專題07勾股定理壓軸題綜合練（幾何問題探究，25題）（解析版）

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一、單選題

1.（23-24八年級?浙江紹興?階段練習(xí)）將一個等腰三角形/BC紙板沿垂線段進行剪切，得到三

角形①②③，再按如圖2方式拼放，其中EC與AD共線.若BD=6,則48的長為（）

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，識別圖形找等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.利用等腰三角形的

性質(zhì)可以得到=+，設(shè)為無，再運用勾股定理得幺。=療才=不數(shù)，代入解方程即可解題?

【詳解】解：如圖，設(shè)為/1,/C為為/3,圖2中N1的余角為N4,

???△/8C是等腰三角形，BD=6

Z1=Z2,CZ)=6,

Z2+Z3=Z1+Z4=9O°,

Z3=Z4,

/.CO=OD=OB,

:.OB=-CD,

2

■：AO=AD',AD'=AD,

AB=AO+OB=AD+-CD,

2

設(shè)48為x,

根據(jù)勾股定理得AD==47^36，

/.X=^36+-x6,

2

解得：x==，

2

.-.AB=—,

2

故選D.

2.（23-24八年級?浙江杭州?期末）如圖，在等腰直角春8c中，點E,尸將斜邊ZC三等分，且/C=12,

點尸在“BC的邊上，則滿足尸E+尸尸=9的點尸的個數(shù)是（）

C.4個D.6個

【答案】D

【分析】本題考查最短路徑，勾股定理，作點尸關(guān)于3c的對稱點“，連接廠N交8c于點N,連接EN

交BC于點、H,連接CM、BE、BF、FH,可得點〃到點￡和點月的距離之和最小，求出最小值即可解答,

在線段2C找到點〃到點E和點F的距離之和最小是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，作點尸關(guān)于BC的對稱點M,連接FM交BC于點N,連接EM交3C于點H,連接CM、

BE、BF、FH,

???點E,尸將對角線/C三等分，且/C=12

:.EC=8,FC=4=AE

???點加■與點/關(guān)于BC對稱，

CF=CM^4,ZACB=ZBCM=45°

AACM=90°

EM=4EC1+CM2=4A/5

EH+HM=EH+HF=4y[5

則在線段BC存在點H到點E和點F的距離之和最小為4石＜9

在點〃右側(cè)，當(dāng)點尸與點C重合時，則尸E+PF=12

，點尸在CH上時，4后＜PE+PF412,有一個點P使尸￡+尸產(chǎn)=9

在點8左側(cè)，當(dāng)點尸與點3重合時，BF=yjFN2+BN2=2A/10

???AB=BC,CF=AE,NBAE=NBCF

:.AABE出ACBF(SAS)

BE=BF=2M

:.BE+BF=4屈

，點尸在AH■上時，有一個點P使尸E+尸尸=9,

在線段上的左右兩邊各有一個點P使PE+PF=9

同理在線段/8、/C上也都存在兩個點使尸￡+尸尸=9

即共有6個點P滿足尸E+尸尸=9

故選：D.

3.(23-24八年級?江蘇南通?期末)如圖，已知等邊的邊長為4,點。，￡分別在邊NBAC±,

AE=2BD.以?！隇檫呄蛴易鞯冗匒Z)￡F,則/尸+。尸的最小值為()

A.4B.4A/2C.4百D.4遍

【答案】C

【分析】此題重點考查等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的

一半、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識.作于點”，作射線CF,由等邊三

角形的性質(zhì)可證明NCEF=NHDE,再由4E=24W,AE=2BD,證明=推導(dǎo)出CE=M),進而證

明△CEF之得NECF=NDHE=90°,可知點尸在經(jīng)過點C且與NC垂直的直線上運動，作BZ_LNB交

/C的延長線于點可證明點工與點A關(guān)于直線CF對稱，則工廠=/廠，由LF+BFNBL,彳導(dǎo)4F+BFNBL,

根據(jù)勾股定理計算得到問題的答案.

