數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用中的隨機(jī)模型講解部分隨機(jī)模型第5章隨機(jī)模型簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型；

一元線性回歸模型；參數(shù)估計(jì)模型；主要內(nèi)容主成份分析模型。初等概率模型；

第2頁,共85頁，星期六，2024年，5月1、初等概率模型問題1：有趣的蒙特莫特模型第3頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題1：有趣的蒙特莫特模型1、初等概率模型第4頁,共85頁，星期六，2024年，5月當(dāng)充分大,即人數(shù)較多時(shí),至少有1人抽取到自己所帶禮品的概率為問題1：有趣的蒙特莫特模型1、初等概率模型第5頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題2：傳染病的傳播模型現(xiàn)在的問題：對(duì)某種傳染病而言，人群中有病人（帶菌者）和健康人（易感染者），任何兩人之間的接觸是隨機(jī)的，當(dāng)健康人與病人接觸時(shí)健康人是否被感染也是隨機(jī)的.如果通過實(shí)際數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)掌握了這些隨機(jī)規(guī)律，那么怎樣估計(jì)平均每天有多少健康人被感染，這種估計(jì)的準(zhǔn)確性有多大？1、初等概率模型第6頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(1)問題的分析與假設(shè)問題2：傳染病的傳播模型第7頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(2)模型的建立與求解問題2：傳染病的傳播模型第8頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(2)模型的建立與求解問題2：傳染病的傳播模型第9頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(2)模型的建立與求解問題2：傳染病的傳播模型

第10頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(3)模型的檢驗(yàn)問題2：傳染病的傳播模型第11頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(3)模型的檢驗(yàn)問題2：傳染病的傳播模型第12頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(1)問題的提出問題3：售報(bào)廳的進(jìn)報(bào)策略模型第13頁,共85頁，星期六，2024年，5月

(2)問題的分析

因?yàn)樾枨罅渴请S機(jī)的，致使報(bào)亭每天的銷售收入也是隨機(jī)的。所以，不能以報(bào)亭每天的收入數(shù)作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，而應(yīng)該是以報(bào)亭的長(zhǎng)期（幾個(gè)月，或一年）賣報(bào)的日平均收入最大為目標(biāo)函數(shù)。由概率論的知識(shí)，這相當(dāng)于報(bào)亭每天銷售收入的期望值，以下簡(jiǎn)稱平均收入。問題3報(bào)亭的進(jìn)報(bào)策略模型第14頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題3報(bào)亭的進(jìn)報(bào)策略模型(3)模型的建立與求解第15頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題3報(bào)亭的進(jìn)報(bào)策略模型(3)模型的建立與求解第16頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題3報(bào)亭的進(jìn)報(bào)策略模型(3)模型的建立與求解第17頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題3報(bào)亭的進(jìn)報(bào)策略模型第18頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題3報(bào)亭的進(jìn)報(bào)策略模型第19頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型某時(shí)令水果店每售出一百千克水果，可以獲得利潤(rùn)250元，若當(dāng)天進(jìn)貨不能出售出去，則每一百斤將損失325元。該水果店根據(jù)預(yù)測(cè)分析，每天的需求量和對(duì)應(yīng)的概率值如下表：在這樣的需求結(jié)構(gòu)下，水果店主希望知道，他應(yīng)該每天進(jìn)多少水果才能夠獲得最大的利潤(rùn)？1、初等概率模型水果需求量/百千克012345678相應(yīng)的概率值0.050.10.10.250.20.150.050.050.05第20頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題的分析：

該問題為一個(gè)隨機(jī)存儲(chǔ)問題，要研究這類問題，主要是按平均進(jìn)貨量（即數(shù)學(xué)期望）準(zhǔn)則來討論。問題的假設(shè)：（1）當(dāng)不滿足需求，即缺貨時(shí)，店主沒有任何損失，即不考慮缺貨所帶來的損失。（2）水果店的純利潤(rùn)為賣出水果后所獲利潤(rùn)與因未賣出的水果所帶來的損失部分之差。問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型第21頁,共85頁，星期六，2024年，5月模型的建立與求解：利用概率知識(shí)及經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際分析的方法，綜合分析討論這個(gè)問題。問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型第22頁,共85頁，星期六，2024年，5月（１）水果店每天進(jìn)貨量為2百千克情況：由于該水果店每售出一百千克水果，能夠獲得利潤(rùn)250元；若不能出售時(shí)每百斤損失325元。

