《線性代數(shù)》配套課件第二章矩陣

§2.1矩陣的概念

§2.2矩陣的運(yùn)算

§2.3逆矩陣§2.4矩陣的初等變換

§2.5矩陣的秩§2.1

矩陣的概念

引例1

某航空公司在A，B，C，D四個(gè)城市之間開(kāi)辟了若干航線．右下圖表示了四城市間的航班圖．若從A到B有航班，則用帶箭頭的線連接A與B．同一城市視為沒(méi)有航線，令

則右圖可表示為

引例2

線性方程組的解由系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)確定,其系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排列為于是，對(duì)線性方程組的研究可以轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表（增廣矩陣）的研究．

引例3

n

個(gè)變量與m

個(gè)變量之間的關(guān)系式

表示從變量到變量的線性變換，這個(gè)變換可以用數(shù)表表示為矩陣的概念

定義1

由個(gè)數(shù)排成的m

行n列的數(shù)表

稱為m

行n列矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣，其中稱為矩陣第i

行第j

列的元素．矩陣通常用大寫(xiě)字母

A,B,C,…來(lái)表示，以為元素的矩陣可簡(jiǎn)記為也可記為或元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣，本書(shū)中的矩陣除特別說(shuō)明外，都指實(shí)矩陣．行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣，n階矩陣A也記作An．若兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)也相等，則稱它們是同型矩陣．元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O．注意：不同型的零矩陣是不同的．只有一行的矩陣稱為行矩陣，又稱行向量．只有一列的矩陣稱為列矩陣，又稱列向量．若與是同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)位置上的元素相等，即則稱矩陣A與矩陣B

相等，記作A=B．特殊矩陣

例1n

階方陣稱為對(duì)角矩陣，記作在對(duì)角矩陣中，當(dāng)時(shí)，稱為數(shù)量矩陣.在數(shù)量矩陣中，當(dāng)時(shí)，稱

為n階單位矩陣．記作En(或簡(jiǎn)記為E)．

例2

矩陣稱為上三角矩陣,簡(jiǎn)稱上三角陣．類似地，矩陣稱作下三角矩陣,簡(jiǎn)稱下三角陣．上三角陣和下三角陣統(tǒng)稱為三角陣.§2.2

矩陣的運(yùn)算矩陣的加法

定義1

設(shè)矩陣則稱為A

與B

的和，記為A+B，即兩個(gè)矩陣相加等于把這兩個(gè)矩陣的對(duì)應(yīng)元素相加．設(shè)A,B,C都是矩陣，則

(1)A+B=B+A(交換律);(2)(A+B)+C=A+(B+C)

(結(jié)合律);(3)A+O=A.

例1設(shè)兩矩陣求A+B.

解

稱矩陣為的負(fù)矩陣,記作–A.按照矩陣的加法定義可得出矩陣的減法：數(shù)與矩陣相乘

定義2

設(shè)矩陣是一個(gè)數(shù)，稱為數(shù)與矩陣A的乘積，簡(jiǎn)稱為數(shù)乘.所謂矩陣的數(shù)乘運(yùn)算，就是一個(gè)數(shù)與矩陣的每一個(gè)元素相乘．設(shè)A,B,C都是矩陣，為數(shù),則

(1)

(2)

(3)

例2

設(shè)求

解

矩陣的乘法

引例3

設(shè)某工廠由1車間、2車間、3車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，用矩陣A表示該廠三個(gè)車間一天內(nèi)生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品的產(chǎn)量(kg)，矩陣B表示甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品的單價(jià)（元）和單位利潤(rùn)（元）：那么該廠三個(gè)車間一天各自的總產(chǎn)值（元）和總利潤(rùn)（元）用矩陣C表示：

定義3

設(shè)兩個(gè)矩陣則矩陣A與矩陣B的乘積，記為C=AB，規(guī)定其中

注只有當(dāng)矩陣A的列數(shù)與B的行數(shù)相同時(shí)，A與B才能作乘積，并且乘積矩陣的行數(shù)與A的行數(shù)相等，乘積矩陣的列數(shù)與B的列數(shù)相等．

例3

設(shè)求AB.

解

例4設(shè)求AB,BA與AC.