【詳解】解：作于點H,作射線CF,則NDHE=N4HE=90°,

L

v^ABC和QEF都是等邊三角形，

/.ABAC=ZACB=ZABC=ZDEF=60°,AC=AB=BC,EF=DE,

NCEF=180P-ZDEF-ZAED=120°-ZAED,ZHDE=180°-ZBAC-ZAED=120°-AAED,

ACEF=AHDE,

ZAEH=90°-ABAC=30°,

/.AE=2AH,

???AE=2BD,

2AH=2BD,

AH=BD,

:.CE=AC-AE=AC-2AH,HD=AB-AH-BD=AC-2AH,

CE=HD,

在尸和中，

CE=HD

<ZCEF=ZHDE,

EF=DE

:ACEF知HDE（SAS）,

ZECF=ADHE=90°,

:.CFLAC,

???點F在經(jīng)過點C且與AC垂直的直線上運動，

作比，48交/C的延長線于點￡,則乙4或=90。，

NALB=90°-ABAC=30°,

/./CBL=/ACB—ZALB=3(P,

ZALB=ZCBL,

..LC=BC=AC,

A點￡與點A關(guān)于直線CF對稱,

LF=AF,

LF+BF>BL,

AF+BF>BL,

AB=AC=BC=4,

:.AC=LC=BC=4,

AL=2AC=8,

:.BL=4AI)-AB2=V82-42=46，

/.AF+BFN4M,

.?.AF+BF的最小值為4出,

故選：C.

二、填空題

4.（23-24八年級?浙江杭州?期末）如圖，在長方形中，△/防為等腰直角三角形，且乙4斯=90。，

點E在線段8C上，點廠在線段8上，若3（AB+BE）=2（AD+DF）,則，△的=______________.

?長方形488

【答案】

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.先證明△/BE也△ECF,可設(shè)

BE=CF=b,AB=CE=a,則4。=3C=a+"。尸=,從而得到s=J_/￡x￡尸=,

"22

S長方物BO=a（°+6）=/+（zb,再由3（48+瓦?）=2（40+。下），可得a=3b,即可求解.

【詳解】解：在長方形48CD中，NB=NC=90。，

：.ZBAE+ZAEB=90°,

???△/所為等腰直角三角形，且乙4M=90。，

：?AE=EF,/AEB+NCEF=9。。，

：./BAE=ZCEF,

???△ABE"4ECF,

：.BE=CF,AB=CE,

設(shè)BE=CF=b,AB=CE=a,則Q+=Q—,

,,AE=-\la2+b2，

2

.c1Ar門口+^

,?S^AEF=/4ExEF--，

S長方形/ss=Q（Q+6）=Q2+Qb,

???3（4B+5E）=2（4D+Z）尸）,

工3（〃+6）=2（〃+b+Q-b）,

a=3b,

/+/(3b，+?

S&AEF_2______2______.

1

S長方形238a+ab(3b『+36x612

故答案為：二

12

5.(23?24八年級?浙江紹興?階段練習(xí))如圖，已知等邊小5。的面積是4百，邊長是4,BD平分/4BC交

4c與點Q.

(1)若點E為邊中點，在3。上是否存在點尸，使尸4+尸石最??？最小值是_；

(2)若點E為BC邊任意一點,在8。上是否存在點。，使。。+?！曜钚?？最小值是—.

【答案】2百2百

【分析】本題考查動點最值問題，涉及動點最值問題-兩點之間線段最短模型、動點最值問題-點線模型，

熟練掌握動點最值問題的兩個模型是解決問題的關(guān)鍵.

(1)本題考查動點最值問題■兩點之間線段最短模型，連接與AD的交點為尸，使尸/+尸￡最小，最

小值為4E,如圖所示，由等腰三角形性質(zhì)及勾股定理求出ZE即可得到答案；

(2)本題考查動點最值問題-點線模型，先由等腰三角形性質(zhì)得到4￡關(guān)于AD對稱，由點到直線的距離

垂線段最短可得，過點A作4EL8C于點E,與2。的交點為。，使。C+QE最小，最小值為/E,如圖所

示，由等腰三角形性質(zhì)及勾股定理求出AE即可得到答案.

【詳解】解：（1）由兩點之間線段最短可得，連接NE,與8。的交點為尸，使尸N+PE最小，最小值為/E,

如圖所示：

???"3C是等邊三角形，點E為3c邊中點，

???由等腰三角形“三線合一''可得AE1BC,

在RtA43E中，ZAEB=90°,AB=4,BE=2,貝!J/￡=[AB2-BE。=收-2?=，

，若點E為8C邊中點，在8。上存在點尸，使P4+PE最小;最小值是26；

故答案為：26；

（2）：“3C是等邊三角形，BD平分/ABC交AC與點、D,

由等腰三角形“三線合一”可得4E關(guān)于8。對稱，

由點到直線的距離垂線段最短可得，過點A作于點E,與3。的交點為0,使QC+0E最小，最

小值為ZE,如圖所示：

???由等腰三角形“三線合一”可得點E為3C邊中點，

在RtA^BE中，ZAEB=90°,AB=4,BE=2,則/￡=〃爐一BE?=-2?=26，

:.若點E為BC邊任意一點,在8。上存在點。，使0C+QE最?。蛔钚≈凳?6；

故答案為：26.