進(jìn)貨２百千克時(shí)的需求量與純利潤(rùn)表問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型需求量012345678純利潤(rùn)650-75500500500500500500500水果店純利潤(rùn)的期望值為第23頁,共85頁，星期六，2024年，5月（2）水果店進(jìn)貨量為3百千克情況：相應(yīng)的需求量與對(duì)應(yīng)的純利潤(rùn)計(jì)算結(jié)果如下表所示。進(jìn)貨３百千克時(shí)的需求量與純利潤(rùn)表問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型需求量012345678純利潤(rùn)-975-400175750750750750750750水果店純利潤(rùn)的期望值為第24頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型

（３）水果店進(jìn)貨量為4百千克情況：相應(yīng)的需求量與對(duì)應(yīng)的純利潤(rùn)計(jì)算結(jié)果如下表所示。

進(jìn)貨４百千克時(shí)的需求量與純利潤(rùn)表需求量012345678純利潤(rùn)-1300-725-15042510001000100010001000水果店純利潤(rùn)的期望值為第25頁,共85頁，星期六，2024年，5月問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型該水果店每天的水果進(jìn)貨量為3百千克相對(duì)獲得利潤(rùn)較大。那么問題是否是３百千克的進(jìn)貨量一定就是最好的呢？引入邊際分析方法，邊際分析方法是西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中最基本的分析方法之一。通過已知信息，判定水果店每增加一百千克的進(jìn)貨量，所帶來的利潤(rùn)或損失，進(jìn)而判斷進(jìn)貨量的合理性。如果水果店現(xiàn)已有n百千克水果，那么再進(jìn)1百千克水果，從而就存有n+1百千克水果。第26頁,共85頁，星期六，2024年，5月首先給出以下兩個(gè)概念：邊際利潤(rùn)（MarginalProfit）：由所增加的1個(gè)單位水果帶來的純利潤(rùn)，記為MP。邊際損失（MarginalLoss）：由所增加的１個(gè)單位水果所導(dǎo)致的損失，記為ML。問題4：水果店的合理進(jìn)貨模型1、初等概率模型

第27頁,共85頁，星期六，2024年，5月

1、初等概率模型當(dāng)銷售概率大于0.5652時(shí)，水果店應(yīng)再增加1百千克水果的進(jìn)貨量才是合算的。從已知的需求量與對(duì)應(yīng)概率值的關(guān)系：?jiǎn)栴}4：水果店的合理進(jìn)貨模型該水果店的需求量大于等于4百千克的概率小于0.5652，而需求量大于等于3百千克的概率大于0.5652。從而進(jìn)貨量應(yīng)為3百千克為好。第28頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型大學(xué)生的日常生活水平隨著整個(gè)時(shí)代的變遷發(fā)生著巨大的變化。我們想了解一下，目前在校大學(xué)生的日常生活費(fèi)支出與來源狀況。問題1：大學(xué)生平均月生活費(fèi)的測(cè)算模型根據(jù)隨機(jī)抽樣的理論，2002年對(duì)北京某高校本科生的月生活費(fèi)支出狀況進(jìn)行了抽樣調(diào)查。本次問卷調(diào)查對(duì)在校男女本科生共發(fā)放問卷300份，回收問卷291份，其中有效問卷共265份。調(diào)查數(shù)據(jù)經(jīng)整理后，得到全部265名學(xué)生和按性別劃分的男女學(xué)生的生活費(fèi)支出數(shù)據(jù)。第29頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型問題1：大學(xué)生平均月生活費(fèi)的測(cè)算模型模型假設(shè)（1）抽樣是相互獨(dú)立的，所抽到的樣本都是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。（2）總體即大學(xué)生日常生活費(fèi)支出服從正態(tài)分布。用表示第i個(gè)樣本，即生活費(fèi)支出額；表示樣本均值，即所抽到學(xué)生的日常生活費(fèi)支出的平均值；表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差，即樣本值與樣本均值的偏離程度的度量；是樣本容量，即共抽到的有效問卷數(shù)。第30頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型

根據(jù)抽樣結(jié)果，使用95%的置信水平，相應(yīng)置信區(qū)間：?jiǎn)栴}1：大學(xué)生平均月生活費(fèi)的測(cè)算模型結(jié)論：全校本科生的月生活費(fèi)平均水平在520.70～554.40元之間；男生的月生活費(fèi)平均水平在505.15～552.43元之間；女生的月生活費(fèi)平均水平在545.83～596.65元之間。模型建立與求解第31頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型

問題1：大學(xué)生平均月生活費(fèi)的測(cè)算模型模型評(píng)價(jià)與應(yīng)用

模型用到了估計(jì)精度為95%的參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，并且按性別不同，給出了不同的區(qū)間估計(jì)。模型也可應(yīng)用到很多實(shí)際問題的估計(jì)上，比如：一個(gè)普通家庭日常收入與支出狀況、一個(gè)城市人均住房情況等問題統(tǒng)計(jì)分析。第32頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型

