第2

章隨機過程2.1隨機過程的基本概念和統(tǒng)計特性2.2

平穩(wěn)隨機過程2.3高斯隨機過程2.4隨機過程通過線性系統(tǒng)2.5窄帶隨機過程2.6正弦波加窄帶高斯噪聲

2.1隨機過程的基本概念和統(tǒng)計特性

2.1.1隨機過程的基本概念

自然界中事物的變化過程可以大致分為兩類。一類是確定性過程,這類變化過程可以用確定的時間函數(shù)來描述,例如,電容器通過電阻放電時,電容兩端的電位差隨時間的變化就是一個確定的函數(shù)。

設(shè)有n臺性能完全相同的接收機,其工作環(huán)境和測試條件也完全相同,我們用n臺示波器同時觀測并記錄n臺接收機的輸出噪聲波形。測試結(jié)果表明,盡管設(shè)備和測試條件相同,但是所記錄的是n條隨時間起伏且各不相同的波形,如圖2-1所示。圖2-1樣本函數(shù)的總體

由此,可以給隨機過程下一個更為嚴(yán)格的定義:設(shè)Sk(k=1,2,…)是隨機試驗,每一次試驗結(jié)果都對應(yīng)圖2-1中的一條時間波形,記作xi(t),稱為樣本函數(shù)或一次物理實現(xiàn),所有可能出現(xiàn)的樣本函數(shù)的集合{x1(t),x2(t),…,xn(t),…}就構(gòu)成了一個隨機過程,記作ξ(t)。簡言之,隨機過程是全體樣本函數(shù)的集合,其中每個樣本函數(shù)都是一個確定的時間函數(shù)。至于每一次試驗后會出現(xiàn)集合中的哪一個樣本,是無法預(yù)知的,這正是隨機過程隨機性的體現(xiàn)。若給定某一觀察時刻t1,則全體樣本在時刻t1的取值ξ(t1)是一個隨機變量。也就是說,隨機過程在任意時刻是一個不含t變化的隨機變量。因此,隨機過程又可看作在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。從這個角度出發(fā),便于將描述隨機變量的方法推廣到隨機過程。

2.1.2-隨機過程的統(tǒng)計特性

由概率論知,隨機變量的統(tǒng)計特性由分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。這種方法也可用來描述隨機過程,因為隨機過程在任意給定時刻表現(xiàn)為一個隨機變量。

2.1.3隨機過程的數(shù)字特征

1.數(shù)學(xué)期望

2.方差

隨機過程ξ(t)的方差定義為

D[ξ(t)]常記為σ2(t)。可見方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機過程在時刻t對于數(shù)學(xué)期望a(t)的偏離程度。

3.相關(guān)函數(shù)

衡量隨機過程在任意兩個時刻獲得的隨機變量之間的關(guān)聯(lián)程度時,常用協(xié)方差函數(shù)B(t1,t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)。隨機過程ξ(t)的協(xié)方差函數(shù)定義為

式中,a(t1)與a(t2)分別為在t1及t2-時刻得到的ξ(t)的數(shù)學(xué)期望;f2(x1,x2;t1,t2為ξ(t)的二維概率密度函數(shù)。

隨機過程ξ(t)的相關(guān)函數(shù)定義為

由于B(t1,t2)和R(t1,t2)是衡量同一過程的相關(guān)程度的,因此它們分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。對于兩個或更多個隨機過程,可引入互協(xié)方差函數(shù)及互相關(guān)函數(shù)。設(shè)ξ(t)和η(t)分別表示兩個隨機過程,則互協(xié)方差函數(shù)定義為

互相關(guān)函數(shù)定義為

2.2-平穩(wěn)隨機過程

2.2.1定義設(shè)隨機過程為ξ(t),若對于任意正整數(shù)n和任意值h,其n維概率密度函數(shù)滿足則稱ξ(t)是嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機過程,簡稱嚴(yán)平穩(wěn)或狹義平穩(wěn)隨機過程。

該定義表明,平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化。換言之,它的任意有限維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān),反映在它的一維分布,則與時間t無關(guān),而二維分布只與時間間隔τ有關(guān),即有

和

以上兩式可由式(2.2-1)分別令n=1和n=2,并取h=-t1

證明。

于是,平穩(wěn)隨機過程ξ(t)的數(shù)學(xué)期望

為一常數(shù),這表示平穩(wěn)隨機過程的各樣本函數(shù)圍繞著一水平線起伏。同樣,可以證明平穩(wěn)隨機過程的方差σ2(t)=σ2=常數(shù),這表示它的起伏偏離數(shù)學(xué)期望的程度也是常數(shù)。