6.（23-24八年級?江蘇南京?期末）如圖，在長方形中，40=5而,/3=2011,點后在8。上，CE=1cm,F

是40上一動點，將四邊形CZ）EE沿E尸翻折至四邊形。DNE的位置，EO與3C相交于點G,當(dāng)點尸從

點A運動到4D的中點時，點G運動路線的長為cm.

AF

BG\~EV~^C

bc，

【答案喋

【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，熟練

的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵，如圖，當(dāng)尸與A重合時，此時為G的最左邊位置，當(dāng)尸為的中點

時，如圖，G為最右邊位置，再畫出圖形，結(jié)合等腰三角形與勾股定理可得答案.

【詳解】解：如圖，當(dāng)下與A重合時，

:長方形/BCD,AD=5,AB=2,

；.BC=4D=5,￡）2=90°,AD//BC,

：.NDAE=ZGEA,

由對折可得：NDAE=NGAE,

：.ZGAE=ZGEA,

GA=GE,而CE=1,

設(shè)BG=尤，貝i]GN=G￡=5-l-x=4-x,

..?由勾股定理可得：AG2^BG2+AB2,BP（4-X）2=X2+22,

33

解得：尤即2G=—,此時為G的最左邊位置，

22

當(dāng)尸為4D的中點時，如圖，G為最右邊位置，

過尸作尸0_LBC于。，則b。=/B=2,FD=CQ=；ND=2.5,

同理可得：GF=GE,

設(shè)G0=加，則GF=GE=〃？+2.5-l=/+L5,

在RMFG。，GF2=GQ2+FQ2,

；.（掰+1.5）~=m2+22,

7

解得：m=—,

12

53775

，G的運動路徑長為：-----=1--=—（cm）；

22121212''

故答案為：R

12

7.（23-24八年級?福建廈門?期末）已知RtZ\/8C中，ZC=90°,48=30。，BC=12.點尸在上，PC=y,

點。從點C出發(fā)，沿“8C的邊上運動，最后回到點C,在運動的過程中，若滿足尸。=尸。的點。恰好有

3個（點。，C重合不包括在內(nèi)），則了的取值范圍為.

【答案】4“<6

【分析】本題考查的是含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的加減運算，確定。的位

置是解本題的關(guān)鍵；如圖，當(dāng)尸。=依=尸。時，此時滿足條件的。有2個，即。，B,求解尸C的長度，如

圖，當(dāng)尸。1/3于。時，則此時滿足條件的0只有2個，連接NP,再求解此時的尸C的長度，從而可得

答案.

【詳解】解：如圖，當(dāng)尸。=尸8=尸。時，此時滿足條件的。有2個，即。，B,

VZC=90°,N8=30。，BC=n.

：.AB=2AC,AC2+BC2^AB2,

AAC=473>AB=2AC=8C，

此時PC=PB=6,

如圖，當(dāng)尸01/5于。時，則此時滿足條件的。只有2個，連接/尸,

此時尸C=PQ=尸。'，

ZACP=ZAQP=90°,

.,?由勾股定理可得：AC=AQ=A^>

：.52=873-473=4>/3,

,?ZS=30°,PQ1AB,

BP=2PQ,BP2=PQ2+BQ2,

：.PQ=4,

：.PC=4

.?.滿足尸。=PC的點Q恰好有3個(點。，C重合不包括在內(nèi))，

則了的取值范圍為4<y<6.

故答案為：4<y<6

8.(22-23八年級?浙江臺州?期末)如圖，在中，ZACB=90°,BC=6,ZC=8,AB^IO,BO

平分/4BC,CO平分/C8,點M在邊/C上，作射線MO交于點N.

(1)若MNL/C,則MC的長為；

(2)若MN工AB,則MC的長為.

【答案】21/0.5

2

【分析】(1)作于點。，?！辏?。于點￡,根據(jù)角平分線定理可得。河=。。=。￡,由

S

S.ABC=.AOB+SAAOC+SBOC,可求CW的值，在等腰直角ZWOC中，MC=OM,即可求解，

(2)作?！阓L8c于點E,OF_L/C于點尸，在班上截取￡G=FM,由AOFA/gAOEG,可得

ZFMO=ZEGO,通過等量代換可得NG80=NG0B,OG=GB,設(shè)OG=無，在中，應(yīng)用勾股定

理，求出EG的長度，即可求解，

本題考查了角平分線定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理解直角三角形,

解題的關(guān)鍵是：添加輔助線構(gòu)造全等三角形.