“吸煙有害健康”，請(qǐng)你建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，分析說明吸煙對(duì)人體有害的影響，這里可以只就吸煙對(duì)高血壓病的影響作用。問題2：吸煙對(duì)血壓的影響模型（1）問題分析為了研究吸煙對(duì)人體血壓的影響，對(duì)吸煙的66人和不吸煙的62人兩類人群進(jìn)行24小時(shí)動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)，分別測(cè)量24小時(shí)的收縮壓(24hSBP)和舒張壓(24hDBP)，白天(6:00~22:00)收縮壓(dSBP)和舒張壓(dDBP)，夜間(22:00~次日6:00)收縮壓(nSBP）和舒張壓(nDBP)。第33頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型問題2：吸煙對(duì)血壓的影響模型第34頁,共85頁，星期六，2024年，5月2、簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型問題2：吸煙對(duì)血壓的影響模型

（3）模型建立：吸煙對(duì)人體血壓是否有影響？從這些數(shù)據(jù)中能得到什么樣的推斷？吸煙者和不吸煙者兩類樣本分別來自兩個(gè)非常大的總體，這個(gè)問題需要從兩個(gè)樣本的參數(shù)（均值與標(biāo)準(zhǔn)差）來推斷總體參數(shù)的性質(zhì)。分別對(duì)6項(xiàng)血壓指標(biāo)作假設(shè)檢驗(yàn)，針對(duì)每組數(shù)據(jù)指標(biāo)提出假設(shè)：；．；．其中分別是吸煙者和不吸煙者群體（總體）的血壓指標(biāo)均值。第35頁,共85頁，星期六，2024年，5月

2、簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型問題2：吸煙對(duì)血壓的影響模型

（3）模型建立與求解：根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)，作檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量經(jīng)計(jì)算，第五項(xiàng)指標(biāo)即夜間收縮壓（nSBP）沒有拒絕原假設(shè)，其余五項(xiàng)的指標(biāo)即24小時(shí)的收縮壓（24hSBP）和舒張壓（24hDBP）、白天收縮壓（dSBP）和舒張壓（dDBP）、夜間舒張壓（nDBP）都拒絕了原假設(shè)。第36頁,共85頁，星期六，2024年，5月

2、簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型問題3：男大學(xué)生的身高分布模型（1）問題提出；．現(xiàn)在考慮我國(guó)在校大學(xué)生中男性的身高分布問題，根據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)資料表明，在校男大學(xué)生群體的平均身高約為170cm，且該群體中約有99.7%的人身高在150cm至190cm之間。試問該群體身高的分布情況是怎樣的呢？進(jìn)一步地將[150，190]等分成20個(gè)區(qū)間，在每一高度區(qū)間上，研究相應(yīng)人數(shù)的分布情況。特別是中等身高（165cm至175cm之間）的人占該群體的百分比能超過60%嗎？第37頁,共85頁，星期六，2024年，5月

2、簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型問題3：男大學(xué)生的身高分布模型（2）問題分析：第38頁,共85頁，星期六，2024年，5月

2、簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型問題3：男大學(xué)生的身高分布模型（3）模型建立：；將[150，190]等分成20個(gè)區(qū)間，得到高度區(qū)間：對(duì)應(yīng)的分布：身高在165㎝至175㎝之間的人占該群體的百分比為第39頁,共85頁，星期六，2024年，5月

2、簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型問題3：男大學(xué)生的身高分布模型（4）模型求解：；．雖然，通過變換再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值表，可以計(jì)算上面積分。但是，要得到各個(gè)身高區(qū)間上人數(shù)的分布情況，顯然都用這種方法是很繁雜的。而采用計(jì)算機(jī)卻是輕而易舉的事，通過數(shù)值積分的基本方法來解決這個(gè)問題。選用數(shù)值積分中的復(fù)合梯形公式求積方法，可以計(jì)算出誤差小于0.0001的定積分值，從而可得出相應(yīng)分布。第40頁,共85頁，星期六，2024年，5月

2、簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)模型問題3：男大學(xué)生的身高分布模型（4）模型求解：；用數(shù)值積分命令：結(jié)論：身高中等（165cm至175cm之間）的大學(xué)生約占54.67%，不足60%。如果放寬些，如164cm至176cm之間，則大約有63.2%以上。第41頁,共85頁，星期六，2024年，5月3、一元線性回歸模型問題1：一元線性回歸方法和第42頁,共85頁，星期六，2024年，5月3、一元線性回歸模型問題1：一元線性回歸方法第43頁,共85頁，星期六，2024年，5月3、一元線性回歸模型問題1：一元線性回歸方法第44頁,共85頁，星期六，2024年，5月3、一元線性回歸模型問題2：確定身高與體重關(guān)系模型問題提出：身體肥胖現(xiàn)已成為人們關(guān)注的一個(gè)社會(huì)問題，過于肥胖一是影響美觀，二是可能導(dǎo)致很多影響健康的疾病。肥胖的主要特征是體重過重，那么體重與什么有關(guān)呢？當(dāng)然這與每個(gè)人的身高有關(guān)。第45頁,共85頁，星期六，2024年，5月3、一元線性回歸模型問題2：確定身高與體重關(guān)系模型問題分析與假設(shè)：

