導(dǎo)教的背景（5月4日）

教學(xué)目標(biāo)理解函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限的具體意義

教學(xué)重點(diǎn)瞬時(shí)速度、切線的斜率、邊際成本

教學(xué)難點(diǎn)極限思想

教學(xué)過程

一、導(dǎo)入新課

1.瞬時(shí)速度

問題1：一個(gè)小球自由下落，它在下落3秒時(shí)的速度是多少

析：大家知道，自由落體的運(yùn)動公式是S=3/2（其中g(shù)是重力加速度）.

當(dāng)時(shí)間增量4很小時(shí)，從3秒到（3+加）秒這段時(shí)間內(nèi)，小球下落的快慢變化不

大,因此，可以用這段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落3秒時(shí)的速度.

從3秒到（3+4）秒這段時(shí)間內(nèi)位移的增量：

從而，7=—=29.4+4.9A/.

A/

從上式可以看出，4越小，包越接近米/秒；當(dāng)加無限趨近于0時(shí)，竺無限趨近

A/Ar

于米/秒.此時(shí)我們說，當(dāng)4趨向于0時(shí)，空的極限是.

A/

當(dāng)加趨向于0時(shí)，平均速度里的極限就是小球下降3秒時(shí)的速度，也叫做瞬時(shí)速度.

Ar

一般地，設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律是s=s（t）,則物體在t到（t+4）這段時(shí)間內(nèi)的平

均速度為竺=一叫如果△/無限趨近于。時(shí)，生無限趨近于某個(gè)常數(shù)a,就

ArArAr

說當(dāng)Z趨向于0時(shí)，包的極限為a,這時(shí)a就是物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度.

A/

2.切線的斜率

問題2：P（1,1）是曲線），=/上的一點(diǎn)，Q是曲線上點(diǎn)p附近的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線

逐漸向點(diǎn)P趨近時(shí)割線PQ的斜率的變化情況.

析：設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1+Ar，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為（1+AC2,點(diǎn)Q對于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)

的增量（即函數(shù)的增量）Ay=（l+Ar）2-l=2Ar+（Ax）2,

所以，割線PQ的斜率％=包=必匕竺五=2+—.

AxAx

由此可知，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí)，—變得越來越小，砥過越來越接近2；

當(dāng)點(diǎn)Q無限接近于點(diǎn)P時(shí)，即以無限趨近于0時(shí)，的。無限趨近于2.這表明，割線PQ

無限趨近于過點(diǎn)P且斜率為2的直線.我們把這條直線叫做曲線在點(diǎn)P處的切線.由

點(diǎn)斜式，這條切線的方程為：)，=2x-1.

一般地，已知函數(shù)y=/(力的圖象是曲線C,PCo，＞7),Q(x0+AA\yQ+Ay)是曲

線C上的兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí)，割線PQ繞著點(diǎn)P轉(zhuǎn)動.當(dāng)點(diǎn)Q沿著

曲線無限接近點(diǎn)P,即很趨向于0時(shí)，如果割線PQ無限趨近于一個(gè)極限位置PT,那么

直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線.此時(shí)，割線PQ的斜率=且無限趨近于切線PT

的斜率k,也就是說，當(dāng)原趨向于0時(shí)，割線PQ的斜率&頂=包的極限為k.

3.邊際成本

問題3：設(shè)成本為C,產(chǎn)量為q,成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為C?/)=3/+10,我們來研

究當(dāng)q=50時(shí)，產(chǎn)量變化對成本的影響.在本問題中，成本的增量為：

AC=C(50+△夕)-C(50)=3(50+仙尸+10—(3x50?+10)=3C0Aq+3(A^)2.

產(chǎn)量變化”對成本的影響可用：AG=300+3Aq來刻劃，M越小，些越接近300；當(dāng)

△qbq

“無限趨近于0時(shí)，些無限趨近于300,我們就說當(dāng)g趨向于0時(shí)，江的極限是300.

NqNq

我們把好的極限300叫做當(dāng)q=50時(shí)C(g)=3/+10的邊際成本.

△q

一般地，設(shè)C是成本，q是產(chǎn)量，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為C=C(q),當(dāng)產(chǎn)量為名,

時(shí)，產(chǎn)量變化弱對成本的影響可用增量比些=~%+"一?。)刻劃.如果△夕無限

bqbq

趨近于0時(shí)，之無限趨近于常數(shù)A,經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱A為邊際成本.它表明當(dāng)產(chǎn)量為4。時(shí),

增加單位產(chǎn)量需付出成本A(這是實(shí)際付出成本的一個(gè)近似值).

二、小結(jié)

瞬時(shí)速度是平均速度上■當(dāng)△，趨近于0時(shí)的極限；切線是割線的極限位置，切線的斜

A/

率是割線斜率竺當(dāng)Ar趨近于0時(shí)的極限；邊際成本是平均成木區(qū)當(dāng)村趨近于0時(shí)的

AvNq

極限.