【詳解】解：當(dāng)MNLNC時，作于點。，OELBC與點E,連接/。，

A

?;BO平分/ABC,CO平分4C8,

：.OM=OD=OE9

又一S^ABC~S—OB+S4A0C+SBOC，MNJ_AC,OD_LAB,OE.LBC,

-ACBC=-ABOD+-ACOM+-BCOE,

2222

BP：—x8x6=—xlOxOAf+—x8x(9M+—x6x(9M,解得：OM=2,

2222

?.?/MCO」/4CB」x9()o=45。，MN工AC,

22

.?.△MOC是等腰直角三角形，

:.MC=OM=2,

當(dāng)時，作。￡_LBC于點E,Ob_LZC于點尸，在E5上截取￡G二￡M,

???CO平分ACB,

:.OF=OE,

又?.?OF_L4C,OEIBC,

ZOFC=ZOEG=90°f

又,；FM=EG,

:."FM知OEG,

:.ZFMO=ZEGO,

,:MN工AB,ACIBC,

:.ZAMN=ZABC,

又???BO平分NABC,

/./EGO=ZAMN=ZABC=2ZGBO,

又???/EGO=/GOB+ZGBO,

/./GBO=/GOB,

OG=GBf

???ZECO=-ZACB=-x90°=45°,OEIBC,

22

.?.AEOC是等腰直角三角形，

EC=OE=2,

設(shè)。G=G3=x,貝UEG=3C-EC-G3=6-2-x=4-x,

在RtZkOEG中，

95

22222

OG=OE+EG9即：x=2+（4-X）,解得：x=~,

???EG=^OG2-OE2=dQ2=_|,

31

:.MC=FC-FM=FC-EG=2——,

22

故答案為：2;y.

三、解答題

9.（23-24八年級?四川成都?階段練習(xí)）如圖1,在等腰“BC中，AB=AC,點尸是“3C外一點，點

。在線段CP上，AD平分NBDP.

（2）如圖2,=過尸作垂足為E交BD于。，請?zhí)剿?D,CD,Z）E之間的數(shù)量關(guān)系,

并證明;

（3）如圖3,在（2）的條件下，線段BD與/C交于點M（M在線段/C上），在線段上取點N,

使得CN=AM.已知ZB4c=90。,48=1,當(dāng)NN+3M的值最小時，求的面積.

【答案】（1）見解析

Q)BD=CD+2DE,證明見解析

⑶

8

【分析】(1)作N￡_LC尸于￡,作/尸_LAD于尸，證明Rt^aE四Rt加尸，進而得出結(jié)論；

(2)作/G,尸C于G,作/尸，2。于尸，證明/￡>￡絲JDG,得出。G=Z)E,進而借助于(1)可得

出結(jié)論；

(3)作CT_L3。，并且C7=,連接NT,燈CN學(xué)ABAM，從而NT=AN,于是AN+BM=AN+NT2AT,

于是當(dāng)點A、N(圖中N')、T共線時，3+3"最小，此時8。平分/48(7,可得出丫2尸0,^PDE,^DEQ,

△NON均為等腰直角三角形，進一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：如圖1,

作/E_LCP于E,作4F_LAD于尸，

AD平分ZBDP,

ZPDA=ZBDA,

AE=AF,

■：AB=AC,

RtAC/E2RtA2/F(HL),

.-./ABD=ZACD；

(2)解:如圖2,

一/r

BD=CD+2DE,理由如下：

作4GJ_P。于G,作4F_LAD于尸，

:.AAGD=90°,

???PQVAD,

APED=90°,

:.ZAGD=NPED,

?;AD=PD,ZPDE=ZADG,

:.APDE^AADG(AAS),

DG=DE,

由(1)知I,

RMG4G?RtA54尸，ZPDA=ABDA,

:.BF=CG,ZDAF=ZDAG,

/.DG=DF,

:.BD=BF+DF=CG+DG=CD+DG+DG=CD+2DE；

(3)解：如圖3,

圖3

作CT_L8。，并且CT=4B,連接NT,

ZTCN=ZBAM=90°fAM=CN,

:.打CN"BAM@網(wǎng)，

:.NT=AN,

AN+BM=AN+NT>AT,

，當(dāng)點A、N（圖中M）、T共線時，AN+BM最小,

?；AC=AB=CT,//CT=135。，

.?.NG4T=/Z5"=22.5。時，此時ZN_L9,

如圖4,

延長氏4,可得點尸在氏4上，

???NCQB=NB4c=90。,

ZBDP=90°,

Q垂直平分3C,

.ABPQ,APDE,公DEQ,△4DN均為等腰直角三角形,

ND//PQ,

?v-v

…QaQN—

?：BQ=PQ=6DQ,

一?CL.PDQ-—+]2CJDB，

SRBC=-PB-AC=-X42xl=—

222

_V2

-C—J_c-----,

-Q&PBD_2"&PBC

4

?_V21_2-V2

后「「一

_J__2-V2

-DRQN_2~8.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性

質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

10.(23-24八年級?江蘇鹽城?階段練習(xí))如圖1,在四邊形4BCD中，

AB=AD,ZBAD=120°,ZS=ZADC=90°,E、尸分別是8C,。上的點，且尸=60。，探究圖中線段

BE.ERFD之間的數(shù)量關(guān)系.