人的身高與體重之間存在著關(guān)系，這種關(guān)系是非確定性的關(guān)系，即所謂相關(guān)關(guān)系，因?yàn)樯婕暗淖兞矿w重是隨機(jī)變量，回歸分析是研究這種相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法。第46頁,共85頁，星期六，2024年，5月3、一元線性回歸模型問題2：確定身高與體重關(guān)系模型第47頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計(jì)模型問題1：參數(shù)估計(jì)方法所謂參數(shù)估計(jì)就是利用樣本的信息來估計(jì)總體中的參數(shù)。參數(shù)估計(jì)法包括點(diǎn)估計(jì)法和區(qū)間估計(jì)法兩種。1.點(diǎn)估計(jì)法點(diǎn)估計(jì)就是構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，用它的觀察值來估計(jì)未知參數(shù)。常用的點(diǎn)估計(jì)法有兩種：矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法。矩估計(jì)法:用樣本矩作為相應(yīng)的總體矩的估計(jì)量，而以樣本矩的連續(xù)函數(shù)作為相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù)的估計(jì)量。極大似然估計(jì)法:固定樣本觀察值，在取值的可能范圍內(nèi)挑選使概率達(dá)到最大的參數(shù)值作為參數(shù)的估計(jì)值。即構(gòu)造似然函數(shù)，求使似然函數(shù)達(dá)到最大的參數(shù)值，從而得到參數(shù)的估計(jì)值。第48頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計(jì)模型問題1：參數(shù)估計(jì)方法第49頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計(jì)模型問題2：魚群的數(shù)量估計(jì)模型第50頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計(jì)模型問題2：魚群的數(shù)量估計(jì)模型第51頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計(jì)模型問題2：魚群的數(shù)量估計(jì)模型第52頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計(jì)模型問題2：魚群的數(shù)量估計(jì)模型第53頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計(jì)模型問題2：魚群的數(shù)量估計(jì)模型第54頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計(jì)模型問題2：魚群的數(shù)量估計(jì)模型第55頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計(jì)模型問題3：糖果重量的估計(jì)模型第56頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計(jì)模型問題3：糖果重量的估計(jì)模型第57頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計(jì)模型問題3：糖果重量的估計(jì)模型第58頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計(jì)模型問題3：糖果重量的估計(jì)模型第59頁,共85頁，星期六，2024年，5月4、參數(shù)估計(jì)模型問題3：糖果重量的估計(jì)模型第60頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法主成份分析法是一種數(shù)學(xué)變換的方法,它把給定的一組相關(guān)變量通過線性變換轉(zhuǎn)成另一組不相關(guān)的變量，這些新的變量按照方差依次遞減的順序排列。在數(shù)學(xué)變換中保持變量的總方差不變，使第一個(gè)變量具有最大的方差，稱之為第一主成份；第二個(gè)變量的方差次大，并且與第一個(gè)變量不相關(guān)，稱之為第二主成份；依次類推。主成份分析法就是對(duì)實(shí)際中的多元數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，把原有的多因素（變量）的問題，通過分析篩選出少數(shù)幾個(gè)主要有代表性的少數(shù)因素（變量）的一種統(tǒng)計(jì)分析方法，也就是在保證數(shù)據(jù)信息損失最小的原則下，對(duì)高維變量和空間進(jìn)行有效的降維處理方法。第61頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第62頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第63頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第64頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第65頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第66頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第67頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第68頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第69頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第70頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題1：主成份分析方法第71頁,共85頁，星期六，2024年，5月5、主成份分析模型問題2：投資項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估模型在社會(huì)的經(jīng)濟(jì)生活中，綜合投資項(xiàng)目總是追求高利潤(rùn)，但往往高利潤(rùn)不可避免地伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)。針對(duì)實(shí)際中的綜合投資項(xiàng)目有必要對(duì)其可能存在的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行評(píng)估。對(duì)于任何一個(gè)項(xiàng)目與風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)的不確定因素都會(huì)有很多，但對(duì)于一個(gè)具體項(xiàng)目還是應(yīng)該抓住主要的因素進(jìn)行評(píng)估分析，投資決策應(yīng)基于主要風(fēng)險(xiǎn)在可控的范圍之內(nèi)，同時(shí)通過避險(xiǎn)措