三、練習(xí)與作業(yè)：

1.某物體的運(yùn)動方程為5。）=5產(chǎn)（位移單位：m,時(shí)間單位：s）求它在t=2s時(shí)的速

度.

2.判斷曲線），=2/在點(diǎn)P（1,2）處是否有切線，如果有，求出切線的方程.

3.已知成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=2d+5,求當(dāng)產(chǎn)量q=80時(shí)的邊際成本.

4.一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離h（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）

之間的函數(shù)關(guān)系為人=/，求t=4s時(shí)此球在垂直方向的瞬時(shí)速度.

5.判斷曲線），=!/在（1,1）處是否有切線，如果有，求出切線的方程.

22

6.己知成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系為C=4/+7,求當(dāng)產(chǎn)量q=30時(shí)的邊際成本.

導(dǎo)數(shù)的概念Q5R40）

教學(xué)目標(biāo)與要求：理解導(dǎo)數(shù)的概念并會運(yùn)用概念求導(dǎo)數(shù)。

教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念以及求導(dǎo)數(shù)

教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念

教學(xué)過程：

一、導(dǎo)入新課：

上節(jié)我們討論了瞬時(shí)速度、切線的斜率和邊際成本。雖然它們的實(shí)際意義不

同，但從函數(shù)角度來看，卻是相同的，都是研究函數(shù)的增量與自變量的增量的比

的極限。由此我們引出下面導(dǎo)數(shù)的概念。

二、新授課：

1.設(shè)函數(shù)y=/（x）在4=/處附近有定義，當(dāng)自變量在x=x0處有增量6時(shí)，則函

數(shù)y=/@）相應(yīng)地有增量△），=/（/+心）-/（/）,如果AYFO時(shí)，△），與右的比包

Ar

（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即竺無限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值

?

叫做函數(shù)y=/（x）在x->.7處的導(dǎo)數(shù)，記作yly%，即

注：1.函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)飛的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在。

2.在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，?趨近于0可正、可負(fù)、但不為0,而△），可能為

0o

3.竺是函數(shù)y=f（x）對自變量x在加范圍內(nèi)的平均變化率，它的幾何意義是

過曲線），=/（為上點(diǎn)（/,/（%））及點(diǎn)（與+■,/（/+-））的割線斜率。

4.導(dǎo)數(shù)，（%）=lim叢但二3是函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)與的處瞬時(shí)變化率，

ASO

它反映的函數(shù)y-"2在點(diǎn)x。處變化的快慢程度，它的幾何意義是曲線

y=/（X）上點(diǎn)（x0,/（x0））處的切線的斜率。因此,如果y=/（x）在點(diǎn)可導(dǎo)，

則曲線），=/（外在點(diǎn)（/j（x。））處的切線方程為1-〃/）=尸（%）a-%）。

5.導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念，它只與函數(shù)y=/（x）在與及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與

AY無關(guān)。

6.在定義式中，設(shè)x=x0+Ax,則A3%-%,當(dāng)Ar趨近于0肘，x趨近于飛,

因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成/（工。）=lim/（工。+祗）一/（1。）=lim八］）7（"。

△iM-5.r-x0

7.若極限limf（Xo+?T5）不存在,則稱函數(shù)y=/Q）在點(diǎn)/處不可導(dǎo)。

AD故

8.若/（X）在/可導(dǎo)，則曲線y=/（x）在點(diǎn)（/，/（/））有切線存在。反之不然,

若曲線y=/（x）在點(diǎn)（/,/（%））有切線，函數(shù)「=/（x）在/不一定可導(dǎo)，并且,

若函數(shù)y=/（x）在與不可導(dǎo)，曲線在點(diǎn)（x°J（x。））也可能有切線。

一般地，liin（a+b/\x）=a,其中a/為常數(shù)。

特別地，lima—ao

Av->0

如果函數(shù))，=/(x)在開區(qū)間(a,力內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對于每一個(gè)

工￡(〃力)，都對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)尸仄)。稱這

個(gè)函數(shù)/。)為函數(shù)y=f(外在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，也可記作了，即

a、/..../(x+A,r)-/(x)

f(x)=y=lun—=lim---------

ArT)\\&TO\X

函數(shù)y=/(x)在/處的導(dǎo)數(shù))“就是函數(shù))』/")在開區(qū)間(a,b)(xG(外加)上導(dǎo)

數(shù),⑴在X。處的函數(shù)值，即所以函數(shù)y=/W在X。處的導(dǎo)數(shù)也記

作;(與)。

注：1.如果函數(shù))，=/(幻在開區(qū)間(4〃)內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù))，=/(x)在開

區(qū)間(4力)內(nèi)可導(dǎo)。

2.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函

數(shù)；求一個(gè)函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)值。它們之間的關(guān)系是函數(shù)

)，=/(外在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)/⑴在點(diǎn)與的函數(shù)值。

3.求導(dǎo)函數(shù)時(shí)，只需將求導(dǎo)數(shù)式中的與換成x就可，即f(x)=

Hm/U+ZLv)-/(x)

Av->oAx

4.由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù))，=f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法是：

