質(zhì)可得貂>貂>黯，

PS39l%2)g(,xl)9^X2)

即/(%1)>/(久2)，所以，函數(shù)/(久)在弓,|］上單調(diào)遞減，

又因?yàn)楫?dāng)%=■^時(shí)，函數(shù)八(久)=sinjrx取得最大值，

故函數(shù)/(久)僅在x=9處取得最大值，

對(duì)任意的久6日,+8),h(x)>/l(1),麗W您，

若以工)20,則需2。>嚶，

9㈤gg)

若妙)<0,則伏X)2/),則。<—以久)W—八(3),則一黑W—暄

乙91町

取久)>蠟)

所以,

綜上所述，對(duì)任意的X6［,+8),f(X)>/(9)'

又因?yàn)楹瘮?shù)/(久)在［另］上單調(diào)遞減，

故當(dāng)％2斷寸，/(%)在久=*處取得最小值，

綜上所述，函數(shù)/(%)既有最大值，也有最小值，B正確；

A、由C選項(xiàng)可知，函數(shù)八久)僅在％=號(hào)處取得最大值，

若函數(shù)f(x)是以T(T>0)為周期的周期函數(shù)，則?+當(dāng)=/6)，與題意矛盾,

9

故函數(shù)/(久)不可能是周期函數(shù)，A錯(cuò)誤.

故答案為：BC.

【分析】本題考查函數(shù)的周期性，最值，對(duì)稱性和單調(diào)性.利用誘導(dǎo)公式可將解析式化簡(jiǎn)為：/(%)=

(2團(tuán)+1)(孤T+iy通過(guò)計(jì)算可知：/(1-%)=/(久)，利用函數(shù)對(duì)稱性的定義可判斷出函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直

線％=4對(duì)稱；先判斷函數(shù)/(X)在8,芻上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)最值的定義可可求出函數(shù)的最值；利用特殊值法

再區(qū)間［-1,勺取兩個(gè)特殊值，計(jì)算函數(shù)值：/(-1)=0,/(0)=0,故函數(shù)/(久)在［-1,芻上不單調(diào)，進(jìn)而判

斷D選項(xiàng)；利用反證法：先設(shè)函數(shù)/(久)是以T(T>0)為周期的周期函數(shù)，再結(jié)合B選項(xiàng)中的結(jié)論：函數(shù)/(久)

僅在％=去處取得最大值，所以/(7+3)=/6)，推出矛盾，進(jìn)而判斷A選項(xiàng).

13?【答案】〉

【解析】【解答】解：???*<2<兀，故2對(duì)應(yīng)的角度終邊在第二象限，則sin2>0；

故答案為：>.

【分析】本題考查三角函數(shù)符號(hào)的判斷.因?yàn)?=2x57.3。=114.6。，所以*<2<兀，故2對(duì)應(yīng)的角度終邊在

第二象限，然后根據(jù)正弦函數(shù)在每個(gè)象限的符號(hào)分析可得出結(jié)論.

14.【答案】8

【解析】【解答】解：因?yàn)閚e{1,2,3,…,12},

PfrPl-4--f—77r4兀37r57r11"?13兀7兀57T

所以當(dāng)?shù)?等=2兀，即n=8時(shí)，cos(詈+竽)取最大值1,

所以九=8時(shí)，f(n)取最大值，

又游客流量越大所需服務(wù)工作的人數(shù)越多，

所以71=8時(shí)，游客流量最大.

故答案為：8.

【分析】本題考查余弦函數(shù)的性質(zhì).已知nE{1,2,3,…,12},可求出等+字的范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)可得出:

等+等=2兀，/(九)取得最大值，解方程可求出最大值時(shí)n的值.

15.【答案】1

【解析】【解答】解：令t=/(%),由/(/(%))=2可得f(t)=2,

當(dāng)tWO時(shí)，由“。=一產(chǎn)一2/:=2,即t2+2t+2=0,則A=4—4x2<0,即方程t?+2t+2=0無(wú)解；

10

當(dāng)t>0時(shí)，由/(t)=|log2tl=2,可得t=*或t=4.