圖①圖②圖③

(1)提示：探究此問題的方法是延長ED到點G,使DG=BE,連接/G,先證明△4BE9△4DG,再證明

名"GF.請根據(jù)提示按照提示的方法完成探究求解過程.

(2)探索延伸:

如圖2,若在四邊形/BCD中，AS=AD,ZB+ZD^180°,E,尸分別是8C,CQ上的點，^ZEAF=^BAD,

上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

(3)能力提高：

如圖，等腰直角三角形/3C中，/BAC=90。,仙=AC,點、M,N在邊3C上，ZMAN=45°,若

BM=10,MN=26,則CN的長為一

【答案】(1)見解析

(2)成立，理由見解析

(3)24

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.解題的關(guān)鍵的通過截長補短，構(gòu)造特殊三角形和

全等三角形.

(1)延長即到點G,使。G=8￡,連接/G,證明△在￡絲△4DG和尸學(xué)"G尸，根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)即可求解；

(2)(1)中的結(jié)論律+仍然成立.如圖2中，延長至使BM=DF,連接,證明

絲△/￡>尸(SAS)和"ME知AFE(SAS)即可求證；

(3)過點。作CEL5C,垂足為點C,截取=連接4E、EN,證明春而四春?！?5人$),再

證明△H4Ng4￡/N(SAS),得至！JC￡=5M=10,NE=ME=26,再利用勾股定理進行求解即可.

【詳解】(1)解：如圖1,延長陽到點G,使DG=BE,連接力G,

在△45￡和ZXZOG中，

AB=AD

<ZB=/ADG,

BE=DG

：.Zk/B%△4DG(SAS),

AAE=AG,ZBAE=ZDAG,

/BAE+ZDAF=ZDAG+ZDAF,

即ZGAF=/BAE+ZDAF,

VABAD=120°,ZEAF=60°,

JZBAE+ZDAF=120°-60°=60°,

：.ZGAF=60°,

：.ZGAF=ZEAF,

在A4G/和尸中，

AF=AF

<ZGAF=ZEAF,

AG=AE

：.MG尸之△/￡尸(SAS),

：.FG=EF,

?:FG=DF+DG,

：.EF=BE+FD；

(2)解：(1)中的結(jié)論￡N=5E+尸。仍然成立.

證明：如圖2中，延長。8至M,^,BM=DF,連接

圖2

?.,Z^SC+ZZ)=180o,Z1+Z^C=18O°,

???/I=/D,

在AABM與AADF中，

AB=AD

<Zl=ZD,

BM=DF

△/B以也△//^(SAS),

：.AF=AM,N2=4

?.?ZEAF=-ZBAD

29

???Z2+Z4=-/BAD=/EAF,

2

N3+N4=NE4尸，

即/MAE=ZEAF,

在LAME與LAFE中，

AM=AF

<ZMAE=ZEAF9

AE=AE

：.△AME沿AAFE(SAS),

???EF=ME,

EF=BE+BM,

???EF=BE+DF；

（3）如圖，過點C作CEJ_5C,垂足為點G截取CE=BM.連接ZE、EN.

B

M

yE

?.?AB=AC,ZBAC=90°f

：.ZB=ZACB=45°

'：CE^BC,

：.ZACE=ZB=45°f

在和中

AB=AC

ZB=ZACE

BM=CE

.?.△ZBAf之△ZCE(SAS)

AMAB=NEAC,AM=AE,

：./MAB+ZCAN=ZEAC+ZCAN=45°,

???AMAN=ZEAN=45°,

在AMAN和AEAN中

AM=AE

■:1/MAN=/EAN,

AN=AN

：.AMANWEAN心的

：.CE=BM=10fNE=ME=26,

：?CN=NNE2-CE2=24.

故答案為：24.

11.(23-24八年級?江蘇南通?階段練習(xí))如圖，在力中，ZCAB=45°,AC=7,45=30.

(1)如圖1,求的長;

(2)如圖2,BM工AB,與/C交于點M,點。為NC邊上一點，連接2D,E是右側(cè)一點，且

BD=BE,連接?！?、AE,尸是。E的中點.探究40、4E和8尸之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)如圖3,動點尸由點C出發(fā)以每秒1個單位的速度在射線C3上勻速運動，同時動點。也從C出發(fā)，在射

線C4上以每秒1個單位的速度勻速運動，設(shè)運動時間為/秒。＞0),當(dāng)點B到直線尸。的距離等于3時，

求，的值.

