第2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示第五章平面向量、復(fù)數(shù)考向預(yù)測(cè)核心素養(yǎng)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算承前啟后，不僅使向量的加法、減法和實(shí)數(shù)與向量的積完全代數(shù)化，也是學(xué)習(xí)向量數(shù)量積的基礎(chǔ)，還是高考中命題的熱點(diǎn)內(nèi)容．題型以選擇題、填空題為主，中低檔難度.邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算01基礎(chǔ)知識(shí)回顧一、知識(shí)梳理1．平面向量基本定理?xiàng)l件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)____________結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使________________________基底若e1，e2不共線(xiàn)，把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底不共線(xiàn)向量a＝λ1e1＋λ2e22.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝__________________，a－b＝________________________，λa＝_________________，|a|＝___________________．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；3．平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?________________________．(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝0

常用結(jié)論√3．(人A必修第二冊(cè)P30例5改編)已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案：(1，5)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一組基底．(

)(2)若a，b不共線(xiàn)，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(

)(3)平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變．(

)×√√√二、易錯(cuò)糾偏1．(基底概念理解不清致誤)設(shè)e1，e2是不共線(xiàn)的兩個(gè)向量，則下列四組向量不能構(gòu)成基底的是(

)A．e1與e1＋e2 B.e1－2e2與e2－2e1C．e1－2e2與4e2－2e1 D.e1＋e2與e1－e2解析：對(duì)于A，不存在實(shí)數(shù)λ，使e1＋e2＝λe1，所以e1＋e2與e1不共線(xiàn)，即e1與e1＋e2能構(gòu)成一個(gè)基底．對(duì)于B，設(shè)e1－2e2＝λ(e2－2e1)，則(1＋2λ)e1＝(2＋λ)e2，因?yàn)閑1，e2不共線(xiàn)，所以e1－2e2與4e2－2e1共線(xiàn)，即e1－2e2與4e2－2e1不能構(gòu)成一個(gè)基底．對(duì)于D，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則(λ－1)e1＝(1＋λ)e2，2．(平面向量基本定理應(yīng)用不清致誤)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，下列結(jié)論正確的是(

)A．存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝(x，y)B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點(diǎn)是原點(diǎn)OD．若x，y∈R，a≠0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)√解析：由平面向量基本定理，知A正確；例如a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄靠梢云揭?，所以a＝(x，y)與a的起點(diǎn)是不是原點(diǎn)無(wú)關(guān)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)時(shí)，a＝(x，y)是以a的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故D錯(cuò)誤．√02核心考點(diǎn)共研考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用(綜合研析)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解平面向量的基本定理及其意義．√【答案】

(2)6運(yùn)算遵法則、基底定分解(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系．(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該組基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每組基底下的分解都是唯一的．√考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(自主練透)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：1.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．2．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算．√2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，則c＝(

)A．(－23，－12) B.(23，12)C．(7，0) D.(－7，0)解析：3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12.√√√向量坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題的一般思路(1)向量問(wèn)題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線(xiàn)性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算．(2)巧借方程思想求坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用．考點(diǎn)三平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線(xiàn)的條件．角度1利用向量共線(xiàn)求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)

(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，若A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】

(1)(2，4)

(2)(一題多解)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3)．【答案】

(2)(3，3)【答案】－1(1)向量共線(xiàn)的兩種表示形式設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b?a＝λb(b≠0)；②a∥b?x1y2－x2y1＝0，至于使用哪種形式，應(yīng)視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用②.(2)兩向量共線(xiàn)的充要條件的作用判斷兩向量是否共線(xiàn)(平行)，可解決三點(diǎn)共線(xiàn)的問(wèn)題；另外，利用兩向量共線(xiàn)的充要條件可以列出方程(組)，求出未知數(shù)的值．√03課后達(dá)標(biāo)檢測(cè)√

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．設(shè)向量a＝(m，2)，b＝(1，m＋1)，且a與b的方向相反，則實(shí)數(shù)m的值為(

)A．－2B.1C．－2或1D.m的值不存在解析：向量a＝(m，2)，b＝(1，m＋1)，因?yàn)閍∥b，所以m(m＋1)＝2×1，解得m＝－2或1.當(dāng)m＝1時(shí)，a＝(1，2)，b＝(1，2)，a與b的方向相同，舍去；當(dāng)m＝－2時(shí)，a＝(－2，2)，b＝(1，－1)，a與b的方向相反，符合題意，故選A.√√解析：因?yàn)閍與b的方向相反，所以可設(shè)b＝(3t，－4t)(t>0)，又|b|＝10，則9t2＋16t2＝100，解得t＝2或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)．√√解析：如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸，AC所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)的坐標(biāo)