PAGE1-3.1.1頻率與概率[航向標(biāo)·學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．了解隨機(jī)事務(wù)的概念，能正確辨別必定事務(wù)、不行能事務(wù)與隨機(jī)事務(wù)．2．了解概率與頻率的區(qū)分和聯(lián)系，會通過試驗(yàn)求事務(wù)的頻率和估計(jì)概率．3．了解隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性．[讀教材·自主學(xué)習(xí)]1．必定事務(wù)是指eq\o(□,\s\up4(01))在條件S下，肯定會發(fā)生的事務(wù)．2．不行能事務(wù)是指eq\o(□,\s\up4(02))在條件S下，肯定不發(fā)生的事務(wù)．3．隨機(jī)事務(wù)是指eq\o(□,\s\up4(03))在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事務(wù)．4．在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，視察某一事務(wù)A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事務(wù)A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事務(wù)A出現(xiàn)的eq\o(□,\s\up4(04))頻數(shù)，稱事務(wù)A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務(wù)A出現(xiàn)的eq\o(□,\s\up4(05))頻率．5．在相同條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時，隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的eq\o(□,\s\up4(06))頻率會在某個常數(shù)旁邊搖擺，即隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率具有eq\o(□,\s\up4(07))穩(wěn)定性，這時我們把這個常數(shù)叫作隨機(jī)事務(wù)A的概率，記作eq\o(□,\s\up4(08))P(A)．6．概率從數(shù)量上反映了一個事務(wù)eq\o(□,\s\up4(09))發(fā)生可能性的大小，任何事務(wù)的概率的取值范圍是eq\o(□,\s\up4(10))[0,1]．必定事務(wù)的概率為eq\o(□,\s\up4(11))1，不行能事務(wù)的概率為eq\o(□,\s\up4(12))0.[看名師·疑難剖析]1．隨機(jī)事務(wù)是指在條件S下出現(xiàn)的某種結(jié)果，若條件S變了，則結(jié)果也會變，因此同一事務(wù)必需在相同的條件下探討；其次隨機(jī)事務(wù)可以重復(fù)地進(jìn)行大量試驗(yàn)，而每次試驗(yàn)結(jié)果不肯定相同，并且無法預(yù)料下一次試驗(yàn)的結(jié)果，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，其結(jié)果又呈現(xiàn)規(guī)律性．2．一個隨機(jī)事務(wù)的發(fā)生，就單次試驗(yàn)而言，具有隨機(jī)性(偶然性)，對大量重復(fù)試驗(yàn)而言又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(必定性)，這就是偶然性和必定性的對立統(tǒng)一．由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知：必定事務(wù)的概率為1，不行能事務(wù)的概率為0，而隨意事務(wù)的概率在區(qū)間[0,1]之間．所以不行能事務(wù)和必定事務(wù)可看成隨機(jī)事務(wù)的兩個極端狀況，這就是它們之間既對立又統(tǒng)一的辯證關(guān)系．3．對于隨機(jī)事務(wù)，知道它發(fā)生的可能性大小特別重要．要了解隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性大小，最干脆的方法就是試驗(yàn)，一個隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)滿意下述三個條件：(1)試驗(yàn)可以在相同的狀況下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)的全部結(jié)果明確可知，但不止一個；(3)每次試驗(yàn)總是出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但是一次試驗(yàn)之前卻不能確定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個結(jié)果．4．頻率fn(A)是隨試驗(yàn)次數(shù)改變而改變的，而概率是一個常數(shù)；概率是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越大時，頻率越來越靠近概率．因此只要試驗(yàn)次數(shù)足夠大，所得的頻率才可近似地當(dāng)做概率．考點(diǎn)一必定事務(wù)、不行能事務(wù)、隨機(jī)事務(wù)的推斷例112件同類產(chǎn)品中，有10件正品，2件次品，從中隨意抽出3件，下列事務(wù)中，隨機(jī)事務(wù)有________；必定事務(wù)有________；不行能事務(wù)有________．(填上相應(yīng)的序號)①3件都是正品 ②至少有1件是次品③3件都是次品 ④至少有1件是正品[解析]抽出的3件可能都是正品，也可能不都是，則①②是隨機(jī)事務(wù)；這12件產(chǎn)品中共有2件次品，那么抽出的3件不行能都是次品，其中至少有1件是正品，則③是不行能事務(wù)，④是必定事務(wù)．[答案]①②④③類題通關(guān)推斷事務(wù)的隨機(jī)性或確定性，主要是依據(jù)定義來進(jìn)行：確定不發(fā)生的就是不行能事務(wù)，確定要發(fā)生的就是必定事務(wù)，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的就是隨機(jī)事務(wù).,本題易誤把③④也當(dāng)成隨機(jī)事務(wù)，其緣由是不留意所給條件中正品和次品的數(shù)量，三個概念混淆不清.)eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練1])指出下列事務(wù)是必定事務(wù)，不行能事務(wù)，還是隨機(jī)事務(wù)？