(1)當(dāng)1=，時(shí)，當(dāng)時(shí)，由/(%)=—/—2%=,可得久2+2x+±=0,

解得久1=號(hào)任，久二

;

當(dāng)%>。時(shí)，由f(x)=|log2x|=，可得%3=2尢％4=2-5

(2)當(dāng)力=4時(shí)，當(dāng)％<0時(shí)，由/(%)=—d—2%=4可得%2+2、+4=0,

A=4-4X4<0,方程%2+2%+4=0無(wú)解，

4

當(dāng)%>0時(shí)，由/(X)=|log2%|=4可得%5=2,%6=2-4,

因此，方程f(/(%))=2的所有根之積為%1%2%3%4%5久6=今

故答案為:I

【分析】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用.采用換元法令t=f(x),由f(/-(%))=2可得/(t)=2,進(jìn)而討論當(dāng)t<0

時(shí)，方程/(t)=2的根的情況；討論當(dāng)t>0時(shí)，方程/(C)=2的根的情況，解得：t=,或t=4；再分段討

論f(x)="或/(%)=4可求出方程/(/(%))=2的根，再將所有根全部相乘，可得出答案.

16.【答案】-2

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)“久)=(%+學(xué)+2+k)?仇Q+1)的定義域?yàn)?一l,0)U(0,+8),

因?yàn)?(%)的值域?yàn)?。,+8),

所以/(%)=(%+冬+2+fc)-ln(x+1)〉0在(—1,0)U(0,+8)上恒成立，

當(dāng)一1<%<0時(shí)，則0<工+1<1,則ln[x+1)<0,

此時(shí)必有無(wú)+引龍+2+1<0,變形可得k+2>—￡■，

X%+1

當(dāng)X>0時(shí)，則％+1>1,則Zn(x+1)>0,

此時(shí)必有久+出+2+k>0,變形可得k+2〉—￡，

X%+1

綜合可得：k+2>—/在(一L。)U(0,+8)上恒成立，

x+1

設(shè)0(%)=Wr'%€(-1,。)U(。,+8),

則0(%)=~~TT=~—TT~=%-1+=(%+1)+—-2'

"一x+1X+1X+1'J%+l

因?yàn)?6(—1,0)U(0,+8),所以％+1>0,且x+1W1,

由基本不等式可得g(x)=(%+1)+$—2>2/(久+1)X3―2=0，

人IJ.Y?J.

即g(%)>o,所以-3]=-g(X)v0，

11

因?yàn)閗+2>―-在(—LO)U(0,+8)上恒成立,

%+1

所以k+220,解得k2—2,

故實(shí)數(shù)k的最小值為-2.

故答案為：-2.

【分析】本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題.已知函數(shù)的值域?yàn)?0,+8),故原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：〃￡)=(尤+竽+2+

k)?伍(％+1)>0在(一1,0)U(0,+8)上恒成立，通過(guò)分離常數(shù)可得：k+2>—￡在(一1,0)U(0,+8)上恒

%+1

成立，令以劃=名，利用基本不等式求出g(x)〉0最值，進(jìn)而求出K的最小值.

17.【答案】解：(I)原式=log3(2X5)—log310+3=log3l+3=3

(II)原式=1-8-x+1-8、+8久+2+8-x=4

【解析】【分析】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，對(duì)數(shù)恒等式，指數(shù)幕的運(yùn)算法則.

(1)10g32+10g35利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法可求出答案，210g3“U，可變形為：21og310幺利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求

出答案，2唾23利用對(duì)數(shù)恒等式可求出答案；

(2)1-64-、可改寫(xiě)成：1-(8-')2,再利用平方差公式進(jìn)行分解，(1一2')(1+2天+4支)可還原成立方差公式,

VV

(82+8-2)2可使用完全平方公式進(jìn)行展開(kāi)，再結(jié)合指數(shù)幕的運(yùn)算法則可求出答案.

18.【答案】解：(I)由題意，設(shè)3=高=(入，2入).

\b\-2A/5)J入2+(2入)2=2A/5>

A=+2,b=(2,4)或另=(—2,—4).

(IDv(-5a+2h)1(a+b)，：.(-5a+2b)-(a+K)=0-

???—5a2-3a-b+2京=o,a-b=5-

設(shè)N與石的夾角為。，則COS。=而=￡.

|a||^|V5X2V54

又。G[0,n],6=1，方與石的夾角為亨

【解析】【分析】

(1)設(shè)石=溫=(人,2入)，利用向量的模長(zhǎng)公式可得到方程：J入2+(2a)2=2V5,解方程可求出麗勺坐標(biāo)；

⑵根據(jù)垂直向量數(shù)量積為0,可得：(-5熱+2力).6+務(wù)=0,進(jìn)而求出一力=5,代入向量的夾角公式可

求出答案.