解從例4中可以得出下面的結(jié)論：（1）矩陣的乘法一般不滿足交換律，即AB≠BA．注意，對(duì)任一方陣A，有EA=AE=A．（2）兩個(gè)非零矩陣的乘積可能等于零矩陣．因此AB=O

不能推出A=O或B=O．（3）矩陣乘法中消去律一般不成立．即由AB=AC，不一定推出B=C．對(duì)于兩個(gè)n階方陣A,B,若AB=BA，則稱方陣A與

B是可交換的．顯然，單位矩陣E與任何同階方陣都是可交換的．可以驗(yàn)證，矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）：（1）結(jié)合律：(AB)C=A(BC);（2）分配律：(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB;（3）k(AB)=(kA)B+A(kB)（k是實(shí)數(shù)）.

注根據(jù)矩陣乘法分配律，對(duì)AB?kA=O(k是實(shí)數(shù)),只能推出A(B?kE)=O,而不能推出A(B?k)=O,因?yàn)锽?k在一般情況下沒(méi)有意義．按矩陣的乘法運(yùn)算，線性方程組可以用矩陣表示．若記那么上述線性方程組可記成AX=B．

定義4

設(shè)A是一個(gè)n

階方陣,規(guī)定（k是正整數(shù)）稱Ak為A的k

次冪．方陣的冪滿足下列運(yùn)算律：

(k,l

為正整數(shù)).因?yàn)榫仃嚦朔ㄒ话悴粷M足交換律，所以對(duì)兩個(gè)n階方陣A與B，一般來(lái)說(shuō)，若A2=A則稱A為冪等矩陣．若存在正整數(shù)k,使Ak=O,則稱A為冪零矩陣．

例5

設(shè)n為正整數(shù)，試求An.

解設(shè)有而B(niǎo)2=O,EB=BE,所以有

設(shè)是x的一個(gè)m次多項(xiàng)式,A為n階方陣，則稱為矩陣A的多項(xiàng)式．顯然f(A)仍是一個(gè)n階方陣．

例6設(shè)求f(A).

解矩陣的轉(zhuǎn)置

定義5設(shè)則矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT或A′,

轉(zhuǎn)置矩陣AT是由A的行換成同序號(hào)的列得到的一個(gè)新矩陣．例如，矩陣

的轉(zhuǎn)置矩陣為可以驗(yàn)證，矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運(yùn)算律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）：（1）（2）（3）（k是實(shí)數(shù)）；（4）

注對(duì)于矩陣A,B,

一般地,

例7已知求(AB)T.

解法一因?yàn)樗越夥ǘ?/p>

例8

設(shè)A,B為n階方陣,且BT=B,

證明:

證因?yàn)锽T=B,所以

定義6

設(shè)A為n階方陣,若AT=A,即則稱A為對(duì)稱矩陣；若AT=?A,即則稱A為反對(duì)稱矩陣．例如,矩陣為對(duì)稱矩陣,為反對(duì)稱矩陣.容易驗(yàn)證,對(duì)稱矩陣的和、數(shù)量乘積和方冪仍為對(duì)稱矩陣.反對(duì)稱矩陣的和、數(shù)量乘積仍為反對(duì)稱矩陣.

例9

設(shè)列矩陣滿足XTX=1,

E為n階單位矩陣,

H=E?2XXT,證明H是對(duì)稱矩陣,且HHT

=E．

證因?yàn)樗訦是對(duì)稱矩陣．且分塊矩陣對(duì)于行數(shù)或列數(shù)較高的矩陣A,運(yùn)算時(shí)常采用分塊的方法，使“大”矩陣的運(yùn)算化成“小”矩陣的運(yùn)算．我們將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣．例如，下面的矩陣分成了四個(gè)子塊則A可看成由這些子塊構(gòu)成的矩陣,記作矩陣分塊方式是任意的，同一個(gè)矩陣可以根據(jù)運(yùn)算的需要?jiǎng)澐殖刹煌淖訅K，構(gòu)成不同的分塊矩陣．若把分塊矩陣的子塊當(dāng)作元素看待，則分塊矩陣與普通矩陣有類似的運(yùn)算律．

(1)

加法運(yùn)算設(shè)A,B都是矩陣，采用相同的分塊方法，有則

(2)

數(shù)乘運(yùn)算

設(shè)為分塊矩陣,k為實(shí)數(shù).由矩陣的數(shù)乘運(yùn)算可知，k乘以分塊矩陣，等于數(shù)k乘以A中每個(gè)子塊，即

(3)