①某地1月1日刮西北風(fēng)；②x為實(shí)數(shù)時，x2≥0；③手電筒的電池沒電，燈泡發(fā)亮；④一個電影院某天的上座率為50%.解①④是隨機(jī)事務(wù)，②是必定事務(wù)；③是不行能事務(wù).考點(diǎn)二隨機(jī)事務(wù)的概率例2某籃球運(yùn)動員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí)，結(jié)果如下所示：投籃次數(shù)n1020405070100投中次數(shù)m81935446390投中頻率eq\f(m,n)(1)計(jì)算表中籃球被投中的頻率；(2)籃球運(yùn)動員投籃一次，籃球被投中的概率約是多少？[分析](1)將m、n的值逐一代入eq\f(m,n)計(jì)算．(2)視察各頻率是否在某一常數(shù)旁邊搖擺，用多次試驗(yàn)的頻率估計(jì)概率．[解](1)投中的頻率依次為0.8,0.95,0.875,0.88,0.90,0.90.(2)籃球運(yùn)動員投籃一次，籃球被投中的概率約是0.9.類題通關(guān)隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，主要是依靠試驗(yàn)得出.大量試驗(yàn)表明：隨機(jī)事務(wù)的頻率，即此事務(wù)發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值表現(xiàn)出隨機(jī)性，又具有穩(wěn)定性，總是在某個常數(shù)旁邊搖擺，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種搖擺的幅度會變得越來越小.這個常數(shù)就是這個隨機(jī)事務(wù)的概率.頻率本身是一個隨機(jī)變量，用隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的頻率只能得到概率的估計(jì)值，而概率是一個確定的數(shù)值，兩者有肯定的差別.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練2])一個地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下：時間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)新生嬰兒數(shù)n554496071352017190男嬰數(shù)m2883497069948892(1)計(jì)算男嬰誕生頻率(保留4位小數(shù))；(2)這一地區(qū)男嬰誕生的概率約是多少？解(1)計(jì)算eq\f(m,n)即得到男嬰誕生的頻率依次約是：0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.(2)由于這些頻率特別接近0.5173，因此這一地區(qū)男嬰誕生的概率約為0.5173.考點(diǎn)三頻率與概率的關(guān)系例3李老師在某高校連續(xù)3年主講經(jīng)濟(jì)學(xué)院的高等數(shù)學(xué)，下表是李老師這門課3年來的考試成果狀況：成果人數(shù)90分以上(包括90分)4380～89分18270～79分26060～69分9050～59分6250分以下(不包括50分)8經(jīng)濟(jì)學(xué)院一年級的學(xué)生王小倩下學(xué)期將修李老師的高等數(shù)學(xué)課，用已有的信息估計(jì)她得以下分?jǐn)?shù)的概率(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)：(1)90分以上(包括90分)；(2)60～69分；(3)60分以上(包括60分)．[分析]隨機(jī)事務(wù)在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的狀況下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出肯定的規(guī)律性，可以用事務(wù)發(fā)生的頻率“測量”，因此可以通過計(jì)算事務(wù)發(fā)生的頻率來估算概率．[解]依據(jù)題意可計(jì)算出修李老師的高等數(shù)學(xué)課的總?cè)藬?shù)為43＋182＋260＋90＋62＋8＝645(人)，則修李老師的高等數(shù)學(xué)課的學(xué)生考試成果在各個分?jǐn)?shù)段上的頻率依次為：eq\f(43,645)≈0.0667，eq\f(182,645)≈0.2822，eq\f(260,645)≈0.4031，eq\f(90,645)≈0.1395，eq\f(62,645)≈0.0961，eq\f(8,645)≈0.0124.用已有的信息可以估計(jì)出王小倩下學(xué)期修李老師的高等數(shù)學(xué)課得分的概率如下：(1)“得90分以上(包括90分)”記為事務(wù)A，則P(A)≈0.067.(2)“得60～69分”記為事務(wù)B，則P(B)≈0.140.(3)“得60分以上(包括60分)”記為事務(wù)C，則P(C)≈0.0667＋0.2822＋0.4031＋0.1395≈0.892.類題通關(guān)隨機(jī)事務(wù)在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)狀況下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出肯定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計(jì)的角度，用事務(wù)發(fā)生的頻率去“測量”，通過計(jì)算事務(wù)發(fā)生的頻率去估算概率.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練3])某公司在過去幾年內(nèi)運(yùn)用某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的運(yùn)用壽命(單位：小時)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：分組[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)頻數(shù)4812120822319316542頻率(1)將各組的頻率填入表中；(2)依據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，計(jì)算燈管運(yùn)用壽命不足1500小時的概率．