平穩(wěn)隨機過程ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)

僅是時間間隔τ=t2-t1的函數(shù),而不再是t1和t2-的二維函數(shù)。

式(2.2-4)和式(2.2-5)表明,平穩(wěn)隨機過程ξ(t)具有“平穩(wěn)”的數(shù)字特征:

(1)數(shù)學(xué)期望與時間無關(guān),即E[ξ(t)]=a;

(2)自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔τ有關(guān),即R(t1,t1+τ)=R(＝)。

實際中常用這兩個條件直接判斷隨機過程的穩(wěn)定性,并把同時滿足(1)和(2)的過程稱為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機過程。

通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲,大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。以后討論的隨機過程除特殊說明外,均假定是平穩(wěn)的,且均指廣義平穩(wěn)隨機過程,簡稱平穩(wěn)過程。

2.2.2-各態(tài)歷經(jīng)性

平穩(wěn)隨機過程在滿足一定條件下有一個有趣而又非常有用的特性,稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”。這種平穩(wěn)隨機過程,它的數(shù)字特征(均為統(tǒng)計平均)完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)(或稱樣本)的數(shù)字特征(均為時間平均)來替代。也就是說,假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機過程ξ(t)的任意一個實現(xiàn),它的時間均值和時間相關(guān)函數(shù)如下:

如果平穩(wěn)隨機過程依概率1使下式成立:

也就是說,平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計平均值等于它的任一實現(xiàn)的時間平均值,則稱該平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。

2.2.3平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

對于平穩(wěn)隨機過程而言,它的自相關(guān)函數(shù)是特別重要的一個函數(shù)。其一,平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性,如數(shù)字特征等,可通過自相關(guān)函數(shù)來描述;其二,自相關(guān)函數(shù)與平穩(wěn)隨機過程的譜特性有著內(nèi)在的聯(lián)系。因此,有必要了解平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。

2.2.4平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度

隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。隨機過程中的任一實現(xiàn)是一個確定的功率型信號,對于任意一個確定的功率信號f(t),它的功率譜密度為

式中,FT(ω)是f(t)的截短函數(shù)fT(t)(見圖2-2)所對應(yīng)的頻譜函數(shù)。圖2-2-功率信號f(t)及其截短函數(shù)

不妨把f(t)看成是平穩(wěn)隨機過程ξ(t)中的任一實現(xiàn),那么每一實現(xiàn)的功率譜密度也可用式(2.2-14)來表示。由于ξ(t)是無窮多個實現(xiàn)的集合,哪一個實現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的,因此,某一實現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是任一實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均,即

ξ(t)的平均功率S則可表示成

我們知道,確知的非周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對于平穩(wěn)隨機過程也成立。也就是說,平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度Pξ(ω)與其自相關(guān)函數(shù)R(τ)是一對傅里葉變換,即

關(guān)系式(2.2-17)稱為維納－辛欽定理,在平穩(wěn)隨機過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具。它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。

由維納辛欽定理可以推出功率譜密度Pξ(ω)有以下重要性質(zhì):

(1)Pξ(ω)具有非負(fù)性和實偶性,即有

這與R(τ)的實偶性相對應(yīng)。

(2)Pξ(ω)具有可積性,其曲線下的面積等于平穩(wěn)隨機過程的平均功率,即

這正是維納辛欽定理的意義所在。它指出了用自相關(guān)函數(shù)來表示功率譜密度的方法,同時還從頻域角度給出了平穩(wěn)隨機過程ξ(t)功率的計算法,而式R(0)=E[ξ2(t)]是時域計算法。這一點進一步驗證了R(τ)與功率譜密度Pξ(ω)的關(guān)系。

【例2-1】某隨機相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ),其中A和ωc均為常數(shù),θ是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機變量。

(1)求ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和平均功率;

(2)討論ξ(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。

(2)求ξ(t)的時間平均。根據(jù)式(2.2-6)可得

2.3高斯隨機過程

高斯過程是通信領(lǐng)域中最重要的一種過程。在實踐中觀察到的大多數(shù)噪聲都是高斯過程,例如通信信道中的熱噪聲就是一種高斯過程。所謂高斯隨機過程,是指隨機過程ξ(t)的任意n維(n=1,2,…)分布都是正態(tài)分布。因此,高斯隨機過程也稱為正態(tài)隨機過程。

2.3.1重要性質(zhì)