(1).求函數(shù)的改變量△y=/(x+AD-/(x)。

(2).求平均變化率包=/("+")一/⑴。

AxAx

(3).取極限，得導(dǎo)數(shù)y，=lim包。

&-?0Ax

例1.求y=2/-1在x=-3處的導(dǎo)數(shù)。

例2.已知函數(shù))，=/+x

(1)求心

(2)求函數(shù)_)，=/+x在x=2處的導(dǎo)數(shù)。

小結(jié)：理解導(dǎo)數(shù)的概念并會運(yùn)用概念求導(dǎo)數(shù)。

練習(xí)與作業(yè)：

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=3x-4；(2)y=\-2x

(3)y=3x2-12x⑶y=5-x3

2.求函數(shù)y=1+i在一1,0,I處導(dǎo)數(shù)。

3.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：

22

(1)y=x,x0=2；(2)y=—x,x0=0；

22

(3)y=(x-2),x0=1(4)y=x-x,x0=-1.

4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=4x+l;(2)y=10-x2；

(3)y=2x3-3x;(4)y=2x2+7o

5.求函數(shù)y=--2x在一2,0,2處的導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)教的概念習(xí)題課(5月6日)

教學(xué)目標(biāo)理解導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念，掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

教學(xué)重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念及求導(dǎo)法則

教學(xué)難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念

一、課前預(yù)習(xí)

1.在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)值的改變量_______________________與相應(yīng)自變量

的改變量—的商當(dāng)_____________________________

2.若/(X)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)r(x),稱r(x)為函數(shù)/(x)的導(dǎo)函

數(shù)；求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求:求一個(gè)函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是

求.函數(shù)/(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)就是.

3.常數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的求導(dǎo)公式：(c)y=_(V)=(〃eN")

4.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：若,則：

二、舉例

例1.設(shè)函數(shù)=求：

(1)當(dāng)自變量x由1變到時(shí)，自變量的增量At；

(2)當(dāng)自變量x由1變到時(shí)，函數(shù)的增量Ay；

(3)當(dāng)自變量x由1變到時(shí)，函數(shù)的平均變化率；

(4)函數(shù)在x=l處的變化率.

例2.生產(chǎn)某種產(chǎn)品q個(gè)單位時(shí)成本函數(shù)為C(q)=200+0.05q2,求

(1)生產(chǎn)90個(gè)單位該產(chǎn)品時(shí)的平均成本；

(2)生產(chǎn)90個(gè)到100個(gè)單位該產(chǎn)品時(shí)，成本的平均變化率；

(3)生產(chǎn)90個(gè)與100個(gè)單位該產(chǎn)品時(shí)的邊際成本各是多少.

例3.己知函數(shù)/(?=/,由定義求尸⑴,并求尸(4).

例4.已知函數(shù)f(x)=(or+力尸(a,b為常數(shù)),求尸(幻.

例5.曲線y=/2上哪一點(diǎn)的切線與直線),=3-］平行

三、鞏固練習(xí)

1.若函數(shù)=則［/(_2"=

2.如果函數(shù))，=/(外在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)分別為：

zz

(1)/Uo)=O(2)/(x0)=l

/

(3)/(x0)=-I(4)r(x0)=2,

試求函數(shù)的圖象在對應(yīng)點(diǎn)處的切線的傾斜角.

3.已知函數(shù)/。)=1一2一,求r(0),//(!),.

4

4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)y=-x2+3x+2(2)y=-x3--x2+5x-\

2-43

(3)y=x\x2-4)(4)y=(2x-l)2(3.r+2)

四、作業(yè)

1.若lim/(x)存在，貝lj[lim/(/)]'=

2.若f(x)=x2,貝Ulim八劃一/⑴=___________________________

Ix-1

3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(1)y=2x4-20x2-40x+\(2)y=3+2工+4x2-5x3-§

6

(3)y=(2x3+1)(3x2+x)(4)y=(x+2)2(x-l)3

4.某工廠每日產(chǎn)品的總成本C是日產(chǎn)量x的函數(shù)，即C（x）=1000+7x+51,試求:

（1）當(dāng)日產(chǎn)量為100時(shí)的平均成本；

（2）當(dāng)日產(chǎn)量由100增加到125時(shí)，增加部分的平均成本；

（3）當(dāng)日產(chǎn)量為100時(shí)的邊際成本.

5.設(shè)電量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為。=2/2+夕+1,求t=3s時(shí)的電流強(qiáng)度.

6.設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程是$=3r+2/+1,計(jì)算從t=2到t=2+加之間的平均速度,

并計(jì)算當(dāng)4=時(shí)的平均速度，再計(jì)算t=2時(shí)的瞬時(shí)速度.

7.若曲線y=3/+］的切線垂直于直線2x+6y+3=O,試求這條切線的方程.

8.在拋物線），=2+x,/上，哪一點(diǎn)的切線處于下述位置

（1）與x軸平行

（2）平行于第一象限角的平分線.