分析(1)利用fn(A)＝eq\f(nA,n)計(jì)算各組的頻率；(2)壽命不足1500小時的頻數(shù)等于[500,900)，[900,1100)，[1100,1300)，[1300,1500)的頻數(shù)的和，用頻率來估計(jì)概率．解(1)利用頻率的定義，可得[500,900)上的頻率是eq\f(48,1000)＝0.048；[900,1100)上的頻率是eq\f(121,1000)＝0.121；[1100,1300)上的頻率是eq\f(208,1000)＝0.208；[1300,1500)上的頻率是eq\f(223,1000)＝0.223；[1500,1700)上的頻率是eq\f(193,1000)＝0.193；[1700,1900)上的頻率是eq\f(165,1000)＝0.165；[1900，＋∞)上的頻率是eq\f(42,1000)＝0.042.所以頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)樣本中壽命不足1500小時的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600，所以樣本中壽命不足1500小時的頻率是eq\f(600,1000)＝0.6.所以估計(jì)燈管運(yùn)用壽命不足1500小時的概率是0.6.考點(diǎn)四概率含義的理解例4某生產(chǎn)線出次品的概率是1%，假設(shè)每天可生產(chǎn)1000件產(chǎn)品，假如有一天已經(jīng)生產(chǎn)了990件合格品，那么最終的10件是不是都是次品？[分析]依據(jù)概率與頻率的關(guān)系及頻率的意義求解．[解]明顯，最終的10件不是都為次品．“出次品的概率是1%”是指生產(chǎn)線生產(chǎn)出次品的可能性是1%，這個可能性對每個產(chǎn)品都是一樣的，不能因?yàn)榍懊娴亩己细瘢驼J(rèn)為后面產(chǎn)品的合格率就小了，其實(shí)最終10件產(chǎn)品出次品的可能性仍是1%.類題通關(guān)我們說“一個事務(wù)發(fā)生的概率是1%”，不能把它和生活中的“勝利率是1%”等同起來，后者是個人對事實(shí)的一種推想，而前者是對客觀現(xiàn)象的一種科學(xué)估計(jì)，是經(jīng)得起事實(shí)檢驗(yàn)的，即假如讓此試驗(yàn)重復(fù)1萬次或者更多，即可以發(fā)覺該事務(wù)出現(xiàn)100次左右，這同時也是“一個事務(wù)發(fā)生的概率是1%”的含義.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練4])據(jù)統(tǒng)計(jì)，某籃球運(yùn)動員的投籃命中率為90%，對此有人說明為其投籃100次，肯定有90次命中，10次不中，你認(rèn)為這種說明正確嗎？說說你的理由．解這種說明不正確．理由如下：因?yàn)椤巴痘@命中”是一個隨機(jī)事務(wù)，籃球運(yùn)動員的投籃命中率是90%，是指投籃勝利的可能性比較大，即每次投籃有90%的把握，就一次投籃而言，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，并不是說投籃100次肯定有90次投中，10次投不中，只有當(dāng)投籃次數(shù)n特別大時，我們可以看成大量重復(fù)投籃，命中的次數(shù)約為90%n，并且n越大，命中次數(shù)越接近90%n.[例](12分)已知f(x)＝x2－2x，x∈[0,3]，給出事務(wù)A：f(x)≥a.(1)當(dāng)A為必定事務(wù)時，求a的取值范圍；(2)當(dāng)A為不行能事務(wù)時，求a的取值范圍．(一)精妙思路點(diǎn)撥(二)分層規(guī)范細(xì)解f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴f(x)min＝f(1)＝－1.又f(0)＝0<f(3)＝3，∴f(x)max＝f(3)＝3.所以f(x)∈[－1,3].4分(1)當(dāng)A為必定事務(wù)時，即f(x)≥a，eq\a\vs4\al(x∈[0，3])①恒成立，則eq\a\vs4\al(a≤fxmin)②＝f(1)＝－1，即a的取值范圍是a≤－1.8分(2)當(dāng)A為不行能事務(wù)時，即f(x)≥a，eq\a\vs4\al(x∈[0，3])①肯定不成立，∴eq\a\vs4\al(a>fxmax)②＝f(3)＝3，則a的取值范圍是a>3.12分(三)來自一線的報告通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的①②見分層規(guī)范細(xì)解過程)(四)類題練筆駕馭在10個學(xué)生中，男生有x個，現(xiàn)從10個學(xué)生中任選6個去參與某項(xiàng)活動．①至少有一個女生；②5個男生，1個女生；③3個男生，3個女生．當(dāng)x為何值時，使得①為必定事務(wù)，②為不行能事務(wù)，③為隨機(jī)事務(wù)？解“至少有1個女生”為必定事務(wù)，則有x≤5；“5個男生，1個女生”為不行能事務(wù)，則有x<5或x＝10；“3個男生，3個女生”為隨機(jī)事務(wù)，則有3≤x≤7；綜上所述，又由x∈N，可知x＝3或x＝4.(五)解題設(shè)問(1)解答本題的關(guān)鍵是什么？________.(2)x為正整數(shù)嗎？________.答案(1)事務(wù)的概念(2)是1．下列現(xiàn)象是必定現(xiàn)象的是()A．|x－1|＝0 B．x2＋1<0C.eq\r(x＋1)>0 D．(x＋1)2＝1＋2x＋x2答案D解析A、C為隨機(jī)事務(wù)，B為不行能事務(wù)．故選D.2．下列說法正確的是()①頻數(shù)和頻率都能反映一個對象在試驗(yàn)總次數(shù)中出現(xiàn)的頻繁程度；②每個試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)之和等于試驗(yàn)的樣本總數(shù)；③每個試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不肯定等于1；④概率就是頻率．A．① B．①②④C．①② D．③④答案C解