乘法運(yùn)算設(shè)A是矩陣，B是矩陣.根據(jù)矩陣乘法的行列規(guī)則，分塊矩陣相乘需要A矩陣列的分塊方式與B矩陣行的分塊方式一致.即其中,

(4)

轉(zhuǎn)置運(yùn)算設(shè)為分塊矩陣,根據(jù)矩陣轉(zhuǎn)置的定義可知，分塊矩陣的轉(zhuǎn)置不僅將行列互換，還需將各個(gè)子塊矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)置，即

例10設(shè)試用分塊矩陣計(jì)算AB,AT.

解把A,B分塊成則而于是

例11當(dāng)太空衛(wèi)星發(fā)射之后，為使衛(wèi)星在精確計(jì)算過(guò)的軌道上運(yùn)行，需要校正它的位置．雷達(dá)屏幕給出一組數(shù)據(jù)，它們給出衛(wèi)星在不同時(shí)間里的位置與計(jì)劃軌道的比較．設(shè)Xk表示矩陣矩陣Gk=XkXkT

需要在雷達(dá)分析數(shù)據(jù)時(shí)計(jì)算出來(lái)，當(dāng)xk+1到達(dá)時(shí)，新的Gk+1必須計(jì)算出來(lái)，因數(shù)據(jù)矩陣向量高速到達(dá)，所以計(jì)算負(fù)擔(dān)很重．請(qǐng)利用分塊矩陣給出從Gk如何計(jì)算Gk+1．

解方陣的行列式

定義7

由n階方陣A所有元素構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變）,稱為方陣A的行列式，記作|A|或det(A)．

注意：方陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，n階方陣A是n2

個(gè)數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而n階行列式|A|是一個(gè)數(shù)．可以驗(yàn)證，n階方陣的行列式的運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律：設(shè)A,B為n階方陣，k為實(shí)數(shù)，則（1）（2）（3）這個(gè)結(jié)論可以推廣為多個(gè)方陣,即形如的分塊矩陣稱為分塊對(duì)角矩陣或稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，記為其中都是方陣.（4）分塊對(duì)角矩陣的行列式為

注（1）一般地，（）；（2）設(shè)A,B為n階方陣，一般地,；（3）對(duì)于n階方陣A,B,一般地，，但

例12設(shè)求

解

例13設(shè)求

解§2.3

逆矩陣逆矩陣的定義在數(shù)的運(yùn)算中我們知道，若ab=ba=1,

則稱b為a的倒數(shù)，記作a-1=b.矩陣也有類似的表述形式．例如則即AB=BA=E．此時(shí)稱矩陣B為矩陣A的逆矩陣．

定義1設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B,使AB=BA=E．則稱方陣A是可逆的，并稱B為A的逆矩陣，簡(jiǎn)稱A的逆．顯然，若A的逆矩陣為B,

則B的逆矩陣為A.若方陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的．事實(shí)上，設(shè)B1,B2都是A的逆矩陣，則有于是故A的逆矩陣是唯一的，我們把A的逆矩陣記為A-1．

定義２設(shè)A為n階方陣，若則稱A是非奇異矩陣或非退化矩陣，否則稱A是奇異矩陣或退化矩陣．方陣可逆的條件

定義３設(shè)方陣令A(yù)ij為|A|中元素aij的代數(shù)余子式，稱方陣

為A的伴隨矩陣，簡(jiǎn)稱伴隨陣，記作A*．

定理1

方陣A可逆的充分必要條件是A為非奇異矩陣，即當(dāng)A可逆時(shí)，有

推論若AB=E（或BA=E），則A,B都可逆，且B=A-1,A=B-1.

證所以存在.于是可逆矩陣的性質(zhì)（1）若A可逆，則A?1可逆，且(A?1)?1=A.（2）若A可逆，數(shù)k≠0,

則kA可逆，且(kA)?1=A?1

．（3）若A,B為同階可逆矩陣，則AB可逆，且（4）若A可逆，則AT可逆，且（5）若A可逆，則（6）對(duì)分塊對(duì)角矩陣若則并有

例1求矩陣的逆矩陣A?1.