(3)與x軸相交成45°角

9.已知曲線3=2%-％2上有兩點(diǎn)A(2,0),B(1,1),求：

(1)割線AB的斜率占而(2)過點(diǎn)A的切線的斜率的,；

(3)點(diǎn)A處的切線的方程.

10.在拋物線y=/上依次取M(1,1),N(3,9)兩點(diǎn)，作過這兩點(diǎn)的割線，問：

拋物線上哪一點(diǎn)處的切線平行于這條割線并求這條切線的方程.

11.已知一氣球的半徑以10cn)/s的速度增長，求半徑為10cm時(shí)，該氣球的體積與

表面積的增長速度.

12.一長方形兩邊長分別用x與y表示，如果x以s的速度減小，y邊以s的速度

增加，求在x=20m,y=15m時(shí)，長方形面積的變化率.

13.(選做)證明：過曲線芍=/上的任何一點(diǎn)(%,加)(x0>0)的切線與兩坐

標(biāo)軸圍成的三角形面積是一個(gè)常數(shù).(提示：己)/=-1)

x二

導(dǎo)教的應(yīng)用習(xí)題課(5月8日)

教學(xué)目標(biāo)掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值

教學(xué)重點(diǎn)多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值的求法

教學(xué)難點(diǎn)多項(xiàng)式函數(shù)極值點(diǎn)的求法、多項(xiàng)式函數(shù)最值的應(yīng)用

一、課前預(yù)習(xí)

1.設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，則)、=/(幻是

這個(gè)區(qū)間內(nèi)的;如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi),則)，=/3)是這個(gè)區(qū)間內(nèi)的

2.設(shè)函數(shù))，=/(*在x=x0及其附近有定義，如果/(%)的值比與附近所有各點(diǎn)的值

都大(小)，則稱f(xQ)是函數(shù))，=/(X)的一個(gè).

3.如果y=在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則可以這樣求它的極值:

（1）求導(dǎo)數(shù);（2）求方程的根（可

能極值點(diǎn)）；

（3）如果在根的左側(cè)附近為右側(cè)附近為則函數(shù)），=/（幻在這個(gè)根處取得

極—值；如果在根的左側(cè)附近為右側(cè)附近為則函數(shù)y=/（x）在這個(gè)

根處取得極—值.

4.設(shè)y=f（x）是定義在［a,b］上的函數(shù),y=f（x）在（a,b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，可以這樣求

最值：

（1）求出函數(shù)在（a,b）內(nèi)的可能極值點(diǎn)（即方程產(chǎn)（外=0在（a,b）內(nèi)的根

內(nèi),％2,…,X”）；

（2）比較函數(shù)值/（〃），/⑹與/（3）,/（9）,…J（X”），其中最大的一個(gè)為最大值,

最小的一個(gè)為最小值.

二、舉例

例1.確定函數(shù)/（X）=2/_9/+12X-3的單調(diào)區(qū)間.

例2.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度是3）=」--7/+15〃+3,問：從t=0到t=10這段時(shí)

4

間內(nèi)，運(yùn)動速度的改變情況怎樣

例3.求函數(shù)f（x）=；/_柒+4的極值.

例4.設(shè)函數(shù)/（工）」0￥3+］_歷2+］在陽=1與々=2處取得極值，試確定a和b的

32

值，并問此時(shí)函數(shù)在M與乙處是取極大值還是極小值

例5.求函數(shù).f（x）=3/-9x+5在［-2,2］上的最大值和最小值.

例6.矩形橫梁的強(qiáng)度與它斷面的高的平方與寬的積成正比例，要將直徑為d的圓

木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，斷面的寬和高應(yīng)為多少

例7.求內(nèi)接于拋物線），=1-V與*軸所圍圖形內(nèi)的最大矩形的面枳.

例8.某種產(chǎn)品的總成本C（單位：萬元）是產(chǎn)量x（單位：萬件）的函數(shù)：

C（x）=100+6x-0.04x2+0.02x3,試問：當(dāng)生產(chǎn)水平為x=10萬件時(shí)，從降低

單位成本角度看，繼續(xù)提高產(chǎn)量是否得當(dāng)

三、鞏固練習(xí)

1.若函數(shù)/（幻在區(qū)間［a,b］內(nèi)恒有則此函數(shù)在［a,b］上的最小值是—

2.曲線+l的極值點(diǎn)是---------------------------

3.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-(ax)?-at-a在x=1處取得極大值-2,則a=

4.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

32

（1）y=2x+3x-\2x+\(2)y=(X+1)2(X+2)

5.求下列函數(shù)的極值：

23

（1）y=x-4x+6,(2)y=x-3A2-9x+5,[-4,4]

6.求下列函數(shù)的最值：

（1）y=x2-4x+6,［—3,1。］(2)y=--3f,[-1,4]

7.設(shè)某企業(yè)每季度生產(chǎn)某個(gè)產(chǎn)品q個(gè)單位時(shí)，總成本函數(shù)為C（4）=的3-32+”,

（其中a>0,b>0,c>0）,求：（1）使平均成本最小的產(chǎn)量（2）最小平均成本

及相應(yīng)的邊際成本.