【答案】(1)5

Q)AI)2+AE2=4BF2;見解析

(3)/=5-廂或5+而

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定；

(1)過B作/C的垂線，垂足是G,在RtABG4中，設(shè)8G=NG=x,根據(jù)勾股定理得出x=3,進而得出

CG=4,在RtZ^CBG中，勾股定理，即可求解；

(2)先證明A8￡?A￡A3E4(AAS),進而證明N3D尸=ZD2尸，得出。尸=8尸，同理班'=斯，則DE=2AF,

在RLDBE,RUDAE,根據(jù)勾股定理得出8獷十臺爐=。爐=QB歹＞=42尸，AD2+AE2^DE2＞即可

得出結(jié)論；

(3)過B作8DL/C于點D,作BE,尸。于點￡,作AF〃尸。，與AC交于點、F,貝1]8￡=3,①當(dāng)尸點

在線段CB上時，mABPE^BFD(AAS),WBP=BF,建立方程，解方程，即可求解.②當(dāng)尸點在CB

的延長線上時，同理8尸=3/，即可求解.

【詳解】(1)解：過8作/C的垂線，垂足是G,在RSBG/中，

N4=45°,

：.ZGBA=900-45°=45°,

：.ZA=NBGA,

：.BG=AG,設(shè)8G=NG=x,

在RMBG/中，

x2+x2=(3＞/2j,x=±3,

x＞0,

x=3,

???CG=7—3=4,

在RtACSG中8C=732+42=5.

B

(2)VZCAB=45°,

???/AMB=NCAB=45。,

：.BM=BA,

???/DBE=ZABM=90。,

：./MBD=NABE,

BD=BE,

：.△BDMQABEA(AA^,

???/BMD=/BAE=45。,

：.ZDAE=90°,

BDVBE,BD=BE,

：.BFLDE,

;BD=BE,

：.ABDE=/BED=45。，

/BFD=90°,

：.ZDBF=90°-45°=45°,

：.ZBDF=/DBF,

DF=BF,

同理瓦

DE=2BF,

在Rt^DBE中,BD2+BE2=DE1=QBF)?=ABF2,

在RM04E中，AD2+AE2=DE29

?*-AD2+AE2=4BF2

（3）解：過5作5QJ./C于點。，作成，尸。于點E,悍BF〃PQ,與交于點尸，貝1]5￡=3,

①當(dāng)P點在線段CB上時，如圖，

?：ZBAC=45°,AB=3C，

AD=BD==AB=3,

2

：.CD=AC-AD=7-3=4f

BC=y/CD2+BD2=A/42+32=5，

?：CP=CQ=t,

：.ZCPQ=ZCQP,BP=BC—CP=5T,

?.?PQ//BF,

：.ZCQP=ZCPQ=ZCFB=ZCBF,

:?CB=CF=5,

：.AF=AC-AF=7-5=2f

：.DF=AD-AF=3-2=\,

???BF=YJBD2+DF2=Vio，

?；￡BPE=￡CPQ,

:?/BPE=/BFD,

?.?/BEP=ZBDF,BE=BD=3,

：.小BPE之公BFD(AAS),

：.BP=BF,即5—，=而，

?L=5-何；

②當(dāng)P點在C5的延長線上時，如圖，則8尸=%-5,

■:BP=BF,

?L-5二廂,

；"=5+W，

綜上，當(dāng)點8到直線尸。的距離等于3時，/=5-廂或5+&U.

12.(23-24八年級?浙江金華?期末)已知正三角形/8C的邊長為4,。為“3C內(nèi)部(含邊上)的一點,

過點。作交BC于點E,過點石作￡尸工NC于點尸，過點尸作尸G工于點G.

(1)如圖1,點D在48邊上；

①當(dāng)。為中點時，判斷點。與點G是否重合，并說明理由；

②當(dāng)DG=1時，求出B尸的長；

(2)如圖2,點。在內(nèi)部，且在線段尸G上，連結(jié)。，求CO的取值范圍.

【答案】(1)①點。與點G不重合，理由見詳解；②名答，或笞亙

(2)0<CZ)<—

3

【分析】該題主要考查了等邊三角形，含30。的直角三角形，勾股定理等.解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形

的性質(zhì)和判定，30。所對直角邊等于斜邊的一半，分類討論，勾股定理解直角三角形.