解由知A的逆矩陣A?1存在．所以

例2

已知求滿足AX=C的矩陣X．

解由例1知A?1存在，于是得X=A?1C,即

例3設(shè)問(wèn)a,b,c滿足什么條件時(shí),A可逆？并求A?1.

解因?yàn)閨A|=abc,所以當(dāng)a,b,c均不為零時(shí),A可逆,且有

所以

§2.4

矩陣的初等變換

引例1求解線性方程組

解用消元法解線性方程組，即

以上求解過(guò)程是：將方程組看成一個(gè)整體，利用同解變換將一個(gè)方程組化為另一個(gè)方程組．而同解變換主要采用了以下三種形式：（1）兩個(gè)方程互換位置；（2）某方程兩端同時(shí)乘以某一非零數(shù)(即用一非零數(shù)

k乘某一個(gè)方程)；（3）用一非零數(shù)乘某一方程后加到另一個(gè)方程上去．這樣就將原方程組轉(zhuǎn)化成一個(gè)同解的線性方程組．同樣的做法，運(yùn)用到矩陣上，就得到:矩陣的初等變換

定義1

矩陣的初等行（列）變換是指如下三種變換：（1）互換矩陣中任意兩行（列）的位置，記作（）；（2）以非零數(shù)k乘矩陣某一行(列)的所有元素,記作（）；（3）將矩陣某一行（列）的所有元素乘以一個(gè)常數(shù)k加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上，記作（）．矩陣的初等行變換與列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．

定義2

若矩陣A經(jīng)過(guò)有限次的初等變換化為矩陣B,

則稱A和B是等價(jià)矩陣，記為易驗(yàn)證矩陣之間的這種等價(jià)關(guān)系具有以下三個(gè)性質(zhì)：（1）反身性:（2）對(duì)稱性:若則（3）傳遞性:若

則在引例1中，方程組對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣，而方程組的演變過(guò)程就對(duì)應(yīng)為矩陣的變化過(guò)程，即

即這與引例1的結(jié)果相同,即消元法可以通過(guò)初等行變換實(shí)現(xiàn).上例中矩陣B和C都稱為行階梯形矩陣，它滿足:（1）可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為0；（2）每個(gè)階梯只有一行，階梯數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯形的豎線(每段豎線的長(zhǎng)度為一行)后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非零元．行階梯形矩陣C稱為行最簡(jiǎn)形矩陣，它滿足:（1）非零行的第一個(gè)非零元為1；（2）這些非零元所在的列的其他元素都為0．任何矩陣總可經(jīng)過(guò)有限次初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣．一個(gè)矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣是唯一確定的(行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)也是唯一確定的)．解線性方程組就是把增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣．對(duì)行最簡(jiǎn)形矩陣再施以初等列變換，可變成一種形狀更簡(jiǎn)單的矩陣，稱為標(biāo)準(zhǔn)形．例如

定理1

對(duì)于任意矩陣A,總可經(jīng)過(guò)有限次初等變換(行變換和列變換)把它化為標(biāo)準(zhǔn)形此標(biāo)準(zhǔn)形由m,n,r三個(gè)數(shù)完全確定，其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)．所有與A等價(jià)的矩陣組成一個(gè)集合，標(biāo)準(zhǔn)形F是這個(gè)集合中形式最簡(jiǎn)單的矩陣．初等矩陣

定義3

由單位矩陣En經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．三種初等變換對(duì)應(yīng)有三種初等矩陣．（1）互換:把單位矩陣En中第i,j

兩行對(duì)調(diào)(或第i,j

兩列對(duì)調(diào))，得初等矩陣

（2）倍乘:以數(shù)k≠0乘單位矩陣En

的第i行(或第i列)，得初等矩陣（3）倍加:以k乘En的第j行加到第i行上或以k乘En的第i列加到第j列上，得初等矩陣根據(jù)初等矩陣的定義，可以推導(dǎo)其具有下述性質(zhì):（1）（2）初等矩陣都是可逆的，且其逆矩陣是同一類型的初等矩陣:

（3）（4）

注性質(zhì)（4）利用公式推導(dǎo)即可．

定理2

設(shè)A是一個(gè)矩陣，則對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣．

推論1

對(duì)于矩陣A,

存在m階初等矩陣和n階初等矩陣使得

若記則推論1可進(jìn)一步表述為

推論2對(duì)于矩陣A,總存在m階可逆矩陣P,

n階可逆矩陣Q，使得用矩陣的初等變換求逆矩陣一般地，對(duì)于較高階(n≥

3)矩陣，用伴隨矩陣求逆矩陣往往計(jì)算量較大，下面介紹一種較為簡(jiǎn)便的求逆矩陣的方法——初等變換法．

定理3

n階矩陣A可逆的充分必要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積．

推論1

兩個(gè)矩陣A與B等價(jià)的充要條件是存在可逆矩陣P,Q,使得

推論2

可逆矩陣A僅施行初等行(或列)變換即可化為單位矩陣．設(shè)A為n階可逆矩陣，由推論２可知,存在初等矩陣使得由此即得這兩個(gè)式子表明,當(dāng)對(duì)矩陣A施行若干次初等行變換，將其化為單位矩陣E時(shí)，同樣的初等行變換可將單位矩陣E化為A的逆矩陣A?1．于是可構(gòu)造一個(gè)矩陣就有即

例1

設(shè)，求A?1．

解因?yàn)?所以A可逆．

所以

例2

已知三階矩陣A的逆矩陣為試求伴隨矩陣A*的逆矩陣．

解由可得所以只需要求A即可,也就是求A?1的逆矩陣.于是又因故知注構(gòu)造矩陣求A?1,只能用初等行變換，不能用初等列變換．根據(jù)可知若施行有限次初等行變換將可逆矩陣A化為單位矩陣，則對(duì)B施行同樣的初等行變換得到A?1B，即由此，若需要求解矩陣方程AX=B，當(dāng)A可逆時(shí)，有X=A?1B,利用前述的方法即可計(jì)算出A?1B，而沒(méi)有必要先求A?1，再作乘法運(yùn)算A?1B．同理，求解矩陣方程XA=B，等價(jià)于計(jì)算BA?1，也可利用初等列變換求矩陣BA?1，即

例3

設(shè)AB=A+2B，且求B．

解由已知AB=A+2B，得AB?2B=A，于是(A?2E)B=A．由于而知A?2E可逆，且B=(A?2E)?1A.

故§2.5

矩陣的秩

在§2.4中已看到，給定一個(gè)矩陣A，通過(guò)初等變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形此標(biāo)準(zhǔn)形由數(shù)r完全確定．這個(gè)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是矩陣A的“秩”．鑒于這個(gè)數(shù)的唯一性尚未證明，在本節(jié)中，我們首先給出子式的定義，再利用子式來(lái)定義矩陣的秩，然后給出利用初等變換求矩陣的秩的方法.矩陣秩的定義

定義1

在矩陣A中，任取k行與k列(

)，位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得到的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式．顯然，矩陣A的k階子式共有個(gè)．

例如，設(shè)矩陣則由1、3兩行，2、5兩列構(gòu)成的二階子式為

定義2

若矩陣A中有一個(gè)不等于0

的r階子式D，且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0，則D稱為矩陣A的最高階非零子式，D的階數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作r(A)．

規(guī)定零矩陣的秩等于0．由行列式的性質(zhì)可知，在A中當(dāng)所有r+1階子式全等于0時(shí)，所有高于r+1階的子式也全等于0，因此把r階非零子式稱為最高階非零子式，而A的秩r(A)就是A的非零子式的最高階數(shù).由r(A)的定義，若矩陣A中有某個(gè)s階子式不為0，則r(A)≥s;若A中所有t階子式全為0，則r(A)<t.顯然，若A為矩陣，則由于行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等，因此AT的子式與A的子式對(duì)應(yīng)相等，從而對(duì)于n階矩陣A，由于A的n階子式只有一個(gè)|A|，故當(dāng)|A|≠0時(shí)，r(A)=n,當(dāng)|A|=0時(shí)，r(A)<n.可見(jiàn)可逆矩陣的秩等于矩陣的階數(shù)，不可逆矩陣的秩小于矩陣的階數(shù).因此，可逆矩陣又稱滿秩矩秩，不可逆矩陣(奇異矩陣)又稱降秩矩陣.

例1

求矩陣的秩．

解在A中，顯然有一個(gè)二階子式其三階子式有四個(gè):

全部為零，故

例2

求矩陣的秩．

解因?yàn)榫仃嘇是一個(gè)行