8.一個(gè)企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批生產(chǎn)q單位時(shí)的總成本為C（g）=3+c/（單位：百

元），可得的總收入為R（q）=6q-/（單位：百元），問：每批生產(chǎn)該產(chǎn)品多

少單位時(shí)，能使利潤最大最大利潤是多少

9.在曲線y=1--（彳之0,”0）上找一點(diǎn)（io，%）,過此點(diǎn)作一切線，與x軸、y軸

構(gòu)成一個(gè)三角形，問：X。為何值時(shí)，此三角形面積最小

10.已知生產(chǎn)某種彩色電視機(jī)的總成本函數(shù)為C(q)=2.2xKT%+8xl()7,通過市場調(diào)

查，可以預(yù)計(jì)這種彩電的年需求量為4=3.1x105-50〃，其中p(單位：元)

是彩電售價(jià)，q(單位：臺)是需求量.試求使利潤最大的銷售量和銷售價(jià)

格.

9次式備率的導(dǎo)強(qiáng)(5月6日)

教學(xué)目的：會用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：多項(xiàng)式函數(shù)的求導(dǎo)

一、復(fù)習(xí)引入

1、已知函數(shù)/.*)=/,由定義求尸(幻，并求廣(4)

2、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)常數(shù)函數(shù)y=C(2)函數(shù)y=

二、新課講授

1、兩個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

2、易蜘的運(yùn)算法則：

如果函數(shù)/(x)、以外有導(dǎo)數(shù)，那么

也就是說，兩個(gè)函數(shù)的和或差的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和或差;常數(shù)與

函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1))，=7/(2)y=-3x4(3)v=4x5+3x3

(4)y=(x2+l)(x-2)(5)/(x)=(ax+b)2(a>〃為常數(shù))

例2：已知曲線上一點(diǎn)p(2,§,求：

<1)過點(diǎn)P的切線的斜率；(2)過點(diǎn)P的切線方程.

三、課堂小結(jié)：多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用

四、課堂練習(xí)：1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=8.r2(2)y=2x-\(3)y=2x2+x(4)y=3x3-4x

(5)>'=(2x-l)(3x+2)(6)y=x2U3-4)

2、已知曲線y=4x-V上有兩點(diǎn)A(4,0),B(2,4),求：

(1)割線AB的斜率心旌(2)過點(diǎn)A處的切線的斜率A.；(3)點(diǎn)A處的切線的

方程.

3、求曲線y=3/_4x+2在點(diǎn)M(2,6)處的切線方程.

五、課堂作業(yè)

1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=5x2-4^+1(2)y=-5x2+3x+7(3)y=lx1+13^-10

(4)y=3+x-3x3(5)y=2.r^-3x2+5x-4(6)fix)=(2+x)(3-x)

(7)/(x)=3x4-23x3+40x-10(8)/(X)=(A-2)2+X

(9)f(x)=(2xy-\)(3x2+x)(10)y=3(2x+l)2-4x

2、求曲線)，=2.r-在工=-1處的切線的斜率。

3、求拋物線)，在x=2處及x=-2處的切線的方程c

4

4、求曲線)，=/_3/+1在點(diǎn)P(2,-3)處的切線的方程。

函數(shù)的單調(diào)性與極值(5月10日)

教學(xué)目標(biāo)：正確理解利用導(dǎo)致判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理：

掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法；

教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；

教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性

教學(xué)過程：

一引入：

以前，我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設(shè)xWx2的前提下，比較

f(xJ〈f(X2)與的大小,在函數(shù)尸f(x)比較復(fù)雜的情況下,比較f(xj與f(x”的大

小并不很容易.如果利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡單.

二新課講授

［函數(shù)單調(diào)性

我們已經(jīng)知道，曲線尸f(x)的切線的斜率就是函數(shù)尸f(x)的導(dǎo)數(shù).從函數(shù)

),=/一4.1+3的圖像可以看至IJ：在區(qū)間(2,+8)內(nèi)，切線的斜率為正，函數(shù)y=f(x)

的值隨著x的增大而增大，即<>0時(shí)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,+8)內(nèi)為增函

數(shù)；在區(qū)間(-8,2)內(nèi)，切線的斜率為負(fù)，函數(shù)y=flx)的值隨著x的增大而減

小，即y，<0時(shí)，函數(shù)廠f(x)在區(qū)間Joo.2)內(nèi)為減函數(shù).