(1)①根據(jù)"8C是等邊三角形，得出/8=/C=8C=4,ZA=/B=NC=60。,再結(jié)合垂直得出

ZBDE=ZCEF=ZAFG=30°,當(dāng)。為中點時，根據(jù)30。所對直角邊等于斜邊的一半推出/G=之，即

4

可判斷；②當(dāng)。G=1時，連結(jié)砥，設(shè)/G=x,則力方=2x,表示出5O=8x—8,分BQ+/G±QG=兩

種情況，列方程解出工值，表示出/G,BG,運用勾股定理即可求出；

(2)結(jié)合由(1)證出。E=設(shè)4G=%表示出OE,CE,運用勾股定理表示出C。，結(jié)合。的范圍

即可求解.

【詳解】(1)①???力5C是等邊三角形，

AB=AC=BC=A,ZA=ZB=ZC=60°,

:?DEIBC,EF1AC,FG1AB

：./DEB=ZEFC=ZAGF=90°,

/BDE=ZCEF=ZAFG=30°

當(dāng)。為中點時，AD=BD=-AB=2,

2

BE=-BD=\

2

；?CE=BC—BE=4—1=3,

13

：.CF=-CE=-

22f

35

AF=AC—CF=4——=—,

22

AG=-AF=~,

24

AG^AD,

，點。與點G不重合；

②當(dāng)DG=1時，連結(jié)3尸，設(shè)/6=尤，

AFC=4-2x,CE=2FC=S-4x,

5E=5C-C￡=4-(8-4x)=4x-4,BD=2BE=Sx-8,

當(dāng)8D+NG+DG=/8時，8x-8+x+l=4,

解得：x=y,

iios

：.FG=y/AF2-AG2=—73,BG=AB-AG=—,

99

BF=yjGF2+BG2=雙史；

9

當(dāng)BZ)+/G-OG=43時，8x-8+x-l=4,

13

解得，%=7，

/.FG=yjAF2-AG2=—V3,BG=AB-AG=—,

99

/.BF=yjGF2+BG2=漢亙.

9

過8尸的長為豆或復(fù)HL

99

(2)當(dāng)點。在A/IBC內(nèi)部，且在線段尸G上，

A

由（1）知：ZFEC=ZAFG=30°,/DEB=ZCFE=90°，

：.ZDEF=90°-30°=60°,ZDFE=90°-30°=60°,

A/JEF是等邊三角形，

???DE=EF,

設(shè)AG=a,

貝尸二2”，CF=4-2a,CE=S-4a,EF=46-2島,

:.DE=46-2島,

???CD7DE?+CE2=2后）2+（8-4〃）2=2"〃-2|，

4

*.*—<Q<2,

3

/.0<C￡?<-

3

13.（23-24八年級?江西撫州?期末）”BC的N44,NC所對邊分別是a,b,c,若滿足/+〃=，則

2

稱“8C為類勾股三角形，邊c稱為該三角形的勾股邊.

【特例感知】如圖1,若“3C是類勾股三角形，48為勾股邊，且CN=CB,A8=6,CW是中線，求CM

的長；

【深入探究】如圖2,CM是。3c的中線，若松I8C是以為勾股邊的類勾股三角形，①分別過/,B

作CM的垂線，垂足分別為￡,F,求證ANEM絲ABFA/

②試判斷CM與AB的數(shù)量關(guān)系并證明；

【結(jié)論應(yīng)用】如圖3,在四邊形48CD中，3。=5a,40=104/3<:與4。3。都是以5。為勾股邊的類勾

股三角形，M,N分別為BC,4。的中點，求線段的長.

【答案】【特例感知】。/的長為6；【深入探究】①證明見解析；②Z5與CW相等，理由見解析；【結(jié)論

應(yīng)用】的長為5.

【分析X1)根據(jù)“3C是類勾股三角形，AB為勾股邊，有CA2+CB2=I-AB2,得到AC2=45,根據(jù)CA=CB,

2

CM是中線，±AB,AM=-AB=3,即可求解；

2

(2)①根據(jù)5/_LCA/,AELCM,得至=,再根據(jù)=8M即可求

證；②根據(jù)4￡_LCW,BFLCM,BTMAC2=(CM+ME)2+AE2,BC2=(CM-MF)2+BF2,再根據(jù)

AAEMABFM,可得=進而得至+=20敘2+2/河2,最后根據(jù)c/+C3?=34笈，

2

AM=-AB,可得N3=CM；

2

(3)連接/M,DM,由【深入探究】可得：AM=BC,DM=BC,進而得到=根據(jù)N為40的

中點，可得MN，4D,ZN=」4D=5,進而求解.

