有關(guān)三角形角平分線的有趣問(wèn)題的討論前言：角平分線這個(gè)詞我們并不陌生,初中時(shí),我們便知道等腰三角形兩底角的平分線相等、全等三角形對(duì)應(yīng)角平分線相等的一些有關(guān)三角形角平分線的定理,今天就讓我們更加深入的探究角平分線的特性吧！正文：斯坦納—雷米歐司定理盡然我們知道“等腰三角形兩底角的平分線相等”是一個(gè)真命題,那么我們便可以猜想：它的逆命題是否也是真命題呢？也就是“有兩條內(nèi)角平分線相等的三角形是等腰三角形”是否成立？在兩千多年前,歐幾里得在他的經(jīng)典巨著《幾何原本》中便給出了上述第一個(gè)命題的證明,但是他卻沒(méi)有能夠證明第二個(gè)命題也就是第一個(gè)命題的逆命題.直到十八世紀(jì),雷米歐司重新提出這個(gè)題目,著名的德國(guó)幾何學(xué)家斯坦納才給出了這個(gè)逆命題的證明.所以,現(xiàn)在大家都把它叫“做斯坦納—雷米歐司定理”既然連歐幾里得也無(wú)法證明的命題,我們中學(xué)生該如何下手呢？自然地,我們便想到要不從最簡(jiǎn)單的方式入手吧？反證法：我們先將命題化為幾何語(yǔ)言：如圖,已知BP、CQ分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC、∠ACB的平分線,且BP=CQ求證：△ABC是等腰三角形證明：如上圖,設(shè)∠ABP=∠PBC=?∠ABC=β,∠ACQ=∠QCB=?∠ACB=α設(shè)BP與CQ交點(diǎn)為O（這樣要證明△ABC為等腰三角形便要轉(zhuǎn)換為證明α=β）若α＞β,于是在線段OP上可以取一點(diǎn)R使∠RCD=β且BR＜BP在△BQC與△CRB中∵∠BQC=180°－(2β+α),∠CRB=180°－(2β+α)∴∠BQC=∠CRB又∵α＞β∴∠QBC＜∠RCB根據(jù)正弦定理BR=Sin∠RCB＞Sin∠QBC=CQBCSin∠CRBSin∠BQCBC∴BR＞CQ=BP這與BR＜BP矛盾故α＞β不成立同理可證α＜β也不成立∴α只能與β相等∴∠ABC=∠ACB∴△ABC為等腰三角形同學(xué)們是否感覺(jué)到用反證法證明很容易呢？其實(shí),斯坦納一開(kāi)始也是用反證法證明的,但他的方法比我們的方法更煩瑣些,命題已經(jīng)證完了,大家終于可以松一口氣了,但是我們知道,反正法畢竟不能取代純幾何證法,純幾何證法才是能夠使幾何命題完善的.在斯坦納證明該命題后,就陸續(xù)有數(shù)學(xué)愛(ài)好者提出了其他證明方法,海塞便是其中之一？純幾何證法——海塞證法（在這里,已知、求證便不再寫(xiě)出）證明：在△BDC的外側(cè)作∠BDF=∠ECB且使得DF=BC連接BF在△BDF與△ECB{BD=EC∠BDF=∠ECBDF=CB}∴△BDF≌△ECB∴BF=EB,∠FBD=∠BEC設(shè)∠ABD=α=∠DBC,∠ACE=β=∠BCE則∠FBC=∠FBD+∠DBC=∠BEC+∠DBC=180°－(2α＋β)＋α=180°－(α＋β)∠FDC=∠FDB＋∠BDC=β+180°－(2β＋α)=180°－(α＋β)∴∠FBC=∠FDC∵2α＋2β＜180∴α＋β＜90°∴180°－(α＋β)＞90°即∠FBC=∠FDC＞90°過(guò)點(diǎn)C作BF的垂線交FB延長(zhǎng)線G,過(guò)點(diǎn)F作DC的垂線交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H∴∠CBG=180°－∠FBC=180°－∠CDF=∠FDH又∵∠CGB=∠FHD=90°,BC=DF∴△CGB≌△FHD∴FH=CG,HD=GB連接CF∵CF=FC,FH=CG∴Rt△FCH≌Rt△CFG(HL)∴CH=FG∴CH－HD=FG－GB即CD=FB又∵BF=EB∴CD=BE又∵EC=BD,BC=BC∴△EBC≌△DCB∴∠EBC=∠DCB即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形二．角平分線定理說(shuō)起角平分線,大家一定能想到：角平分線所聯(lián)系的一些線段是否存在某種關(guān)系？比如：比例關(guān)系？