定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi))，'>0,那

么函數(shù)y=f(x)在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)./<0,那么函數(shù)

y=f(x)在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)。

例1確定函數(shù)y=2、+4在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)。

例2確定函數(shù)y=2/-61+7的單調(diào)區(qū)間。

2極大值與極小值

觀察例2的圖可以看出，函數(shù)在X=0的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都

大，我們說f(0)是函數(shù)的一個(gè)極大值；函數(shù)在42的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的

函數(shù)值都小，我們說f(0)是函數(shù)的一個(gè)極小值。

一般地，設(shè)函數(shù)尸f(x)在x=x。及其附近有定義，如果〃/)的值比附近所有各

點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們說f(%)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極大值；如果/(%)的值比看

附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們說f(%)是函數(shù)y二fix)的一個(gè)極小值。極大值

與極小值統(tǒng)稱極值。

在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)

值。請注意以下幾點(diǎn)：

(i)極值是一個(gè)局部概念。由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的

函數(shù)值比較是最大或最小。并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。

(ii)函數(shù)的極值不是唯一的。即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極

小值可以不止一個(gè)。

（iv）M數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)地由加部，區(qū)回的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)。而

（iii）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系。即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于

極小值，如f圖所示，為是極大值點(diǎn)，匕是極小值點(diǎn)，而/34）＞/區(qū)）。

使函數(shù)取得最大值一雖小值的點(diǎn)可能在區(qū)畫出部，：也可能在區(qū)間的端點(diǎn)。

跪有力線的話，則切線是水平的，

由上圖可以看得顏處，如果曲

從而有/（x）=O;但反過來對一定。如函數(shù)y=卜，總工=0處，曲線的切線是水平

：!：-?I

---------1-----!--------1--------------!-----：------!-------?

的，但這點(diǎn)加函數(shù)值既不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值大,也不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值

小。假設(shè)工。使/'（%）=0,那么X。在什么情況下是的極值點(diǎn)呢

y

如.上左圖所心U是/（幻的極大值點(diǎn)，則與兩側(cè)附近點(diǎn)的函數(shù)值必須小于r（A0）o

因巾，r的左側(cè)附近/（用只能是增函我，彈中行水/的右側(cè)附近/（幻只能是減

Mii!

函由"同就如上右圖所無，若人這極小值總則伽。的左側(cè)附近,幻

a兒baXob

只能是減函數(shù)，即八X）＜0,在X。的右側(cè)附近/（工）只能是增函數(shù)，即人》＞0,從而

我們得出結(jié)論：若見滿足廣（士））=0,且在.%的兩側(cè)/（幻的導(dǎo)數(shù)異號，則/是/（工）

的極值點(diǎn)，/（X。）是極值，并且如果廣⑴在X。兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則與是/（X）

的極大值點(diǎn)，/（%）是極大值；如果廣⑶在X。兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則X。是/（X）

的極小值點(diǎn)，/*0）是極小值。

例3求函數(shù)y=：/一4x+4的極值。

三小結(jié)

1求極值常按如下步驟：

①確定函數(shù)的定義域：

②求導(dǎo)數(shù)；

③求方程)/=0的根，這些根也稱為可能極值點(diǎn)；

④檢查在方程的根的左右兩側(cè)的符號，確定極值點(diǎn)。(最好通過列表法)

四鞏固練習(xí)

1確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

(1)y=2--5x+7(2)y=3x-x3

2求下列函數(shù)的極值

(1)y=x2-lx+6(2)y--2x2+5/

(3)y=x5-27x(4)y=3x2-x3

五課堂作業(yè)

1確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

(1)y=-4x+2(2)y=(x-1)2

(3)y=-x2-2x+5(4)y=x3-x2-x

2求下列函數(shù)的極值

(1)y=x2-4x+10(2)y=-2x2+4x-7

(3)y=x3+3x2-\(4)y=6+\2x-x3

(5)y=4/-3』-6x(6)y=2--/

函數(shù)的極限(4月29日)

教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生掌握當(dāng)XT與時(shí)函數(shù)的極限；

2、了解：lim/(x)=A的充分必要條件是limf(x)=limf(x)=A

教學(xué)重點(diǎn)：掌握當(dāng)x->與時(shí)函數(shù)的極限

教學(xué)難點(diǎn)：對“X。.7時(shí)，當(dāng)4->與時(shí)函數(shù)的極限的概念”的理解。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)：

(1)limqn=|d<l;(2)lim\=.(ksAT)

(3)limx2=?

x—>2

二、新課

就問題（3）展開討論：函數(shù)），=/當(dāng)x無限趨近于2時(shí)的變化趨勢

當(dāng)X從左側(cè)趨近于2時(shí)（X-2-）

當(dāng)x從右

2

側(cè)趨近于

y=x22時(shí)

(x.2'

)

當(dāng)x無限趨近于1（XH1）時(shí)的變化趨勢；

函數(shù)的極限有概念：當(dāng)自變量x無限趨近于/（—X。）時(shí)，如果函數(shù)），=/（?無

限趨近于一個(gè)常數(shù)A,就說當(dāng)x趨向與時(shí)，函數(shù)>=/*）的極限是A,記作

limf（x）=Ao

IM

特別地，limC=C；limx=1°

?I孫X->X0

三、例題

求下列函數(shù)在x=o處的極限

2_2F〉0

（1）lim—7------（2）lim—（3）f（x]=O,x=0

J。2x-x-\J。x

1+x<0

四、小結(jié)：函數(shù)極限存在的條件；如何求函數(shù)的極限。

五、練習(xí)及作業(yè)：

1、對于函數(shù)），=2工+1填寫下表，并畫出函數(shù)的圖象，觀察當(dāng)x無限趨近于1時(shí)的變化

趨勢，說出當(dāng)xf1時(shí)函數(shù)y=2x+l的極限

y=2X+112、對干函數(shù)