2

【詳解】(1)解：???△/3C是類勾股三角形，N2為勾股邊，

：.CA2+CB2=-AB2,

2

QCA=CB,AB=6,

,5

2AC2=-x36=90,

2

AC2=45,

?;CA=CB,CM是中線，

CMLAB,AM=-AB=3,

2

CM=V45-9=6

(2)①證明：QBFLCM,AELCM,

NAEM=NBFM=90°,

QNAME=ZBMF,AM=BM,

:"EMABFM(AAS).

②與CM相等，理由如下，

QAE1.CM,BFLCM,

AC2=CE2+AE2,BC2=CF2+BF2,

AC2=(CM+ME)2+AE2,BC2=(CM-MF)2+BF2,

QAAEM^ABFM,

:.ME=MF,

AC2+BC1=2cM?+ME1+AE2+MF2+BF1,

AC2+BC2=2CM2+(/爐+ME2)+(AZF2+BF2),

AC2+BC2=2CM2+AM2+BM2,

AC2+BC2=2cM2+2AM2,

QCA2+CB2=-AB2,

:.-AB2=2CM2+2AM2,

2

AM=-AB,

2

:.-AB2=2CM2+-AB2,

22

AB2=CM2,

AB=CM

(3)解：連接

1j]_

BMC

■：AABC與4DBC都是以BC為勾股邊的類勾股三角形,

?.?加為2c的中點，

由【深入探究】可得：AM=BC,DM=BC,

AM=DM,

QN為AD的中點，

:.MNLAD,AN=-AD=5,

MN7AM2-AN?=7（572）2-52=5，

【點睛】本題考查的是類勾股三角形的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的

應(yīng)用，正確理解類勾股三角形的定義，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

14.（23-24八年級?湖南長沙?期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點N在x軸的正半軸上，點3在y軸的正

半軸上，20=8.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若2048=45。，求A48O的面積；

(2)如圖2,若80=6,點夕以2個單位長度每秒的速度從點N出發(fā)向終點8運動，當(dāng)AB0P是以B0為

腰的等腰三角形時，求運動時間/；

(3)如圖3,以為直角邊往右上方作等腰直角“3C,N/8C=90。，再以NC為邊往右上方作等邊A/CD,

使得N￡>CM=30。，求線段AD的長度.

【答案】⑴32；

,7

(2)2$或)$；

(3)4710.

【分析】(1)由//。2=90。，ZOAB=45°,ZOBA=ZOAB=45°,貝1」3。=/。=8,所以

S.」/。/。=32；

&ABU2

(2)由//。5=90。，AO=8,BO=6,求得/3=，/療十處=需,則蘇=10—2力，再分兩種情況討

論，一是PO=8O=6,作于點X,由工/3OH=LZO/O=S“OB，得』xlOOH='x8x6,

2222

求得O?=g,則PH=BH=dBC)2-OH2=g,所以BP=2BH=g,貝1」10-2/=:，求得二是

BP=BO=6,貝?。?0-2/=6,求得1=2；

(3)以。為一邊在x軸下方作等邊三角形ZOG,連接CG,因為AZCD是等邊三角形，所以

AC=AD,ZDAC=ZOAG=60°,可證明A/GC且ANOD,MZCGA=ZDOA=30°,所以GC平分NOGN,

則GC垂直平分CM,所以點G、點C的橫坐標(biāo)都是4,作CLLy軸于點乙可證明，貝!|

CL=BO=4,求得叱=庇=80，則ZD=/C=，叱+1臺2=4而?

【詳解】(1)解：;ZAOB=90°,ZOAB=45°,

ZOBA=ZOAB=45°,

???力。=8,

BO=AO=8f

?.S4ABRUO=_2AO'BO=—2x8x8=32,

:NABO的面積是32.

(2)解：???/ZOB=90。，/O=8,80=6,

AB=yjAO2+BO2=A/82+62=10>

..?點尸以2個單位長度每秒的速度從點A出發(fā)向終點B運動,

/.BP=10—2%,

如圖2(甲)，△BO尸是等腰三角形，且尸。=5。=6,作。3于點”,

■.-^AB-OH=^AO-BO=S^AOB,

—x\OOH=—x8x6,

22

24

解得

???/OHB=90°,

7

解得公：

如圖2（乙），ZXBO尸是等腰三角形，且5尸=50=6,

圖2（乙）

10—2,=6,

解得f=2,

7

綜上所述，運動時間/為二秒或2秒.

(3)解：如圖3,以。/為一邊在x軸下方作等邊三角形/0G,連接CG,則4G=40,

???△力CD是等邊三角形，

AC=AD,NDAC=NOAG=60。，

ZGAC=ZOAD=60°+ZOAC,

在zi/GC和中，

AG=AO

<NGAC=