下面我向大家介紹內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理【1】?jī)?nèi)角平分線定理已知:AD為△ABC的一條內(nèi)角平分線求證：BD/CD=AB/AC利用正弦定理證明AB=Sin∠ADB=Sin∠ADC=ACBDSin∠BADSin∠CADDC∴AB=BDACDC利用輔助線如圖,過(guò)點(diǎn)C作CE∥DA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E則∠AEC=∠BAD,∠ACE=∠DAC∵∠BAD=∠DAC∴∠AEC=∠ACE∴AE=AC∵AD∥EC∴AB=BD∴AB=BDAEDCACDCPS:這個(gè)定理其實(shí)有很多種證法,這里只是列舉了最簡(jiǎn)單的兩種【2】外角平分線定理已知：如圖,△ABC的外角∠ACE的平分線CD與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D求證：BC=BDACAD證明：（面積法）在BC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E使CE=AC在△ACD與△ECD中∵{AC=EC∠ACD=∠ECDCD=CD}∴△ACD≌△ECD∴S△ACD=S△ECDAC=CE∴BC=BC=S△BCD=S△BCD=BDACCES△DCES△ACDAD(這里用了同高三角形的面積之比等于其對(duì)應(yīng)底邊之比)PS:這個(gè)定理也有很多證法,此證明為我原創(chuàng)竟然我們已經(jīng)證明了角平分線所聯(lián)系的一些線段存在比例關(guān)系,那么我們是否可以進(jìn)一步完成角平分線的長(zhǎng)度是否與這些線段有關(guān)呢？下面我們便來(lái)探索角平分線的長(zhǎng)度定理三．Schooten定理Schooten定理是平面幾何最著名定理之一,下面我們一起證明它的原命題：已知,如圖,AD為△ABC的內(nèi)角平分線求證：AD2=AB·AC－BD·DC輔助圓證法證明：延長(zhǎng)AD交△ABC外交圓⊙O于點(diǎn)E連接BE由∠BAE=∠DAC,∠E=∠C知△ABE∽△ADC∴AB=AE∴AB·AC=AD·AEADAC∵AE=AD+DE∴AB·AC=AD·AE=AD·(AD+DE)=AD2+AD·DE∵已知△BED∽△ACD∴AD=BD∴AD·DE=DC·BDDCDE∴AB·AC=AD2+DC·BD即AD2=AB·AC－BD·DC利用勾股定理證明過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)E在線段DC上設(shè)AD=tBD=mDC=nAC=bAB=c根據(jù)勾股定理：t2=AE2+DE2=b2－CE2+DE2=b2－(n－DE)2+DE2=b2－n2+2Nde且t2=AE2+DE2=c2－BE2+DE2=c2－(m+DE)2+DE2=c2－m2－2m·DE∴DE=t2－b2+n2=c2－m2－t22n2m整理得：（m+n）t2=mb2+nc2－(m+n)mn根據(jù)內(nèi)角平分線定理有:c=m∴mb=ncbn而mb2=mb·b=nbc,nc2=nc·c=mbc∴(m+n)t2=(m+n)bc－(m+n)mn∴t2=bc－mn即AD2=AB·AC－BD·DCPS:其實(shí),Schooten定理還可以用正弦定理以及和差化積推導(dǎo)出來(lái),接下來(lái)我們一起嘗試用正弦定理證明吧？正弦定理證法證明：如圖,設(shè)BD=m,DC=n,AD=t,AB=c,AC=b∠BAD=∠DAC=β,∠ADC=α,∠ADB=180°－α根據(jù)正弦定理：b=Sinα,c=Sin(180°－α)=Sinα,m=Sinβn=SinβtSinCtSinBSinBtSinBtSinC∴b=Sinα·t,c=Sin(180°－α)=Sinα·t,m=Sinβ·t,n=Sinβ·tSinCSinBSinBSinBSinC∴bc－mn=Sinα·t·Sinα·t－Sinβ·t·Sinβ·tSinCSinBSinBSinC=Sin2α－Sin2β·t2SinBSinC又∵Sin2α－Sin2β=(Sinα+Sinβ)(Sinα－Sinβ)=(2Sin(α+β)Cos(α－β)(2Cos(α+β)Sin(α－β))2222=Sin(α+β)·Sin(α－β)由圖,注意到α+β=180°－∠C,α－β=∠B∴Sin2α－Sin2β=Sin(180°－∠C)·SinB=SinB·SinC∴bc－mn=SinB·SinC·t2=t2SinB·SinC即AD2=AB·AC－BD·DC補(bǔ)充說(shuō)明：在①輔助圓證法中,我們得到了AD·DE=DC·BD這樣的結