），=，_］填寫下

y=2X4-1表，并畫出函數(shù)的圖

象，觀察當(dāng)x無限趨

近于3時(shí)的變化趨勢，說出當(dāng)匯-3時(shí)函數(shù)），=V_1的極限

§

3*lim——-------

-v->,2廠—x—1

..(X-1)3+(1-3X)

lim-----；-----：

3x~+2x-

lim2(sinx-cosx-x2)

..J1+2x-3「y/a2+x-a/八、..1

lim———-----lim----------（a>0）hm—

X->4y/x-2XTOXKTOX

函數(shù)的最大與最小值（5月8日）

教學(xué)目標(biāo)；1、使學(xué)生掌握可導(dǎo)函數(shù)/6?）在閉區(qū)間［a,句上所有點(diǎn)（包括端點(diǎn)

a,b）處的函數(shù)中的最大（或最?。┲担?/p>

2、使學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法

教學(xué)重點(diǎn)：掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法

教學(xué)難點(diǎn)：提高“用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值”的應(yīng)用能力

一、復(fù)習(xí)：

1、（X"）=;2、［C/（x）±g（x）］=

3、求y=x3-27x的極值。

—\新課

的最大值是_______,最小值是一

在區(qū)間上求），=fM的最大值與最小值0W

1、函數(shù)3,=/(T)在(〃,〃)內(nèi)有多數(shù)：

2、求)，=/(X)在(4,勿內(nèi)的極值

3、將函數(shù)＞，=/(刈在(〃/)內(nèi)的極值與/(a)JS)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，

最小的一個(gè)為最小值

三、例1、求函數(shù))，=/-2/+5在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值。

解：先求導(dǎo)數(shù),得爐=41-4x

3

令jJ=0即4x-4x=()解得x1=-l,x2-0,x3-1

導(dǎo)數(shù))/的正負(fù)以及/(-2),/⑵如下表

X(-2.-1)：一1?0)0(0.1)1(1.2)2

21

y;0+0—0+

y1345413

從上表知，當(dāng)工=±2時(shí)，函數(shù)有最大值13,當(dāng)工=±1時(shí)，函數(shù)有最小值4

在日常生活中，常常會遇到什么條件下可以使材料最省，時(shí)間最少,

效率最高等問題，這往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題。

例2用邊長為60CM的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的水箱，先在四個(gè)角分

別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90。角，再焊接而成，問水

箱底邊的長取多少時(shí)，水箱容積最大，最大容積是多少

例3、己知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量P的函數(shù)關(guān)系為C=100+4P,價(jià)格

R與產(chǎn)量P的函數(shù)關(guān)系為R=25一,求產(chǎn)量P為何值時(shí)，利潤L最

大。

四、小結(jié)：

1、閉區(qū)間限以上的連續(xù)函數(shù)一定有最值：開區(qū)間3。)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)

不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值。

2、函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可

能不止一個(gè)，也可能沒有一個(gè)。

3、在解決實(shí)際應(yīng)用問題中，關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)；如果函數(shù)

在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么根據(jù)實(shí)際意義判斷是最大值還是最小值即可，

不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較。

五、練習(xí)及作業(yè)：：

1、函數(shù))，=--5x+4在區(qū)間［-1,1］上的最大值與最小直

2、求函數(shù)y=在區(qū)間上的最大值與最小值。

3、求函數(shù)y=/_2/+5在區(qū)間［_2,2］上的最大值與最小值。

4、求函數(shù)y=./+5x4+5/+1在區(qū)間［-1,4］上的最大值與最小值。

5、給出下面四個(gè)命題

(1)函數(shù)>-51+4在區(qū)間［-川上的最大值為10,最小值為一2

4

(2)函數(shù)y=2/_4x+l(2VXV4)上的最大值為17,最小值為1

(3)函數(shù)y=/-12x(-3VXV3)上的最大值為16,最小值為T6

(4)函數(shù))，=/_］24(—2<X<2)上無最大值也無最〃值。

其中正確的命照_____________________

6、把長度為LCM的線段分成四段，圍成一個(gè)矩形，問怎樣分法，所圍成矩形的

面積最大。

7、把長度為LCM的線段分成二段，圍成一個(gè)正方形，問怎樣分法，所圍成正方

形的面積最小。

8、某商品一件的成本為30元,在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件X元出售，可以賣出(200-X)

件，應(yīng)該如何定價(jià)才能使利潤L最大

9、在曲線Y=l—X2(X>0,Y>0)上找一點(diǎn)了(為,)，。)，過此點(diǎn)作一切線，與X、Y

軸構(gòu)成一個(gè)三角形，問X。為何值時(shí)，此三角形面積最小

10、要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的圓柱形水池，已知底的單位面積造價(jià)是側(cè)面的單位面