(1)高斯過程的統(tǒng)計特性完全由它的數(shù)字特征決定。例如,它的一維分布僅依賴于數(shù)學(xué)期望和方差。

(2)如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的,則它也是狹義平穩(wěn)的。

(3)如果高斯過程在不同時刻的取值(隨機變量)之間是不相關(guān)的,那么它們也是統(tǒng)計獨立的。

(4)高斯過程經(jīng)過線性變換(或線性系統(tǒng))后的過程仍是高斯過程。

2.3.2-高斯隨機變量

在以后分析問題時,常用到高斯過程的一維分布。例如,高斯過程在任一時刻上的樣值是一個一維高斯隨機變量,其一維概率密度函數(shù)可表示為

式中,a和σ2-分別為高斯隨機變量的數(shù)學(xué)期望方差。曲線f(x)如圖2-3所示。圖2-3正態(tài)分布的概率密度

由式(2.31)和圖2-3可知f(x)具有如下特性:

一般常用以下幾種特殊函數(shù):

2.3.3高斯白噪聲

信號在信道中傳輸時,常會遇到這樣一類噪聲,它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi),即

這種噪聲稱為白噪聲,它是一個理想的寬帶隨機過程。式(2.315)中n0為一常數(shù),單位是W/Hz。顯然,白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得,即

這表明,白噪聲只有在τ=0時才相關(guān),而它在任意兩個時刻上的隨機變量都是互不相關(guān)的。圖2-4畫出了白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)的圖形。

如果白噪聲又是高斯分布的,則稱之為高斯白噪聲。由式(2.316)可以看出,高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間不僅是互不相關(guān)的,還是統(tǒng)計獨立的。

應(yīng)當(dāng)指出,這種理想化的白噪聲在實際中是不存在的。圖2-4白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)

2.4隨機過程通過線性系統(tǒng)

通信的目的在于傳輸信號,信號和系統(tǒng)總是聯(lián)系在一起的。通信系統(tǒng)中的信號或噪聲一般都是隨機的,因此在以后的討論中我們必然會遇到這樣的問題:隨機過程通過系統(tǒng)后,輸出過程將是什么樣的過程?我們感興趣的是平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況。

如果把vi(t)看作是輸入隨機過程的一個樣本,則vo(t)可看作是輸出隨機過程的一個樣本。顯然,輸入過程ξi(t)的每個樣本與輸出過程ξo(t)的相應(yīng)樣本之間都滿足式(2.44)的關(guān)系。因此,輸入和輸出隨機過程也應(yīng)滿足式(2.44)的關(guān)系,即

假定輸入ξi(t)是平穩(wěn)隨機過程,現(xiàn)在來分析線性系統(tǒng)的輸出過程ξo(t)的統(tǒng)計特性。

1.輸出過程ξo(t)的數(shù)學(xué)期望

2.輸出過程ξo(t)的自相關(guān)函數(shù)

3.輸出過程ξo(t)的功率譜密度

【例2-2】帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為

解由上式得|H(ω)|2=K20,|ω|≤ωH。輸出功率譜密度為

可見,輸出噪聲的功率譜密度在|ω|≤ωH內(nèi)是均勻的,在此范圍外則為零,如圖2-5(a)所示,通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。

其自相關(guān)函數(shù)為

式中,ωH=2πfH。由此可見,帶限白噪聲只有在τ=k/(2fH)(k=1,2,3,…)上得到的隨機變量才不相關(guān)。它告訴我們,如果按抽樣定理對帶限白噪聲進行抽樣的話,則各抽樣值

是互不相關(guān)的隨機變量。這是一個很重要的概念。圖2-5帶限白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)

如圖2-5(b)所示,帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)Ro(τ)在τ=0處有最大值,這就是帶限白噪聲的平均功率:

4.輸出過程ξo(t)的概率分布

從原理上看,在已知輸入過程分布的情況下,通過式(2.45),即

總可以確定輸出過程的分布。其一個十分有用的情形是:如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的,則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。

因為從積分原理來看,上式可表示為一個和式的極限,即

由概率論得知,這個“和”的隨機變量也是高斯隨機變量。這就證明,高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后,其輸出過程仍為高斯過程。更一般地說,高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高

斯過程。

2.5窄帶隨機過程

隨機過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出,即為窄帶過程。所謂窄帶系統(tǒng),是指其通帶寬度Δf?fc,且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。實際中,大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的,通過窄帶系統(tǒng)的隨機信號或噪聲必然是窄帶隨機過程,其頻譜如圖2-6(a)所示。若用示波器