第15章拉普拉斯變換15.9卷積定理15.1拉普拉斯變換15.2常用函數的拉普拉斯變換15.3拉普拉斯變換的基本性質15.5復頻域中的電路定律、電路元件與模型15.6拉普拉斯變換法分析電路15.7網絡函數15.8網絡函數的極點和零點15.4拉普拉斯反變換本章重點

本章重點.常用函數的拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質.復頻域中的電路定律.運算阻抗和運算導納.拉普拉斯變換法分析電路的動態(tài)響應.網絡函數.返回目錄15.1拉普拉斯變換一、拉氏變換（Laplacetransformation）的定義（Laplacetransformation）

（inverseLaplacetransformation）

f(t)和F(s)是一對拉普拉斯變換（Laplacepairs）對。記號?

[f(t)]表示取拉氏變換。?

-1[F(s)]表示取拉氏反變換。

f(t)，t[0,)稱為原函數（originalfunction），屬時域（timedomain）。原函數f(t)用小寫字母表示，如i(t)，u(t)。

F(s)稱為象函數（transformfunction），屬復頻域（complexfrequencydomain）。象函數F(s)用大寫字母表示，如I(s)，U(s)。稱為復頻率（complexfrequency）。

積分下限從0

開始，稱為0

拉氏變換。積分下限從0+開始，稱為0+拉氏變換。當f(t)含有沖激函數項時，此項00+拉氏變換和0

拉氏變換的區(qū)別：為了把0-0+時沖激函數的作用考慮到變換中，以下拉氏變換定義式中積分下限從0-

開始。二、拉氏變換存在條件不同的f(t)，

0的值不同，稱

0為復平面s內的收斂橫坐標。

0

j

0收斂坐標收斂軸收斂區(qū)電工中常見信號為指數階函數，即由于單邊拉氏變換的收斂問題較為簡單，在下面的討論中一般不再寫出其收斂范圍。返回目錄=115.2常用函數的拉普拉斯變換?

?

?

?

??????1f1(t)e-tt0例求圖示兩個函數的拉氏變換式1f2(t)e-tt0解由于定義的拉氏變換積分下限是0－，兩個函數的拉氏變換式相同當取上式的反變換時，只能表示出區(qū)間的函數式返回目錄?-115.3拉普拉斯變換的基本性質一、線性（linearity）性質???例1?例2?例3??二、原函數的微分（differentiation）

???例1??例2??三、原函數的積分（integration）

例?????四、時域平移（timeshift）f(t)

(t-t0)tt00tf(t-t0)

(t-t0)t00f(t)

(t)t0f(t)

(t)f(t-t0)

(t-t0)平移f(t)

(t-t0)不是平移??例1求圖示函數的拉氏變換式例2求圖示函數的拉氏變換式1Ttf(t)0TTf(t)0例3

周期函數（periodicfunction）的拉氏變換。設f1(t)為第一個周期的函數，...tf(t)1T/2T0???五、復頻域平移（frequencyshift）

??六、初值(initial-value)定理和終值(final-value)定理初值定理若?[f(t)]=F(s)，且f(t)在t=0處無沖激，則例1例2例3終值定理f(t)及其導數f

(t)可進行拉氏變換，且

，則???例1例2例3返回目錄??15.4拉普拉斯反變換一、由象函數求原函數（2）經數學處理后查拉普拉斯變換表象函數的一般形式：二、將F(s)進行部分分式展開（partial-fractionexpansion）

f(t)=L-1[F(s)]（1）利用公式較麻煩等式兩邊同乘(s-s1)=0ki也可用分解定理求等式兩邊同乘（s-si）

應用洛比達法則求極限例1例2用分解定理例3m>n，用長除法，得k1,k2也是一對共軛復數。假設只有兩個根可據前面介紹的兩種方法求出k1,k2。

設例法一：部分分式展開，求系數。法二：將F2(s)改寫為(s＋

)2+2等式兩邊乘例1例2等式兩邊乘一般多重根情況返回目錄一、電路元件的運算形式（operatorform）

電阻Ru=Ri15.5復頻域中的電路定律、電路元件與模型+u-i(t)R+U(s)

-I(s)R取拉氏變換電感LiL+

uL

-L+

-sLUL(s)IL(s)-+取拉氏變換sL+

-UL(s)IL(s)電容C+uC

-iCIC(s)1/sCuC(0-)/sUC(s)+--+

1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)-+取拉氏變換互感M取拉氏變換ML1L2i1i2+u1-+u2-+U2(s)-+-I1(s)sL1sL2sM+-++--U1(s)I2(s)+-受控電源+-U1(s)+-

RI1(s)U1(s)+-U2(s)+u1-+u2-Ri1u1+-二、電路定律的運算形式+u-iRLC設電路無初始儲能+U(s)-I(s)RsL1/sC運算形式的歐姆定律運算阻抗（operationalimpedance）運算導納（operationaladmittance）

三、運算電路模型（1）電壓、電流用象函數形式。（2）元件用運算阻抗或運算導納。（3）電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。時域電路RRLCi1i2E(t)+-運算電路RRsL1/sCI1(s)I2(s)E/s+-uC(0-)=25ViL(0-)=5A時域電路t=0時打開開關例5

2F20

10

10

0.5H50V+-uC+

-iL換路后

運算電路0.5sUC(s)20-++1/2s25/s2.55IL(s)+--解返回目錄15.6拉普拉斯變換法分析電路步驟（1）由換路前電路計算uC(0-),iL(0-)；

（2）畫運算電路模型；（3）應用電路分析方法求出待求變量的象函數；（4）反變換求原函數。t=0時閉合S，求iL，uL。

例1200V30

0.1H10

-uC+1000FiL+-uL+-S（2）畫運算電路200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---解200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---（4）反變換求原函數校核初值和終值要考慮初值思考：uL是哪兩端的電壓？200/s

300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---UL(s)+-例2求圖示電路的單位沖激響應uC(t)，iC

(t)

。

RCuC

(t)iC+-R1/sCUC(s)1IC(s)+-tuC(V)0返回目錄tiC015.7網絡函數（NetworkFunction）

一、定義單個獨立源作用的線性網絡零狀態(tài)e(t)r(t)E(s)R(s)轉移函數（transferfunction）

RC+_+_uS例uCR1/sC+_+_US(s)UC(s)網絡函數是由網絡的結構和參數決定，與激勵無關；網絡函數是實系數的有理函數。1.策動點函數策動點阻抗策動點導納2.轉移函數（傳遞函數）轉移導納轉移阻抗轉移電壓比轉移電流比二、網絡函數的具體形式U(s)I(s)+-U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+-+-三、單位沖激響應與網絡函數的關系零狀態(tài)

(t)h(t)e(t)r(t)若單位沖激響應h(t)已知，則任意激勵e(t)產生的響應r(t)可求。單位沖激響應與網絡函數是一對拉氏變換對。返回目錄15.8網絡函數的極點（Pole）和零點（Zero）一、復頻率平面

j

在復平面上用“

”表示極點，用“。”表示零點。

極點。零點

j

。2

-3例繪出其極零點圖。（pole-zerodiagram）

-1j-j0二、極點分布與沖激響應的關系H(s)在s平面上極點位置不同，沖激響應波形不同。單位沖激響應與網絡函數是一對拉氏變換對。

j

極點的位置決定沖激響應的波形。極點和零點共同決定沖激響應的的幅值。網絡函數極點的位置決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性（stability）。

全部極點在s

左半平面的電路動態(tài)響應是穩(wěn)定的；有位于s

右半平面極點的電路動態(tài)響應是不穩(wěn)