積造價(jià)的一半，問：如何設(shè)計(jì)水池的底半徑和高，才能使總造價(jià)最少(提示：

函數(shù)極限的運(yùn)算法則(4月30日)

教學(xué)目標(biāo)：掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則，并會求簡單的函數(shù)的極限

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用函數(shù)極限的運(yùn)算法則求極限

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限法則的運(yùn)用

教學(xué)過程：

一、引入：

一些簡單函數(shù)可從變化趨勢找出它們的極限，如linJ=O,limx=x..若求極限

X->C工XT/

的函數(shù)比較復(fù)雜，就要分析已知函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)經(jīng)過怎樣的運(yùn)算結(jié)合而成

的，已知函數(shù)的極限與這些簡單函數(shù)的極限有什么關(guān)系，這樣就能把復(fù)雜函數(shù)的

極限計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的極限的計(jì)算.

二、新課講授

對于函數(shù)極限有如下的運(yùn)蒙宏順

如果lim/（X）=A,limg（x）=3,那么

也就是說，如果兩個(gè)函數(shù)都有極限，那么這兩個(gè)函數(shù)的和、差、枳、商組成

的函數(shù)極限，分別等于這兩個(gè)函數(shù)的極限的和、差、積、商（作為除數(shù)的函數(shù)的

極限不能為0）.

說明:4J是常數(shù).n晶F整數(shù):時(shí),

XT/Xf%

這些法則對于KT8的情況仍然適用.

三典例剖析

例1求limC?+3x）

XT2

例2求lim2工一廠+1

—x+1

例3求lim-----

.￥->4x-4

分析：當(dāng)1―4時(shí)，分母的極限是0,不能直接運(yùn)用上面的極限運(yùn)用法則.注意函

數(shù)y在定義域工工4內(nèi)，可以將分子、分母約去公因式工-4后變成x+4,

'x-4

由此即可求出函數(shù)的極限.

例4求lim"、"3

XT8X~+1

分析：當(dāng)Xf8時(shí)，分子、分母都沒有極限，不能直接運(yùn)用上面的商的極限運(yùn)算法

則.如果分子、分母都除以爐，所得到的分子、分母都有極限，就可以用商的極限

運(yùn)用法則計(jì)算。

總結(jié)：limC=C,lim/=鷲（攵w），

X—K—

例5求lim24+：-4

i3x--x~+\

分析：同例4一樣，不能直接用法則求極限.如果分子、分母都除以1,就可以

運(yùn)用法則計(jì)算了。

四課堂練習(xí)（利用函數(shù)的極限法則求下列函數(shù)極限）

(1)lim(2x-3)；(2)lim(2x2-3x+l)

XT2

2

(3)lim[(2x-l)(x+3)]；(4)lim-；-------

x->4I3x~+4x-l

/八x2-5x4-6

(5)lim-----(6)hm---；-----

x"x+1x->3廠-9

(8)lim2二

E3x3-3x2+1iy-5

五小結(jié)

1有限個(gè)函數(shù)的和（或積）的極限等于這些函數(shù)的和：或積）；

2函數(shù)的運(yùn)算法則成立的前提條件是函數(shù)/（外內(nèi)（幻…的極限存在，在進(jìn)行極限運(yùn)

算時(shí)，要特別注意這一點(diǎn).

3兩個(gè)（或兒個(gè)）函數(shù)的極限至少有一個(gè)不存在時(shí)，他們的和、差、積、商的極

限不一定不存在.

4在求幾個(gè)函數(shù)的和（或積）的極限時(shí)，一般要化簡，再求極限.

六作業(yè)（求下列極限）

cQ\I.X~+50Y

(1)lim(2x3+3x4-4)(2)lim-----(3)

X+112/_33X+X+1

/4、..,x~—3x+13r3+r2

(4)hm(----------+1)⑸螞點(diǎn)J(6)lim了

xx-4zox5+3x-2x

7x..x+\zx..x+3x+2x

(7)Inn----O(8)lim———o(9)hm——；----------

2

x—2x-4t->-lx--\x+2x--x-6

(10)lim+(11)lim(2--+二)(12)lim——)”——

s0Xx*xx-2x~+2x-l

3

/]A\rz2x+1v2/1\r3x~-llx+6

(13)hm----------(14)hm(—：----)(15)lim——；---------

4

x~>8x+3i+iI3X-2f2x2-5x-3

/1「、3/ILri6

(lb)Inn——----------(17)lim*6/(18)lim"'6"；

k*2x'-5x-3io2x-5x~-31elx-5x~-3x3

極限的概念（4月27日）

教學(xué)目的：理解數(shù)列和函數(shù)極限的概念；

教學(xué)重點(diǎn)：會判斷一些簡單數(shù)列和函數(shù)的極限:

教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列和函數(shù)極限的理解

教學(xué)過程：

一、實(shí)例引入：

例：戰(zhàn)國