19.【答案】解：由題設(shè)有/(%)=cosx+sinx=&sin(x+*).

(I)函數(shù)/(久)的最小正周期是T=2兀.

12

對(duì)稱軸x—k?i—甲kE.Z

(II)由/(%0)=4^得譏(%o+給=即sin(xQ+今)="|，

因?yàn)槠?e(0,7i),所以配+?€(?,孚)?

若劭+與￡(3￡).則s譏(%o+/)>￥與立九3)+/)=。,矛盾

???%O+1WG'").

sin2(x)

從而(1-0+*=-Jl-(|)2_4

COS%0+/)=-=一引

于是f(%o+,)=V2sin(%0+^+1)=V2sin[(%0+^)+f]

r-TCTCTCTC

=y2.[SITI(XQ++cos(x()+4)S%G】

3V3-413V6-4V2

魚(yú)(耳x丁+飛一義2)=-Io—

【解析】【分析】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，兩角和的正弦公式.

(1)利用降幕升角公式和輔助角公式可化簡(jiǎn)出f(x)的解析式：/(久)=/sin(久+*),利用正弦型函數(shù)的周期

公式T=言可得出函數(shù)人乃的最小正周期，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱軸公式：cox+(p=卜兀+亨可得出函數(shù)/(%)

的對(duì)稱軸方程；

(2)由已知條件可求出sim>o+*)的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos(%o+*)的值，再利用兩角和

的正弦公式可求得外曲+看)的值.

20.【答案】解：(I)過(guò)4B作0P的垂線，垂足分別為C,D,

sincz

則OD—cosa,BC-sina,：?OC=—r=-

???AB=CD=cosa-亨sina.

(II)S—^ABxBC—y(cosa一孚sina)sina=Jsin2a—*(1—cos2a)

乙乙KJT*-L乙

sin2a+|cos2a)-j|=噂sin(2a+1)-y|.

13

.：衛(wèi)―衛(wèi)用”一衛(wèi)FH_V3V3_V3

--2a+6-2,即戊一百時(shí)'sC最大=/一交=豆

因此，當(dāng)燈=飄，面積的最大值為*

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的值域.

(1)過(guò)4B作。P的垂線，垂足分別為C,D,根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)可表示出OD=cosa,。。=詈，

根據(jù)AB=OD-0C可求出答案;

(2)由S=■I'ABxBC=?|'(cosa—*sina)sina化簡(jiǎn)可得：S=^sin(2a+看)—*，又知。<a<可可得專<

2戊+看〈手，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求出AOZB面積的最大值，進(jìn)而得出答案.

21.【答案】解：(I)當(dāng)。=一1時(shí)，/(%)在R上單調(diào)遞增；

(II)當(dāng)a=l時(shí)，/■(%)=ex+e~x—1>2—1=1,當(dāng)且僅當(dāng)久=0時(shí)取等號(hào);

所以/(%)的值域?yàn)椋?,+8).

(III)令t=e，C(0,1),則問(wèn)題等價(jià)于存在ti，以e(0,1)，使得。產(chǎn)一面+1=0

令g(t)=小一at+1,因?yàn)間(t)在te(O,1)有兩個(gè)零點(diǎn),

a>0,

g(0)>0,

故，g(l)>0,解得a>4.

0<|1<1,

、A>0.

由韋達(dá)定理和根的定義可知：〃+12=1，tl+t2=J

2

...e2x!+e2x2=tl2+t2=?+切2-2t1t2=1--

又因?yàn)閍〉4,故e2整+e2x2的取值范圍為G，i)

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)與方程的根，基本不等式的應(yīng)用.

(1)當(dāng)。二一1時(shí)，/(%)=e~x-ex+1,結(jié)合函數(shù)y=。-%和y=e%的單調(diào)性，可得出函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，/(%)=ex+e-x-1,觀察函數(shù)解析積為定值，使用基本不等式可求出函數(shù)的值域.

x22

(3)采