(jié)論,這其實(shí)是一個(gè)普遍性的結(jié)論,也可以說(shuō)是一個(gè)定理即“相交弦定理”如圖,AB、CD是⊙O內(nèi)的一對(duì)相交弦,交點(diǎn)為E則AE·BE=CE·DE另外,我們連接AC、BC、BD、AD,可得到一個(gè)圓內(nèi)接四邊形ABCD聯(lián)系初中的幾何知識(shí),我們知道∠CAD+∠CBD=180°,∠ACB+∠ADB=180°反過(guò)來(lái),在任意四邊形中,只要存在一組對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形就擁有一個(gè)外接圓,也就是存在一個(gè)圓使得這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在圓上,我們可稱(chēng)這個(gè)四個(gè)頂點(diǎn)共圓.如圖,點(diǎn)A、C、B、D四點(diǎn)共圓（我們?cè)诙约叭难a(bǔ)充說(shuō)明所作的努力,其實(shí)是為下面這個(gè)經(jīng)典難題服務(wù)的）四．證明“三條角平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”如圖,設(shè)I是△A’B’C’的垂心,A、B、C是三條高的垂足,連接AB、BC、AC設(shè)AB與C’C交點(diǎn)于F,BC于AA’交于點(diǎn)E,AC與BB’交于點(diǎn)E設(shè)AD=Ta,BE=Tb,CF=Tc,ID=x,IE=y,IF=z易知點(diǎn)A、C’、B、I四點(diǎn)共圓,點(diǎn)A、B’、C、I四點(diǎn)共圓,點(diǎn)A’、B、I、C四點(diǎn)共圓∴∠ABI=∠AC’I,∠IBC=∠IA’B’又∵∠AC’I=90°－∠C’B’C,∠IA’B’=90°－∠C’B’C∴∠AC’I=∠IA’B’∴∠ABI=∠IBC∴BE為△ABC的內(nèi)角平分線同理可證AD、CF也為△ABC的角平分線∴點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心∵BI是△ABD的內(nèi)角平分線∴AB=AI=Ta－x=Ta－1(內(nèi)角平分線定理)BDIDxx∵BA’是△ABD的外角平分線∴AB=AA’=AI+IA’=Ta－x+IA’=Ta+1(外角平分線定理)BDDA’IA’－IDIA’－xIA’－X∴Ta+1=AB=Ta－1IA’－xBDx解這個(gè)方程（IA’為未知數(shù)）得IA’=2x(Ta－x)2Ta－2x∴AI·A’I=(Ta－x)·2x(Ta－x)=2x(Ta－x)2Ta－2xTa－2x同理可證BI·IB’=2y(Tb－y)2,CI·IC’=2z(Tc－z)2Tb－2yTc－2z∵A、B、A’、B’四點(diǎn)同圓∴AI·A’I=BI·B’I（相交弦定理）∵B、C、B’、C’四點(diǎn)共圓∴BI·IB’=CI·IC’∴2x(Ta－x)2=2y(Tb－y)2=2z(Tc－z)2Ta－2xTb－2yTc－2z∴設(shè)x=u,y=v,z=wTaTbTc代入上式得：Ta2·u(1－u)2=Tb2·v(1－v)2=Tc2·w(1－w)2(=k)1－2u1－2v1－2w單獨(dú)對(duì)Ta2·u(1－u)2=k分析1－2u設(shè)f(u)=u(1－2u)2=k1－2uTa2對(duì)f(u)的單調(diào)性進(jìn)行判斷,由于f(u)比較復(fù)雜,直接對(duì)其求導(dǎo)f’(u)=(1－u)(4u2－3u+1)=(1+u)[(2u－?)2+7/16]（1－2u）2(1－2u)2∵u=x＜1∴1－u＞0∴f’(u)＞0Ta可見(jiàn)f(u)是單調(diào)遞增的函數(shù),所以當(dāng)Ta、k的值確定時(shí),u的值是唯一確定的,而且當(dāng)Ta的值確定時(shí),u的值隨k增大而增大同理,當(dāng)Tb、k的值確定時(shí),v的值是唯一確定的,而且當(dāng)Tb的值確定時(shí),v的值隨k增大而增大當(dāng)Tc、k的值確定時(shí),w的值是唯一確定的,而且當(dāng)Tc的值確定時(shí),w的值隨k增大而增大設(shè)BC=a,AC=b,AB=c∵Ta－1=Ta－x=AB=AB+AC=AB+AC=c+bxxBDBD+DCBCa∴Ta=c+b+1=a+b+c即有u=x=axaaTaa+b+c同理有v=y=b,w=z=c